概率論期末考試復(fù)習題及答案

1、第一章11. 設(shè) p (A) =1, P (A U B) =1 ,且 A 與 B 互不相容，貝 U P (B) =3261112. 設(shè) P (A) =1 , P (AU B) =1 ,且 A 與 B 相互獨立，貝 U P (B) =-.3243. 設(shè)事件 A 與 B 互不相容，P (A ) =0.2 , P (B) =0.3，貝U P ( AB) =0.5.4. 已知 P (A) =1/2 , P(B) =1/3，且 A , B 相互獨立，貝 U P (AB ) =1/3A與B相互獨立兩個事件A與B相互獨立的充要條件：地理=PWz 由于A,B相互獨立.珥疝)= P(A-B)= P(A)-P(A

2、B)=珞4)-心腳)= PM)1-汽切=W)晦= P(£-A)所以：刀與B相互獨立”=腳)_汽&)=咿性"B)5.設(shè) P (A ) =0.5,P (A B ) =0.4，貝U P (B|A ) =0.26. 設(shè) A , B 為隨機事件，且 P(A)=0.8 , P(B)=0.4 , P(B|A)=0.25，貝U P(A|B)= 0.5.7. 一口袋裝有3只紅球，2只黑球，今從中任意取出2只球，則這兩只恰為一紅一黑的概率是 0.6 .8 .設(shè)袋中裝有6只紅球、4只白球，每次從袋中取一球觀其顏色后放回，并再放入1只同顏色的球，若連取兩次，則第一次取得紅球且第二次取得白球

3、的概率等于 12/559. 一袋中有7個紅球和3個白球，從袋中有放回地取兩次球，每次取一個，則第一次取得 紅球且第二次取得白球的概率p= 0.21.10. 設(shè)工廠甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占全廠產(chǎn)量的 45% , 35%, 20%,且各車間的次品率分別為4% , 2% , 5%.求：(1)從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取1件，它是次品的概率；3.5%(2)該件次品是由甲車間生產(chǎn)的概率.1835第二章1. 設(shè)隨機變量 XN (2, 22),則 P(X < 0=0.1587.(附：(1) =0.8413) 設(shè)隨機變量 XN (2, 22)，貝U P(X < 0= (P(X-2)/

4、2 <-1=(-1) =1-(1) =0.1587-1 -eJ3x, x0:2. 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X的分布函數(shù)為F(x)=0,<0則當x>0時，X的概率密度f(x)= 3e'x.3. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F (x)=產(chǎn)e ,x>°則常數(shù)a=1.0, x 玄0,4. 設(shè)隨機變量 XN (1, 4),已知標準正態(tài)分布函數(shù)值(1) =0.8413 ,為使PX<a<0.8413 ,3132則常數(shù)a<3.5.拋一枚均勻硬幣5次，記正面向上的次數(shù)為X,則PX > 1=6.X表示4次獨立重復(fù)射擊命中目標的次數(shù)，每次命中目標的概率為0.5

5、,則X _B(4, 0.5)7.設(shè)隨機變量X服從區(qū)間0, 5上的均勻分布，貝U PX壬3)=0.6X -10128.設(shè)隨機變量X的分布律為且Y=X求常數(shù)A, B; 求 PXV 2 , PX > 3; 求分布密度f (x).,記隨機1317P 881616變量Y的分布函數(shù)為 Fy (y),貝U Fy (3) =9/169.設(shè)隨機變量X的分布律為試確定常數(shù)a. 1P(X=k= a/N,k=1, 2,，N,13.設(shè)隨機變量X的分布律為1-1e" x a 0=2-exx<0 2F (x)-A Be乂,0,x_0,x ： 0.('0),10. 已知隨機變量 X的密度函數(shù)為-

6、Mf(x)=Ae ,<x<+ 8,求：(1) A 值；(2) P0<X<1;(3) F(x).1 1(1-e -)F(x)2 211. 設(shè)隨機變量X分布函數(shù)為A=1B=-1PX < 2= 1 -e PX > 3= e 偵*f (x) = 4x 0x£ 012. 設(shè)隨機變量X的概率密度為J_ x, 0 一 x : 1, f (x) =<2 x, 1x <2,、0, 其他.求X的分布函數(shù)F (x).”0x<01x20<x§F(x) = 1 2x2 +2x 1 1 < x< 2 21x2X-2-1013Pk1

7、/51/61/51/1511/30求(1) X的分布函數(shù)，(2) Y=X2的分布律.F(x)0x < -21/52 Sx <111/30一1 <x <017/300 C <119/301 <x <31x芝314.設(shè)隨機變量 XU (0,1),試求：(1) Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù);(2) Z= -2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù)fY(y)1 ： y : e=y0 others1.設(shè)二維隨機變量(1)求邊緣概率密度fx (x) = *因為f (x, y)Y0149Pk1/57/301/511/30第三章z一212八fz(z) = 2e z>

8、6; 0 othersX , Y)的概率密度為 f(x,y)=f x4y)e,x>0,y>0;0, 其他，fx(x)和fY(y), (2)問X與Y是否相互獨立，并說明理由x 0 fY(y)ey y 00 y"= fX(x)fY(y),所以X與Y相互獨立2.設(shè)二維隨機變量(X,Y) N(氣，勺,22汀1 , S , P)，且X與Y相互獨立，則P =0.3.設(shè) XN (-1, 4), YN (1, 9)且 X 與 丫相互獨立，貝U 2X-Y N (-3, 25)X-101P13_5_312124.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，它們的分布律分別為Y-1013P445.設(shè)隨機變量51

9、6（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，其中區(qū)域D是直線y=x , x=1和x軸所圍成的三角形區(qū)域,則（X,Y）的概率密度1f (x, y) = 2I0 others6.設(shè)隨機變量XX與丫相互獨立，且01P1344X, Y的分布律分別為Y1223P55Z=XY的分布律.（2）隨機變量X, Y）的分布律;0110.10.320.150.45試求：（1）二維隨機變量Z012P0.250.30.457.設(shè)二維隨機向量（XJ01210.10.20.12a0.10.2X , Y）的聯(lián)合分布列為(2) (X,求：（1） a的值；什么？ （ 4） X+Y的分布列.a=0.3Y）分別關(guān)于X和Y的邊緣分布列;（3）

10、 X與Y是否獨立？為8.設(shè)隨機變量（X, Y）的分布密度012Y120.40.30.3P0.40.6因為PX =0,Y=1 #PX =0PY=1，所以X與Y不相互獨立。X+Y1234P0.10.50.20.2f (x, y)= <Ae3x*y),XA0,y0,其他.0,求：(1) 常數(shù) A;(2) P(0 以<1, 0*2.A=12P(0 «1 , 0*<2= (1 e')(1 e8)9. 設(shè)隨機變量（X, Y）的概率密度為f (x,k(6x y), 0<x<2,2<y<4,y)=0,其他.(1) 確定常數(shù) k; (2) 求 P(Xv

11、 1, Yv 3 ; (3) 求 PX+YV4.13288310. 設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0, 0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY (y)0,y 0,其他.求X與Y的聯(lián)合分布密度11.設(shè)二維隨機變量（X, Y）f（x,y）=：氣,的概率密度為x 0,y 0,其他.f (x,0三x主1,0三y< x, 其他.求邊緣概率密度.12.設(shè)二維隨機變量（X, Y）的概率密度為f (x, y)0,0 ： x ： y,其他.求邊緣概率密度13. 設(shè)二維隨機變量X, Y）的概率密度為f (x, y)/2,cx y, =L°,x2三y壬1, 其他.（1）試確定常數(shù)c;(

12、2)求邊緣概率密度14.設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為f (x, y)= <1, y <x,Q<x<1,0,其他.f x (y I x), fx 丫(x I y).求條件概率密度(2) X與Y是否相互獨立?第四章1.設(shè) XB(4,-)，則 E (X2)=22. 設(shè) E (X) =2 , E (Y) =3, E (XY) =7,貝U Cov (X, Y) =13. 隨機變量X的所有可能取值為 0和x，且PX=0=0.3 , E(X) =1 ,則x=10/7.4. 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，則E (2X+1 ) =_5/3_, D (2X+1 ) =4/9X-1

13、055. X的分布律為 ,則px<E(X)=.P0.50.30.26. 設(shè) Xi, X2, Y均為隨機變量，已知 Cov(Xi,Y)=-1 , Cov(X2,Y)=3，則 Cov(Xi+2X2, Y)=_77.設(shè)XN (0, 1), YB (16,-)，且兩隨機變量相互獨立，貝UD(2X+Y)=8xy,0 ： x ：1,0 ： y ： 2;-甘間試求：0,其他，28.設(shè)二維隨機向量(X , Y)的概率密度為f(x, y)=*(1) E (X), E (Y); (2) D (X), D (Y); (3) p xy.2/34/31/182/909.設(shè)二維隨機變量(X, Y)的分布律為X、Y、

14、01200.10.20.110.2aP且已知E (Y) =1,試求:(1)常數(shù)口，E ； (2) E (X);(3) E (XY).0.20.20.60.610.設(shè)隨機變量X的分布律為XA012P1/81/21/81/4求 E (X), E (X2) , E (2X+3)11. 設(shè)隨機變量X的概率密度為X, 0 一 x : 1,f (x)=2 -x,1 £x<2,求 E (X), D (X) 12.設(shè)隨機變量 X, Y, Z相互獨立，且 E (X) =5, E (Y) =11, E (Z) =8,求下列隨機變量 的數(shù)學(xué)期望.(1) U=2X+3Y+1 ;(2) V=YZ -4X

15、.13.設(shè)隨機變量 X, Y 相互獨立，且 E (X) =E (0 =3, D (X) =12, D (Y) =16，求 E (3X -2Y),D (2X -3Y).14.設(shè)隨機變量(X, Y)的概率密度為f (x, y)k,0,0 ： x : 1,0 ： y x, 其他.試確定常數(shù)k,并求：:XY .15.對隨機變量 X 和 Y,已知 D (X) =2 , D (Y) =3, Cov(X,Y)= T,計算：Cov (3X -2Y+1 , X+4Y J3) |16. 設(shè)二維隨機變量(X, Y)的概率密度為f (X, y) =!、, xy1,0, 其他.試驗證X和Y是不相關(guān)的，但 X和Y不是相互

16、獨立的.17. 設(shè)隨機變量(X, Y)的分布律為二011/81/81/801/801/811/81/81/8驗證X和Y是不相關(guān)的，但 X和Y不是相互獨立的第六章n1. 設(shè)總體XN(0, 1), X1, X2,Xn為樣本，則統(tǒng)計量z X：的抽樣分布為 z2(n) i W2. 設(shè)X1, X2，Xn是來自總體X N(H,。2)的樣本，則Z (4)2_Z2(n)_ (需標出參數(shù)).(、廣5 Xi23. 設(shè)Xi, X2,，Xn (n>5)是來自總體X N (0, 1)的樣本，則Y =一卜旦寸Xi2 i=6_F(5,n5)_ (需標出參數(shù)). 1 24.設(shè)總體X N (1,。2 ) X1, X2,X

17、n為來自該總體的樣本，則X = Z Xi ,則 n i =1E(X)=1 ,5 .設(shè)總體X N(P, b2), X1, X2,，Xn為來自該總體的一個樣本，令 11=*”(：_*),貝 U D (U ) =1.6. 設(shè)總體XN (60, 152),從總體X中抽取一個容量為100的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于 3的概率.(用標準正態(tài)分布函數(shù) 中()表示) 2(1 中(2)7. 設(shè)總體XN (禹16), X，X2,，X10是來自總體X的一個容量為10的簡單隨機樣本,S2為其樣本方差，貝U統(tǒng)計量 S272(9).一16 一第七章1.設(shè)總體X的概率密度為g=fxr0 x 1;其他，其中e

18、是未知參數(shù)，x1,x2,xn是來自該總體的樣本，試求 0的矩估計和極大似然估討4矩1 +X氣= L n' ln xii d2.設(shè)總體X服從(0,日)上的均勻分布，今得X的樣本觀測值：0.2, 0.3, 0.5, 0.1, 0.6, 0.3, 0.2,0.2,求求e的矩估計值和極大似然估計值.0.60.63. 設(shè)總體X服從參數(shù)為入的泊松分布，其中 入為未知參數(shù)，Xi, X2,，Xn為來自該總體的一個樣本，求參數(shù)入的矩估計量和極大似然估計量 . 7矩=X九l = X,11.4. 設(shè)總體XN(七1), Xi,X2,X3為其樣本，若估計量 杓=一Xi+-X2+kX3為P的無23偏估計量，貝U k =1/6.1 11_ 111個估計里，且 島=X1+ X?+X3 , ?2 = X+X2+X3,其中較有效的估計重2 44333