2020年遼寧省大連二十四中高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(有答案解析)

1、2020 年遼寧省大連二十四中高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）12小題，共60.0分）1. 若集合，3， ，則滿足的集合 X的個(gè)數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 42. 復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則A. iB.C. 2iD.3. 下列 4 個(gè)命題中正確命題的個(gè)數(shù)是對(duì)于命題p：已知，第 6 頁(yè)，共 17 頁(yè)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程為 “ ”是“ ”的充分不必要條件A. 1B. 2C. 3D. 44. 公差不為零的等差數(shù)列中， 且 、 成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差等于A. 1B. 2C. 3D. 45. 從裝有顏色外完全相同的3 個(gè)白球和m 個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取5

2、 次，設(shè)摸得白球數(shù)為X，已知，則A.B.C.D.6. 如圖， 在中， P 是 BN 上一點(diǎn)， 若，則實(shí)數(shù) t 的值為A.C.D.7. 已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移1 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為A.B.C.D.8. 數(shù)列， 滿足對(duì)任意的， 均有為定值 若，則數(shù)列的前 100 項(xiàng)的和A. 132B. 299C. 68D. 999. 在直角坐標(biāo)系中，已知， 若直線上存在點(diǎn)P， 使得，則正實(shí)數(shù)m 的最小值是10.A.B. 3C.D.三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則異面直線與 所成角的余弦值為A.B.11.C.D.，過(guò)原點(diǎn)作一

3、條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P， Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，則雙曲線離心率為A.B.C. 2D.12.是定義在R 上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有，當(dāng)時(shí)，若，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是A.B.C.D.二、填空題（本大題共4 小題，共20.0分）13. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則14. 設(shè) 為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若， 且， 則 15. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l， P 為 C 上一點(diǎn)，PQ垂直 l 于點(diǎn)Q， M， N 分別為PQ， PF 的中點(diǎn)，MN 與 x軸相交于點(diǎn)R，若，則等于 16. 已知一個(gè)四面體ABCD 的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球 O 的表面上，且，則三、

4、解答題（本大題共7 小題，共82.0分）17. 如圖，在中，的角平分線與AC 交于點(diǎn)D， 求 sinA； 求的面積18.19.20.如圖， 在四棱錐中， 底面 ABCD 為矩形， 側(cè)面底面 ABCD ， H 為棱 AB 的中點(diǎn)，E 為棱 DC 上任意一點(diǎn)，且不與D 點(diǎn)、C 點(diǎn)重合， 求證：平面平面 ABCD； 是否存在點(diǎn)E 使得平面APE 與平面 PHC 所成的角的余弦值為 ？若存在，求出點(diǎn)E 的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿400 元的顧客，均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)摸獎(jiǎng)規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球 紅、黃、黑、白顧客不放回的每

5、次摸出1 個(gè)球， 若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止，否則就繼續(xù)摸球按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20 元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10 元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì) 求 1 名顧客摸球2 次摸獎(jiǎng)停止的概率； 記 X 為 1 名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X 的分布列和數(shù)學(xué)期望已知橢圓， 點(diǎn)， 點(diǎn) P 滿足其中O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B，P在橢圓 C上求橢圓 C 的方程；設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F， 若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F 的直線l：與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，且與圓相切的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由21. 已知函數(shù)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍；若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以 O

6、為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線 l 的參數(shù)方程為為參數(shù)直線 l與曲線 C 分別交于M ， N 兩點(diǎn) 寫出曲線C 的直角坐標(biāo)方程和直線l 的普通方程； 若點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為，求 a 的值23. 已知當(dāng) 時(shí)，求不等式的解集；若時(shí)不等式成立，求a 的取值范圍第 5 頁(yè)，共 17 頁(yè)答案與解析1 .答案：D解析： 【分析】本題考查了并集的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題根據(jù)并集的定義，結(jié)合題意寫出對(duì)應(yīng)集合X，即可得出結(jié)論【解答】解：集合，3，若，則集合或或 或3，共 4個(gè)故選：D2 .答案：B解析： 解：為純虛數(shù)，解得故選：B由實(shí)部為0 且虛部不為0 求得 a 值，則 z

7、 可求本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3 .答案：D解析： 解： 對(duì)于命題p：，使得，則 ：都有，正確；已知，正確；已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程為，正確；“ ”可得“”“ ”不能得出“ ”， 比如， 則“ ”是“ ”的充分不必要條件，正確故選：D對(duì) 4 個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題4 .答案： B解析： 解：設(shè)數(shù)列的公差為d 則、成等比數(shù)列聯(lián)立求得故選 B設(shè)出數(shù)列的公差，利用， 求得 和 d 關(guān)系同時(shí)利用、 成等比數(shù)列求得和 d 的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得d本題主

8、要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用5 .答案：B解析： 解：由題意知，解得，故選：B由題意知，由，知，由此能求出本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用6 .答案：C解析： 【分析】本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到，從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t 的方程，求出t 的值【解答】解：設(shè)，由題意及圖，又，所以，又，所以，解得，故選C7 .答案：B解析： 解：函數(shù)，將 的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移1 個(gè)單位，得

9、函數(shù)的圖象，若，則，；解得，；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為 T的整數(shù)倍，且故選：B化函數(shù)為正弦型函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換寫出函數(shù)的解析式，利用求得 、 滿足的條件，再求的可能取值本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了圖象平移與變換問(wèn)題，是基礎(chǔ)題8 .答案：B解析： 解：對(duì)任意的，均有為定值，故，是以 3 為周期的數(shù)列，故，故選：B對(duì)任意的， 均有為定值， 可得，于是是以 3 為周期的數(shù)列，即可得出本題考查了數(shù)列的周期性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9 .答案：D解析： 解：設(shè)，由得化簡(jiǎn)得，解得或舍 ，易知時(shí)，故 m 的最小值為故選：D設(shè)，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，得到關(guān)于y

10、 的一元二次方程，利用判別式 可解出 m 的范圍，取其最小的正值即可本題考查了兩點(diǎn)間距離公式以及判別式法求最小值的問(wèn)題，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)10 .答案：B解析： 【分析】本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，考查空間向量基本定理，向量的數(shù)量積公式及應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，然后利用夾角公式求異面直線與 所成角的余弦值即可【解答】解：設(shè)，棱長(zhǎng)為1，則，異面直線與 所成角的余弦值為故選B11 .答案：B解析： 解：設(shè)直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程可得：，可得，以線

11、段 PQ 為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，可得，即有為等邊三角形，可得，化為，解得，可得故選：B設(shè)直線方程為， 聯(lián)立雙曲線方程，可得 Q 的坐標(biāo)，由題意， 即有為等邊三角形，可得，再由a， b， c 和 e 的關(guān)系式，計(jì)算可得所求值本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查直徑所對(duì)的圓周角為直角，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題12 .答案：B解析： 【分析】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，解答本題的關(guān)鍵是偶函數(shù)對(duì)稱性的靈活應(yīng)用由已知可得， 構(gòu)造函數(shù)， 則， 根據(jù)時(shí)， 可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，從而可求解【解答】令，則，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)

12、在上單調(diào)遞增根據(jù)偶函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，解可得，故選：B13 .答案：0解析： 解： 在點(diǎn)處的切線方程為，代入得又，聯(lián)立解得：，故答案為：0根據(jù)切點(diǎn)是公共點(diǎn)和切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率，列出方程組即可本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本思路，抓住切點(diǎn)滿足的兩個(gè)條件列出方程組是關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題14 .答案：55解析： 解：由題意，當(dāng)時(shí)，解得當(dāng) 時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，即，數(shù)列是以1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，故答案為：55本題在當(dāng)時(shí)將代入表達(dá)式計(jì)算出t 的值，再在時(shí)運(yùn)用公式代入計(jì)算，并化簡(jiǎn)整理可得到，即可判別出數(shù)列是以 1 為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，根

13、據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出的值本題主要考查等差數(shù)列的判別，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用，以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力本題屬中檔題15 .答案：2解析： 解：如圖所示：連接MF ， QF，的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l， P 為 C上一點(diǎn)， N 分別為 PQ， PF 的中點(diǎn)，垂直 l 于點(diǎn) Q，為等邊三角形，為 HR 的中點(diǎn)，故答案為：2根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)題意可得為等邊三角形，繼而可得F 為 HR 的中點(diǎn)，問(wèn)題得以解決本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，屬于中檔題16 .答案：解析： 解：由題意可知，四面體ABCD 的對(duì)棱都相等，故該四面

14、體可以通過(guò)補(bǔ)形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖所示：設(shè)，則，又，可得，故答案為：由題意可知，四面體ABCD 的對(duì)棱都相等，故該四面體可以通過(guò)補(bǔ)形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)出過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)，由已知求出三條棱長(zhǎng)，則a 可求本題考查球的表面積與體積，考查數(shù)學(xué)補(bǔ)形思想方法，是中檔題17 .答案：解： 在中，由余弦定理得所以； 分 由正弦定理得所以 由 可知；在中，；分在中，由正弦定理得，所以； 分所以的面積為分解析： 利用余弦定理和正弦定理即可求得sinA的值； 由三角恒等變換和正弦定理以及三角形的面積公式求得的面積本題考查了解三角形的知識(shí)與應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題18 .答案： 解： 證明：， H 為 AB 中點(diǎn)，又，

15、則，又側(cè)面底面 ABCD，側(cè)面底面，平面ABCD，又 PA在平面 APE 內(nèi)，平面平面 ABCD； 由 可知，以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD ， AB ， AP 所在直線分別為x 軸， y 軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0，0，1，2，假設(shè)存在點(diǎn)y，滿足題意，則第 24 頁(yè)，共 17 頁(yè)，設(shè)平面 APE 的一個(gè)法向量為， 則， 設(shè) ， 則，設(shè)平面 PHC 的一個(gè)法向量為， 則，設(shè) ，則，平面 APE 與平面 PHC 所成的角的余弦值為，即存在點(diǎn)E 為 CD 的中點(diǎn)，使得平面APE 與平面 PHC 所成的角的余弦值為解析： 先由勾股定理可得，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得平面 ABCD，由此可證

16、平面平面 ABCD ； 以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD ， AB， AP 所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在滿足條件的E， 求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面APE 與平面 PHC 的法向量，利用題設(shè)條件可建立關(guān)于 y 的方程，解出后即可作出結(jié)論本題考查面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查利用空間向量解決空間角問(wèn)題，考查推理能力及計(jì)算能力，屬于中檔題19 .答案：解：名顧客摸球2 次摸獎(jiǎng)停止，說(shuō)明了第一次是從紅、黃、白中摸一球，第二次摸的是黑球名顧客摸球2 次摸獎(jiǎng)停止的概率 的可能取值為：0， 10， 20， 30，40，紅、黃、白中摸一球，第二次摸的是黑隨機(jī)變量X 的分布列為：X

17、010203040P數(shù)學(xué)期望解析：名顧客摸球2 次摸獎(jiǎng)停止，說(shuō)明了第一次是從球即可得出1 名顧客摸球2 次摸獎(jiǎng)停止的概率P 的可能取值為：0， 10， 20， 30， 利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望本題考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推 理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題20 .答案：解： 設(shè)， 因?yàn)?，即，則，即，因?yàn)锽， P 均在 C上， 代入得， 解得，所以橢圓C 的方程為；由得，作出示意圖，設(shè)切點(diǎn)為Q，則，同理，即，所以，又，則的周長(zhǎng)，所以周長(zhǎng)為定值解析：設(shè)，根據(jù)條件可求出P 的坐標(biāo)，再利用B， P 在橢

18、圓上，代入橢圓方程求出a， b即可，設(shè)， 運(yùn)用勾股定理和點(diǎn)滿足橢圓方程，求出，再利用焦半徑公式表示出， ，進(jìn)而求出周長(zhǎng)為定值本題綜合考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題21 .答案：解：在 上遞增，上遞減，；證明：由知，兩個(gè)不同零點(diǎn)，若，則，則當(dāng)時(shí)，在 上遞增，若，可知，顯然成立，又，同理可得，故：解析：求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最值，進(jìn)而求出a 的范圍；求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)判斷函數(shù)的零點(diǎn)位置，對(duì)零點(diǎn)分類討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法，均值定理證明結(jié)論成立本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想，難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)的分類討論和均值定理的應(yīng)用22 .答案：解： 曲線 C 的極坐標(biāo)方程為，則，化簡(jiǎn)得，曲線 C 的直角坐標(biāo)方程，直線 l 的參數(shù)方程為，即直線l 的普通方程為； 將化為直角坐標(biāo)為，將直線 l 的參數(shù)方程代入，化簡(jiǎn)并整理得，直線 l 與曲線 C 交于 M ， N 兩點(diǎn)，即恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系得，在直線 l 上，解析： 由得，由此能求出曲線C 的直角