駱攀《矩陣初等變換的應(yīng)用》

1、矩陣初等變換的應(yīng)用駱攀 摘要從矩陣初等變換的定義出發(fā)，比較詳細(xì)地總結(jié)了矩陣的初等變換在線性代數(shù)、初等數(shù)論、數(shù)學(xué)分析求函數(shù)極值、經(jīng)濟(jì)交易系統(tǒng)的價(jià)值、生物營養(yǎng)、化學(xué)方程式配平、判斷平面位置關(guān)系等方面的一些應(yīng)用.關(guān)鍵詞矩陣；初等變換；秩；基1引言矩陣是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)重要內(nèi)容，是線性代數(shù)研究的主要對(duì)象，也是數(shù)學(xué)很多分支研究及應(yīng)用的重要工具.矩陣源于某一問題的有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)所組成的矩形數(shù)表，最早來源于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣，毫無疑問為解方程組帶來了方便，隨著矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展，新的概念不斷產(chǎn)生，新的問題也隨著產(chǎn)生，如比較抽象的問題能夠用矩陣表示出來，建立數(shù)學(xué)模型求解，初等變換能夠把各種復(fù)雜的

2、矩陣轉(zhuǎn)化成需要的矩陣形式，使計(jì)算變得更加簡(jiǎn)潔，并且便于應(yīng)用等等.關(guān)于初等變換的應(yīng)用, 雖然前人得出了很多有價(jià)值的結(jié)論1-6,但是它的運(yùn)用局限于線性代數(shù)，而且還是凌散不系統(tǒng)的，沒有較完整的書籍或文章詳細(xì)的敘述總結(jié)初等變換的應(yīng)用.因此，本文綜合前人在初等變換方面的研究，對(duì)初等變換的相關(guān)理論成果做全面的梳理整合，使初等變換的理論與應(yīng)用更全面、細(xì)致，方便學(xué)者系統(tǒng)地了解初等變換在不同領(lǐng)域的運(yùn)用，加深對(duì)初等變換的理解，以便學(xué)者今后在學(xué)習(xí)生活中能夠更加靈活地運(yùn)用初等變換去解決一些實(shí)際問題，服務(wù)于生活，使初等變換不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮作用，在其它科學(xué)領(lǐng)域中還能發(fā)揮更大的作用.定義1下面三種初等行（列）變換稱為矩陣

3、的初等變換：(1)換法變換：對(duì)調(diào)矩陣兩行（列）；(2)倍法變換：用任意數(shù)乘矩陣的某一行（列）中的所有元素；(3)消法變換：用數(shù)乘矩陣的某一行（列）的所有元素加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去.2初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用2.1 將矩陣化為階梯形和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形任意一個(gè)矩陣，經(jīng)過有限次初等變換總可以化為階梯形矩陣，進(jìn)而化為最簡(jiǎn)階梯形矩陣.任意一個(gè)矩陣，總可以經(jīng)過初等變換把它化為標(biāo)準(zhǔn)形.2.2 初等變換求逆矩陣用矩陣的初等變換求逆矩陣的基本方法如下：方法一：.方法二： .方法三：.證明 （方法三）：因?yàn)榭赡?，故有可逆矩陣使得，?而2.3 初等變換求矩陣的秩矩陣的秩:若矩陣經(jīng)過初等行變換化為行階梯形矩陣，

4、且行階梯形矩陣是非零行的，那么行數(shù)就是矩陣的“秩”. 定理1 矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變，即若，則.例1 求的秩.解 因?yàn)?，所?2.4 判斷兩個(gè)向量組是否等價(jià)設(shè)向量組與向量組，判斷它們是否等價(jià)，可先構(gòu)造矩陣，通過初等變換求出矩陣的秩，若，則向量組與向量組等價(jià).例2 已知向量組:和向量組：.判斷向量組和向量組是否等價(jià).解 記，根據(jù)上述方法，只要證，為此把矩陣用初等變換化為階梯形矩陣：.由此可知，故向量組和向量組等價(jià).2.5 解線性方程組2.5.1 求齊次線性方程組的解方法：先寫出齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，然后利用初等行變換將系數(shù)矩陣化為階梯形矩陣,求出系數(shù)矩陣的秩.若,則只有零解.若,則有非零

5、解；最后對(duì)階梯形矩陣施行初等行變換將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣，寫出其對(duì)應(yīng)的線性方程組，以非零行首個(gè)非零元對(duì)應(yīng)的個(gè)未知量為基本未知量，其余的個(gè)未知量為自由未知量，將自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分別令自由未知量中一個(gè)為1，其余全為0，求得的基礎(chǔ)解系:；個(gè)解向量的線性組合就是的通解，即.2.5.2 求非齊次線性方程組的解非齊次線性方程組的求解步驟如下:首先寫出的增廣矩陣，并把它化為行階梯形；若，則方程組無解.若，則此方程組有唯一解，只需要對(duì)增廣矩陣實(shí)施一系列的初等行變換使其化為行最簡(jiǎn)形，由此得出方程組的解，即，得原方程組的解為.若，則此方程組有無窮多解，也可以寫出它的解.2.6 初等變換求

6、解矩陣方程2.6.1 當(dāng),可逆時(shí)線性矩陣方程的解（1），若可逆，則，初等變換法即.（2），若可逆，則，初等變換法即.（3），若均可逆，則，即先作，再作.例3 求解矩陣方程, 其中.解 ,因此.2.6.2 當(dāng),不可逆時(shí)線性矩陣方程的解定理 2 如果矩陣方程有解,且有可逆矩陣使,就可得矩陣方程的通解為,其中為的前行組成的矩陣,中的元素可以任意取值.由上述定理可知求解矩陣方程的方法如下:（1）把,放到一起,組成一個(gè)矩陣,然后對(duì)其做初等行變換得到矩陣,其中是上階三角矩陣,從而可確定矩陣和矩陣的秩,判斷方程是否有解,同時(shí)取的前面行作成,它滿足,且為的前行.（2）如果上述方程有解,就對(duì)作初等列變換,經(jīng)過列

7、變換后變成，其中,必有.（3）從而由上述定理2可知，的通解公式為.例4 設(shè), ,求矩陣方程的通解.解 根據(jù)解矩陣方程的步驟,將放到一起,組成一個(gè)矩陣,如下:,然后對(duì)其作一系列初等行變換,使得為上三角矩陣, 即,很明顯矩陣和矩陣的秩都是,故該方程有解.取, 有,接下來對(duì)作初等列變換有, 經(jīng)過列變換后可得到.從而,由定理2知,該方程的通解為,其中是任意的矩陣.2.7 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，首先寫出二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣，然后構(gòu)造矩陣,緊接著對(duì)矩陣每進(jìn)行一次初等行變換后，就對(duì)施行一次同樣的初等列變換，當(dāng)矩陣化為對(duì)角矩陣時(shí)，單位矩陣就化為可逆矩陣，使得.最后得到可逆矩陣和非退化線性替換,在這

8、個(gè)變換下化為標(biāo)準(zhǔn)形.例5 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非退化線性替換.解 題中二次型的矩陣為，由上面的初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟可知：,從而非退化線性替換為，原二次型化為.2.8 判斷向量組的線性相關(guān)性基本方法如下：設(shè)向量組為，以為列構(gòu)成矩陣，對(duì)施行初等行變換，將它化成行階梯形矩陣，求出其秩.若，則線性無關(guān).若，則線性相關(guān).例6 試判斷下列所給向量組的線性相關(guān)性. 解 把行向量組成矩陣，用初等變換化成階梯形，有,所以向量組的秩是2，可見向量組線性相關(guān).2.9 求的子空間與的和與交的維數(shù)在中設(shè), ,計(jì)算與的維數(shù).基本方法：構(gòu)造矩陣,采用初等行變換求出中列向量組的極大無關(guān)組,從而得到的一個(gè)

9、基,基中向量個(gè)數(shù)即為的維數(shù)；再由可得的維數(shù).例7 在中，設(shè)向量組為求，的維數(shù).解 設(shè)，由題意可得.構(gòu)造矩陣，所以是的一組基，.再由得.2.10 初等變換求標(biāo)準(zhǔn)正交基2.10.1 初等列變換求標(biāo)準(zhǔn)正交基的依據(jù)引理1 設(shè)為mxn矩陣則是階對(duì)稱矩陣. 定理3 設(shè)為矩陣，且，則存在可逆矩陣使的列向量是正交向量組.2.10.2 初等列變換求標(biāo)準(zhǔn)正交基的基本方法設(shè)是的一組基，由上述定理3可得到初等列變換求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法如下：（1)求積；（2)作矩陣；（3）首先對(duì)矩陣施行消法初等列變換，把化為下三角矩陣，同時(shí)把化為，即.（4）記，令（i=1,2,L,n）,則是標(biāo)準(zhǔn)正交基.例 8 已知是的一組基，其中，試用

10、構(gòu)造的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解 因?yàn)?所以的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為.2.11 用矩陣的初等變換求過渡矩陣設(shè)與是的兩個(gè)基,則就是到的過渡矩陣.例 9 向量組和都是的基，求由基到基的過渡矩陣.解 由題意可得,所以基到基的過渡矩陣為.2.12 初等變換求基下的坐標(biāo)方法：（其中為列向量，為基），的坐標(biāo)即為所求的坐標(biāo).例 10 已知三維線性空間的一組基為在上述基底下的坐標(biāo).解 設(shè)，對(duì)進(jìn)行初等變換如下:故在基下的坐標(biāo)為.3 初等變換在數(shù)論中的應(yīng)用3.1 初等變換求兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)命題1若,，,則存在整數(shù)矩陣,且,使得,其中,.命題2 矩陣左（右）乘一個(gè)可逆的整數(shù)矩陣相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行一系列的整數(shù)行（列）初等

11、變換.由命題1、命題2可得出求兩整數(shù),的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的基本方法如下：構(gòu)造矩陣,對(duì)實(shí)施整數(shù)初等變換,把化成階梯形矩陣,則為最大公因數(shù),為最小公倍數(shù).例 11 已知,求,.解 如前述方法構(gòu)造矩陣,并對(duì)其實(shí)施整數(shù)初等變換： 所以有,.命題3 設(shè)是個(gè)不全為0的整數(shù),它們的最大公因數(shù),則存在可逆方陣,使得.由命題3 可得求的最大公因數(shù)的方法：在行向量 下方添加一個(gè)階單位陣,構(gòu)成階矩陣,對(duì)實(shí)施整數(shù)初等列變換直到其第一行化為,則其下方的單位陣便化成了可逆方陣,即 .3.2 初等變換求多項(xiàng)式的最大公因式設(shè)是數(shù)域上的多項(xiàng)式，記.則存在，使得.記.令，則可經(jīng)過初等變換化為的形式.其中，.例12 設(shè)，求的

12、最大公因式.解 作矩陣，對(duì)其施行一系列的初等行變換.所以.3.3 初等變換求多項(xiàng)式的最小公倍式設(shè)數(shù)域上的非零多項(xiàng)式，令，對(duì)其施行一系列的初等行變換化為，其中，為首1多項(xiàng)式，則，（其中為首1最小公倍式）.例13 設(shè).求.解 對(duì)矩陣，實(shí)施一系列初等行變換化為.所以，.4 初等變換在數(shù)學(xué)分析求函數(shù)極值中的應(yīng)用定理4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且是駐點(diǎn)，即作矩陣，其中.當(dāng)矩陣的各階主子式均不為0時(shí)，則有（1）當(dāng)矩陣正定時(shí)，點(diǎn)為的極小值點(diǎn)，為極小值；（2）當(dāng)矩陣負(fù)定時(shí)，點(diǎn)為的極大值點(diǎn)，為極大值；（3）當(dāng)矩陣不定時(shí)，點(diǎn)不是的極值點(diǎn).定理5 設(shè)是階方陣，且,把.（1）正定（2）

13、負(fù)定（3）不定中有正有負(fù)或某個(gè)為零.由于行列式的某行（列）乘以正數(shù)，或某行（列）乘以某數(shù)加到另一行（列）不改變行列式值的符號(hào)，對(duì)施行這兩種變換將其化為上（下）三角行列式，觀察，位于行列式的對(duì)角線上元素的符號(hào)，由定理可判定出是否是極值點(diǎn)及極大（?。┲?例14 判斷三元函數(shù)是否存在極值？若有極值，是極大值還是極小值？解 令可得駐點(diǎn)，在駐點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)分別為，構(gòu)造矩陣，對(duì)施行初等行變換將其化為上三角行列式，即.因?yàn)?，由定理知，不是函?shù)的極值點(diǎn).5初等變換在其他方面的應(yīng)用5.1 在通信中的應(yīng)用有一種對(duì)信息進(jìn)行保密的措施，就是把字母與整數(shù)一一對(duì)應(yīng)編碼，然后發(fā)送這組整數(shù).如要發(fā)送消息“action”，此

14、消息對(duì)應(yīng)的整數(shù)編碼是1,3,20,9,15,14.用這種方法，在一條長(zhǎng)消息中，根據(jù)數(shù)字出現(xiàn)的頻率，容易估計(jì)它所代表的字母，因而容易被破譯.因此，可以利用矩陣的乘法對(duì)這個(gè)編碼進(jìn)一步加密后又利用初等變換解密，就可以避免被破譯.先任選一個(gè)行列式等于1或-1的整數(shù)矩陣，如，然后將編碼1,3,20,9,15,14寫成兩個(gè)傳出信息向量.因?yàn)?，所以將傳出信息向量?jīng)過乘A編成“密碼”后發(fā)出，收到的信息為67,44,43,81,52,43.又由得，所以,.所以將收到的信息寫成兩個(gè)信息向量后，經(jīng)過給予解碼為1,3,20,9,15,14.最后，利用使用的代碼將編碼恢復(fù)為明碼，得到信息“action”.5.2 初等變

15、換在經(jīng)濟(jì)交易系統(tǒng)的價(jià)值問題中的應(yīng)用例15 在人類原始社會(huì)的一個(gè)部落當(dāng)中，人們分別從事三種職業(yè)：農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、勞動(dòng)工具的打造和器皿的手工制作、生活必需品的供給.由于當(dāng)時(shí)的社會(huì)條件不存在貨幣制度，人們所有的商品和服務(wù)都是進(jìn)行物物交換.記這三類人為，并假設(shè)有表1所示的實(shí)物交易系統(tǒng).表1 實(shí)物交易系統(tǒng)產(chǎn)品分配假設(shè)沒有資本的積累和債務(wù)，使用貨幣系統(tǒng)如何給三種產(chǎn)品定價(jià)，就可以公平的實(shí)現(xiàn)當(dāng)前的實(shí)物交易系統(tǒng).解 設(shè)所有農(nóng)產(chǎn)品、手工業(yè)品、服裝的價(jià)值分別為，由題意可得.利用初等變換求解齊次線性方程組的方法可得其通解，且.因此，可以按此比例給三種產(chǎn)品定價(jià)，就可以公平的實(shí)現(xiàn)當(dāng)前的實(shí)物交易系統(tǒng).5.3 初等變換在生物營養(yǎng)方

16、面的應(yīng)用例16 隨著生活水平的提高，越來越注重營養(yǎng)的攝取，某獸醫(yī)推薦狗的食譜中每天應(yīng)該包含100個(gè)單位的蛋白質(zhì)，200個(gè)單位的卡路里，50個(gè)單位的脂肪.一個(gè)商店的寵物食品部有四種食品.每的這四種食品所包含的蛋白質(zhì)、卡路里和脂肪的量（單位）如下表2所示：表2 四種食品所包含的營養(yǎng)量食物蛋白質(zhì)卡路里脂肪A5202B4252C71010D1056問從該商店的寵物食品部現(xiàn)有的四種食品中，能否找到使得狗的食譜所含營養(yǎng)量滿足獸醫(yī)的推薦.解 設(shè)狗一天食譜中的量分別為，使得狗的食物滿足獸醫(yī)的推薦.由題意可得.此時(shí)，對(duì)該線性方程組所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，把它化為行階梯形矩陣，就可以得到一個(gè)同解線性方程組

17、，通過回代的方法得出原方程組無非負(fù)解.所以不可能在該商店現(xiàn)有的四種食品中找出狗的食譜所含營養(yǎng)量，使得狗的食譜滿足獸醫(yī)的推薦.5.4 初等變換在化學(xué)方程式配平中的應(yīng)用配平化學(xué)方程式的原則是確定各分子式的系數(shù)（為正整數(shù)，且除了1沒有其它公約數(shù)）使化學(xué)方程式兩邊的各原子數(shù)相等.例17 配平化學(xué)方程式解 設(shè)各分子式的系數(shù)分別為即根據(jù)配平原則，即求齊次線性方程組的整數(shù)解.方程組的系數(shù)矩陣為.把化成行最簡(jiǎn)型矩陣時(shí)，會(huì)有分?jǐn)?shù)運(yùn)算，較麻煩.解方程組來說，不必非得將的第1列先化為,即,右邊的矩陣雖不是行最簡(jiǎn)型矩陣，但具有與行最簡(jiǎn)型矩陣等效的功能.由,知方程組有非零解，這時(shí)可選為自由未知數(shù)，從而有同解方程組.令為

18、符合條件的解，于是化學(xué)方程式為5.5 初等變換在解析幾何中的應(yīng)用例18 判斷空間三個(gè)平面的位置關(guān)系平面：平面：平面：解 設(shè),令則,接下來利用初等變換求出上述矩陣的秩.（1）當(dāng)時(shí)，原方程組有唯一解，故三個(gè)平面交于一點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，方程組沒有解，故三個(gè)平面沒有公共點(diǎn).（3）當(dāng)時(shí)，方程組的通解為一維仿射子空間，即三個(gè)平面交于一條直線.（4）當(dāng)時(shí)，方程組無解，由說明三個(gè)平面彼此平行，但至少有兩個(gè)平面不重合.（5）當(dāng)時(shí)，方程組的通解為二維仿射子空間，即三個(gè)平面完全重合.6 結(jié)束語線性代數(shù)歷來以抽象著稱，是理工類學(xué)生非常煩惱的科目，然而矩陣又是線性代數(shù)的重要研究對(duì)象，矩陣的初等變換是矩陣計(jì)算、證明中的重要

19、工具，貫穿于線性代數(shù)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程，由以上歸納可見，矩陣的初等變換廣泛的應(yīng)用于線性代數(shù)、初等數(shù)論、通信、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、數(shù)學(xué)分析、化學(xué)及解析幾何等方面，從文章所給的具體實(shí)例可以看出,初等變換在處理相關(guān)問題時(shí)，能夠把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)模型，能夠化繁為簡(jiǎn)，化多為少，化大為小，具有簡(jiǎn)單、快速、易于操作、便于理解等特點(diǎn).因此，有必要對(duì)初等變換的應(yīng)用進(jìn)行歸納討論，使之理論與應(yīng)用更加完備.但是要注意的一點(diǎn)是,當(dāng)處理不同的問題時(shí),使用初等變換的種類可能會(huì)不一樣,所以在具體使用時(shí)要因題而議，靈活應(yīng)用，采用合適的初等變換，這樣利用初等變換才會(huì)起到事半功倍的效果.參考文獻(xiàn)1盧 剛.線性代數(shù)M.北京:高等教育

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