ch函數(shù)的單調(diào)性和極值最值PPT學習教案

1、會計學1ch函數(shù)的單調(diào)性和極值最值函數(shù)的單調(diào)性和極值最值xyo)(xfy xyo)(xfy abAB( )0fx( )0fx定理1.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在那末函數(shù)那末函數(shù)，內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（導導內(nèi)可內(nèi)可上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA第1頁/共45頁證),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理,得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若

2、在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在baxfy 第2頁/共45頁說明：（1）對無窮區(qū)間定理也成立. , 0 xf且等號在有限點處成立，則結(jié)論也成立，如;3xy （2）若定理設(shè)函數(shù) f (x) 在 a , b上連續(xù) , (a , b)上可導 ,且 , x(a , b) , 則 0 )( xfcxf )(, xa , b第3頁/共45頁例1解.1的單調(diào)性的單調(diào)性討論函數(shù)討論函數(shù) xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y

3、函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性).,(:D又又第4頁/共45頁問題:如上例1，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點方法:.,)()(0)(數(shù)的符號數(shù)的符號然后判斷區(qū)間內(nèi)導然后判斷區(qū)間內(nèi)導的定義區(qū)間的定義區(qū)間來劃分函數(shù)來劃分函數(shù)不存在的點不存在的點的根及的根及用方程用方程xfxfxf 第5頁/

4、共45頁例2解.31292)(23的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù) xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx時，時，當當1 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(時，時，當當21 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時，時，當當 x2, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 2單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2第6頁/共45頁例3解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導數(shù)不存在導數(shù)不存在時時當

5、當 x時，時，當當0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時，時，當當 x0, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為，0 ,()., 0 32xy 第7頁/共45頁例5 證明：當1 x時，xx132 證明：設(shè) xxxf132 211xxxf 所以當1 x時， xf單調(diào)遞增，又 01 f所以當1 x時， 01 fxf即xx132 xxxx22 0 可以利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式第8頁/共45頁oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x第9頁/共45頁.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(00000000

6、0的的一一個個極極小小值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱均均成成立立外外除除了了點點任任何何點點對對于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的一一個個鄰鄰域域如如果果存存在在著著點點的的一一個個極極大大值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱均均成成立立外外除除了了點點任任何何點點對對于于這這鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的的的一一個個鄰鄰域域如如果果存存在在著著點點內(nèi)內(nèi)的的一一個個點點是是內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第10頁/共45頁(1) 極值是局部概念，最值是整體概念；極值是局部概念，最值是整體概念；(2)

7、 極值點肯定不會是端點；極值點肯定不會是端點；(3) 極小值可能會大于極大值；極小值可能會大于極大值；(4) 區(qū)間內(nèi)的最值點必為極值點。區(qū)間內(nèi)的最值點必為極值點。xy4xab極大點極大點1x3x極小點極小點2x4x3x1x2x第11頁/共45頁 設(shè)設(shè))(xf在在點點 0 x處處具具有有導導數(shù)數(shù), ,且且在在0 x處處取取得得極極值值, ,那那末末必必定定0)(0 xf. . 定理2(必要條件)定義.)()0)(的駐點的駐點做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實根的實根即方程即方程使導數(shù)為零的點使導數(shù)為零的點xfxf 注意:.,)(是極值點是極值點但函數(shù)的駐點卻不一定但函數(shù)的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的

8、極值點必定是它的駐可導函數(shù)可導函數(shù)xf例如,3xy , 00 xy.0不是極值點不是極值點但但 x第12頁/共45頁 函數(shù)的駐點和導數(shù)不存在的點通稱為函數(shù)的臨界點. 上面的定理也可以敘述為：函數(shù)的極值點必為臨界點.定理2 (必要條件)第13頁/共45頁( (1 1) ) 如如 果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則則)(xf在在 0 x處處取取得得極極大大值值. . ( (2 2) ) 如如 果果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則則)(xf在在 0 x處處取取得得極極小小值值. . ( (

9、3 3) )如如果果當當),(00 xxx 及及),(00 xxx時時, , )(xf 符符號號相相同同, ,則則)(xf在在 0 x處處無無極極值值. . 定理3(一階充分條件)xyo0 x xyo0 x 第14頁/共45頁xyoxyo0 x0 x (不是極值點情形)第15頁/共45頁求極值的步驟:);()1(xf 求導數(shù)求導數(shù); )()()2(的點的點不存在不存在為零的點和為零的點和求臨界點，即求臨界點，即xfxf ;,)()3(判判斷斷極極值值點點在在臨臨界界點點左左右右的的正正負負號號檢檢查查xf .)4(求極值求極值第16頁/共45頁例6解.593)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù)

10、 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx第17頁/共45頁593)(23 xxxxfMm圖形如下第18頁/共45頁例7解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函

11、數(shù)但函數(shù)xfM第19頁/共45頁 設(shè)設(shè))(xf在在 0 x 處處具具有有二二階階導導數(shù)數(shù), ,且且0()0fx , , 0()0fx , , 那那末末 ( (1 1) )當當0()0fx 時時, , 函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x 處處取取得得極極大大值值; ; ( (2 2) )當當0()0fx 時時, , 函函數(shù)數(shù))(xf在在 0 x 處處取取得得極極小小值值. . 定理4(二階充分條件)證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異異號號，與與故故xxfxxf )()(00時，時，當當0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時，時，當當0 x)()(00 xfxxf

12、有有, 0 所以所以，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值 同理可證(2).第20頁/共45頁例8解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下第21頁/共45頁Mm注意:. 2,)(,0)(00仍用定理仍用定理處不一定取極值處不一定取極值在點在點時時xxfxf 第22頁/共45頁 f03 )( 即 是 f

13、 (x)的極大值點3 x處取得極值, 是極大值還是極小值 ? 并求出其極值例 試問a為何值時, 在xxaxf331sinsin)( 3x 3x 因為 f (x)是可微函數(shù), 故 是 f (x)的駐點 ,xxxf32coscos)( 當 a = 2 時, coscos)( 33af, a012 xxxf332sinsin)( 033 )( f極大值: 3323 sin)(f解2 a即第23頁/共45頁極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.函數(shù)的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)第24頁/共45頁oxyoxybaoxyabab.,)

14、(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在若函數(shù)若函數(shù)baxfbaxf第25頁/共45頁步驟:1.求駐點和不可導點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,比較大小,哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)第26頁/共45頁例9解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f第27頁/共45頁，最大值最大值142)4( f比較得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy第28頁/共45頁 x =1是 f (x)在(0 , 2) 中的唯一極值點且為極小值點原不等式03242 xxxx ln令 , 則由3242 xxxxxfln)(0224 xxxfln)( 又 02124 )( ,)( f xxf x = 1是 最小值點 f (x) f (1) = 0 , x ( 0 , 2 )求 0 x 0 時，設(shè) , 考慮 f (x)