2020年高考新課標(biāo)Ⅲ理科數(shù)學(xué)試卷及答案

1、2020年高考新課標(biāo)理科數(shù)學(xué)試卷及答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共 60分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A （ x, y） | x,y N*, y x ， B （ x,y）| x y 8，則 A B中元素的個(gè)數(shù)為（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C采用列舉法列舉出A B 中元素的即可.【詳解】由題意，A B 中的元素滿足y x ，且 x, y N * ，xy8由 x y 8 2x，得 x 4，所以滿足x y 8的有 (1,7),(2,6),(3,5),(4,4)故 A B 中元素的個(gè)數(shù)為4.故選： C.12.復(fù)數(shù)的虛部是（1 3i3

2、 A.10【答案】D1 B.101 C.10D.310利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z 即可 .11 3i1 3i 13i(1 3i )(1 3i) 101013所以復(fù)數(shù)z 1 的虛部為3 .1 3i10故選： D.3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，41， 2， 3， 4出現(xiàn)的頻率分別為p1 , p2, p3, p4，且pii11 ，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）A. p1 p40.1, p2p30.4B. p1p40.4, p2p30.1C. p1 p40.2, p2p30.3D. p1p40.3, p2p30.2計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組xA1 42

3、22.50.4 3 2.5xB1 4 0.4 2222.50.13 2.5xC1 4 0.2 2222.50.3 3 2.5xD 1 4 0.3 2222.50.2 3 2.5.【詳解】對(duì)于A 選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為方差為s2A1 2.5 2 0.12對(duì)于 B 選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2方差為sB21 2.50.42對(duì)于C 選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為22方差為sC212.50.22對(duì)于D 選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為方差為sD212.52 0.32因此，B 選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題0.12 3 0.4 2.5，20

4、.442.50.10.65；30.12.5，20.142.50.41.85；30.32.5，20.342.50.21.05；30.22.5，0.242.5 20.31.45.4.Logistic 模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎2px(p 0) 交于 D ， E 兩點(diǎn)，若 ODOE ，則 C 的25.設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x 2與拋物線C：y2焦點(diǎn)坐標(biāo)為(A. 1 ,04B. 1 ,02C. (1,0)D. (2,0)根據(jù)題中所給的條件OD OE ，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知DOxEOx ，從而可以確定出點(diǎn)D4p 的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)

5、果x 2 與拋物線y22 px( p 0) 交于 E, D 兩點(diǎn)，且ODOE ，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定DOx EOx ，所以 D 2,2 ，41代入拋物線方程4 4p，求得 p 1 ，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1 ,0) ，2故選： B.點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目6.已知向量a， b 滿足 | a | 5 ， |b | 6 ， a b6 ，則 cos a,a b = ()31 A.3519 B.3517C.3519D.35b 的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出636227 a9b a, a1935D.27 .在 ABC 中， cosC= ， AC=4， BC=3，則cosB=

6、()32332B.1 C.D.222根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得AB ，再根據(jù)cosB AB BC AC ，即可求得答案.2AB BC2【詳解】在 ABC 中， cosC 2 ， AC 4， BC 33根據(jù)余弦定理：AB2 AC2 BC2 2AC BC cosC2222AB2 42 32 2 4 33可得AB 2 9 ，即 AB 3222AB2 BC2 AC29 9 161由 cosB2AB BC 2 3 391故 cosB .9故選： A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題8 .下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A. 6+4 2B. 4

7、+4 2C. 6+2 3D. 4+2 3【答案】C根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形1根據(jù)立體圖形可得：S ABC S ADC S CDB 2 2 22根據(jù)勾股定理可得：AB AD DB 2 2 ADB 是邊長(zhǎng)為2 2 的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：S ADB 1 AB AD sin 601 (2 2)232 3222該幾何體的表面積是：3 2 2 3 6 2 3 .故選： C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分

8、析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9 .已知2tan tan( +)=7，則tan =()D. 2A. 2B. 1C. 1【答案】D利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案tan 12tan tan7， 2tan an 7，41 tan令 t tan ,t 1 ，則2t11 tt7 ，整理得t2 4t 4 0 ，解得 t 2，即 tan2.故選： D.10 .若直線 l 與曲線 y= x 和 x2+y2= 都相切，則l 的方程為()5A. y=2x+11B. y=2x+2C. y= x+1211D. y= x+根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線l 的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，

9、即可得出答案l 在曲線 yx 上的切點(diǎn)為x0, x0 ，則 x00，11函數(shù) y x 的導(dǎo)數(shù)為y ，則直線l 的斜率 k，2 x2 x0l 與圓 x2 y21相切，則5設(shè)直線 l 的方程為yx00，5，x01 4x0115 （舍），11.設(shè)雙曲線C：22xy22ab1 （ a>0， b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2 ，離心率為5 P 是 C 上一點(diǎn)，且2兩邊平方并整理得5x0 4x0 1 0 ，解得x0 1 ， x011則直線 l 的方程為x 2y 1 0，即 y 1 x 1 .22故選： D.F1P F2P若PF1F2的面積為4，則a=（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答

10、案】A根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案c【詳解】5 ， c 5a ，根據(jù)雙曲線的定義可得PF1PF22a ，a1SPF1F22 | PF1|PF24，即 |PF1|PF28，222F1PF2P，|PF1 |2 PF222c2，2PF1PF22 PF1 PF24c2，即 a25a24 0，解得 a 1 ，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12 .已知55<84， 134<85設(shè)a=log53， b=log85， c=log138，則（）A. a<b<cB.

11、b<a<cC. b<c<aD. c<a<ba、 b、 c0,1利用作商法以及基本不等式可得出a 、 b 的大小關(guān)系，log85， 得 8b5，結(jié)合5584可得出log138，得13c 8，結(jié)合13485 ，可得出a、 b、c 的大小關(guān)系.c 0,1log53log85lg3lg5lg8lg52 lg5lg3 lg82log85 ，得8b5，由5584，得 85blg3 lg82lg 52lg 24lg 251，b；84 ，5b 4 ，可得4 b；54 ，可得 c因?yàn)閦 3x 2y ，所以y3x平移直線y 3x ，當(dāng)y2log138，得13c 8，由134 8

12、5，得134 135c， 5c綜上所述，a b c .故選： A.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4 小題，每小題5分，共 20分 .x y 0,13 .若 x， y滿足約束條件2x y 0， ，則z=3x+2y的最大值為x 1,【答案】7作出可行域，利用截距的幾何意義解決3x zz，易知截距越大，則z 越大，2223x z 經(jīng)過 A 點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z 最大，22A(1,2)，y 2xx1所以zmax3 1 2 27 .故答案為：7.是一道容易題22614. (x2)6的展開式中常數(shù)

13、項(xiàng)是(用數(shù)字作答)x【答案】2406寫出x2 2 二項(xiàng)式展開通項(xiàng)，即可求得常數(shù)項(xiàng).x6【詳解】x2 2xTr 1C6rx2 6 r其二項(xiàng)式展開通項(xiàng)：C6r x12 2r(2)r xC6r(2)r12 3r xa b n 的展開通項(xiàng)公式Tr 1Crnan r br ，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為當(dāng) 12 3r 0，解得r 46x2 2 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是：C64 24 C62 16 15 16 240 .x故答案為：240 .將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O

14、 ，其中 BC 2,AB AC 3，且點(diǎn) M 為 BC 邊上的中點(diǎn)，由于 AM32122 2 ，故S ABC2 2 2 2 2 ，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r ，則：S ABCS AOBS BOCS AOC111AB r BC r AC r222r 2 2，13322解得： r 2 ，其體積：V 4 r 322332故答案為：2 .3【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的 位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于

15、球的直徑.116 .關(guān)于函數(shù)f（ x） =sin x 有如下四個(gè)命題：sin x f（ x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 f（ x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 f（ x）的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱2 f（ x）的最小值為2其中所有真命題的序號(hào)是 【答案】利用特殊值法可判斷命題的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題的正誤；利用對(duì)稱性的定義可判斷命題的正誤；取x 0可判斷命題的正誤.綜合可得出結(jié)論.1515【詳解】對(duì)于命題，f 125 ， f1 25 ，則 ff62262266所以，函數(shù)f x 的圖象不關(guān)于y 軸對(duì)稱，命題錯(cuò)誤；對(duì)于命題，函數(shù)f x 的定義域?yàn)閤 x k ,kf x sin x 1 sinx 1 si

16、n xsinxsinx1sinxf x，所以，函數(shù)f x 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，命題正確；對(duì)于命題，f2sin x2cosx所以，函數(shù)對(duì)于命題，當(dāng)fx2sinfxsin x21 cosxcosx ，sin x2x 對(duì)稱，命題正確；2cosx ，則fx2x 0 時(shí)， sinx 0 ，則 f x sin x1sinx2，命題錯(cuò)誤.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及最值的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第 1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第 22、 23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必

17、考題：共60 分 .17 .設(shè)數(shù)列an 滿足a1=3， an 1 3an 4n 1 ）計(jì)算a2， a3，猜想 an的通項(xiàng)公式并加以證明；2）求數(shù)列2 nan 的前n 項(xiàng)和Snn1【答案】 ( 1) a2 5， a3 7 ， an 2n 1 ，證明見解析；( 2) Sn (2n 1) 22 .( 1 )利用遞推公式得出a2 , a3，猜想得出an 的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；( 2)由錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】 ( 1)由題意可得a2 3a1 4 9 4 5， a3 3a2 8 15 8 7，由數(shù)列an 的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列an 是以 3 為首項(xiàng)，2 為公差的等差數(shù)列，即an 2n 1

18、，證明如下：當(dāng) n 1 時(shí)，a1 3 成立；假設(shè)nk 時(shí)， ak 2k1 成立.那么nk1時(shí)， ak 13ak4k3(2k 1) 4k 2k 3 2(k 1) 1 也成立 .則對(duì)任意的n N * ，都有an 2n 1 成立；( 2)由(1)可知，an 2n (2n 1) 2nSn 3 2 5 22 7 23(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n，2Sn322523724(2n 1)2n(2n 1) 2n 1，由 得：Sn 6 2 22 232n(2n 1) 2n 1221 2n 1n 16 2(2n 1) 2n 1 (1 2n) 2n 1 2，12n1即 Sn (2n 1) 2n 1 2

19、.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次 空氣質(zhì)量等級(jí)0， 200(200， 400(400， 6001(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784（中度污染）7201 ）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1， 2， 3， 4的概率；2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1 或 2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3 或 4，則

20、稱這天空氣質(zhì)量不好”根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次 400人次 >400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2(a b)(cn(add)(abc)c2)(b d)P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】 （ 1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、 2、 3、 4的概率分別為0.43、 0.27、 0.21、 0.09； （ 2）350； （ 3）有，理由見解析.（ 1 ）根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、 2 、 3 、

21、4 的概率；（ 2）利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結(jié)果；（ 3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2 2列聯(lián)表，計(jì)算出K2的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.【詳解】 （ 1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1 的概率為2 16 25 0.43，等級(jí)為2的100概率為 5 10 12 0.27，等級(jí)為3的概率為6 7 8 0.21 ，等級(jí)為4的概率為7 2 0 0.09；100100100（ 2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為100 20 300 35 500 45 3501003）2 2 列聯(lián)表如下：人次400人次400空氣質(zhì)量不好3337空氣質(zhì)量好2282

22、100 33 8 37 22 2K255 45 70 305.820 3.841，因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1 中，點(diǎn)E,F 分別在棱DD1,BB1上，且2DE ED1， BF 2FB11 ）證明：點(diǎn)C1在平面 AEF 內(nèi)；2）若 AB 2 ， AD 1 ， AA1 3，求二面角A EF A1的正弦值（ 1）證明見解析；（ 2）42 .7（ 1 ）連接C1E 、 C1 F ，證明出四邊形AEC1F

23、 為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)C1在平面AEF 內(nèi)；（ 2）以點(diǎn)C1 為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1D1、 C1B1、 C1C所在直線分別為x、 y、 z軸建立空間直角坐標(biāo)系C1 xyz，利用空間向量法可計(jì)算出二面角A EF A1 余弦值，進(jìn)而可求得二面角A EF A1的正弦值.1（ 1）在棱CC1 上取點(diǎn) G ，使得C1GCG ，連接DG 、 FG 、 C1E 、 C1F ，12在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 中，AD/BC且 ADBC， BB1/CC1 且 BB1 CC1，1C1GCG ， BF 2FB1，12122CG CC1BB1 BF 且 CG BF ，33所以，四邊形BCGF 為平行四邊形，則A

24、F / DG 且 AF DG ，DEC1G 為平行四邊形，C1E / DG 且 C1E DG ，C1 E/AF 且 C1 E AF ，則四邊形AEC1F 為平行四邊形，C1 在平面AEF 內(nèi)；2）以點(diǎn)C1 為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1D1、 C1B1、C1C所在直線分別為x、 y、 z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C1 xyz ，則 A 2,1,3 、A1 2,1,0、 E 2,0,2、 F0,1,1，AE 0, 1,1 ， AF 2,0, 2 ， A1E 0, 1,2A1F2,0,1 ，設(shè)平面 AEF 的法向量為m x1,y1, z1 ，m AE 0y1 z1 0，得取 z11 ，得x1m AF 0

25、2x1 2z1 01 ，得 1y11 ，則m 1,1, 1 ，設(shè)平面A1EF 的法向量為n x2 , y2 , z2 ，nA1 E0y22z20，得，取z2 2 ，得x2nA1F02x2z201 ， y24 ，則 n 1,4,2 ，cos m,n77，設(shè)二面角AEF A1的平面角為cos7 ， sin 1 cos24277A EF A1 的正弦值為42 .7x220.已知橢圓C :25力，屬于中等題.y2152 1（0 m 5）的離心率為15 ， A， B分別為C的左、右頂點(diǎn)m41 ）求 C 的方程；2）若點(diǎn) P在 C 上，點(diǎn)Q在直線 x 6上，且| BP| | BQ |， BP BQ ，求

26、APQ 的面積（ 1） 2x25 1625y2 1； （ 2） 5222xyb m ，根據(jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；1 ）因?yàn)?C :2 1（0 m 5），可得 a 5，25m22）點(diǎn) P 在 C上，點(diǎn) Q在直線 x 6上，且 | BP | BQ |， BP BQ ，過點(diǎn) P 作 x軸垂線，交點(diǎn)為M ，設(shè)P 點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AQ 直線方程，根據(jù)點(diǎn)到x 6與 x軸交點(diǎn)為N ，可得 PMB BNQ ，可求得直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式，即可求得APQ 的面積 .x2( 1)C:x25y221(0 m 5)m2a 5， b m，m 21554根據(jù)離心率e c 1 b 2155解得 m 或 m

27、(舍 )，4422x y21C 的方程為：255 2，42即x2516 y2251；2）不妨設(shè)P , Q 在 x軸上方點(diǎn) P在 C 上，點(diǎn) Q在直線 x 6上，且 | BP| | BQ|， BP BQ ，過點(diǎn) P 作 x 軸垂線，交點(diǎn)為M ，設(shè) x 6 與 x 軸交點(diǎn)為N根據(jù)題意畫出圖形，如圖|BP| |BQ|， BP BQ， PMB QNB 90 ，又 PBM QBN 90 ，BQN QBN 90 ，PBM BQN ，根據(jù)三角形全等條件“AAS可得： PMB BNQ ，x2 16y225251，B(5,0) ，PM BN 6 5 1 ，設(shè) P 點(diǎn)為( xP , yP ) ，可得P 點(diǎn)縱坐標(biāo)為

28、yP 1 ，將其代入x2 16y2 1 ，2525可得：xP2 16 1 ，25 25解得： xP 3或 xP3，P 點(diǎn)為(3,1)或 ( 3,1)，當(dāng)P 點(diǎn)為(3,1)時(shí)，故 MB 5 3 2， PMB BNQ ，|MB| |NQ| 2，2當(dāng) P 點(diǎn)為 ( 3,1)時(shí)，可得： Q 點(diǎn)為 (6, 2) ，A( 5,0) , Q(6,2) ，可求得直線AQ 的直線方程為：2x 11y 10 0，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P 到直線 AQ 的距離為：d2 3 11 1 105522 1121255根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AQ6 522 02 5 5，APQ 面積為：5 525故 MB 5+3 8，

29、PMB BNQ ，|MB| |NQ| 8，可得： Q 點(diǎn)為 (6,8) ，畫出圖象，如圖A( 5,0) , Q(6,8)，可求得直線AQ 的直線方程為：8x 11y 40 0，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得P 到直線 AQ 的距離為：d根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：AQ22658083 11 1 405582 112185185185 ，APQ 面積為：12 1851585綜上所述，APQ 面積為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和求三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形結(jié)合求三角形面積，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.1121.設(shè)函數(shù)f(x) x bx c，曲線 y f (x)在

30、點(diǎn) ( 2 ， f( 2 )處的切線與y軸垂直( 1 )求b( 2)若f (x) 有一個(gè)絕對(duì)值不大于1 的零點(diǎn)，證明：f(x) 所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于13【答案】 ( 1) b ； ( 2)證明見解析41 )利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到231( 2)由(1)可得f'(x) 3x22(x)(x42111( ,) 上單調(diào)遞增，且f ( 1) c , f ()242矛盾即可.1111) ，易知 f (x) 在 (, ) 上單調(diào)遞減，在(,) ，22221111c , f ( ) c , f (1) c ，采用反證法，推出4244( 1)因?yàn)閒 '(x) 3x2 b，11f'( )

31、 0 ，即 3b 0223則b ；43( 2)由(1)可得f (x)xxc，4311f'(x)3x23(x)(x)，422'11'令 f (x) 0，得 x 2 或 x 2 ；令 f (x) 0，得1111所以 f (x) 在 (, ) 上單調(diào)遞減，在(,) ， ( ,222211111且 f( 1) c ,f() c ,f( ) c ,f(1)42424) 上單調(diào)遞增，12，若 f (x) 所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1 零點(diǎn)x0 ，則f ( 1)0或 f(1) 0，即c當(dāng)c11或c441時(shí)， f ( 1)41 0,f( 12)1110, f ( ) c 0, f (

32、1) c 0 ，244又 f(4c)64c33c2 4c(1 16c2)0，f (x) 在 (4c, 1) 上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)即 f (x) 在 (, 1) 上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在( 1,此時(shí) f (x) 不存在絕對(duì)值不大于1 的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；1c 時(shí)， f (41) c1110, f( ) c4243 又 f ( 4c) 64c33c c24c(1 16c2) 0，f (x) 在 (1, 4c) 上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)0，'1f '( ) 0 ，解方程即可；2即 f （x） 在 （1,） 上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在（,1）上不存在零點(diǎn)，此時(shí) f （x） 不存在絕對(duì)值不大于1 的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上， f （x）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，反證法，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一