向量易錯(cuò)題帶答案

1、在 ABC中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué) AP=2PM,則PA (PB PC)等于A、4_9已知向量4 c 4D 、339a =(1,2)，b= (2, -3).若向量 c滿足(c - a)/b，c _ (a - b)，則 c =()A、(9,3)7 -7 一 9-已知|荷=8，|£| = 5，則|BC|的取值范圍是(A、3, 8B( 3, 8)C、3, 13D、( 3, 13)A、C、Xi設(shè)向量 a 二(X1, yj,b 二(X2, y?)，則X2y11是a/ b的(y2)條件。充要充分不必要下列命題：、必要不充分、既不充分也不必要(a)2 (a)2=|a|4(

2、a b) c =(a c) bI a b |=|a | | b | 若 a II b ,b II c,則 a II ca II則存在唯一實(shí)數(shù) 入，使b若 ac = bc，且 c工o，貝U a=b，都存在唯一一組實(shí)數(shù)x、y，使 設(shè)ei ,e2是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量a = xe ye2 成立若 |a+b|=| a b| 則 a b =0。 a b =0，貝 U a =0 或 b =0真命題個(gè)數(shù)為()A、1B、2C、3D 3 個(gè)以上<6 和a = (3, 4)平行的單位向量是 ；L 呻 db7.已知向量p二耳土，其中a、b均為非零向量，則| p|的取值范圍是.|a| |b|8

3、若向量a = (x,2x ), b=( 3x,2 )，且a，b的夾角為鈍角，貝U x的取值范圍是 AB = DC = (1,9 .在四邊形ABCD中,1)，BD，則四邊形ABCD勺面積是10.A ABC中，已知 AB AC >0， BC 'AB V0，CB CA A0，判斷 ABC的形狀為 .11 向量a、b都是非零向量，且向量 a + 3b與7a-：b垂直，a-4b與la b垂直，求a與b的夾 角.12. a = (1 cos： ,sin : ), b =(1 - cos :,sin -),c = (1,0),二三(0,二)：=(二,2二),a與 c 的夾角為-Be i, b與

4、c的夾角為e 2，且“一6,求sin， 的值.3213 .設(shè)兩個(gè)向量 ei, e2,滿足|e i| = 2, |e 2| = 1 , ei與e?的夾角為3 .若向量2te i + 7e?與ei+ te 2的夾角為 鈍角，求實(shí)數(shù)t的范圍.14 .四邊形 ABCD 中，AB = a, BC =b, CD = c , DA = d，且 ab = b c = c d =dr，試問(wèn)四邊形 ABCD是什么圖形？15 如圖，在Rt ABC中，已知BC=a若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)PQ與BC的夾角二取何值時(shí)BP CQ的值最大？并求岀這個(gè)最大值0),經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O以c+入i為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)AP

5、,其中入 R.試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F,使得16.已知常數(shù) a>0，向量 c= (0, a), i= (1 ,(0, a)以i 2入c為方向向量的直線相交于點(diǎn)|PE|+|PF|為定值.若存在，求岀E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由為起點(diǎn)，且與向量 b= (-3,4)平行的單位向量，則向量 a的終點(diǎn)坐標(biāo)是多少?3)，若點(diǎn)P在直線RF2上，且滿足|PiP|=2|PP 2|，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。17 .已知a是以點(diǎn) A(3,-1)18 已知 Pi(3,2) , P (8,19在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，求的值.20.已知同一平面上的向量a、b、c兩兩所成的角相等，并且 |a|=1, |b|=2

6、, |c|=3，求向量a b c的長(zhǎng)度參考答案1 . A【解析】【錯(cuò)解分析】不能正確處理向量的方向?qū)е洛e(cuò)選為D由AP二2pM知，p為 ABC的重心,根據(jù)向量的加法PB PC-2PMAP(PB PC)=2APPM=2APPM【正解】 AP(PB PC) = 2APPM=2ApPMo n 2 14cos0=213 39PA(PB PC)=-AP(PB故選A。2 . D【解析】【錯(cuò)解分析】由于混淆向量平行與垂直的條件，即非o 向量 a/b：=x$2 x?yi =0，a _ b：= x1x2 丫皿 二0 ,而不能求得答案?！菊狻坎环猎O(shè) C =(m,n)，則 a c= 1 - m,2 n ,a b =

7、 (3,-1)，對(duì)于 c a /b，則77有-3(1 m 2(2 n)；又 c _ a b，則有 3m - n = 0，則有 m ,n ，故選93D。【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)平面向量的平行和垂直關(guān)系的考查，很好地 體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問(wèn)題中的應(yīng)用.3. C【解析】【錯(cuò)解分析】對(duì)題意的理解有誤，題設(shè)條件并沒(méi)有給岀A、B、C三點(diǎn)不能共線，因此它們可以共線。當(dāng)A、B、C共線時(shí)， ABC不存在，錯(cuò)選 Do【正解】因?yàn)橄蛄繙p法滿足三角形法則，作岀|AB| = 8 |AC|=5 BC=AC-AB(1 )當(dāng)厶ABC存在，即A B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，3”：|BC|：13 ；(

8、2)當(dāng)AC與AB同向共線時(shí)，|BC卜3 ； 當(dāng) AC與AB反向共線時(shí)，| BC H13.|BC| 3, 13】，故選 Co4. C【解析】【錯(cuò)解分析】a/b=x1 y x2y 0 =，此式是否成立，未考慮，選AoX2y2【正解】若XiX2yi一則 Xi y2X2 yi = 0,. a/b，若 a/ b，有可能 x?或 y?為 o，故選 c。 y25 . B【解析】【錯(cuò)解分析】錯(cuò)誤應(yīng)為 a共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正 確應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來(lái), 如果認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律就會(huì)產(chǎn)

9、生一些錯(cuò)誤的結(jié)論?！菊狻空_。根據(jù)向量模的計(jì)算錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律，這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義（a c） b表示和向量b共線的向量，同理 （a b） c表示和向量 c共線的向量，顯然向量b和向量c不一定是共線向量，故（a b） c - （a c） b不一定成立。錯(cuò)誤錯(cuò)誤應(yīng)加條件“非零向量a ”錯(cuò)誤向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量b和向量b在向量c方向的投影注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)。錯(cuò)誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量e ,e2是不共線的向量即一組基底。a，b， c a）b二 配律）

10、6 . （ - 35【解析】和實(shí)數(shù)入，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：ab = ba 入（ab） =a（入b）（數(shù)乘結(jié)合律）（a + b ） c =a 正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等，即四邊形為矩形。故a b =0o 錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。綜上真命題個(gè)數(shù)為 2，故選B【點(diǎn)評(píng)】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知 交換律）（入+ b1 ?【錯(cuò)解分析】因?yàn)?a的模等于5，所以與a平行的單位向量就是a，即（5 13【正解】因?yàn)閍的模等于5,所以與a平行的單位

11、向量是一 J a，即（-55a=（3, 4）垂直的【點(diǎn)評(píng)】平行的情況有方向相同和方向相反兩種。讀者可以自己再求解“和 單位向量”，結(jié)果也應(yīng)該是兩個(gè)。7 . °,2】【解析】【錯(cuò)解分析】本題常見(jiàn)錯(cuò)誤五花八門(mén)，錯(cuò)誤原因是沒(méi)有理解向量的模的不等式的性質(zhì)?！菊狻糠謩e表示與a、b同向的單位向量，ababab同lb<叭b|<同+【解析】【錯(cuò)解分析】只由a,b的夾角為鈍角得到a b ： 0,而忽視了 a b : 0不是a,b夾角為鈍角的充要條件，因?yàn)閍,b的夾角為180時(shí)也有a b : 0,從而擴(kuò)大x的范圍，導(dǎo)致錯(cuò)誤.【正解】a , b的夾角為鈍角，.a b =x -3x 2x 2

12、二-3x2 4x ： 0解得x :： 0或X -3(1)又由a,b共線且反向可得由（1）,（2）得X的范圍是【解析】【錯(cuò)解分析】不清楚口，不能正確求解?！菊狻坑深}知四邊形cosABD 二-He )3'BA+哥與/ ABC的角平分線有關(guān)，從而不能迅速找到解題的突破BCBAABCD是菱形，其邊長(zhǎng)為2，且對(duì)角線BD等于邊長(zhǎng)的3倍，所以2丄，故 sinABD-專(zhuān)，Sabcd =(血)2 迥=73。2 2 2 2 2 210銳角三角形【解析】【錯(cuò)解分析】 BC AB £0，. | BC I |AB | COSB <0。/ B為鈍角，二 ABC為鈍角三角形。錯(cuò)將BC與AB的夾角看

13、成是 ABC的內(nèi)角B,向量BC與AB的夾角應(yīng)為蔥一B?！菊狻緼B AC =|AB | |AC | cos A ；BC AB 彳 BC | |AB | cos（兀B 戶 BC | |AB | cosB CB CA =|CB | JCA | cosC-AB AC . 0, BC AB : 0, CB CA . 0cosA 0, cosB 0, cosC 0, A、B、C均為銳角。 ABC為銳角三角形。160；【解析】【錯(cuò)解分析】由題意，得 （a + 3b林7 a -、b） = 0， （a - ：b）|_（7a - lb） =0，將、展開(kāi)并相減，得46 aLb=2，1 H，故 a = b，2將代入

14、，得a ，則 a = b，設(shè)a與b夾角為二，則cos-a_b2b1, ” a|Lb b22/ 0 < 180 ）- 60 .【正解】設(shè)向量 a、b的夾角為二，由題意，得（a+ 3b）Uf7a-、b）=0， （a - :b）|_（7a - =b） =0，將、展開(kāi)并相減，得46 aLb= Hb2，有2al_b = b2，代入式、式均可得a2 = b2，貝y a =|b ,cosaLb4Jb）又 0 w,， v - 60 .【點(diǎn)評(píng)】錯(cuò)解中解法表面上是正確的，但卻存在著一個(gè)理解上的錯(cuò)誤，即由得到，錯(cuò)把數(shù)的 乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上由于向量的數(shù)量積不滿足消去律，所以即使 b=也不能隨便

15、約去.12.2【解析】【錯(cuò)解分析】此題在解答過(guò)程中，學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來(lái)，注意在用已知 角表示兩組向量的夾角的過(guò)程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論?！菊狻? 2 2 ' |：, |：1 a = (2cos ,2sin cos) =2cos(cos,sin. b=(2sin ,2sincos)2 2 2 2 2 2 2 2 2PPP0( Tt P Jt=2sin (sin,cos(0,二)，：(二,2二)，.(0,-), (- ),故有a c|a| = 2cos |b| = 2sin. cos哥：2 a2cos 2a2cos 2aa=cos, 1 =22.COSd2

16、b|b| |c|2 :2si n 2W2si n2a - P2 _m,。2 2 2Tia _ P，從而 sinsin6 2 6P ji因2 20£PJI+ 222當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交匯性，向量是新課程新增JI【點(diǎn)評(píng)】?jī)?nèi)容，具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系這些知 識(shí)的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢(shì)。高考對(duì)三角的考查常常以向 量知識(shí)為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的模或向量的運(yùn)算來(lái)進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn) 用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。一一|a| |c|1 口71413. 7<t< 且 t

17、 工一2 2【解析】【錯(cuò)解分析】 2te 1+ 7e2與eH te 2的夾角為鈍角，- (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0，21 2t + 15t + 7<0，解之得： 7<t< 21t的范圍為(一7,).2【正解】T 2te 1 + 7e2與 e1+ te 2的夾角為鈍角，- (2te 1 + 7e2) (e 1 + te 2)<0 且 2te 1 + 7e2工入(e 1 + te 2)(入 <0)./ (2te 1+ 7e2) (e 1+ te 2)<0 得 2t + 15t + 7<0，7<t< 右 2te i

18、 + 7e2=入（e i + te 2）（入 <0）, -（2t 入）e 1+ （7 t 入）e 2 = 0.，即tt的取值范圍為：一7<t< 丄且t工一14 .2 2【點(diǎn)評(píng)】本題錯(cuò)誤的關(guān)鍵是沒(méi)有把握準(zhǔn)向量夾角與向量數(shù)量積的等價(jià)關(guān)系.一般地，向量a, b為非零向量，a與b的夾角為0 ,則0為銳角 a b>0且a, b不同向；e為直角 a b=0 ； 0為鈍角 a b<0且a b不反向.2te 1 + 7e2與 ei+ te 2 的夾角為鈍角 ？(2te 1+ 7e2) (e 1 + te 2)<0.14 四邊形ABCD是矩形【解析】【錯(cuò)解分析】四邊形的形狀由

19、邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量， 易忽視如下兩點(diǎn)：(1)在四邊形中， AB， BC，CD， DA是順次首尾相接向量，則其和向(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的量是零向量，即a + b+ c+d = 0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用； 關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系。【正解】四邊形 ABCD是矩形，這是因?yàn)橐环矫妫杭磡a|2+ 2a2b+|b|= | c2I + 2 c d +IdI2由于ab =c|a|2+ 1b I2= I c I 2+ Id I2同理有1aI 2+2 21 d I = I c I + Ib I 2由可得I a1 =Ic I，且 IbI

20、 =I d I-d，（c +d）2由a + b+ c+d = 0 得a + b=( c + d)，即 卩(a + b )2即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等四邊形 ABCD是平行四邊形另一方面，由ab = b c，有b(a c )= 0，而由平行四邊形ABCD可得玄=代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0，a丄b也即AB丄BG綜上所述，四邊形 ABCD是矩形?！军c(diǎn)評(píng)】向量具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容 的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視。基于這一點(diǎn)解決向量 有關(guān)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。15當(dāng)v -0

21、時(shí)，BC CQ最大，值為0.【解析】【錯(cuò)解分析】本題易錯(cuò)點(diǎn)有IOIiI(1 )不會(huì)利用 AP A-a及AC -AB =0這兩個(gè)關(guān)系式，即沒(méi)有把 BP表示為AP - AB，CQ表示為AQ - AC 致使該題在運(yùn)算上發(fā)生錯(cuò)誤。(2)在運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算過(guò)程中，未知數(shù)多，如B(b,O), C(O,c),P(x, y),Q(_x, _y)而忽視了這些量?jī)?nèi)在的聯(lián)系b2 c a2, x2 y2,還有cost的表示式COST二.沖，這些關(guān)系不a能充分利用，導(dǎo)致運(yùn)算錯(cuò)誤?！菊狻拷夥ˋB_AC, ABC故當(dāng)cos二-1,即卩V=0 ( PQ與 BC方向相同)時(shí),BCCQ最大，其最大值為0.解法二：以直角頂點(diǎn) A為坐

22、標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.故當(dāng)COST -1,即V -0( PQ與BC方向相同)時(shí)， BC CQ最大，其最大值為 0.【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查向量的概念，平面向量的運(yùn)算法則，考查運(yùn)用向量及函數(shù)知識(shí)的能力16存在 E(；11 2 a、匚/ 1 ;1 2 a、匸小 1 / _-a 叨，F(xiàn)(f2a 2)和 E(%(aa2F(0(a_Ja2)2 2【解析】【錯(cuò)解分析】此題綜合程度較高，易錯(cuò)點(diǎn)一方面表現(xiàn)在學(xué)生對(duì)題意的理解如對(duì)方向向量的概念的 理解有誤，另一面是在向量的問(wèn)題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來(lái)解答，使思維陷入 僵局而出錯(cuò)?！菊狻扛鶕?jù)題設(shè)條件，首先求岀點(diǎn)P

23、坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值 . i= ( 1，0)，c= (0，a)，c+ 入 i=(入，a)， i 2 入 c= (1， 2 入 a)因此，直線 OP和AP的方程分別為，y =ax和y a = -2 ax.消去參數(shù)入，得點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)滿足方程 y(y - a) - -2a2x2.整理得因?yàn)閍 0,所以得:(i )當(dāng)a=時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；2(ii )當(dāng)0心：丄 時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)' 2的兩個(gè)定點(diǎn)；(iii )當(dāng)a 時(shí)，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)2合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)

24、算E(丄Ja2,-)和 F(丄J丄一a22 ' 2 2 22E(0,1(a空)為合乎題意41a2寸)和 F(0,?(a-；)為,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與17. (12，-5【解析】【錯(cuò)解分析】4(x -3) + 3(y +1) = 0 (x3)2 +(y + 1)2 =112x =51y5185，故填9(12，-)或(18，-)5555方法二 與向量b= (-3,4)平行的單位向量是士1 (-3,4)，5圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過(guò)程中一方面要注意在給岀的向量問(wèn)題情景 中

25、轉(zhuǎn)化岀來(lái)，另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決解析幾何問(wèn)題。如：線段的比值、 長(zhǎng)度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問(wèn)題，提高自已應(yīng)用向量知識(shí)解決解析幾何問(wèn)題的意識(shí)。1)或(18，- 9 )555本題易錯(cuò)點(diǎn)常表現(xiàn)在不能正確把握單位向量的概念，從而無(wú)法解答，同時(shí)解答過(guò)程 中如果不能正確轉(zhuǎn)換平行條件，也是無(wú)法解答此題的。，則題意可知【正解】方法一 設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y),則a=(x-3,y+1)便可得結(jié)果。3 4故可得a=± (-,)，從而向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x,y)=a-(3,-1),5 5【點(diǎn)評(píng)】向量的概念較多，且容易混淆，在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概念。與a平行的單位向量 e=± -|a|19 818.(，)或(13, 4)3 3【解析】19 8【錯(cuò)解分析】由|P1P|=2|PP2|得，點(diǎn)P分P1P2所成的比為2,代入定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 (,-)3 3 19 8【正解】當(dāng)點(diǎn)P為P1，P2的內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，P分P1F2所成的比為2,此