高中物理 微積分競賽輔導(dǎo)講義

1、高中物理競賽講義微積分初步一：引入【例】問均勻帶電的立方體角上一點的電勢是中心的幾倍。分析：根據(jù)對稱性，可知立方體的八個角點電勢相等；將原立方體等分為八個等大的小立方體,原立方體的中心正位于八個小立方體角點位置；而根據(jù)電勢疊加原理，其電勢即為八個小立方體角點位置的電勢之和，即u1=8u2 ；立方體角點的電勢與什么有關(guān)呢?電荷密度；二立方體的邊長a；三立方體的形狀；根據(jù)點電荷的電勢公式u=及量綱知識，可猜想邊長為a的立方體角點電勢為u=cka2  ；其中c為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點）有關(guān)，q是總電量，是電荷密度；其中q=a3 大立方體的角點電勢：u0= cka2 

2、；小立方體的角點電勢：u2= ck（）2=   大立方體的中心點電勢：u1=8u2=2 cka2 ；即u0=u1【小結(jié)】我們發(fā)現(xiàn)，對于一個物理問題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關(guān)聯(lián)，或者用數(shù)學(xué)語言來說，所求的物理量就是其他物理量（或者說是變量）的函數(shù)。如果我們能夠把這個函數(shù)關(guān)系寫出來，或者將其函數(shù)圖像畫出來，那么定量或定性地理解物理量的變化情況，幫助我們解決物理問題。二：導(dǎo)數(shù)tv 物理量的變化率我們經(jīng)常對物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如v-t圖像，求其斜率可以得出加速度a，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過v-t圖像中某個點作出切線

3、，其斜率即a=.下面我們從代數(shù)上考察物理量的變化率：【例】若某質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的函數(shù)關(guān)系為上s=3t+2t2,試求其t時刻的速度的表達(dá)式。（所有物理量都用國際制單位，以下同）分析：我們知道，公式v=一般是求t時間內(nèi)的平均速度，當(dāng)t取很小很小，才可近似處理成瞬時速度。s(t)=3t+2t2 s(t+t)=3(t+t)+2(t+t) 2s=s(t+t)-s(t)=3(t+t)+2(t+t) 2-3t-2t2=3t+4tt+2t2v=3+4t+2t當(dāng)t取很小，小到跟3+4t相比忽略不計時，v=3+4t即為t時刻的瞬時速度?！揪殹考僭O(shè)一個閉合線圈匝數(shù)為100匝，其磁通量為=3t+4t3,求

4、感應(yīng)電動勢隨時間t的函數(shù)關(guān)系?！拘〗Y(jié)】回顧我們求物理量y=f(t)的變化率瞬時值z的步驟：寫出t時刻y0=f(t)的函數(shù)表達(dá)式；寫出t+t時刻y1=f(t+t)的函數(shù)表達(dá)式；求出y=y1- y0=f(t+t)- f(t)；求出z=；注意t取很小，小到與有限值相比可以忽略不計。 無窮小當(dāng)t取很小時，可以用v=求瞬時速度，也可用i=求瞬時電流,用=求瞬時感應(yīng)電動勢。下面，我們來理解t：t是很小的不為零的正數(shù)，它小到什么程度呢？可以說，對于我們?nèi)我饨o定一個不為零的正數(shù)，都比t大，即：>t ?；蛘邚膭討B(tài)的角度來看，給定一段時間t，我們進行如下操作：第一次，我們把時間段平均分為2段，每段時間t=；

5、第二次，我們把時間段平均分為3段，每段時間t=；第三次，我們把時間段平均分為4段，每段時間t=；第n次，我們把時間段平均分為n+1段，每段時間t=；一直這樣進行下去，我們知道，t越來越小，雖然它不為零，但永遠(yuǎn)逼近零，我們稱它為無窮小，記為t0。或者，用數(shù)學(xué)形式表示為 t=0。其中“”表示極限，意思是t的極限值為0。常規(guī)計算：（t+c）=c c·t=0 f(t)=f(0) f(t+t)=f(t) = 1附錄常用等價無窮小關(guān)系（） ； ； ； ； 導(dǎo)數(shù)前面我們用了極限“”的表示方法，那么物理量y的變化率的瞬時值z可以寫成:z=,并簡記為z=,稱為物理量y函數(shù)對時間變量t的導(dǎo)數(shù)。物理上經(jīng)常

6、用某物理量的變化率來定義或求解另一物理量，如v=、a=、i=、=n等，甚至不限于對時間求導(dǎo)，如f=、ex=、=等。這個dt（也可以是dx、dv、dm等）其實相當(dāng)于微元法中的時間微元t，當(dāng)然每次這樣用來求物理量變化率的瞬時值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時期的微積分。如果能把常見導(dǎo)數(shù)計算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡單快速地求解物理量變化率的瞬時值（導(dǎo)數(shù)）了。同學(xué)們可以課后推導(dǎo)以下公式： 導(dǎo)數(shù)的四則運算 =± = =·v + u· 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=0(c為常數(shù))； =-sint；=ntn-1 (n為實數(shù))； =et；=cost； 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 在數(shù)學(xué)上，把u=u(v

7、(t)稱為復(fù)合函數(shù)，即以函數(shù)v(t)為u(x)的自變量。=·復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)稱為鏈?zhǔn)椒▌t。【練】1、某彈簧振子在x軸上做直線運動，其位移x與時間t的關(guān)系為x=asint，即，質(zhì)點在坐標(biāo)原點附近往復(fù)運動，最大位移為a（a稱為振幅），周期為（稱為角頻率），物理上把這種運動叫簡諧運動。請完成以下幾問： 求出t時刻的速度v寫出合力f與位移x的關(guān)系驗證簡諧運動中質(zhì)點的機械能守恒。pq【練】2、某矩形線框面積為s，匝數(shù)為n，處于磁感應(yīng)強度為b的勻強磁場中，如圖所示，線框繞pq軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，從水平位置開始計時，在t時刻：寫出磁通

8、量的表達(dá)式求出線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢(計算完后自行與陽光課堂p40【點撥】部分對照)三：微分和積分 簡單問題q0q1q【例】電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的情況。某電容為c的電容器，其已充電的電量為q0，若讓該電容與另一個阻值為r的的電阻串聯(lián)起來，該電容器將會放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）。試討論，放電時流過電阻r的電流隨時間t 的變化關(guān)系如何？分析：根據(jù)電荷守恒定律，當(dāng)通過電阻r的電量為q時，電容器的電量從q0變成q1，滿足q0=q1+q ，即q=q0-q1 ；流過電阻r的電流i與通過電阻r的電量q 滿足關(guān)系式：i=根據(jù)電容電量公式

9、q=cu,有q1=cu=cri ，那么q= q0- cri ；聯(lián)立上式，有i= - cr進行公式變形，令x= - ,則有i= - cr= 同學(xué)們思考一下，i應(yīng)該是什么函數(shù)，才能滿足i= ？，或者說什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身？我們觀察到，只有y=cex形式的函數(shù)才滿足i= 關(guān)系，c為待定常數(shù)。故可以知道，i = cex = ce-t/cr當(dāng)t=0 時，u0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = ce-t/cr=c；故c=所以，流過電阻r的電流隨時間t 的變化關(guān)系為：i = e-t/cr【練】對于上例電容器放電問題，試討論，放電時電容器的電量q隨時間t 的變化關(guān)系如何？微分1、從上面式子

10、可以看出，理論上雖然我們說是要經(jīng)過無窮長的時間電容才放完電，電流為零，但實際上只需要電流減少足夠小時，電流計就檢測不到有電流了。2、對于i= - cr或i= ，我們稱之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函數(shù)滿足該微分方程的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然，我們要注意比如上題中的t=0 之類的初始條件。3、一般來說，微積分可以幫助同學(xué)們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學(xué)們更細(xì)致地明了物理過程。下面我們用微元法的方式來處理這個問題。在t的時間內(nèi)，通過電阻r的電量為q。雖然電流隨時間發(fā)生變化，但在很短的時間t內(nèi)，可以認(rèn)為電流幾乎不變，當(dāng)成恒定電流處理，故有q= it 。對電容有q=cu=cir，q=i

11、；由電量守恒，q= q ，故iti，然后把“”形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有idtdi （dt和di稱之為微分）,數(shù)學(xué)變形為i= - cr，即以上解法中的微分方程。微分與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？對某自變量為時間t的函數(shù)f(t)，它的極其微小的變化，我們記它為微分df，它與時間微分dt滿足關(guān)系式：df=dt，其中為f對t的導(dǎo)數(shù)。下面是常見的微分公式與微分運算法則： 積分在上例問題中，在t的時間內(nèi)，通過電阻r的電量為q= it，q稱為電量微元。如果我們把0到t時間內(nèi)的q加起來，用求和符號“”表示，則有：q=it。由于t=nt,當(dāng)t取無窮小時，那么it就有n個，也就是，我們要把無窮個it進行相加操

12、作，為了方便，我們用微積分符號表示q=it=，稱為對i在時間上求積分。我們來看一下這么做有什么意義：從幾何上看，對于i-t 圖像，q=it=就是圖像中的面積。對于恒定電流，很簡單，q= it，即小塊矩形面積；對于變化的電流，用q= it來計算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，不過當(dāng)我們?nèi)‘?dāng)t取無窮小時，用極限處理后，該誤差會無窮逼近零，可以忽略不計，那么計算的面積就無限精確接近實際面積了。前面我們求導(dǎo)用了i=，積分用了q=?？梢钥闯?，從某種程度上說，積分實際是求導(dǎo)的逆運算，比如：q=q0-q=q0(1-e-t/cr), i = e-t/cr滿足求導(dǎo)和積分的運算關(guān)系i=、q=。對于一般函數(shù)f，

13、如果有f= ，那么就有=f+c。請思考，為什么積分中會出現(xiàn)常數(shù)c？下面是常見的積分公式，請同學(xué)們對照求導(dǎo)公式理解： f 現(xiàn)在我們用微積分書寫方式來來解答上題。怎么來求呢？我們知道=et，令f(t)= et，有t=lnf；則有=f，即=dt=d(lnf) ；那么= = lnq+c。=？請同學(xué)們自己推導(dǎo)。由q0=q+q ；q=q0-q ；則dq= - dq = - idt= - dt= - dt ；即 = - dt ；對等號兩邊積分： = ；有l(wèi)nq = - c，或者q=ce-t/cr ； 當(dāng)t=0時，q(0)=c=q0 ； 所以電容器電量為q= q0e-t/cr 。 定積分【例】某質(zhì)點在x軸上做

14、直線運動，其速度v滿足函數(shù)關(guān)系v=3t2,求從t=1s到t=3s時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移。分析：在dt時間內(nèi)，質(zhì)點可以認(rèn)為做勻速直線運動，即ds=vdt,那么對等號兩邊積分，有，則有：s= t3 +c ；現(xiàn)在有問題了：當(dāng)t=0時，s(0)等于多少我們不知道！而且已知條件中的時間“從t=1s到t=3s”也沒有用上！下面我們從物理上考察c這個常數(shù)的意義。t=0時，s(0)=c。當(dāng)我們令c=0時，相當(dāng)于質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)原點開始運動；當(dāng)我們令c=1時，相當(dāng)于質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)位置x=1m處開始運動；。tv我們發(fā)現(xiàn)，c這常數(shù)的取值相當(dāng)于選取觀察質(zhì)點運動的靜止參考系位置，然而所求的從t=1s到t=3s時間內(nèi)

15、質(zhì)點發(fā)生的位移應(yīng)該與所選取的靜止參考系無關(guān)，也就是對任意靜止參考系，質(zhì)點發(fā)生的位移應(yīng)該是一致的，如圖所示。那么我們就隨便選取某一參考系，使質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)位置x=cm處開始運動，則位移與時間的函數(shù)關(guān)系式為：s(t)= t3 +c。題目中所求的1到3秒的位移為：s1=s(3)-s(1)=（33+c）-（13+c）=8m 。 題目中所要求的位移（速度積分）與積分式=f+c中的c無關(guān)，當(dāng)要求t=t1到t=t2時間內(nèi)位移時，s(t1t2)=s(t2) - s(t2)。這個相當(dāng)于我們用s=vt來求v-t圖像中的從t=t1到t=t2范圍內(nèi)的面積。我們用一種簡單符號表示這種關(guān)系：=f(b) f(a)。這種

16、積分叫定積分?！揪殹?、已知導(dǎo)線中的電流按i = t3-0.5t+6的規(guī)律隨時間 t 變化，式中電流和時間的單位分別為a和s。計算在t =1s到t =3s的時間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量?！揪殹?、某質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，長為l，繞其一端點做角速度為的勻速轉(zhuǎn)動，試求其動能?！揪殹?、某彈簧勁度系數(shù)為k，原長為l，若將彈簧從2l長拉伸至3l長處，問應(yīng)克服彈簧彈力做多少功？【練】4、對于某電路，通過電阻r=2的電流i=2t+1(a)，問從t=0時刻開始經(jīng)過4s后，電阻產(chǎn)生的焦耳熱是多少？四：課后習(xí)題1、質(zhì)量為2kg的某物體在平面直角坐標(biāo)系中運動，已知其x軸上的坐標(biāo)為x=3+5cos2t，y軸上的坐標(biāo)為y

17、=-4+5sin2t，t為時間物理量，問：物體的速度是多少？物體所受的合外力是多少?該物體做什么樣的運動？ 能否找出該物體運動的特征物理量嗎？2、一質(zhì)點在某水平力f的作用下做直線運動，該力做功w與位移x的關(guān)系為w=3x-2x2,試問當(dāng)位移x為多少時f變?yōu)榱恪?、已知在距離點電荷q為r處點的場強大小為e=,請驗證點處的電勢公式為：u = 。4、某復(fù)合材料制成的一細(xì)桿op長為l，其質(zhì)量分布不均勻。在桿上距離o端點為x處取點a，令m為細(xì)桿上oa段的質(zhì)量。已知m為x的函數(shù)，函數(shù)關(guān)系為m=kx2，現(xiàn)定義線密度=,問當(dāng)x=處b點的線密度為何？5、某彈簧振子的總能量為2×10-5j，當(dāng)振動物體離開平衡位置振幅處，其勢能ep= ，動能ek= 。6、取無窮遠(yuǎn)處電勢為零。若將對電容器充電等效成把電荷從無窮遠(yuǎn)