勾股定理教師講義

1、勾股定理典型例題分析一、知識要點：1、勾股定理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為 a、b,斜邊為 c，那么 a2 + b2= c2。公式的變形：a2 = c2- b 2， b2= c2-a2 02、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三邊長分別是a, b, c,且滿足a2 + b2= c2，那么三角形ABC是直角三角形。這 個定理叫做勾股定理的逆定理.該定理在應(yīng)用時，同學(xué)們要注意處理好如下幾個要點： 已知的條件：某三角形的三條邊的長度. 滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方. 得到的結(jié)論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對

2、角是直角 如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。3、勾股數(shù)滿足a2 + b2= c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù)，不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常見勾股數(shù)有：（3，4，5） （5，12，13） （6，8，10）（7，24，25）（8，15，17）（9，12，15）4、最短距離問題：主要運用的依據(jù)是兩點之間線段最短。二、考點剖析考點一：利用勾股定理求面積1、 求陰影部分面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓.2、如圖，以Rt ABC的三邊為直徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系.3

3、、 如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是S、S、則它們之間的關(guān)系是（）A. S 1- S 2= S3 B. S 計 S 2= S3 C. S 2+S3< S1 D. S 2- S 3=S4、四邊形 ABC中, Z B=90° , AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四邊形 ABCD勺面積。5、 在直線丨上依次擺放著七個正方形（如圖 4所示）。已知斜放置的三個正方形的面積分別是 1、2、3, 正放置的四個正方形的面積依次是 S1、S2、S3、S4，則S1 S, S3 S4=?？键c二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊1. 在直角三角形中,若兩直

4、角邊的長分別為1cm 2cm，則斜邊長為 .2. （易錯題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長的平方是3、已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12,求斜邊上的高.4、 把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍5、 在 Rt ABC中, Z C=90 若 a=5, b=12,則 c= 若 a=15, c=25，則 b=;若 c=61, b=60,則 a=;若 a : b=3 : 4, c=10 則 Rt ABC的面積是=。6、 如果直角三角形的兩直角邊長分別為n2 1 , 2n （ n> 1）,那么

5、它的斜邊長是（）A、2nB、n+1C n2 1D n217、在Rt ABC中, a,b,c為三邊長，則下列關(guān)系中正確的是（)2 2 2A. a b cB.a22 2 2 2 2 c bC.c b aD.以上都有可能& 已知 Rt ABC中,Z C=90°，若 a+b=14cm c=10cm則Rt ABC的面積是（)2A、24 cmB、362 2cmC、48 cmD (260 cm2 2 29、已知x、y為正數(shù)，且丨x -4 | + （y -3 ） =0,如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么 以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A 5 B、25 C 7D

6、15考點三：應(yīng)用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高例、如圖1所示，等腰中，是底邊上的高，若，求AD的長；厶ABC的面積.考點四：勾股數(shù)的應(yīng)用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（）A. 4 , 5, 6B. 2, 3, 4 C. 11, 12, 13D. 8, 15, 172、若線段a,b,c組成直角三角形，貝U它們的比為（)A、2 :3 :4B、3 : 4 : 6 C 、5 ： 12 ： 13D 、4 : 6 : 73、下面的三角形中：厶 ABC中, Z C=Z A-Z B; ABC中, Z A:Z B:Z C=1

7、: 2: 3;3厶 ABC中, a： b: c=3: 4:ABC中，三邊長分別為8, 15, 17.其中是直角三角形的個數(shù)有（）.A. 1個 B . 2個 C . 3個 D . 4個4、若三角形的三邊之比為則這個三角形一定是（A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形）D.不等邊三角形2 2 2 2 25、已知a, b, cABC三邊，且滿足（a b）（a +b -c） = 0,則它的形狀為（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 6、將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形 7

8、、若厶ABC的三邊長a,b,c滿足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c,試判斷 ABC的形狀。8 ABC的兩邊分別為5,12，另一邊為奇數(shù)，且a+b+C是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為，此三角形為。例3:求（1） 若三角形三條邊的長分別是7,24,25，則這個三角形的最大內(nèi)角是 度。（2） 已知三角形三邊的比為1: 3 : 2，則其最小角為?？键c五：應(yīng)用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為考點六、利用列方程求線段的長（方程思想）1、小強想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多 1米，當(dāng)他把繩子的

9、下端拉開5米底m滑動距地底端后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎2、一架長m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑 m，那么梯子底端將向左 米3、如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子 的滑動距離1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵樹10 m高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m處的池塘A處；？另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高mm計算兩圓孔中5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根

10、據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位:心A和B的距離為考點七1題圖圖 18-156 題圖6、如圖：有兩棵樹，一棵高 8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了 米.7、如圖18-15所示，某人到一個荒島上去探寶，在 A處登陸后，往東走8km又往北走2km遇到障礙 后又往西走3km,再折向北方走到5km處往東一拐，僅1km?就找到了寶藏，問：登陸點（A處）到寶藏 埋藏點（B處）的直線距離是多少考點七：折疊問題1如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊 DE貝u CD等于（）B.22C.D.AC=6 BC=8將厶ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為532、如圖所示，已知 AB

11、C中，/ C=90，AB的垂直平分線交 BC?于 M 交AB于N,若AC=4 MB=2M,C求AB的長.3、折疊矩形ABCD勺一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10C求, CF和EC4、如圖，在長方形 ABCD中, DC=5在DC邊上存在一點E,沿直線人丘把厶ABC折疊，使點D恰好在BC 邊上，設(shè)此點為卩，若厶ABF的面積為30，求折疊的厶AED的面積5、如圖，矩形紙片ABCD勺長AD=9cm,寬AB=3cm，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的 長是多少ADEC6、 如圖，在長方形ABC沖，將 ABC沿AC對折至 AEC位置，CE與AD交于點F（1）試說明：

12、AF=FC （2）如果AB=3 BC=4求AF的長7、如圖2所示，將長方形ABC沿直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F點處,已知CE=3cm AB=8cm則圖中陰影部分面積為 .&如圖2-3，把矩形ABC沿直線BD向上折疊，使點C落在C的位置上,已知AB=?3 BC=7重合部分厶EBD的面積為.9、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB 折疊后與BC邊交于點G 如果M為CD邊的中點，求證：DE DM EM=3 4: 5。10、如圖2-5，長方形ABCD中, AB=3 BC=4若將該矩形折疊，使 C點與A點重合，？則折疊后痕跡EF

13、的長為（）A.B . C . D2-511、如圖1-3-11 ,有一塊塑料矩形模板 ABCD長為10cm寬為4cm將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P: 能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由. 再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cm若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你 說明理由.12、如圖所示， ABC是等腰直角三角形，AB=AC D是斜邊BC的中點，E、F分別是

14、AB AC邊上的點，且 DE丄DF,若BE=12 CF=5.求線段EF的長。13、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/ QPNh 30°，點A處有一所中學(xué)，A吐160m假設(shè)拖 拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN1沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒考點八：應(yīng)用勾股定理解決勾股樹問題1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，則正方形A, B, C, D的面積的和為 2、 已知 ABC是邊長為1的等腰直角三角形，

15、以Rt ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰 Rt ACD 再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 Rt ADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的 斜邊長是.考點九1題圖2題圖3題圖考點九、圖形問題1、如圖1,求該四邊形的面積2、 如圖 2,已知，在 ABC中，/ A = 45 °，AC = 2，AB = ,3+1，則邊 BC的長為.3、某公司的大門如圖所示,其中四邊形ABCD是長方形,上部是以AD為直徑的半圓,其中AE =m, BC =2m ,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高為m ,寬為m，問這輛卡車能否通過公司的大門并說明你的理由4、 將一根長24 cm的筷子置于地面直徑為

16、 5 cm,高為12 cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長 為h cm,貝U h的取值范圍。5、如圖，鐵路上A、B兩點相距25km C D為兩村莊，DA1垂直AB于A, CB垂直AB于B,已知AD=15km BC=10km現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站 E,使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建 在距A站多少千米處考點十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，已知 AD=8m CD=6m/ D=90°, AB=26m BC=24m求這塊地的面積?？键c十一：與展開圖有關(guān)的計算1、 如圖，在棱長為1的正方體ABCA B' C' D'的表面上，求從頂點

17、A到頂點C'的最短距離.2、如圖一個圓柱，底圓周長6cm,高4cm, 只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點，則最少要爬行 cm3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有 四個村莊A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分請你幫助計算一下，哪種架設(shè)方案最省電線考點十二、航海問題1、 一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以 12海里/時的速度從A港向西 北方向航行，經(jīng)過小時后，它們相距 海里2、 如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從 A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島 C在北偏東60°的方向上。該貨船航行30分鐘到達(dá)B處，此時又測得該島在北偏東 30°的方向上，已 知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險試說明理由。3、 如圖，某沿海開放城市 A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以 15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km那么臺風(fēng)中心經(jīng)