第13講 新定義材料理解問題-備考2022年中考數(shù)學《二輪沖刺核心重點難點熱點15講》(全國通用)原卷板

1、硬核：狙擊2020中考數(shù)學重點/難點/熱點新定義材料理解問題，其特點是：(1) 創(chuàng)設(shè)新情境，賦予新內(nèi)涵；(2) 試題呈現(xiàn)形式活潑新穎；(3) 一般取材于學生熟悉的生活實際，具有時代氣息和教育價值這種問題一般都是先提供一種情景，或者一個解題思路，或介紹一種解題方法，或展示一個數(shù)學結(jié)論的推導過程等文字或圖表材料，然后要求大家自主探索，理解其內(nèi)容、思想方法，把握本質(zhì)，解答試題中提出的問題對于這類題求解步驟是“閱讀分析理解創(chuàng)新應(yīng)用”，其中最關(guān)鍵的是理解材料的作用和用意，一般是啟發(fā)你如何解決問題或為了解決問題為你提供工具及素材因此這種試題是考查大家隨機應(yīng)變能力和知識的遷移能力1. 涉及到定義知識的新情景

2、問題它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力解此類型題的步驟有三：(1)認真閱讀，正確理解新定義的含義；(2)運用新定義解決問題；(3)得出結(jié)論2. 涉及到數(shù)學理論應(yīng)用探究問題學習此類型題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關(guān)問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟3. 涉及到日常生活中的實際問題處理此類問題需要結(jié)合生活實際將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學圖形，利用數(shù)學知識進行解答?！纠}1】（2019遂寧）閱讀材料：定

3、義：如果一個數(shù)的平方等于1，記為i21，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫這個復數(shù)的實部，b叫這個復數(shù)的虛部它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似例如計算：（4+i）+（62i）（4+6）+（12）i10i；（2i）（3+i）63i+2ii26i（1）7i；（4+i）（4i）16i216（1）17；（2+i）24+4i+i24+4i13+4i根據(jù)以上信息，完成下面計算：（1+2i）（2i）+（2i）2【變式1-1】（2019湘西州）閱讀材料：設(shè)（x1，y1），（x2，y2），如果，則x1y2x2y1，根據(jù)該材料填空，已知（4，3），（8，m），

4、且，則m【變式1-2】（2019婁底）已知點p（x0，y0）到直線ykx+b的距離可表示為d，例如：點（0，1）到直線y2x+6的距離d據(jù)此進一步可得兩條平行線yx和yx4之間的距離為【例題2】（2019重慶）在數(shù)的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究，如學習自然數(shù)時，我們研究了偶數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)、質(zhì)數(shù)等現(xiàn)在我們來研究一種特殊的自然數(shù)“純數(shù)”定義：對于自然數(shù)n，在通過列豎式進行n+（n+1）+（n+2）的運算時各位都不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，則稱這個自然數(shù)n為“純數(shù)”例如：32是“純數(shù)”，因為32+33+34在列豎式計算時各位都不產(chǎn)生進位現(xiàn)象；23不是“純數(shù)”，因為23+24+25在列豎

5、式計算時個位產(chǎn)生了進位（1）請直接寫出1949到2019之間的“純數(shù)”；（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)，并說明理由【變式2-1】對任意一個四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”（1）請任意寫出三個“極數(shù)”；并猜想任意一個“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；（2）如果一個正整數(shù)a是另一個正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記d（m）=，求滿足d（m）是完全平方數(shù)的所有m.【例題3】（2019安順）閱讀以下材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（jnplcr，15501617年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之

6、前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉（evlcr，17071783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系對數(shù)的定義：一般地，若axn（a0且a1），那么x叫做以a為底n的對數(shù)，記作xlogan，比如指數(shù)式2416可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4log216，對數(shù)式2log525，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式5225我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：loga（mn）logam+logan（a0，a1，m0，n0），理由如下：設(shè)logamm，logann，則mam，nan，mnamanam+n，由對數(shù)的定義得m+nloga（mn）又m+nlogam+loganloga（mn）logam+logan根據(jù)閱讀材料，解決以下問題：（1）

7、將指數(shù)式3481轉(zhuǎn)化為對數(shù)式；（2）求證：logalogamlogan（a0，a1，m0，n0）（3）拓展運用：計算log69+log68log62【變式3-1】閱讀下面的材料：如果函數(shù)yf（x）滿足：對于自變量x的取值范圍內(nèi)的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f（x1）f（x2），則稱f（x）是增函數(shù)；（2）若x1x2，都有f（x1）f（x2），則稱f（x）是減函數(shù)例題：證明函數(shù)f（x）（x0）是減函數(shù)證明：設(shè)0x1x2，f（x1）f（x2）0x1x2，x2x10，x1x200即f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）函數(shù)f（x）（x0）是減函數(shù)根據(jù)以上材料，解答下面的問題：已知函數(shù)f

8、（x）+x（x0），f（1）+（1）0，f（2）+（2）（1）計算：f（3），f（4）；（2）猜想：函數(shù)f（x）+x（x0）是函數(shù)（填“增”或“減”）；（3）請仿照例題證明你的猜想【變式3-2】（2019張家界）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項排在第一位的數(shù)稱為第一項，記為a1，排在第二位的數(shù)稱為第二項，記為a2，依此類推，排在第n位的數(shù)稱為第n項，記為an所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，an，一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d

9、表示如：數(shù)列1，3，5，7，為等差數(shù)列，其中a11，a23，公差為d2根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，的公差d為，第5項是（2）如果一個數(shù)列a1，a2，a3，an，是等差數(shù)列，且公差為d，那么根據(jù)定義可得到：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，所以a2a1+da3a2+d（a1+d）+da1+2d，a4a3+d（a1+2d）+da1+3d，由此，請你填空完成等差數(shù)列的通項公式：ana1+（ ）d（3）4041是不是等差數(shù)列5，7，9的項？如果是，是第幾項？【例題4】（2019郴州）若一個函數(shù)當自變量在不同范圍內(nèi)取值時，函數(shù)表達式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分

10、段函數(shù)下面我們參照學習函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)y圖象與性質(zhì)列表：x3210123y121012描點：在平面直角坐標系中，以自變量x的取值為橫坐標，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標，描出相應(yīng)的點，如圖所示（1）如圖，在平面直角坐標系中，觀察描出的這些點的分布，作出函數(shù)圖象；（2）研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：點a（5，y1），b（，y2），c（x1，），d（x2，6）在函數(shù)圖象上，則y1y2，x1x2；（填“”，“”或“”）當函數(shù)值y2時，求自變量x的值；在直線x1的右側(cè)函數(shù)圖象上有兩個不同的點p（x3，y3），q（x4，y4），且y3y4，求x3+x4的值；若直線ya與函數(shù)圖象有三個不

11、同的交點，求a的取值范圍【變式4-1】（2019江西）數(shù)學活動課上，張老師引導同學進行如下探究：如圖1，將長為12cm的鉛筆ab斜靠在垂直于水平桌面ae的直尺fo的邊沿上，一端a固定在桌面上，圖2是示意圖活動一如圖3，將鉛筆ab繞端點a順時針旋轉(zhuǎn)，ab與of交于點d，當旋轉(zhuǎn)至水平位置時，鉛筆ab的中點c與點o重合數(shù)學思考（1）設(shè)cdxcm，點b到of的距離gbycm用含x的代數(shù)式表示：ad的長是cm，bd的長是cm；y與x的函數(shù)關(guān)系式是，自變量x的取值范圍是活動二（2）列表：根據(jù)（1）中所求函數(shù)關(guān)系式計算并補全表格x（cm）6543.532.5210.50y（cm）00.551.21.58_2

12、.4734.295.08_描點：根據(jù)表中數(shù)值，繼續(xù)描出中剩余的兩個點（x，y）連線：在平面直角坐標系中，請用平滑的曲線畫出該函數(shù)的圖象數(shù)學思考（3）請你結(jié)合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)或結(jié)論【例題5】（2019寧波）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線（1）如圖1，在abc中，abac，ad是abc的角平分線，e，f分別是bd，ad上的點求證：四邊形abef是鄰余四邊形（2）如圖2，在5×4的方格紙中，a，b在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形abef，使ab是鄰余線，e，f在格點上（3）如圖3，在（1）的條件下，取ef中點m，連結(jié)dm并延

13、長交ab于點q，延長ef交ac于點n若n為ac的中點，de2be，qb3，求鄰余線ab的長【變式5-1】（2019揚州）如圖，平面內(nèi)的兩條直線l1、l2，點a，b在直線l1上，點c、d在直線l2上，過a、b兩點分別作直線l2的垂線，垂足分別為a1，b1，我們把線段a1b1叫做線段ab在直線l2上的正投影，其長度可記作t（ab，cd）或t（ab，），特別地線段ac在直線l2上的正投影就是線段a1c請依據(jù)上述定義解決如下問題：（1）如圖1，在銳角abc中，ab5，t（ac，ab）3，則t（bc，ab）；（2）如圖2，在rtabc中，acb90°，t（ac，ab）4，t（bc，ab）9，求

14、abc的面積；（3）如圖3，在鈍角abc中，a60°，點d在ab邊上，acd90°，t（ad，ac）2，t（bc，ab）6，求t（bc，cd），【變式5-2】（2019常州）已知平面圖形s，點p、q是s上任意兩點，我們把線段pq的長度的最大值稱為平面圖形s的“寬距”例如，正方形的寬距等于它的對角線的長度（1）寫出下列圖形的寬距：半徑為1的圓：；如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：；（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點a（1，0）、b（1，0），c是坐標平面內(nèi)的點，連接ab、bc、ca所形成的圖形為s，記s的寬距為d若d2，用直尺和圓規(guī)畫出點c

15、所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示）；若點c在m上運動，m的半徑為1，圓心m在過點（0，2）且與y軸垂直的直線上對于m上任意點c，都有5d8，直接寫出圓心m的橫坐標x的取值范圍1（2019宜昌）古希臘幾何學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是a，b，c，記p，那么三角形的面積為s如圖，在abc中，a，b，c所對的邊分別記為a，b，c，若a5，b6，c7，則abc的面積為（）a6b6c18d2定義一種新運算nxn1dxanbn，例如2xdxk2n2，若x2dx2，則m（）a2bc2d3（2019柳州）定義：形如

16、a+bi的數(shù)稱為復數(shù)（其中a和b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，規(guī)定i21），a稱為復數(shù)的實部，b稱為復數(shù)的虛部復數(shù)可以進行四則運算，運算的結(jié)果還是一個復數(shù)例如（1+3i）212+2×1×3i+（3i）21+6i+9i21+6i98+6i，因此，（1+3i）2的實部是8，虛部是6已知復數(shù)（3mi）2的虛部是12，則實部是（）a6b6c5d54（2019株洲）從1，1，2，4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)（記作ak，bk）構(gòu)成一個數(shù)組mkak，bk（其中k1，2s，且將ak，bk與bk，ak視為同一個數(shù)組），若滿足：對于任意的miai，bi和mjaj，bj（ij，1is，1js）都有ai+b

17、iaj+bj，則s的最大值（）a10b6c5d45（2019杭州）在平面直角坐標系中，已知ab，設(shè)函數(shù)y（x+a）（x+b）的圖象與x軸有m個交點，函數(shù)y（ax+1）（bx+1）的圖象與x軸有n個交點，則（）amn1或mn+1bmn1或mn+2cmn或mn+1dmn或mn16（2019常州）隨著時代的進步，人們對pm2.5（空氣中直徑小于等于2.5微米的顆粒）的關(guān)注日益密切某市一天中pm2.5的值y1（ug/m3）隨時間t（h）的變化如圖所示，設(shè)y2表示0時到t時pm2.5的值的極差（即0時到t時pm2.5的最大值與最小值的差），則y2與t的函數(shù)關(guān)系大致是（）abcd7（2019百色）閱讀理解

18、：已知兩點m（x1，y1），n（x2，y2），則線段mn的中點k（x，y）的坐標公式為：x，y如圖，已知點o為坐標原點，點a（3，0），o經(jīng)過點a，點b為弦pa的中點若點p（a，b），則有a，b滿足等式：a2+b29設(shè)b（m，n），則m，n滿足的等式是（）am2+n29b（）2+（）29c（2m+3）2+（2n）23d（2m+3）2+4n298（2019溫州）如圖，在矩形abcd中，e為ab中點，以be為邊作正方形befg，邊ef交cd于點h，在邊be上取點m使bmbc，作mnbg交cd于點l，交fg于點n，歐幾里得在幾何原本中利用該圖解釋了（a+b）（ab）a2b2，現(xiàn)以點f為圓心，fe為半

19、徑作圓弧交線段dh于點p，連結(jié)ep，記eph的面積為s1，圖中陰影部分的面積為s2若點a，l，g在同一直線上，則的值為（） abcd9（2019湖州）在數(shù)學拓展課上，小明發(fā)現(xiàn)：若一條直線經(jīng)過平行四邊形對角線的交點，則這條直線平分該平行四邊形的面積如圖是由5個邊長為1的小正方形拼成的圖形，p是其中4個小正方形的公共頂點，小強在小明的啟發(fā)下，將該圖形沿著過點p的某條直線剪一刀，把它剪成了面積相等的兩部分，則剪痕的長度是（） a2bcd10（2019寧夏）你知道嗎，對于一元二次方程，我國古代數(shù)學家還研究過其幾何解法呢！以方程x2+5x140即x（x+5）14為例加以說明數(shù)學家趙爽（公元34世紀）在其

20、所著的勾股圓方圖注中記載的方法是：構(gòu)造圖（如下面左圖）中大正方形的面積是（x+x+5）2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，據(jù)此易得x2那么在下面右邊三個構(gòu)圖（矩形的頂點均落在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上）中，能夠說明方程x24x120的正確構(gòu)圖是（只填序號）11（2019孝感）劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學家，他在九章算術(shù)中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積如圖，若用圓的內(nèi)接正十二邊形的面積s1來近似估計o的面積s，設(shè)o的半徑為1，則ss1 12（2019常德）規(guī)定：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此

21、四邊形為廣義菱形根據(jù)規(guī)定判斷下面四個結(jié)論：正方形和菱形都是廣義菱形；平行四邊形是廣義菱形；對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；若m、n的坐標分別為（0，1），（0，1），p是二次函數(shù)yx2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點，pq垂直直線y1于點q，則四邊形pmnq是廣義菱形其中正確的是（填序號）13（2019永州）我們知道，很多數(shù)學知識相互之間都是有聯(lián)系的如圖，圖一是“楊輝三角”數(shù)陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是“1”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)之和；圖二是二項和的乘方（a+b）n的展開式（按b的升冪排列）經(jīng)觀察：圖二中某個二項和的乘方的展開式中，各項的系數(shù)與圖一

22、中某行的數(shù)一一對應(yīng)，且這種關(guān)系可一直對應(yīng)下去將（s+x）15的展開式按x的升冪排列得：（s+x）15a0+a1x+a2x2+a15x15依上述規(guī)律，解決下列問題：（1）若s1，則a2；（2）若s2，則a0+a1+a2+a1514（2019湖州）七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”由邊長為4的正方形abcd可以制作一副如圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形efgh內(nèi)拼成如圖2所示的“拼搏兔”造型（其中點q、r分別與圖2中的點e、g重合，點p在邊eh上），則“拼搏兔”所在正方形efgh的邊長是 15（2019赤峰）閱讀下面材料：我們知道一次函數(shù)ykx+b（k0，k、b是常數(shù)）的圖

23、象是一條直線，到高中學習時，直線通常寫成ax+by+c0（a0，a、b、c是常數(shù)）的形式，點p（x0，y0）到直線ax+by+c0的距離可用公式d計算例如：求點p（3，4）到直線y2x+5的距離解：y2x+52x+y50，其中a2，b1，c5點p（3，4）到直線y2x+5的距離為：d根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）求點q（2，2）到直線3xy+70的距離；（2）如圖，直線yx沿y軸向上平移2個單位得到另一條直線，求這兩條平行直線之間的距離16（2019青海）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作數(shù)書九章中提出了“三斜求積術(shù)”，三斜即指三角形的三條邊長，可以用該方法求三角形面積若改用現(xiàn)代數(shù)學語言表示

24、，其形式為：設(shè)a，b，c為三角形三邊，s為面積，則s這是中國古代數(shù)學的瑰寶之一而在文明古國古希臘，也有一個數(shù)學家海倫給出了求三角形面積的另一個公式，若設(shè)p（周長的一半），則s（1）嘗試驗證這兩個公式在表面上形式很不一致，請你用以5，7，8為三邊構(gòu)成的三角形，分別驗證它們的面積值；（2）問題探究經(jīng)過驗證，你發(fā)現(xiàn)公式和等價嗎？若等價，請給出一個一般性推導過程（可以從或者）；（3）問題引申三角形的面積是數(shù)學中非常重要的一個幾何度量值，很多數(shù)學家給出了不同形式的計算公式請你證明如下這個公式：如圖，abc的內(nèi)切圓半徑為r，三角形三邊長為a，b，c，仍記p，s為三角形面積，則spr17（2019重慶）在初

25、中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達式利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)一一運用函數(shù)解決問題“的學習過程在畫函數(shù)圖象時，我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數(shù)圖象同時，我們也學習了絕對值的意義|a|結(jié)合上面經(jīng)歷的學習過程，現(xiàn)在來解決下面的問題在函數(shù)y|kx3|+b中，當x2時，y4；當x0時，y1（1）求這個函數(shù)的表達式；（2）在給出的平面直角坐標系中，請用你喜歡的方法畫出這個函數(shù)的圖象并寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）已知函yx3的圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出不等式|kx3|+bx3的解集18（2019重慶）道德經(jīng)中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出了自然數(shù)的特征在數(shù)的學習過程

26、中，我們會對其中一些具有某種特性的數(shù)進行研究，如學習自然數(shù)時，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)“純數(shù)”定義；對于自然數(shù)n，在計算n+（n+1）+（n+2）時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位，則稱這個自然數(shù)n為“純數(shù)”，例如：32是”純數(shù)”，因為計算32+33+34時，各數(shù)位都不產(chǎn)生進位；23不是“純數(shù)”，因為計算23+24+25時，個位產(chǎn)生了進位（1）判斷2019和2020是否是“純數(shù)”？請說明理由；（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個數(shù)19（2019衢州）定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點a（a，b），b（c，d），若點t（x，y）滿足x，y那么稱點t是點a，b的融

27、合點例如：a（1，8），b（4，2），當點t（x，y）滿足x1，y2時，則點t（1，2）是點a，b的融合點（1）已知點a（1，5），b（7，7），c（2，4），請說明其中一個點是另外兩個點的融合點（2）如圖，點d（3，0），點e（t，2t+3）是直線l上任意一點，點t（x，y）是點d，e的融合點試確定y與x的關(guān)系式若直線et交x軸于點h當dth為直角三角形時，求點e的坐標20. （2019畢節(jié)市）某中學數(shù)學興趣小組在一次課外學習與探究中遇到一些新的數(shù)學符號，他們將其中某些材料摘錄如下：對于三個實數(shù)a，b，c，用ma，b，c表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用mina，b，c表示這三個數(shù)中最小的數(shù)例如：m1

28、，2，94，min1，2，33，min3，1，11請結(jié)合上述材料，解決下列問題：（1）m（2）2，22，22； minsin30°，cos60°，tan45°；（2）若m2x，x2，32，求x的值；（3）若min32x，1+3x，55，求x的取值范圍21（2019常州）【閱讀】數(shù)學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)、三角形的內(nèi)角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學思想【理解】（1）如圖1，兩個邊長分別為a、b、c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形用兩種不同

29、的方法計算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）如圖2，n行n列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數(shù)，可得等式：n2；【運用】（3）n邊形有n個頂點，在它的內(nèi)部再畫m個點，以（m+n）個點為頂點，把n邊形剪成若干個三角形，設(shè)最多可以剪得y個這樣的三角形當n3，m3時，如圖3，最多可以剪得7個這樣的三角形，所以y7當n4，m2時，如圖4，y；當n5，m時，y9；對于一般的情形，在n邊形內(nèi)畫m個點，通過歸納猜想，可得y（用含m、n的代數(shù)式表示）請對同一個量用算兩次的方法說明你的猜想成立22（2019隨州）若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為m，n，我們可將這個兩位數(shù)記為，易知10m

30、+n；同理，一個三位數(shù)、四位數(shù)等均可以用此記法，如100a+10b+c【基礎(chǔ)訓練】（1）解方程填空：若+45，則x；若26，則y；若+，則t；【能力提升】（2）交換任意一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字，可得到一個新數(shù)，則+一定能被整除，一定能被整除，mn一定能被整除；（請從大于5的整數(shù)中選擇合適的數(shù)填空）【探索發(fā)現(xiàn)】（3）北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛數(shù)學中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個三位數(shù)，要求個、十、百位的數(shù)字各不相同，把這個三位數(shù)的三個數(shù)字按大小重新排列，得出一個最大的數(shù)和一個最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去

31、最小的數(shù)得到一個新數(shù)（例如若選的數(shù)為325，則用532235297），再將這個新數(shù)按上述方式重新排列，再相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復出現(xiàn)的數(shù)，這個數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為；設(shè)任選的三位數(shù)為（不妨設(shè)abc），試說明其均可產(chǎn)生該黑洞數(shù)23（2019威海）（1）閱讀理解如圖，點a，b在反比例函數(shù)y的圖象上，連接ab，取線段ab的中點c分別過點a，c，b作x軸的垂線，垂足為e，f，g，cf交反比例函數(shù)y的圖象于點d點e，f，g的橫坐標分別為n1，n，n+1（n1）小紅通過觀察反比例函數(shù)y的圖象，并運用幾何知識得出結(jié)論：ae+bg2cf，cfdf由此得出一個關(guān)于

32、，之間數(shù)量關(guān)系的命題：若n1，則 （2）證明命題小東認為：可以通過“若ab0，則ab”的思路證明上述命題小晴認為：可以通過“若a0，b0，且a÷b1，則ab”的思路證明上述命題請你選擇一種方法證明（1）中的命題24（2019南京）【概念認識】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xoy，對兩點a（x1，y1）和b（x2，y2），用以下方式定義兩點間距離：d（a，b）|x1x2|+|y1y2|【數(shù)學理解】（1）已知點a（2，1），則d（o，a）函數(shù)y2x+4（0x2）的圖象如圖所示，b

33、是圖象上一點，d（o，b）3，則點b的坐標是（2）函數(shù)y（x0）的圖象如圖所示求證：該函數(shù)的圖象上不存在點c，使d（o，c）3（3）函數(shù)yx25x+7（x0）的圖象如圖所示，d是圖象上一點，求d（o，d）的最小值及對應(yīng)的點d的坐標【問題解決】（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖，道路以m為起點，先沿mn方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担嫵鍪疽鈭D并簡要說明理由）25（2019遵義）將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點a旋轉(zhuǎn)，連接bc，de探究sabc與sade的比是否為定值（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角

34、板時，sabc：sade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時，sabc：sade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖）（3）兩塊三角板中，bae+cad180°，aba，aeb，acm，adn（a，b，m，n為常數(shù)），sabc：sade是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由（圖）26（2019臺州）我們知道，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形對一個各條邊都相等的凸多邊形（邊數(shù)大于3），可以由若干條對

35、角線相等判定它是正多邊形例如，各條邊都相等的凸四邊形，若兩條對角線相等，則這個四邊形是正方形（1）已知凸五邊形abcde的各條邊都相等如圖1，若acadbebdce，求證：五邊形abcde是正五邊形；如圖2，若acbece，請判斷五邊形abcde是不是正五邊形，并說明理由：（2）判斷下列命題的真假（在括號內(nèi)填寫“真”或“假”）如圖3，已知凸六邊形abcdef的各條邊都相等若acceea，則六邊形abcdef是正六邊形；（）若adbecf，則六邊形abcdef是正六邊形 （）27（2019北京）如圖，p是與弦ab所圍成的圖形的外部的一定點，c是上一動點，連接pc交弦ab于點d小騰根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)

36、驗，對線段pc，pd，ad的長度之間的關(guān)系進行了探究下面是小騰的探究過程，請補充完整：（1）對于點c在上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段pc，pd，ad的長度的幾組值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8pc/cm3.443.303.072.702.252.252.642.83pd/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83ad/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00在pc，pd，ad的長度這三個量中，確定的長度是自變量，的長度和的長度都是這個自變量的函數(shù)；（2）在同一平面直角坐標系xoy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)

37、的圖象； （3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當pc2pd時，ad的長度約為cm28（2019南通）定義：若實數(shù)x，y滿足x22y+t，y22x+t，且xy，t為常數(shù)，則稱點m（x，y）為“線點”例如，點（0，2）和（2，0）是“線點”已知：在直角坐標系xoy中，點p（m，n）（1）p1（3，1）和p2（3，1）兩點中，點是“線點”；（2）若點p是“線點”，用含t的代數(shù)式表示mn，并求t的取值范圍；（3）若點q（n，m）是“線點”，直線pq分別交x軸、y軸于點a，b，當|poqaob|30°時，直接寫出t的值29. （2020雨花區(qū)校級模擬）定義：（一）如果兩個函數(shù)y1，y2，存在x取同一

38、個值，使得y1y2，那么稱y1，y2為“合作函數(shù)”，稱對應(yīng)x的值為y1，y2的“合作點”；（二）如果兩個函數(shù)為y1，y2為“合作函數(shù)”，那么y1+y2的最大值稱為y1，y2的“共贏值”（1）判斷函數(shù)yx+2m與y是否為“合作函數(shù)”，如果是，請求出m1時它們的合作點；如果不是，請說明理由；（2）判斷函數(shù)yx+2m與y3x1（|x|2）是否為“合作函數(shù)”，如果是，請求出合作點；如果不是，請說明理由；（3）已知函數(shù)yx+2m與yx2（2m+1）x+（m2+4m3）（0x5）是“合作函數(shù)”，且有唯一合作點求出m的取值范圍；若它們的“共贏值”為24，試求出m的值30（2020歷下區(qū)一模）圖，拋物線y2x2+bx+c過a（1，0）、b（3，0）兩點，交y軸于點c，連接bc（1）求該拋物線的表達式和對稱軸；（2）點d是拋物線對稱軸上一動點，當bcd是以bc為直角邊的直