類型二 平移旋轉(zhuǎn)折疊問題-備考2022年中考數(shù)學(xué)第二輪重難題型突破（解析版）

1、類型二 平移旋轉(zhuǎn)折疊問題例1、如圖,將三角形紙片abc沿de折疊,使點(diǎn)a落在bc邊上的點(diǎn)f處,且debc,下列結(jié)論:bdf是等腰三角形;de=bc;四邊形adfe是菱形;bdf+fec=2a.其中一定正確的個(gè)數(shù)是( ).a.1 b.2 c.3 d.4【解析】如圖,分別過點(diǎn)d，e作bc的垂線dg，eh；連接af,由于折疊是軸對(duì)稱變換知af與de垂直,因?yàn)閐ebc，所以af與bc垂直,且am=mf,可以證明點(diǎn)d，e分別是ab,ac的中點(diǎn),即de是abc的中位線,所以de=bc是正確的；由于折疊是軸對(duì)稱變換知ad=df,ae=ef,所以da=db=df,所以bdf是等腰三角形是正確的；因dgafeh

2、,所以bdg=dam,又因?yàn)閐g是等腰三角形bdf的高,所以bdf=2dam,同 理 cef = 2 eam, 所以 bdf+fec=2a是正確的；如圖顯然四邊形adfe不是菱形,是錯(cuò)誤的【答案】c例2、下列圖形中,是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是( ).【解析】把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能互相重合,那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形； 把一個(gè)平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形互相重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形.對(duì)照定義,可知a是軸對(duì)稱圖形,且有1條對(duì)稱軸,但不是中心對(duì)稱圖形；b是中心對(duì)稱圖形,不是軸對(duì)稱圖形；c是軸對(duì)稱圖形,有1條對(duì)稱軸,但不

3、是中心對(duì)稱圖形；d既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形,有4條對(duì)稱軸【答案】b例3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形oab的頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)a在第一象限內(nèi)，將oab沿直線oa的方向平移至oab的位置，此時(shí)點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為 .【解析】作amx軸于點(diǎn)m.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得oa=ob=2，aob=60°，在rtoam中,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出om=1，am=，從而求得點(diǎn)a的坐標(biāo)為（1，），直線oa的解析式為y=x,當(dāng)x=3時(shí)，y=3,所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為（3，3），所以點(diǎn)a是由點(diǎn)a向右平移2個(gè)單位，向上平移23個(gè)單位后得到的，于是得點(diǎn)b的坐標(biāo)

4、為（4,2）.【答案】（4,23）例4、在rtabc中,bac=90°,b=30°,線段ad是bc邊上的中線,如圖1,將adc沿直線bc平移,使點(diǎn)d與點(diǎn)c重合,得到fce,如圖2,再將fce繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0°90°),連接af,de(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)ace=150°時(shí),求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)探究旋轉(zhuǎn)過程中四邊形adef能形成哪些特殊四邊形？請(qǐng)說明理由【解析】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：點(diǎn)e和點(diǎn)d在直線ac兩側(cè)；點(diǎn)e和點(diǎn)d在直線ac同側(cè)；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,總是存在ac=ce,dc=ce.由圖形的對(duì)稱性可知,將會(huì)

5、出現(xiàn)兩種對(duì)角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),較易證明【答案】：(1)在圖1中,bac=90°,b=30°,ace=bac+b=120°如圖2,當(dāng)點(diǎn)e和點(diǎn)d在直線ac兩側(cè)時(shí),由于ace=150°,=150°-120°=30°.當(dāng)點(diǎn)e和點(diǎn)d在直線ac同側(cè)時(shí),由于acb=180°-bac-b=60°,dce=ace-acb=150°-60°=90°.=180°-dce=90°.旋轉(zhuǎn)角為30°或90°(2)四邊形ade

6、f能形成等腰梯形和矩形bac=90°,b=30°,ac=bc又ad是bc邊上的中線,ad=dc=bc=ac.adc為正三角形當(dāng)=60°時(shí),如圖3,ace=120°+60°=180°.ca=ce=cd=cf,四邊形adef為矩形當(dāng)60°時(shí),acf120°,dce=360°-60°-60°-acf120°顯然deafac=cf,cd=ce,2fac+acf=2cde+dce=180°.acf+dce=360°-60°-60°=240

7、6;,fac+cde=60°.daf+ade=120°+60°=180°.afde又deaf,ad=ef,四邊形adef為等腰梯形例5、如圖，矩形紙片abcd，將amp和bpq分別沿pm和pq折疊（apam），點(diǎn)a和點(diǎn)b都與點(diǎn)e重合；再將cqd沿dq折疊，點(diǎn)c落在線段eq上的點(diǎn)f處.（1）判斷amp，bpq，cqd和fdm中有哪幾對(duì)相似三角形？（2）如果am=1，sindmf=，求ab的長(zhǎng).【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得a=b=c=90°，由折疊的性質(zhì)和等角的余角相等，可得bpq=amp=dqc，所以ampbpqcqd；（2）先證明md=mq，然

8、后根據(jù)sindmf=dfmd=35，設(shè)df=3x，md=5x，再分別表示出ap，bp，bq，根據(jù)ampbpq，列出比例式解方程求解即可.解：（1）ampbpqcqd.四邊形abcd是矩形，a=b=c=90°.由折疊的性質(zhì)可知apm=epm，epq=bpq.apm+bpq=epm+epq=90°.apm+amp=90°，bpq=amp.ampbpq.同理：bpqcqd.根據(jù)相似的傳遞性可得ampcqd；（2）adbc，dqc=mdq.由折疊的性質(zhì)可知dqc=dqm.mdq=dqm.md=mq.am=me，bq=eq，bq=mq-me=md-am.sindmf=，則設(shè)

9、df=3x，md=5x，則bp=pa=pe=，bq=5x-1.ampbpq，即，解得x=（舍去）或x=2，ab=6.例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形oab的頂點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2, 0），點(diǎn)a在第一象限內(nèi)，將oab沿直線oa的方向平移至oba的位置，此時(shí)點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)b的坐標(biāo)為（ ）a（4，） b（3，） c（4，） d（3，） 【答案】a【解析】如圖，當(dāng)點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2, 0），點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為1當(dāng)點(diǎn)a'的橫坐標(biāo)為3時(shí)，等邊三角形aoc的邊長(zhǎng)為6在rtbcd中，bc4，所以dc2，bd此時(shí)b例7、 圖形的折疊：如圖，在矩形abcd中，ad15，點(diǎn)e在邊dc上，聯(lián)結(jié)ae，ad

10、e沿直線ae翻折后點(diǎn)d落到點(diǎn)f，過點(diǎn)f作fgad，垂足為g如果ad3gd，那么de_【答案】 【解析】思路如下：如圖，過點(diǎn)f作ad的平行線交ab于m，交dc于n因?yàn)閍d15，當(dāng)ad3gd時(shí)，mfag10，fngd5在rtamf中，afad15，mf10，所以am設(shè)dem，那么ne由amffne，得，即解得m例8、圖形的旋轉(zhuǎn)：如圖，已知rtabc中，abc90°，ac6，bc4，將abc繞直角頂點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到dec，若點(diǎn)f是de的中點(diǎn)，連接af，則af= 【答案】 5【解析】思路如下：如圖，作fhac于h由于f是ed的中點(diǎn)，所以hf是ecd的中位線，所以hf3由于a

11、eacec642，eh2，所以ah4所以af5例9、三角形： 如圖，abcdef（點(diǎn)a、b分別與點(diǎn)d、e對(duì)應(yīng)），abac5，bc6abc固定不動(dòng)，def運(yùn)動(dòng)，并滿足點(diǎn)e在bc邊從b向c移動(dòng)（點(diǎn)e不與b、c重合），de始終經(jīng)過點(diǎn)a，ef與ac邊交于點(diǎn)m，當(dāng)aem是等腰三角形時(shí)，be_【答案】 或1【解析】思路如下： 設(shè)bex由abeecm，得，即等腰三角形aem分三種情況討論：如圖2，如果aeam，那么aemabc所以解得x0，此時(shí)e、b重合，舍去如圖3，當(dāng)eaem時(shí)，解得x1如圖4，當(dāng)mame時(shí)，meaabc所以解得x圖2 圖3 圖4例10、四邊形：如圖，矩形abcd中，ab8，bc4點(diǎn)e在邊

12、ab上，點(diǎn)f在邊cd上，點(diǎn)g、h在對(duì)角線ac上若四邊形egfh是菱形，則ae的長(zhǎng)是（ ）a b c5 d6【答案】c【解析】思路如下：拖動(dòng)點(diǎn)e在ab上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)ef與ac垂直時(shí)，四邊形egfh是菱形（如圖2）如圖3，在rtabc中，ab8，bc4，所以ac由cosbac，得所以ae5圖2 圖3例11、圓：如圖，o的半徑為2，ab，cd是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)p是o上任意一點(diǎn)（p與a，b，c，d不重合），過點(diǎn)p作pmab于點(diǎn)m，pncd于點(diǎn)n，點(diǎn)q是mn的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)p沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時(shí)，點(diǎn)q走過的路徑長(zhǎng)為_a. b. c. d. 【答案】 a【解析】思路如下：拖動(dòng)點(diǎn)p在圓周

13、上運(yùn)動(dòng)一周，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)p沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時(shí)，點(diǎn)q走過的路徑是圓心角為45°半徑為1的一段弧如圖2，四邊形pmon是矩形，對(duì)角線mn與op互相平分且相等，因此點(diǎn)q是op的中點(diǎn)如圖3，當(dāng)dop45°時(shí)，的長(zhǎng)為圖2 圖3例12、函數(shù)圖象：如圖，直線l與半徑為4的o相切于點(diǎn)a，p是o上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)a重合），過點(diǎn)p作pbl，垂足為b，聯(lián)結(jié)pa設(shè)pax，pby，則(xy)的最大值是_【答案】 2【解析】思路如下：拖動(dòng)點(diǎn)p在圓上運(yùn)動(dòng)一周，可以體驗(yàn)到，af的長(zhǎng)可以表示xy，點(diǎn)f的軌跡象兩葉新樹丫，當(dāng)af最大時(shí)，of與af垂直（如圖2）如圖3，ac為o的直徑，聯(lián)結(jié)pc由

14、acppab，得，即所以因此所以當(dāng)x4時(shí)，xy最大，最大值為2圖2 圖3例13、.如圖所示,在rtabc中,c=90°,bac=60°,ab=8.半徑為的m與射線ba相切,切點(diǎn)為n,且an=3.將rtabc順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到rtade,點(diǎn)b,c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)d,e(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的rtade； (2)求出rtade 的直角邊de被m截得的弦pq的長(zhǎng)度；(3)判斷rtade的斜邊ad所在的直線與m的位置關(guān)系,并說明理由. 【分析】(1)點(diǎn)a不動(dòng),由于bac=60°,因此旋轉(zhuǎn)120°后ae與ab在同一條直線上；(2)過點(diǎn)m作mfde,垂足為f.連接mp,構(gòu)造出rtmpf，再通過勾股定理解直角三角形并結(jié)合垂徑定理即可求解；(3)易猜想ad與m相切.欲證ad與m相切,只需hm=nm即可,而hm=nm可由mhamna得到【答案】證明：(1)如圖1，rtade就是旋轉(zhuǎn)后的圖形； (2)如圖2,過點(diǎn)m作mfde,垂足為f,連接mp在rtmpf中,mp=,mf=4-3=1,由勾股定理易得pf=2,再由垂徑定理知pq=2pf=2；(3)ad與m相切證法一：如圖2,過點(diǎn)m作mhad于h,連接mn, ma,則mnae且mn=.在rtamn中,tan，man=30°.dae=ba