從自然數(shù)到實(shí)數(shù)(2012)

1、從自然數(shù)到實(shí)數(shù)浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 盧興江盧興江有獎(jiǎng)?wù)髀?lián)：有獎(jiǎng)?wù)髀?lián)：學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)數(shù)數(shù)最苦！自然數(shù)自然數(shù) （0）1 2 3 4 5 6整數(shù)整數(shù) -3 -2 -1 0 1 2 3 分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）mn實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)素?cái)?shù) 如果自然數(shù) n1，且只能被1及本身整除，則n稱為素?cái)?shù)。否則稱為合數(shù)。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 素?cái)?shù) 算術(shù)基本定理： 每一個(gè)合數(shù)都可以分解為若干個(gè)素?cái)?shù)之積。若不論排列順序，這種分解是唯一的。素?cái)?shù) 素?cái)?shù)有多少

2、個(gè)？素?cái)?shù)有無窮多個(gè)（反證）假設(shè)只有有限多個(gè)（m個(gè)）素?cái)?shù) ，則考察 ，不能被 整除，所以 也是素?cái)?shù)， 素?cái)?shù)有m+1個(gè)，矛盾。mppp,21121mpppp), 3 , 2 , 1(mippimppp,21有理數(shù)的幾何解釋和表示有理數(shù)的幾何解釋和表示 分母為n的分?jǐn)?shù)，我們把每一個(gè)單位長(zhǎng)線段分為n等分，則這些點(diǎn)表示了分母為n的分?jǐn)?shù)有理點(diǎn)。012-13-251.250000410.33333333223.142857142857147有理數(shù)的十進(jìn)位小數(shù)表示：循環(huán)小數(shù)所有循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。有理數(shù)的性質(zhì)有理數(shù)的性質(zhì)-稠密性 有理點(diǎn)在數(shù)軸上是稠密的，即每一個(gè)不論是多么小的區(qū)間中都存在著有理點(diǎn)。也可以說：任

3、何兩個(gè)不同的有理數(shù)之間有無數(shù)多個(gè)有理數(shù)。 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x和正整數(shù)q , 必存在整數(shù)p, 使得：每個(gè)實(shí)數(shù)都能用有理數(shù)去逼近到任意精確程度 （只要q充分大）110pppxxqqqq有理數(shù)的性質(zhì)有理數(shù)的性質(zhì)-可公度性 設(shè)a, b表示兩個(gè)線段的長(zhǎng)度，若有正整數(shù)m, n使得： b=(m/n)a 則稱兩個(gè)線段a, b是可公度的 a=n(a/n), b=m(a/n) 有理數(shù)經(jīng)加、減、乘、除（分母不為零）運(yùn)算后仍是有理數(shù)，全體有理數(shù)集合是一個(gè)數(shù)域（包含0，1的數(shù)集對(duì)加減乘除封閉） 有理數(shù)集是“最小”的一個(gè)數(shù)域有理數(shù)和無理數(shù)的不可公度性有理數(shù)和無理數(shù)的不可公度性 和 1 的不可公度： 是無理數(shù)212115公元前

4、公元前470年，畢達(dá)哥拉斯門生希帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了邊長(zhǎng)為年，畢達(dá)哥拉斯門生希帕蘇斯發(fā)現(xiàn)了邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線長(zhǎng)不是的正方形對(duì)角線長(zhǎng)不是“數(shù)數(shù)”！公元前公元前425年，狄奧多魯斯（希臘）證明了年，狄奧多魯斯（希臘）證明了 為為“不可度量不可度量”。3, 5,17若 n 不是完全平方數(shù)，那么 不是有理數(shù)10pmmpmqqq n, (,)pnp qZq證明：反證法，假設(shè)證明：反證法，假設(shè) 是有理數(shù)，即是有理數(shù)，即存在正整數(shù)存在正整數(shù)m，使得，使得 2211ppnqmppmpqnqmpqqpmqq其中其中11qqpp對(duì)對(duì) 重復(fù)以上的討論可得：重復(fù)以上的討論可得：11pq 與 且有：12ppp 12qqq

5、1212pppqqq 這是不可能的，因?yàn)檫@是不可能的，因?yàn)?p , q 是有限的自然數(shù)，矛盾。證畢。是有限的自然數(shù)，矛盾。證畢。n有理數(shù)的性質(zhì)有理數(shù)的性質(zhì)-勢(shì)與可數(shù)性如果兩個(gè)集合的元素可以建立一一對(duì)應(yīng)，則稱這兩個(gè)集合是等勢(shì)的兩個(gè)有限集合等勢(shì)兩個(gè)有限集合等勢(shì) 元素個(gè)數(shù)相等元素個(gè)數(shù)相等正整數(shù)集和偶數(shù)集等勢(shì)！正整數(shù)集和偶數(shù)集等勢(shì)！自然數(shù)和有理數(shù)等勢(shì)？自然數(shù)和有理數(shù)等勢(shì)？一個(gè)集合，如果其元素能排列成一個(gè)序列，則稱這個(gè)集合是可數(shù)的。自然數(shù)是可數(shù)的自然數(shù)是可數(shù)的全體整數(shù)是可數(shù)的全體整數(shù)是可數(shù)的有理數(shù)是可數(shù)的有理數(shù)是可數(shù)的實(shí)數(shù)及其性質(zhì)實(shí)數(shù)及其性質(zhì)有理點(diǎn)全體雖然是處處稠密的，但不能覆蓋整個(gè)數(shù)軸。全體實(shí)數(shù)集（有理數(shù)和無理數(shù)）是不可數(shù)的。任意區(qū)間任意區(qū)間 a, , b 等勢(shì)于任意等勢(shì)于任意其他區(qū)間其他區(qū)間 c, , d 。( (其中其中a b, , c d) )，也等勢(shì)于全體實(shí)數(shù)，