動能定理的應(yīng)用知識梳理

1、動能定理的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1進(jìn)一步深化對動能定理的理解。2會用動能定理求解變力做功問題。3 會用動能定理求解單物體或多物體單過程問題以及與其他運(yùn)動形式的結(jié)合問題。4知道用動能定理解題的一般步驟?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、動能定理的推導(dǎo)要點(diǎn)詮釋：1推導(dǎo)過程：一個運(yùn)動物體，在有外力對它做功時，動能會發(fā)生變化。1 2設(shè)一個質(zhì)量為 m的物體，原來的速度是 w，動能是Ek1mv1，在與運(yùn)動方向相同的恒定外力F的21 2 作用下，發(fā)生一段位移I，速度增加到v2，動能增加到Ek2mv2。2在這一過程中外力 F對物體所做的功 W = FI。2 2根據(jù)牛頓第二定律 F二ma和運(yùn)動學(xué)公式v2 -v2 =2al得到I二上

2、 比2a所以W1 2 1 2 mv2mv12 2或 W 二 Ek2 -Ek12 關(guān)于公式的幾點(diǎn)說明(1) 上面我們設(shè)外力方向與運(yùn)動方向相同，導(dǎo)出了關(guān)系式W = Ek2 - Ek1，這時外力做正功，動能增加。外力方向與運(yùn)動方向相反時，上式同樣適用，這時外力所做的功是負(fù)值，動能的變化也是負(fù)值；(2) 外力對物體做負(fù)功，往往說成物體克服這個力做了功。因此，對這種情形，也可以說物體克服阻力 所做的功等于動能的減少；(3) 如果物體不只受到一個力，而是受到幾個力，上述結(jié)論仍舊正確。只是外力所做的功是指各個力所 做的功的代數(shù)和，即外力所做的總功。3.動能定理的實(shí)質(zhì)動能定理揭示了外力對物體所做的總功與物體動

3、能變化之間的關(guān)系，即外力對物體做的總功，對應(yīng)著 物體動能的變化，變化的大小由做功的多少來量度。動能定理的實(shí)質(zhì)是反映其它形式的能通過做功而和動能轉(zhuǎn)化之間的關(guān)系，只不過在這里其它形式的能 并不一定出現(xiàn)，而是以各種性質(zhì)的力所做的機(jī)械功(等式左邊)的形式表現(xiàn)出來而已。要點(diǎn)二、對動能定理的進(jìn)一步理解要點(diǎn)詮釋：1 動能定理的計算式為標(biāo)量式，計算外力對物體做的總功時，應(yīng)明確各個力所做功的正負(fù)，然后求其所 有外力做功的代數(shù)和；求動能變化時，應(yīng)明確動能沒有負(fù)值，動能的變化為末動能減去初動能。2位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面為參考系。3.動能定理公式中等號的意義等號表明合力做的功與物體動能的變化

4、間的三個關(guān)系：(1) 數(shù)量相等：即通過計算物體動能的變化來求合力的功，進(jìn)而求得某一力的功。(2) 單位相同：都是焦耳。第1頁(3) 因果關(guān)系：合外力的功是物體動能變化的原因。4動能定理既適用于一個持續(xù)的過程，也適用于分段過程的全過程。5 動能定理應(yīng)用廣泛，直線運(yùn)動、曲線運(yùn)動、恒力做功、變力做功、同時做功、分段做功各種情況均適 用。要點(diǎn)三、應(yīng)用動能定理的基本步驟 要點(diǎn)詮釋：1選取研究對象，明確它的運(yùn)動過程；2 分析研究對象的受力情況和各力的做功情況；受哪些力 各力是否做功做正功還是負(fù)功做多少功然后求解各個外力做功的代數(shù)和3明確物體在過程的始末狀態(tài)的動能Eki和Ek2；4列出動能定理的方程 W二E

5、k2 - Eki及其他必要的解題方程，進(jìn)行求解。要點(diǎn)四、應(yīng)用動能定理時應(yīng)注意的問題 要點(diǎn)詮釋：1.有些力在物體運(yùn)動的全過程中不是始終存在的，因此在求解物體運(yùn)動過程中外力的總功時，要注意把 物體的受力與運(yùn)動結(jié)合分析。2動能定理是計算物體位移和速率的簡潔公式，當(dāng)題目中涉及到位移時可優(yōu)先考慮動能定理。3 若物體運(yùn)動過程中包含幾個不同的物理過程，用動能定理解題時可以分段處理，也可取全過程直接列 式。【典型例題】類型一、用動能定理求變力做功例1、如圖所示，質(zhì)量為 m =2kg的小球，從半徑 R二0.5m的半圓形軌道上的 A點(diǎn)開始下滑，A點(diǎn)與圓心0點(diǎn)在同一水平面上， 到達(dá)最低點(diǎn)B的速度V =2m/s。求在

6、弧AB段阻力對物體所做的功 Wf。(取2g =10m/s )【思路點(diǎn)撥】物體在弧 AB段運(yùn)動過程中受重力、彈力和阻力作用，其中彈力和阻力是變力，但在此 過程中彈力對小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做負(fù)功。在這一過程中，可用動能定理?！窘馕觥恐亓Φ墓?。由動能定理有：所以【總結(jié)升華】動能定理既適用于直線運(yùn)動，也適用于曲線運(yùn)動，既適用于恒力做功，也適用于變力做 功。力做功時可以是連續(xù)的，也可以是不連續(xù)的，可以是在一條直線上的，也可以是不在一條直線上的。 舉一反三【變式1】在距地面10m高處，一人以10m/s的速度水平拋出一個質(zhì)量為 4kg的物體，物體落地時速度大小為16m/s，試求：(g =10

7、m/s2)(1) 人拋出物體的過程中對物體所做的功為多少？(2) 飛行過程中物體克服空氣阻力所做的功為多少？【答案】(1)200J(2)88J【解析】(1)拋出物體的過程中，只有人做功，這個過程很短暫，人施加的力可以說是一個瞬間的力，第2頁該過程人的功無法用做功公式求解。所以只能用動能定理求解。由動能定理得：(2 )飛行過程，物體除受重力作用外，還有空氣阻力做功，由動能定理得：1 2 1 2即卩：mgh-w阻二一mvmv2 21 2 1 2解得：w阻二mgh 一(一mv*2 一一mv2) =88J2 2【變式2】如圖所示，質(zhì)量為 m的物體用細(xì)繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動，拉力

8、為某個值F時，轉(zhuǎn)動半徑為R,當(dāng)拉力為 一時，物體仍做勻速圓周運(yùn)動，半徑為A2R,則外力對物體做功的大小是()FR3FR5FRA .B.C.-D.零442【答案】A【解析】設(shè)當(dāng)繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運(yùn)動的線速度為v1，則有當(dāng)繩的拉力為 F時，小球做勻速圓周運(yùn)動的線速度為v2，則有4由動能定理：故答案為A。類型二、動能定理解單體多過程問題例2、如圖所示，物體從高為 h的光滑斜面頂端由靜止開始沿斜面下滑，最后停在水平面上與斜面頂 端水平距離為S的地方，物體與斜面和水平面間的動摩擦因數(shù)均為，試證明：二衛(wèi).S【解析】設(shè)斜面長為 h，物體在水平面上滑行的位移大小為12，下面傾角為二。兩個物體的受力

9、圖如下，在斜面上有：在水平面上： N2二mg對整個過程根據(jù)動能定理列方程則：展開得：因?yàn)椋?1 COST 丨2 = S所以： mgh 二 Jmgs【總結(jié)升華】對這種多過程問題，既可以分段利用動能定理列方程求解，也可以對全過程利用動能定 理列方程求解，解題時可根據(jù)具體情況選擇使用.舉一反三【變式1】如圖所示，光滑1/4圓弧的半徑為0.8m，有一質(zhì)量為1.0kg的物體自A點(diǎn)從靜止開始下滑 到B點(diǎn)，然后沿水平面前進(jìn) 4.0m，到達(dá)C點(diǎn)停止。g取10m/s2，求：(1 )物體到達(dá)B點(diǎn)時的速率。(2)在物體沿水平面運(yùn)動的過程中摩擦力做的功。(3 )物體與水平面間的動摩擦因數(shù).【答案】（1） Vb =4m

10、/s （ 2） Wf = _8J （ 3）=0.4【解析】（1）物體在ab過程中，只有重力做功，由動能定理：解得：vb = 2gR =4m/s（2）在水平面上，只有摩擦力做功，由動能定理：解得：Wf 二-8J（3） 由做功公式：wf = -mgs【變式2】如圖所示，一質(zhì)量為 2 kg的鉛球從離地面2 m高處自由下落，陷入沙坑 2 cm深處，求沙 子對鉛球的平均阻力.【思路點(diǎn)撥】多過程問題要注意各個過程中的受力情況的變化?！窘馕觥拷夥ㄒ唬恒U球的運(yùn)動分為自由下落和陷入沙坑減速運(yùn)動兩個過程，根據(jù)動能定理，分段列式.設(shè)鉛球自由下落到沙面時的速度為v,則設(shè)鉛球在沙中受到的平均阻力為F,則代入數(shù)據(jù)解得F=

11、 2020 N .解法二：全程列式：全過程中重力做功mg（H+h），進(jìn)入沙中阻力做功-Fh,全程來看動能變化為零，則由得 mgH h- F h0解得【變式3】質(zhì)量為m=1.5kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在水平恒力 F作用下，從水平面上 A點(diǎn)由靜止開始 運(yùn)動，運(yùn)動一段距離后撤去該力，物塊繼續(xù)滑行t=2.0s停止在B點(diǎn)。已知A、B兩點(diǎn)間的距離為S=5.0m ,物塊與水平面間的摩擦因數(shù)尸0.2，求恒力Fo （ g =062 ）【思路點(diǎn)撥】本題用運(yùn)動學(xué)和動能定理求解?！敬鸢浮縁 =15N【解析】設(shè)撤去力F前物塊位移為，撤去F時物塊的速度為v。物塊所受的摩擦力 f = Jmg ,由運(yùn)動學(xué)公式可得：即 Si=

12、im對整個過程用動能定理：【總結(jié)升華】本題可以有多種解法，運(yùn)用動能定理較為簡單。例3、如圖所示，斜面傾角為 二，滑塊質(zhì)量為m，滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)J，從距擋板為s0的位置以V0的速度沿斜面向上滑行。設(shè)重力沿斜面的分力大于滑動摩擦力，且每次與擋板碰撞前后的速度大小保持不變，斜面足夠長。求滑塊從開始運(yùn)動到最后停止滑行的總路程so【思路點(diǎn)撥】由于重力沿斜面的分力大于滑動摩擦力，物體雖經(jīng)多次往復(fù)運(yùn)動，最終將停止在擋板處。整 個過程中只有重力與摩擦力對物體做功?！窘馕觥磕Σ亮σ恢弊鲐?fù)功，其絕對值等于摩擦力與路程的乘積，1由動能定理得 mgs（）sin v -mgcosr s = 0mv0222解得s

13、=v°24g cos 9【總結(jié)升華】動能定理只涉及初、末狀態(tài)而不涉及過程中的每一個細(xì)節(jié)，因此對于做往復(fù)運(yùn)動的物體運(yùn)用 動能定理解題往往比較簡便，本題也可用牛頓運(yùn)動定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式一步步求解，但十分繁瑣。舉一反三【變式1】如圖所示質(zhì)量為 m的物體置于光滑水平面，一根繩子跨過定滑輪一端固定在物體上，另端在力F作用下，以恒定速率 Vo豎直向下運(yùn)動，物體由靜止開始運(yùn)動到繩與水平方向夾角:-=45°的過程中，繩中張力對物體做的功為【解析】當(dāng)繩與水平方向夾角:-=45°時，物體的速度為v° = . 2v°cos 口選物體為研究對象，研究物體由靜止開始到繩

14、與水平方向夾角為:的過程，根據(jù)動能定理可知，繩中張力對物體做的功等于物體動能的增加。即 W = Imv2 = mv；2【變式2】在水平恒力F作用下，物體沿光滑曲面從高為hi的A處運(yùn)動到高為h2的B處，若在A處的速度為VA，B處速度為VB，則AB的水平距離為多大？【思路點(diǎn)撥】用牛頓定律遇到困難，使用動能定理。【解析】A到B過程中，物體受水平恒力 F,支持力N和重力mg的作用。三個力做功分別為 Fs、°和-mg(h2 -hj，所以動能定理寫為：解得：s = m .|g(h2 -h)E(vB -vA) 1【總結(jié)升華】從此例可以看出，以我們現(xiàn)在的知識水平，牛頓定律無能為力的問題，動能定理可以

15、很方便 地解決，其關(guān)鍵就在于動能定理不計運(yùn)動過程中瞬時細(xì)節(jié)。類型三、動能定理解多體問題例4、如圖所示，用細(xì)繩連接的 A、B兩物體質(zhì)量相等， A位于傾角為30°的斜面上，細(xì)繩跨過定滑 輪后使A、B均保持靜止，然后釋放，設(shè) A與斜面間的滑動摩擦力為 A受重力的0.3倍，不計滑輪質(zhì)量和 摩擦，求B下降1m時的速度多大?！窘馕觥拷夥ㄒ唬簩使用動能定理：對B使用動能定理：得：v = 1.4m/s解法二：將A、B看成一整體。（因二者速度、加速度大小均一樣），此時拉力T為內(nèi)力，求外力1做功時不計，則動能定理寫為：mgs-mgssin 30° - fs（2m）v22二式聯(lián)立解得：v =

16、1.4m/s【總結(jié)升華】上述兩種解法結(jié)論是一致的，而方法二中研究對象的選擇使解題過程簡化，因而在 使用動能定理時要適當(dāng)選取研究對象。舉一反三【變式】一輛汽車通過圖中的細(xì)繩提起井中質(zhì)量為m的物體。開始時，車在 A點(diǎn)，繩子已經(jīng)拉緊且是豎直的，左側(cè)繩長為 H。提升時，車加速向左運(yùn)動，沿水平方向從 A經(jīng)過B駛向C。設(shè)A到B的距離 也為H，車過B點(diǎn)時的速度為v。求在車由A移到B的過程中，繩 Q端的拉力對物體做的功。（設(shè)繩和滑 輪的質(zhì)量及摩擦不計，滑輪尺寸不計）【解析】本題中汽車和重物構(gòu)成連接體，但解題通常取重物為研究對象，根據(jù)動能定理列方程:1 2W -mghmv" -0(1)第13頁h =(

17、 .2 -1)H（2）由于左邊繩端和車有相同的水平速度v, v可分解成沿繩子方向的兩個分速度,社HvC B hVx=v=v(3)2將（3）式和（2）式代入（1）式可得：例5、總質(zhì)量為M的列車，沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m，中途脫節(jié)，司機(jī)發(fā)覺時，機(jī)車已行駛 L的距離，于是立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)除去牽引力，設(shè)運(yùn)動的阻力與質(zhì)量成正比，機(jī)車的牽引 力是恒定的，當(dāng)列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少？【思路點(diǎn)撥】車頭和脫節(jié)的車廂運(yùn)動情景不同，應(yīng)畫好運(yùn)動示意圖。 【解析】解法一：先畫出草圖如圖所示，在圖中標(biāo)明各部分的位移.對車頭，在脫節(jié)前后的整個過程中運(yùn)用動能定理有：對末節(jié)車廂，應(yīng)用動能定理有由位

18、移關(guān)系知： I 一|2由于列車脫節(jié)前做勻速運(yùn)動.故 F二kM g 由聯(lián)立得： IM m解法二：設(shè)列車勻速行駛時速度為 V。，則脫節(jié)后，尾部車廂做勻減速運(yùn)動至停止，運(yùn)動過程中初速度為 V。，末速度為零，設(shè)加速度大小為 a，運(yùn)動位移為li對車頭部分(M -m)的運(yùn)動，作如圖所示分析圖設(shè)在A處脫節(jié)，運(yùn)動L至B點(diǎn)時才發(fā)覺，后立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)，則AB段上為勻加速運(yùn)動，達(dá) B點(diǎn)時速度有最大值Vm，從B點(diǎn)開始，頭部車廂做勻減速運(yùn)動至D點(diǎn)剛好停止.考查 BD過程，其中必有一點(diǎn)車速為 V。，設(shè)為C點(diǎn)，則CD過程做初速度為V。、加速度大小為a、末速度為零的運(yùn)動，此段位移與尾部車廂的位移l1相同由此可知，當(dāng)兩部分都停

19、止運(yùn)動后，兩車的間距大小等于AC的大小.根據(jù)以上分析，取車頭部分為研究對象，取AC過程來分析，依動能定理有：聯(lián)立解得s m L,(M -m)故兩車都停止后相隔的間距為：解法三：補(bǔ)償法若脫節(jié)后立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)，則車頭、車尾車廂應(yīng)前進(jìn)相同的距離而停在一起現(xiàn)在之所以停下后拉開一段距離，是因?yàn)闋恳在L的距離上多做了功，因而車頭車廂動能多了一些，使其克服阻力多走一段距離I 可見，F(xiàn)在L距離上做的功應(yīng)等于阻力在I距離上做的功，即FL =k(M -m)g I，又 F =kMg ,k(M -m)g k(M -m)【總結(jié)升華】用牛頓第二定律解此題后再與應(yīng)用動能定理的解法相比較，動能定理解法的簡便之處是顯而 易

20、見的動能定理不需要涉及列車脫節(jié)前后運(yùn)動情況的細(xì)節(jié)，只要根據(jù)始末兩個狀態(tài)給出方程即可從該 題還可以看出，動能定理不僅適用于運(yùn)動狀態(tài)不變的過程，也適用于其中包含幾個不同的運(yùn)動狀態(tài)的全過 程，不過應(yīng)當(dāng)注意分析各個不同過程的受力情況和做功情況，將全過程所有力做的功的代數(shù)和代入方程. 可見，運(yùn)用動能定理時要靈活選取過程，過程的選取對解題難易程度有很大影響.類型四、動能定理與圓周、平拋運(yùn)動的結(jié)合1例6、質(zhì)量為m的物體由丄圓弧軌道頂端從靜止開始釋放，如圖所示，A為軌道最低點(diǎn)，A與圓心4O在同一豎直線上，已知圓弧軌道半徑為R,運(yùn)動到A點(diǎn)時，物體對軌道的壓力大小為 2.5mg，求此過程中物體克服摩擦力做的功。【

21、答案】-mgR4【解析】A點(diǎn)是圓周的最低點(diǎn)，仍然在圓周上，需要向心力，所以小球在A點(diǎn)的合力提供向心加速 度，由牛頓第二定律:解得：vA = 3gR在圓弧軌道下滑過程中，由動能定理得:所以:Wf= mgR-1mvl舉一反三【變式1】如圖，一半徑為 R的半圓形軌道豎直固定放置，軌道兩端等高；質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自軌道端點(diǎn) P靜止開始滑下，滑到最低點(diǎn) Q時，對軌道的正壓力為 2mg，重力加速度大小為 g。質(zhì)點(diǎn)自P滑到Q的過程 中，克服摩擦力所做的功為()A. 1mgR【答案】CB. 1mgR【解析】當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由P點(diǎn)滑到Q點(diǎn)時，對軌道的正壓力為FN=2mg ,由牛頓第二定律得Fn - mg = m 亠,vQ二g

22、R。對質(zhì)點(diǎn)自RP滑到Q點(diǎn)應(yīng)用動能定理得:mgR _Wf-jmvQ 一0，得:1WfmgR，因此，A、B、D錯，C正確。2【總結(jié)升華】典型的曲線運(yùn)動，是非勻速圓周最低點(diǎn)問題與動能定理的綜合?！咀兪?】如圖所示，一個光滑的水平軌道與半圓軌道相連接，其中半圓軌道在豎直平面內(nèi)，半徑為R,質(zhì)量為m的小球以某速度從 A點(diǎn)無摩擦地滾上半圓軌道，小球通過軌道的最高點(diǎn)B后恰好做平拋運(yùn)動，且正好落在水平地面上的 C點(diǎn)，已知 AC=AB=2R,求：(1) 小球在A點(diǎn)時的速度大小.(2) 小球在B點(diǎn)時半圓軌道對它的彈力.【答案】Va 二、5gR ； 0【解析】(1)先研究小球從B點(diǎn)平拋到C點(diǎn)過程豎直方向:2RJgt2

23、2水平方向2R = vBt聯(lián)立解得:Vb = , gR從A到B過程，由動能定理:解得：vA = 5gR(2)小球在軌道最高點(diǎn)時，假設(shè)除重力外，還受到軌道的彈力N，由牛頓第二定律得：解得：N = 0【變式3】如圖，讓質(zhì)量 m= 5kg的擺球由圖中所示位置 A從靜止開始下擺。擺至最低點(diǎn)B點(diǎn)時恰好繩被拉斷。設(shè)擺線長I = 1.6m，懸點(diǎn)0與地面的距離 0C = 4m，若空氣阻力不計，繩被拉斷瞬間小球的機(jī)械 能無損失。(g= 10m/s2)求：(1)繩子所能承受的最大拉力 T(2 )擺球落地的速率 v【答案】T =100N ； v= 8m/s【解析】(1 )根據(jù)幾何關(guān)系，AB兩點(diǎn)咼度差hAB =丨I COS60°，擺球從A到B過程由動能定理得：解得：vB 二.2g(l 一1 cos600)二 4m/s在最低點(diǎn)B，小球受力如圖，由牛頓第二定律：解得T -100N，所以，繩子能承受的最大拉力為100N(2)繩子斷裂后，小球做平拋運(yùn)動，由動能定理：解得v二8m/s【總結(jié)升華】分清楚物體運(yùn)動的各個過程，表示出全過程中各力所做的功和初、末態(tài)動能的變化是解 題的關(guān)鍵.例7、如圖所示，用一塊長 Li=1.0 m的木板在墻和桌面間架設(shè)斜面，桌子高 H=0.8 m，長L2=1.5 m。 斜面與水平桌面的傾角B可在060°間調(diào)節(jié)后固定。將質(zhì)量m=0.2