專題三第2講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應用精品資料

1、第 2 講數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應用自主學習導引真題感悟11(2012 ·綱全國卷大 ) 已知等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，a5 5，S5 15，則數(shù)列 anan1的前 100 項和為1009999101A. 101B.101C.100D.100解析利用裂項相消法求和設等差數(shù)列 an 的首項為 a1，公差為 d.a55，S5 15，a14d5，5×51，5a12d 15，a1 1a a (n 1)dn.d 1，n1 1111 ，anan1n n1nn11111111100數(shù)列 anan1 的前 100 項和為 12 2 3 100101 1 101101.答案A2(

2、2012·浙江 )已知數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，且 Sn2n2 n，nN，數(shù)列 bn 滿足 an4log2bn3，nN .(1)求 an，bn；(2)求數(shù)列 an·bn 的前 n 項和 Tn.解析(1)由 Sn2n2n，得當 n1 時， a1S1 3；當 n2 時， an SnSn1 4n1.所以 an4n 1， nN.由 4n1an4log2bn3，得 bn2n1，nN .n1(2)由(1)知 anbn(4n1)·2， nN，所以 Tn37×211×22 (4n 1)·2n1，2Tn 3×27×22 (

3、4n5)·2n1 (4n 1)·2n，所以 2Tn Tn(4n1)2n 34(222 2n1) (4n 5)2n5.故 Tn (4n5)2n5，nN.考題分析數(shù)列的求和是高考的必考內容，可單獨命題，也可與函數(shù)、不等式等綜合命題，求解的過程體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，解答此類題目需重點掌握幾類重要的求和方法，并加以靈活應用網(wǎng)絡構建高頻考點突破考點一： 裂項相消法求數(shù)列的前n 項和【例 1】(2012 ·門頭溝一模 )數(shù)列 an 的前 n 項和 Snn21.(1)求數(shù)列 an 的通項公式；1(2)設 bnan·an 1(nN )，求數(shù)列 bn 的前 n 項和

4、 Tn.S1，n1， 審題導引 (1)運用公式 an求 an，注意 n1 時通項公式 an；SnSn1，n2，(2)裂項法求和 規(guī)范解答 (1)由已知，當n1 時， a1 S1 2，當 n2 時， an SnSn12n 1，2，n 1，數(shù)列an 的通項公式為 ann2.2n1，(2)由(1)知，1n1，6，bn11112n1 2n1 ， n 2，2 2n1 2n11當 n1 時， T1b16，當 n2 時， Tnb1b2 bn1111111111 ，35572n1 2n16 234n2nn11 b 的前 n 項和 T 3.4n2【規(guī)律總結】常用的裂項技巧和方法用裂項相消法求和是最難把握的求和問

5、題之一，其原因是有時很難找到裂項的方向突破這類問題的方法是根據(jù)式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧，如：11 11(1)k nnk ；n nk(2)11nk n)； k(nk nm 1mm(3)CnCn1Cn ；(4) n·n！ (n 1)！ n！等 易錯提示 利用裂項相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯誤有兩個方面：1111(1)裂項過程中易忽視常數(shù)，如容易誤裂為 nn2，漏掉前面的系數(shù) 2；n n 2(2)裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或添項的問題，導致計算結果錯誤【變式訓練】x1(2012 ·大連模擬 )已知函數(shù) f(x)x3，數(shù)列 an 滿足 a11，an 1

6、f(an)(nN )(1)求數(shù)列 an 的通項公式 an；1n(2)若數(shù)列 bn 滿足 bn2anan 1·3 ，Sn b1b2 bn，求 Sn.解析n， 1 31.(1)由已知， an 1 aan3an1an 1 1311 ，并且1 13，an12an2a122數(shù)列11為以3為首項， 3 為公比的等比數(shù)列，an221 13n 1n2·3.，a nan 222·3n3 1(2)bn n1 n1，nn1131 3131 3 1Snb1b2 bn 111111.31 3213n 1 3n 1 12 3n1 1考點二： 錯位相減法求數(shù)列的前n 項和【例 2】 (2012

7、·濱州模擬 )設等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，已知 an12Sn2(nN)(1)求數(shù)列 an 的通項公式；(2)在 an 與 an1 之間插入 n 個數(shù)，使這 n2 個數(shù)組成公差為dn 的等差數(shù)列， 求數(shù)列 1 的前 ndn項和 Tn. 審題導引 (1)利用遞推式消去 Sn 可求 an；1(2)利用錯位相減法求數(shù)列dn 的前 n 項和 規(guī)范解答 (1)由 an12Sn2(nN )，得 an 2Sn12(nN，n2)，兩式相減得 an1an 2an，即 an13an(nN ，n2)，又 a2 2a1 2， an 是等比數(shù)列，所以a23a1，則 2a123a1，a1 2，an2·3n1.n1nnn1(2)由(1)知 a2·3 ，a2·3 .4×3n1an1 an(n 1)dn，dn，n1令 Tn111 1，dddd123n234n 1則 Tn4×30 4·314·32 4·3n1123nn13Tn4·31 4·32 4·3n1 4·3n 22111n 1得3Tn4·304·314·324·3n1 4·3n11 11 1 n152n533 n 124×1 4·3n 8