高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)準(zhǔn)備.

1、（一）函數(shù)1凹（凸）函數(shù)1.1凸集凸集：對(duì)于任意兩點(diǎn)和，且對(duì)于每一個(gè)，當(dāng)且僅當(dāng)為真時(shí)，集合為凸集。凸集要求集合內(nèi)兩點(diǎn)之間的連線必須也在集合內(nèi)，即該集合不存在任何孔，它的邊緣也不能有縮進(jìn)。例如，平面中，一條線段就是一個(gè)凸集，而一個(gè)圓圈則不是。1.2凹（凸）函數(shù)介紹凸集是為了引入凹（凸）函數(shù)：不管是凹函數(shù)還是凸函數(shù)都要求其定義域是凸集。我們可以先舉個(gè)例子直觀感受下凹（凸）函數(shù)的特征，比如函數(shù)就是一個(gè)凹函數(shù)，它在定義域內(nèi)呈現(xiàn)出峰形；函數(shù)就是一個(gè)凸函數(shù)，它在定義域內(nèi)呈現(xiàn)谷底?，F(xiàn)在具體給出凹（凸）函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)和,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)f為凹函數(shù)。對(duì)于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個(gè)

2、不同的點(diǎn)和,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)f為凸函數(shù)。若將不等號(hào)“” 和“”分別變換成嚴(yán)格不等號(hào)“”和“”，上述定義便成了嚴(yán)格凹函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù)的定義。因?yàn)榘己瘮?shù)的定義域?yàn)橥辜?，因此點(diǎn)也一定在函數(shù)的定義域內(nèi)。我們可以利用凹（凸）函數(shù)和嚴(yán)格凹（凸）函數(shù)判斷函數(shù)極值的情況。凹函數(shù)一定存在絕對(duì)極大值，但絕對(duì)極大值可能不是唯一的，因?yàn)槿绻椒灏粋€(gè)平頂，則可能存在多重絕對(duì)極大值。僅當(dāng)我們限定它為嚴(yán)格凹形函數(shù)時(shí)，絕對(duì)值才可能是唯一的。1.3凹（凸）函數(shù)與凸集的關(guān)系首先我們必須區(qū)別凸集與凸函數(shù)的概念。根據(jù)定義，可知當(dāng)“凸的”在描述集合時(shí)，它要求該集合不能出現(xiàn)任何孔，邊緣也不能有縮進(jìn)。這不同于之前的凹（凸）函數(shù)：當(dāng)“凸

3、的”在描述函數(shù)時(shí)，它確定的是一條曲線或曲面是如何彎曲的。但凹（凸）函數(shù)確實(shí)與凸集有關(guān)。除了定義域都要求是凸集之外，它們都可以引致一個(gè)凸集。定理是凹函數(shù)是凸集；是凸函數(shù)是凸集。即，由函數(shù)上的點(diǎn)以及函數(shù)曲線（曲面）之下的點(diǎn)組成的集合若是凸集該函數(shù)為凹函數(shù)；由函數(shù)上的點(diǎn)以及函數(shù)曲線（曲面）之上的點(diǎn)組成的集合若是凸集該函數(shù)為凸函數(shù)。2擬凹（擬凸）函數(shù)不管是凹（凸）函數(shù)還是嚴(yán)格凹（凸）函數(shù)，它們對(duì)函數(shù)都有比較強(qiáng)的設(shè)定。但是通常，理論研究的工作之一是為保證獲得結(jié)果，識(shí)別出我們需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行的最弱的可行設(shè)定。擬凹（擬凸）函數(shù)則是一個(gè)相對(duì)而言更弱的條件。擬凹（擬凸）函數(shù)的定義如下：對(duì)于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個(gè)

4、不同的點(diǎn)和,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)f為擬凹函數(shù)。對(duì)于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)和,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)f為擬凸函數(shù)。若將不等號(hào)“” 和“”分別變換成嚴(yán)格不等號(hào)“”和“”，上述定義便適用于嚴(yán)格擬凹函數(shù)和嚴(yán)格擬凸函數(shù)的定義。我們也可以通過更直觀的方法檢驗(yàn)函數(shù)的擬凹性和擬凸性。設(shè) 為函數(shù)在水平上的上等值集，為函數(shù)在水平上的下等值集。定理對(duì)于值域內(nèi)的所有y值，都是凸集是擬凹函數(shù)對(duì)于值域內(nèi)的所有y值，都是凸集是擬凸函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中常假設(shè)擬凹的效用函數(shù)。根據(jù)定理，擬凹的效用函數(shù)保證了其上等值集為凸集這里有個(gè)問題，我的概念有些模糊，二元的效用函數(shù)下，介無差異曲線凸向原點(diǎn)也保證其上等值集為凸集，感覺那時(shí)上等值集是平面

5、上可以畫出來的。但現(xiàn)在這里的上等值集為凸集應(yīng)該是三維的，兩個(gè)凸集有關(guān)系嗎？。3函數(shù)間關(guān)系（1）是（嚴(yán)格）凹函數(shù)是（嚴(yán)格）凸函數(shù)；（2）是（嚴(yán)格）擬凹函數(shù)是（嚴(yán)格）擬凸函數(shù)；（3）是（嚴(yán)格）凹函數(shù)是（嚴(yán)格）擬凹函數(shù)（反之不成立）；（4）是（嚴(yán)格）凸函數(shù)是（嚴(yán)格）擬凸函數(shù)（反之不成立）；（5）單調(diào)函數(shù)既是擬凹函數(shù)也是擬凸函數(shù)（6）凹（凸）函數(shù)相加仍為凹（凸）函數(shù)，擬凹和擬凸函數(shù)則沒有類似關(guān)系。（二）無約束的最優(yōu)化問題1一元函數(shù)的無約束極值本講義將討論的函數(shù)范圍限定在二次連續(xù)可微函數(shù)的范圍里。給定一個(gè)二次連續(xù)可微的一元函數(shù),。易知，它在處取得極值的一階必要條件為：。而該極值究竟是極大值還是極小值得看

6、的符號(hào)：若，則為唯一的絕對(duì)極大值；若，則為唯一的絕對(duì)極小值。利用上述極值的導(dǎo)數(shù)條件，我們可以推導(dǎo)出極值的微分條件，即：極值的一階必要條件：對(duì)于任意非零，函數(shù)的一階全微分為零；對(duì)于任意非零，我們也可以通過計(jì)算函數(shù)的二階全微分來判斷極值的情況。綜上，當(dāng)函數(shù)為二次連續(xù)可微時(shí)，它取得極值的必要條件為：（1）函數(shù)在取得絕對(duì)極大值，對(duì)于任意非零都成立； （2）函數(shù)在取得絕對(duì)極小值，對(duì)于任意非零都成立。在滿足必要條件的前提下，函數(shù)取得唯一的絕對(duì)極值時(shí)充分條件為，對(duì)于任意非零都成立函數(shù)在取得唯一絕對(duì)極大值；，對(duì)于任意非零都成立函數(shù)在取得唯一絕對(duì)極小值。只要將改為一階微分向量，以上極值的微分條件能直接從單變量的

7、情況推廣至兩個(gè)甚至多個(gè)變量的情況。2多元函數(shù)的最優(yōu)化問題2.1一階條件穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值是指選擇變量的最優(yōu)解還是指函數(shù)的最優(yōu)解?產(chǎn)生疑問是因?yàn)槭Y中一那本書里提到的是穩(wěn)定值的概念，用的是后一種表述。前一種表述是高微筆記上記的。 ：上的函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值，在該點(diǎn)處，下面幾個(gè)等式同時(shí)成立：定理如果在點(diǎn)最優(yōu)解能不能這么表示？在Reny的附錄里有表達(dá)式，我們可能得到局部最大（小）值，即對(duì)于一個(gè)盡可能小的鄰域內(nèi)，所有點(diǎn)都有 ，那么穩(wěn)態(tài)條件必然滿足。2.2二階條件直覺上，多元函數(shù)與一元函數(shù)一樣，在穩(wěn)態(tài)值取得最大值還是最小值與的符號(hào)有關(guān)。我們先對(duì)進(jìn)行微分，可得：其中，為海塞矩陣。根據(jù)楊格定理：，因此海塞矩陣為對(duì)稱矩陣。在

8、判斷的符號(hào)之前，我們先正（負(fù)）定矩陣及其判定方法。定義若對(duì)于所有的，始終成立，則稱正定，A為正定矩陣；若對(duì)于所有的，始終成立，則稱負(fù)定，A為負(fù)定矩陣；若對(duì)于所有的，始終成立，則稱半正定，A為半正定矩陣；若對(duì)于所有的，始終成立，則稱半負(fù)定，A為半負(fù)定矩陣。根據(jù)以上定義，若要判斷的符號(hào)，我們只需判定與其對(duì)應(yīng)的海塞矩陣的正（負(fù)）定。其實(shí)，通過判定海塞矩陣的正（負(fù)）定，我們也可以判定函數(shù)的凹（凸）性，即對(duì)于二次連續(xù)可微函數(shù)， （1）其海塞矩陣負(fù)定函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)存在唯一絕對(duì)極大值；（2）其海塞矩陣正定函數(shù)為嚴(yán)格凸函數(shù)存在唯一絕對(duì)極小值。接下來介紹正負(fù)定的判定方法。定義主子陣：對(duì)矩陣A，由A 的 k個(gè)主

9、對(duì)角線元素及其對(duì)應(yīng)的非對(duì)角線元素來得到的矩陣，稱為A的k階主子陣；由A 的 前k個(gè)主對(duì)角線元素及其對(duì)應(yīng)的非對(duì)角線元素來得到的矩陣，為k階前主子陣高微筆記里是前主子陣?？匆院蟾杏X那里記的概念不準(zhǔn)確，就用了金老師上課用的解釋，但只有順序主子式的介紹，不知道適不適合前主子陣。主子陣的行列式為主子式；前主子陣的行列式為順序主子式。我們用表示的k階順序主子式（其中），如:，,。定理對(duì)于二次連續(xù)可微函數(shù)，（1）海塞矩陣正定；（2）海塞矩陣負(fù)定。用表示海塞矩陣H的指標(biāo)（1,2,3，n）的任意排序，為的k階順序主子式，則（3）海塞矩陣半正定；（4）海塞矩陣半負(fù)定。從而，我們給出極值的充分條件：已知二次連續(xù)可微

10、函數(shù)， (1)其海塞矩陣負(fù)定嚴(yán)格凹函數(shù) 為函數(shù)的唯一絕對(duì)極大值；(2)其海塞矩陣正定嚴(yán)格凸函數(shù) 為函數(shù)的唯一絕對(duì)極小值。3舉例：二元函數(shù)的無約束極值問題有一個(gè)二次連續(xù)可微函數(shù)，可知其海塞矩陣為，則，,，根據(jù)之前的判定規(guī)則， (1) ，為嚴(yán)格凹函數(shù)；(2) ，為嚴(yán)格凸函數(shù)；(3) ，為凹函數(shù)；(4) ，為凸函數(shù)；若，我們就可以根據(jù)函數(shù)的凹凸性來判定函數(shù)在點(diǎn)取得的是絕對(duì)極大值還是絕對(duì)極小值。（三）具有約束條件的最優(yōu)化問題之前的部分只是考慮了無約束條件的最優(yōu)化問題，這即是說在求極值的過程中，我們沒有對(duì)選擇變量的值進(jìn)行約束，從而求得的解可能是負(fù)值，也可能很大。然而考慮到經(jīng)濟(jì)學(xué)是建立在稀缺的資源如何配置

11、的問題上的，因而在經(jīng)濟(jì)學(xué)的最優(yōu)化求解過程中，我們通常不得不面臨資源的稀缺性即對(duì)選擇變量的值加上約束條件。約束條件大致分三類：等式約束、非負(fù)約束以及更普遍的，其它形式的不等式約束。我們將依次介紹對(duì)應(yīng)的求解方法。從現(xiàn)在開始，討論將以最大化問題為主，在解決最大化問題后會(huì)稍微提及解決最小化問題的方法。1等式約束關(guān)于解決等式約束的方法，其實(shí)我們已經(jīng)學(xué)過了，就是利用拉格朗日方法求解的過程?，F(xiàn)在簡(jiǎn)要回顧拉格朗日函數(shù)。1.1二元目標(biāo)函數(shù)、一個(gè)等式約束的約束最優(yōu)化條件考慮二元函數(shù)下，具有約束條件的最優(yōu)化問題其中c是一個(gè)常數(shù)，z和g都是二次連續(xù)可微函數(shù)。該問題的拉格朗日函數(shù)為：一階條件要求：求出上述一階條件，可得

12、。二階條件：將拉格朗日乘子也看作是變量，則最大化拉格朗日函數(shù)的過程可視為無約束最優(yōu)化過程。這也就是說，如果解滿足L的無約束極值中極大值的二階條件，我們便可確定 是我們約束最優(yōu)化問題的解。事實(shí)上在二階條件求導(dǎo)過程中，這里與無約束最優(yōu)化關(guān)鍵區(qū)別在于， 與的取值不再是任意非零即可，等式約束中與的取值有關(guān)。對(duì)等式約束兩邊求一階全微分，可得：， 因此等式約束要求。對(duì)函數(shù)進(jìn)行二階全微分可得：對(duì)進(jìn)行二階全微分，化簡(jiǎn)可得：將上式代入，可得：而。定義 為加邊海塞矩陣, 它是由海塞矩陣和一階導(dǎo)數(shù)（邊）構(gòu)成的矩陣，用表示，H上面的-表示邊。 。則綜上，我們可以得到目標(biāo)為二元函數(shù)、僅包含一個(gè)等式約束的最優(yōu)化條件：當(dāng)滿

13、足拉格朗日函數(shù)的一階條件時(shí)，為約束極?。ù螅┲怠?.1.1嚴(yán)格擬凹（擬凸）函數(shù)與約束極值的關(guān)系當(dāng)函數(shù)y是二次連續(xù)可微時(shí)，我們還可以用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)（整理成加邊行列式）的方法來檢驗(yàn)：設(shè)（1）z為嚴(yán)格擬凹函數(shù)；（2）z為嚴(yán)格擬凸函數(shù)。將B與之前的加邊海塞矩陣進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)不同之處：一為B中的加邊元素是函數(shù)f而非g的一階偏導(dǎo)數(shù)，二為B中的其余元素是f而非拉格朗日函數(shù)L的二階偏導(dǎo)數(shù)。然而，在線性等式約束的特定情況下（這類等式約束在經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常遇到），可簡(jiǎn)化為,即。從而，拉格朗日函數(shù)為從而且?；氐健斑叀保覀冏⒁獾骄€性約束函數(shù)產(chǎn)生一階導(dǎo)數(shù)，因而一階條件可寫為。因此B中的邊只不過是的邊被

14、正的標(biāo)量乘。通過順序提取的橫邊和縱邊的公因子，得到結(jié)果，在線性約束情況下，與總有相同的符號(hào)。由此可知，在線性約束的條件下，我們可以通過直接判斷目標(biāo)函數(shù)的嚴(yán)格擬凹（凸）性去判斷約束極值的情況：(1)目標(biāo)函數(shù)為嚴(yán)格擬凹函數(shù)函數(shù)在穩(wěn)態(tài)值取得唯一的約束絕對(duì)極大值；(2)目標(biāo)函數(shù)為嚴(yán)格擬凸函數(shù)函數(shù)在穩(wěn)態(tài)值取得唯一的約束絕對(duì)極小值。1.1.2擬凹（凸）函數(shù)與凹（凸）函數(shù)的關(guān)系平滑、遞增、擬凹的效用函數(shù)上等值集為凸集凸的向下傾斜的無差異曲線。因?yàn)榈犬a(chǎn)量曲線的概念幾乎與無差異曲線是一致的，我們可以類推：平滑、遞增、擬凹的生產(chǎn)函數(shù)上等值集為凸集凸的向下傾斜的等產(chǎn)量曲線。自己的總結(jié)，邏輯對(duì)么？1.2多元目標(biāo)函數(shù)、

15、m個(gè)等式約束的約束最優(yōu)化條件現(xiàn)在將拉格朗日方法應(yīng)用于多元函數(shù)。面臨的最優(yōu)化問題為：拉格朗日函數(shù)為：一階條件：二階條件：此時(shí)加邊海塞矩陣為：定義。利用我們直接給出多元目標(biāo)函數(shù)、m個(gè)等式約束的約束最優(yōu)化條件：為滿足一階必要條件的解，則(1)函數(shù)在點(diǎn)取得唯一的約束絕對(duì)極大值；(2) 函數(shù)在點(diǎn)取得唯一的約束絕對(duì)極小值。2非負(fù)約束考慮一元可微函數(shù)：由于約束條件，因此可能會(huì)出現(xiàn)三種情況：（1）在x大于零時(shí)取得絕對(duì)極大值。此時(shí)我們得到了一個(gè)內(nèi)點(diǎn)解。在這種情況下，一階條件是，和經(jīng)典問題一樣。（2）x等于零時(shí)取得絕對(duì)極大值。此時(shí)我們得到了一個(gè)邊界解，但仍然成立。（3）x小于零時(shí)取得絕對(duì)極大值。此時(shí)我們也得到了邊

16、界解，但因?yàn)樽鳛榉蔷€性約束問題中的一個(gè)局部極大值，候選點(diǎn)必須必可行域中的鄰近點(diǎn)高，從而要求。綜上，為了在內(nèi)找到的極大值， 必須滿足以下三個(gè)條件中的一個(gè)：（1）且； （2）且；（3）且；將上述三個(gè)條件合成一個(gè)論述：，且，其中，第三個(gè)等式表達(dá)了三個(gè)條件的一個(gè)共同特點(diǎn)，即x和至少有一個(gè)是零，因此兩者的乘積一定是零。這個(gè)特點(diǎn)是指x與互補(bǔ)松弛。當(dāng)問題包含n個(gè)選擇變量時(shí)：解決的思路與一元函數(shù)相同，這里我們直接給出該約束最優(yōu)化的必要條件：(1)給定非負(fù)約束，多元函數(shù) 在穩(wěn)態(tài)值處取得約束極大值，則滿足(1)給定非負(fù)約束，多元函數(shù) 在穩(wěn)態(tài)值處取得約束極小值，則滿足3其它形式的不等式約束現(xiàn)在我們?cè)诜秦?fù)約束的基礎(chǔ)上

17、，再引入不等式約束。為簡(jiǎn)化，我們先處理兩個(gè)選擇變量和一個(gè)不等式約束條件的問題:在虛擬變量s的幫助下，我們可以將上述問題變換為：若沒有非負(fù)約束，則我們可利用拉格朗日函數(shù)求解：一階條件為：但由于x與s必須是非負(fù)的，因此1.1部分的思路，上述一階條件應(yīng)改為：且；且；。注意仍然成立，為何？因?yàn)橐欢ǔ闪ⅰ＿M(jìn)而，將以及代入第二個(gè)條件，則第二個(gè)條件與第三個(gè)條件可變?yōu)椋呵覐亩覀兛梢杂脹]有虛擬變量的等價(jià)形式來表達(dá)的一階條件（這時(shí)）：且；且。上述討論可以直接的方式應(yīng)用于n個(gè)選擇變量和個(gè)約束條件的問題。拉格朗日函數(shù)L的形式為：則該非線性約束問題的庫(kù)恩-塔克條件為（極大化）：且；且。如果問題是求極小值，那么可以將它

18、轉(zhuǎn)化為極大化問題，然后應(yīng)用以上條件求解。此處僅介紹用庫(kù)恩-塔克條件求解非線性規(guī)劃中的極大值問題。按水平的方向解讀上式，我們可以看見庫(kù)恩-塔克條件在極大化問題中包括了一組與選擇變量與拉格朗日乘數(shù)的條件。從垂直的方向來解讀，對(duì)于每一個(gè)選擇變量和拉格朗日函數(shù)，都有一個(gè)邊際條件（第一列）、一個(gè)非負(fù)約束（第二列）和一個(gè)互補(bǔ)松弛條件（第三列）。在任一個(gè)給定條件下，與選擇變量相關(guān)的一組邊際條件與拉格朗日成熟的一組邊際條件在不等號(hào)方向上是不同的。若滿足約束規(guī)范，庫(kù)恩-塔克條件極大（小）化條件可以作為總體極大（?。┲档谋匾獥l件。1.2舉例我們現(xiàn)在就將庫(kù)恩-塔克條件應(yīng)用于效用最大化問題：拉格朗日函數(shù)為：該問題的約

19、束條件為線性的，因而它一定滿足約束規(guī)范（之后解釋），故可利用庫(kù)恩-塔克條件求解，可得：且；且；且；且。寫出庫(kù)恩-塔克條件后，典型的方法是通過試錯(cuò)法來求解。步驟如下：(1)首先給選擇變量賦值為零。通過消除某些項(xiàng)來使條件簡(jiǎn)化。如果適當(dāng)?shù)姆抢窭嗜粘藬?shù)可以滿足所有邊際不等式，那么零解將是最優(yōu)的。對(duì)于當(dāng)前這個(gè)例子，當(dāng)或時(shí)，沒有意義，因此該問題中x和y都是正數(shù)。此步驟跳過。（2）如果零解違反一些不等式，那么可以嘗試讓一個(gè)或更多選擇變量為正數(shù)。對(duì)于每個(gè)正的選擇變量，我們可以通過互補(bǔ)松弛條件使不等式邊際條件轉(zhuǎn)換為嚴(yán)格等式邊際條件。應(yīng)用于當(dāng)前例子，則：；由于，其它條件可變?yōu)椋?；這時(shí)我們?nèi)匀徊荒芎?jiǎn)化條件且。因此

20、我們需要步驟(3)。（3）假設(shè)函數(shù)對(duì)拉格朗日乘數(shù)的偏導(dǎo)取不等號(hào)；若這個(gè)假定導(dǎo)致矛盾，那我們應(yīng)該將該偏導(dǎo)等于零進(jìn)行測(cè)算。因此，我們先假設(shè)則，那么有。但這一解違反了約束，故舍去。那么，我們假設(shè)則。1.3約束規(guī)范之前多次強(qiáng)調(diào)，庫(kù)恩-塔克條件只有在滿足規(guī)范約束時(shí)，才是極值的必要條件。那么約束規(guī)范具體是什么？先介紹幾個(gè)概念。令是可行區(qū)域邊界上的一個(gè)可能的解點(diǎn)，并令表示由所提到的邊界點(diǎn)移動(dòng)的特定方向。測(cè)試向量：若某一向量滿足條件（i）如果第j個(gè)選擇變量在點(diǎn)x*處取得零值，那么只允許在xj軸上有非負(fù)變化，即：若，那么；（ii）如果在點(diǎn)x*處恰好滿足第i個(gè)約束條件的等式約束，那么將只允許的取值使得約束函數(shù)值不

21、增加（對(duì)極大值問題），即：若，則必須成立；則該向量為測(cè)試向量。規(guī)范弧：若某一弧段滿足條件（i）從點(diǎn)x*處出發(fā)；（ii）整個(gè)包含在可行區(qū)域內(nèi)；（iii）與已知測(cè)試向量相切；則該弧段我們成為該測(cè)試向量的規(guī)范弧。有了這些預(yù)備知識(shí)后，約束規(guī)范可簡(jiǎn)單地表達(dá)為：如果對(duì)可行區(qū)域邊界上的任意點(diǎn)x*，對(duì)每一測(cè)試向量dx，存在一規(guī)范弧，那么，就滿足約束規(guī)范。約束規(guī)范的定義看上去有些抽象，有興趣的同學(xué)可以借助參考書中的例子求解理解掌握這一概念。如果實(shí)際求解中，我們遇到可行區(qū)域是僅由線性約束形成的凸集，那么約束規(guī)范總是滿足，且?guī)於?塔克條件在最優(yōu)解處總成立。這時(shí)就免去了檢驗(yàn)約束規(guī)范是否滿足的步驟。(四)最優(yōu)化的其他主題接下來我們將回到經(jīng)典的等式約束最優(yōu)化領(lǐng)域來討論包絡(luò)定理。1極大值函數(shù)極大值函數(shù)是當(dāng)選擇變量都是最優(yōu)值時(shí)候的目標(biāo)函數(shù)。這些選擇變量的最優(yōu)值是外生變量和參數(shù)的函數(shù)。一旦選擇變量的最優(yōu)值代入原目標(biāo)函數(shù)中，那么目標(biāo)函數(shù)就間接地稱為參數(shù)的函數(shù)。因此，極大值函數(shù)也稱間接目標(biāo)函數(shù)。它是當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化的時(shí)候，目標(biāo)函數(shù)極大（?。┲底兓能壽E。舉例：通過求解我們可得。將最優(yōu)值代入U(xiǎn)=u(x,y)，則可得間接效用函數(shù)：。2包絡(luò)定理包絡(luò)定理：即使在外生變量可能作為內(nèi)生選擇變量的解的一部分間接進(jìn)入極大值函數(shù)的情況下，也只有