初中數(shù)學平面幾何之中點

1、初中數(shù)學平面幾何之-中點問題口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì) （直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖 1，AD是ABC的中線，則 S ABDACDSABC（因為與=S=ABDACD是等底同高的）。例 1如圖 2，ABC中， AD是中線，延長 AD到 E，使 DE=AD，DF是DCE的中線。已知ABC的面積為 2，求：CDF的面積。解：因為 AD是

2、ABC的中線，所以 S =S ABC=×2=1，又因 CD是ACACDE 的中線，故CDEACDS =S=1，因 DF是CDE的中線，所以 S CDF=S CDE=×1=。 CDF的面積為。（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例 2如圖 3，在四邊形 ABCD中，AB=CD，E、F 分別是 BC、AD的中點， BA、CD的延長線分別交EF的延長線 G、 H。求證： BGE= CHE。證明：連結(jié) BD，并取 BD的中點為 M，連結(jié) ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD， MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB， MFE=BGE，AB=CD， ME=MF， ME

3、F=MFE，從而 BGE=CHE。（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例 3圖 4，已知 ABC中，AB=5，AC=3，連 BC上的中線 AD=2，求 BC的長。解：延長 AD到 E，使 DE=AD，則 AE=2AD=2×2=4。在 ACD和 EBD中， AD=ED， ADC=EDB， CD=BD， ACDEBD， AC=BE，從而 BE=AC=3。在ABE中，因22222AE+BE=4 +3 =25=AB，故 E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例 4如圖5，已知ABC中， AD是 BAC的平分線，AD又是 BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長 AD到 E，使

4、 DE=AD。仿例 3 可證：BEDCAD，故 EB=AC， E=2，又 1=2， 1=E，AB=EB，從而 AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5如圖 6，已知梯形 ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證： AC=BD。證明：取 AB的中點 E，連結(jié) DE、CE，則 DE、CE分別為 Rt ABD，Rt ABC斜邊 AB上的中線，故 DE=CE= AB，因此 CDE= DCE。AB/DC， CDE= 1， DCE= 2， 1=2，在 ADE和 BCE中，DE=CE， 1= 2， AE=BE， ADEBCE， AD=BC，從而梯形 ABCD是等腰梯形

5、，因此AC=BD。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線， 常延長加倍此線段 ，再將端點連結(jié)， 便可得到全等三角形。例一：如圖 4-1 ：AD為 ABC的中線，且 1=2，3=4，求證： BE+CF>EF。A證明：廷長 ED至 M，使 DM=DE，連接 CM，MF。在 BDE和 CDM中，EFBD=CD（中點定義）1234CBDM圖411=5（對頂角相等）ED=MD（輔助線作法） BDE CDM（SAS）又1= 2， 3=4（已知）1+2+ 3+4=180°（ 平角的定義 ） 3+2=90°即： EDF=90° FD

6、M= EDF=90°在 EDF和 MDF中ED=MD（輔助線作法）EDF=FDM（已證）DF=DF（公共邊） EDF MDF（SAS）EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 CMF中， CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍 FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時， 可通過延長加倍此線段， 構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例二：如圖 5-1 ：AD為 ABC的中線，求證： AB+AC>2AD。分析：要證 AB+AC>2AD，由圖想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有 AB+AC+B

7、D +CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多 BD+CD，故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證明：延長 AD至 E，使 DE=AD，連接 BE，CEAAD為 ABC的中線（已知）BD=CD（中線定義）在 ACD和 EBD中DBCBD=CD（已證）1=2（對頂角相等）E圖51AD=ED（輔助線作法） ACD EBD（SAS）BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在 ABE中有： AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD。練習：1 如圖， AB=6，AC=8，D為 BC 的中點，求 AD的取值范圍。A68BD2如圖， AB=CD，E 為 BC的中點， BAC=BCA，求證： AD=2AE。ABECCD3如圖， AB=AC，AD=AE