2021屆高考數(shù)學基礎(chǔ)得分題集及答案(16)

1、2021屆高考數(shù)學基礎(chǔ)得分題集及答案(16 )1.方程丁一6/+9工-10=0的實根個數(shù)是()A. 3B. 2C. 1D. 0答案：C解析：設(shè)兀。=/- 6/+ 9x 1。，/(x) = 3x2 - 12x + 9 = 3(x - 1 )(x-3),由此可知函數(shù)的極大值為./(1)=-6<0 ,極小值為小)=-10< 0 ,所以方程/ - 6/ + 9x10 = 0的實根有1個.2 .若存在正數(shù)x使2、。一“)< 1成立，則”的取值范圍是()A. (8, +oo)B. (2, +00)C. (0, +8)D. (-1, +8)答案：D角翠析：.2'(x - a) &l

2、t; , .".a > x -令人x) = x"，：.f (x)=l+2Tn2>0.心)在(0, + 8)上單調(diào)遞增,.f(x)>f(0) = 0- 1= -1 f. .a的取值范圍為(-1 , + 8).3 .做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27兀，且用料最省， 則圓柱的底面半徑為()A. 3B. 4C. 6D. 5答案：A解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R ,母線長為I ,則丫=兀7?2/ = 27兀，/27二冠.要使用料最省,只須使圓柱的側(cè)面積與下底面面積之和S最小.27由題意，S =兀R? + 2nR/ = tiR2 + 2兀齊547r.S =2兀R

3、 -才，令S' =0 ,得R = 3測當R = 3時，S最小.故 A選A.4 . 2017.河北衡水中學一調(diào)設(shè)曲線大x)=-e、-x(e為自然對數(shù)的 底數(shù))上任意一點處的切線為/i，若總存在曲線ga)= 3“x+2cosx上某 點處的切線/2,使得八，/2,則實數(shù)”的取值范圍為()A. -1,2B. (3, +8)2 11r 1 2C1? 3jD.-w，3答案：D解析：由,小)=- x ,得/(x)=-廿1 ,因為匕、+1>1 ,所以一二£。1),4 1由 g(x) = 3ax + 2cos x ,得 g' (x) = 3 - 2sin x ,又-2sinxG

4、- 2,2,所以 3a - 2sin - 2 + 3«2 + 3u,要使過曲線/W二e，x上任意一點的切線人總存在過曲線g(x) 2 + 3aW0 ,=3ax + 2cos x上一點處的切線h，使得I山2 ,貝12 + 3心1117解得聶”號，故選D.5.2017.河北石家莊模擬已知函數(shù)於)=+'%若外。<於2)， 則()A. X>X2B, Xl+x2 = 0C. %i<X2D- xt<%5答案：D解析：因為f(-x)= - x e t-j = x ex -=/(x),所以於)為偶函數(shù)，由於1)</2),得川修1)<4川)(*) .11又二

5、己-了 +工2'+口e2A(x+ l) + (x- 1)= e *當 x20 日寸，氣X+l)+x 12e°(0+1) + 0 1 =0 ,貝!/" (x)20 , 所以.")在。/ + 8)上為增函數(shù)，從而由(*)式得M < tel ,即X <忌6.2017.遼寧沈陽一模若定義在R上的函數(shù)於)滿足大x)+/(x)3> 1，犬0)=4,則不等式“y)>+ l(e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為() CA. (0, +8)B. ( 8, O)u(3,+8)C. (一8, 0)U(0, +8)D. (3, +8)答案：A3解析：由於)>

6、6+1，得巧田>3 + 9.構(gòu)造函數(shù) F(x)= ey(x) - e， 3 ,得 F' (x) = e%r) +(x) - er =W - 1 -由於)+/ (x) > 1 , e' > 0 ,可知尸(x) > 0 ,即尸(x)在R上單調(diào)遞 增.又因為 F(0) = e°/(0) - e0 - 3 =人0) -4 = 0.所以F(x)> 0的解集為(0 , + 8).7 .已知函數(shù)兀0=次33%+1對工£(0,1總有於)20成立,則實 數(shù)的取值范圍是.答案：4, +°°)3x - 1解析：當x£(0

7、,l時,不等式ax3 - 3x + 1 20可化為a23 一,設(shè) x3x - 1gM = -3 , x£(0,l, 人3X3 - (3x - 1)-3？- 1g，(x)=J= - -人人由g' a)=o彳導(dǎo)當x變化時，g'(x)與g(x)的變化情況如下表：= MN=戶-In f在，二號"時有最小值.10 .已知於)=(1 -x)e'-L(1)求函數(shù)/(x)的最大值；解：f (x)=xex.當(8, 0)時，f (x)>0,於)單調(diào)遞增;當x£(0, +8)時，# (x)V0,於)單調(diào)遞減.所以本)的最大值為人。)=。.(2)設(shè) g(x

8、)= 軍，x> 1,且 xWO,證明：g(x)<l.證明：由(1)知，當心>0時，於)vo, ga)<o<i.當一 lovO 時，g(x)<l 等價于 f(x)>x.設(shè) h(x)=/)xf 則 h' (x) = xqx 1.當 xG( 1,0)時，0<x<l,0<ev< 1,則 0< xeA< 1,從而當x£(l,0)時，(x)<0,砥0在(一。0上單調(diào)遞減.當一 1 <x<0 時，(x)>/?(0)=0,即 g(x)v 1.綜上，當心>一1且xWO時，總有g(shù)(x)&l

9、t;L11.己知函數(shù)兀0=%33/+以+2,曲線y=/(x)在點(0,2)處的切 線與x軸交點的橫坐標為-2.(1)求a的值；解：f。) = 3/ 6x+a, f (0)=a.曲線y=")在點(0,2)處的切線方程為)，=x+2.2由題設(shè)得一4=-2,所以“=1.(2)證明：當vl時，曲線y=/(x)與直線)=丘一2只有一個交點.證明：由(1)知，於)=工33/+x+2.設(shè) g(x) =f(x)kx+2=xi 3jt+(1 A)x+4.由題設(shè)知li>0.當 xWO 時，g' (x) = 3一6x+lk>0, g(x)單調(diào)遞增，g(l)=k -1<O, g(0

10、)=4,所以 g(x)=O 在(-8, o上有唯一實根.當 x>0 時，令 /?(x) =x3 3/+4,則 g(x)=A(x)+(l k)x>h(x).hf (x) = 3/-6x=3x(x2), /©)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2, +«>) 上單調(diào)遞增，所以ga)>/?a)2/?(2)=0.所以g(x)=。在(。，+8)上沒有實根.綜上，g(x)=O在R上有唯一實根，即曲線y=/(x)與直線)，=入一 2只有一個交點.沖刺名校能力提升練1 .2017.陜西西安八校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)=m(x-l)e+xm e R).(1)若m=-1,求函數(shù)於

11、)的單調(diào)區(qū)間;(2)若對任意的xVO,不等式2+(川+ 2)工>(x)恒成立，求?的 取值范圍.解：(1)當次=1 時，f(x) = (1 x)eA+x2,則/' (x)=x(2一口，由 f (x)>0 得，0<xVln2；由 f (x)V0 得，x<0 或 x>ln2.故函數(shù)./U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, In 2),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8, 0), (In 2, +8).(2)依題意，/。)="b+張/+(利+2)x, x<0,因為x<0，所以根5'X7>0,令 h(x)=me"-x-m,貝lj 4'

12、(x)=me" 1,當 時，/ (x)ev-l<0,則(x)在(-8, 0)上單調(diào)遞減，所以。)>/?(0)=0,符合題意；當?>1時，在(一8, 一In上單調(diào)遞減，在(一In八0)上單 調(diào)遞增，所以 (x)min = /z( In ?)<(0) = 0,不合題意.綜上所述，機的取值范圍為(-8, 1.2 .2017.貴州七校聯(lián)考函數(shù)兀)=(以2+幻其中e是自然對數(shù) 的底數(shù)，R.(1)當”>0時,解不等式大x)W0；(2)當a = 0時，求整數(shù)的所有值，使方程«x)=x+2在3 f+1 上有解.解：(1)因為e*>0,所以不等式“r)W。

13、即為加+xW0,又因為a n>0,所以不等式可化為xx+三W0,所以不等式大x)W0的解集為一：，0 .(2)當4=0時，方程即為xex+2,由于e、>0,所以x=0不是方程的解，2所以原方程等價于e<-l=0./2令 /z(x)=eA- 1,2因為力'(x)=e'+g>0對于(-8, 0)U(0, +8)恒成立，所 以(X)在(一8, 0)和(0, +8)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，又(i)=e3<0, /?(2)=e2-2>0, /?(-3)=-3_|<0, /?(-2)=e 2>0,所以方程yu)=x+2有且只有兩個實數(shù)根，且分別在區(qū)

14、間1,2和 -3, 一2上，所以整數(shù)f的所有值為-3,1.3.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū) 的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記 兩條相互垂直的公路為小/2,山區(qū)邊界曲線為C計劃修建的公路為 /.如圖所示，N為C的兩個端點，測得點M到/”辦的距離分別為 5千米和40千米，點N到/1，/2的距離分別為20千米和2.5千米.以 方人所在的直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系xQy.假設(shè)曲 線。符合函數(shù))，=備(其中小為常數(shù))模型.求4, 的值；(2)設(shè)公路/與曲線C相切于點P,尸的橫坐標為九請寫出公路/長度的函數(shù)解析式人。，并寫出其定義域；當為何值時，公路/的長度最短？求出最短長度.解：(1)由題意知，點M, N的坐標分別為(5,40), (20,2.5).將其分別代入y=U?得25=40,a _=2 5400+a=l 000, 解得ko.(2)由(1)知，)，=(5WxW20),則點尸的坐標為曾 設(shè)在點P處的切線/交x軸、y軸分別于A, B兩點,），'=一等rw 1 0002 000則/的方程為)l