[精選]初中數(shù)學(xué)因式分解(精華例題)--資料

1、初中因式分解的常用方法（例題詳解）一、提公因式法.如多項式 ambmcmm( abc),其中 m叫做這個多項式各項的公因式，m 既可以是一個單項式，也可以是一個多項式二、運用公式法.運用公式法，即用a 2b 2(ab)(ab),a 22abb2(ab)2 ,a 3b 3(ab)( a2abb 2 )寫出結(jié)果三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有 a，后兩項都含有 b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的

2、聯(lián)系。解：原式 = (aman)(bmbn)= a( mn)b(mn)每組之間還有公因式！= (m n)(a b)思考：此題還可以怎樣分組？此類型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；第三、四項為一組。第二、三項為一組。解：原式 = (2ax10 ay)(5bybx)原式 = (2axbx)( 10 ay 5by)= 2a( x5y)b( x5y)= x(2ab)5 y(2ab)= ( x 5 y)(2ab)= (2ab)( x5 y)練習(xí)：分解因式

3、1、 a 2abacbc2、 xyx y1（二）分組后能直接運用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。解：原式 = ( x 2y2 )(axay)= ( x y)( x y) a( x y)= ( x y)( xy a)例 4、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 = (a 22abb 2 )c2= (ab) 2c2= (abc)( a bc)注意這兩個例題的區(qū)別！練習(xí)：分解因式 3、 x2x9 y 23 y4、 x2y 2z 22 yz綜合練習(xí)：（ 1） x3x2 yxy

4、2y 3（2） ax 2bx2bxaxab（ 3） x26 xy9 y 216 a28a1（ 4） a 26ab12b9b 24a（ 5） a42a3a 29（ 6） 4a2 x 4a 2 y b2 x b2 y（ 7） x22xyxzyzy2（ 8） a 22ab22b2ab1（ 9） y( y2)(m1)(m1)（ 10） (ac)( ac)b(b2a)（ 11） a 2 (bc)b 2 (ac)c 2 (ab)2abc （ 12） a3b3c33abc四、十字相乘法.（一）二次項系數(shù)為1 的二次三項式直接利用公式x2( pq)xpq( xp)( xq) 進行分解。特點：（ 1）二次項系數(shù)

5、是1；（ 2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（ 3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。例 5、分解因式： x 2 5x 6分析：將 6 分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由 于 6=2 × 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1)× (-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3 的分解適合，即 2+3=5。12解： x25x6= x 2(23)x 2 313= (x 2)( x 3)1× 2+1 × 3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例 6、分解因式： x 27x6解：

6、原式 = x2( 1)(6) x ( 1)(6)1-1= (x1)( x6)1-6（ -1） +（ -6） = -7練習(xí) 5、分解因式 (1)x 214 x24 (2) a 215a 36(3) x 24x5練習(xí) 6、分解因式 (1)x 2x 2(2) y22 y 15(3) x210x24（二）二次項系數(shù)不為1 的二次三項式條件：（ 1） aa1 a2（ 2） cc1c2（ 3） b a1 c2a2c1分解結(jié)果： ax2bxc = (a1x c1 )(a2 x例 7、分解因式： 3x2 11x 10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11ax 2bxca1c1a2c2ba1c2

7、a2 c1c2 )解： 3x211x 10 = (x2)(3x5)練習(xí) 7、分解因式：（ 1） 5x27x6（ 2） 3x 27 x 2（ 3） 10x 217 x3（ 4） 6 y 211y 10（三）二次項系數(shù)為1 的齊次多項式例 8、分解因式：a 28ab128b2分析：將 b 看成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于a 的二次三項式，利用十字相乘法進行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab128b 2 = a 28b( 16b) a8b( 16b)= (a 8b)( a 16b)練習(xí) 8、分解因式 (1) x 23xy2y 2 (2) m26mn8n2 (3) a 2a

8、b6b2（四）二次項系數(shù)不為1 的齊次多項式例 9、 2x27xy6 y2例 10、 x2 y 23xy21-2y把 xy 看作一個整體 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)(2x3y)解：原式 = (xy1)( xy2)練習(xí) 9、分解因式：（ 1） 15x 27 xy4 y 2（ 2） a 2 x26ax8綜合練習(xí) 10、（1） 8x67 x31（2） 12x211xy 15 y 2（ 3） (x y) 23( x y) 10（ 4） (a b)24a 4b 3（ 5） x2 y 25x 2 y6x 2（ 6） m 24

9、mn4n 23m6n2（ 7） x24xy4 y22x4 y3（ 8） 5(ab) 223( a2b2 )10( ab) 2（ 9） 4x 24xy6x3yy 210 （ 10） 12( xy) 211(x 2y2 )2( xy) 2思考：分解因式：abcx2(a 2b 2c2 )xabc五、主元法 .例 11、分解因式：x23xy 10 y 2x9 y 25-2解法一：以 x 為主元2-1解：原式 = x 2x(3y1)(10 y 29 y2)(-5)+(-4)= -9= x 2x(3y1)(5 y2)(2 y1)1-(5y-2)= x(5y2) x( 2y1)1(2y-1)= ( x 5y

10、2)( x2 y1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以 y 為主元1-1解：原式 =10 y2y(3x9)( x2x2)12=10 y 2(3x9) y(x 2x2)-1+2=1=10 y 2(3x9) y(x1)( x 2)2( x-1)= 2 y( x1) 5y( x2)5-(x+2)=( 2 yx1)(5yx2)5(x-1)-2( x+2)=(3 x-9)練習(xí) 11、分解因式 (1) x2y 24x6 y5(2) x2xy 2y 2x 7 y 6(3) x 2xy6 y 2x13 y6(4) a2ab6b25a35b36六、雙十字相乘法。定義：雙十字相乘法用于對Ax

11、 2BxyCy 2DxEy F 型多項式的分解因式。條件：（ 1） Aa1 a2 ， Cc1c2 ， Ff1 f2（ 2） a1 c2a2 c1B ， c1 f 2c2 f1E ， a1 f 2a2 f1D即：a1c1f 1a2c2f 2a1c2a2 c1B ， c1 f 2c2 f1E ， a1 f2a2 f1D則 Ax 2Bxy Cy 2DxEyF( a1 xc1 yf1 )( a2 xc2f 2 )例 12、分解因式（1） x23xy10 y 2x9y2（ 2） x2xy6y 2x13y6解：（ 1） x23xy10 y2x9 y2應(yīng)用雙十字相乘法：x5 y2x2y12xy 5xy3xy

12、 ， 5 y 4 y9 y ，x 2x x原式 = (x5 y2)( x2 y1)（ 2） x2xy6 y2x13y6應(yīng)用雙十字相乘法：x2 y3x3y23xy2xyxy ， 4 y9y13 y ，2x3xx原式 = ( x2 y3)( x3y2)練習(xí) 12、分解因式（1） x 2xy2 y 2x7 y6（ 2） 6x27 xy 3y 2xz 7 yz 2z 2七、換元法。例 13、分解因式（ 1） 2005 x2(2005 21)x2005（ 2） (x 1)( x2)( x3)( x6)x 2解：（ 1）設(shè) 2005= a ，則原式 = ax2( a 21)xa= (ax1)( xa)=

13、(2005 x1)( x2005)（ 2）型如 abcde的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式 = (x 27 x 6)( x 25x 6) x2設(shè) x25x6 A ，則 x 27 x 6 A 2x原式 = (A2x) A x 2 = A22 Axx 2= ( A x) 2 = ( x26x6) 2練習(xí) 13、分解因式（1） ( x2xyy2 ) 24 xy( x2y2 )（ 2） (x 23x2)(4x 28x3)90 （ 3） (a21) 2(a 25) 24(a 23) 2例 14、分解因式（ 1） 2x 4x36x 2x 2觀察：此多項式的特點是關(guān)于x 的降冪排列， 每

14、一項的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成 “軸對稱”。這種多項式屬于 “等距離多項式” 。方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式 = x 2 (2x 2x6112) = x 22(x 212 )( x1 )6xxxx設(shè) x1t ，則 x21t 22xx2原式 =x2222)t622t10（ t= x2t= x 2 2t 5 t 2= x2 2x25 x12xx= x·2x25 ·x·x12 = 2x25x 2 x 22x 1xx= ( x 1) 2 (2x 1)( x 2)（ 2） x44x 3x 24x 1解：原式 = x 2x 24 x141

15、= x2x214 x11xx2x2x設(shè) x1y ，則 x21y 22xx 2原式 = x 2y 24y3 = x 2y1y3= x 2 (x11)(x13) = x 2x 1 x 23x 1xx練習(xí) 14、（ 1） 6x47 x336 x27x6 （2） x42x 3x21 2(x x 2 )八、添項、拆項、配方法。例 15、分解因式（1） x33x24解法 1拆項。解法 2添項。原式 = x31 3x23原式 = x33x24x 4x 4= (x1)( x2x1)3(x1)( x1)= x( x23x4)(4x4)= (x 1)( x 2x 1 3x 3)= x(x 1)( x 4) 4( x 1)= (x1)( x 24x4)= (x1)( x24x4)= (x1)( x2)2= (x1)(x2) 2（ 2） x9x6x 33解：原式 = ( x 91)( x 61)( x 31)= ( x 31)( x6x31) (x31)( x31) (x 31)= ( x31)( x6x31 x 31 1)= ( x1)( x 2x1)( x62x 33)練習(xí) 15、分解因式（1） x39x8（ 2） (x1)4(x 21) 2( x1)4（ 3） x47 x21（4）