初中幾何變換——翻折

1、初中數學幾何變換之軸對稱一、知識梳理1、軸對稱基本要素： 對稱軸。2、基本性質：（ 1）對應線段、對應角相等（ 2）對應點所連線段被對稱軸垂直平分（ 3）對稱軸上的點到對應點的距離相等（ 4）對稱軸兩側的幾何圖形全等3、應用翻折問題、最值問題等二、?？碱}型類型一：軸對稱性質1、如圖，在平行四邊形 ABCD 中， AB13 ， AD 4 ，將平行四邊形ABCD 沿 AE 翻折后，點 B 恰好與點 C 重合，則折痕 AE 的長為 _.第 1 題第 2題第 3 題2、如圖， 矩形中，AB=8 ，=6，為AD上一點， 將沿BP翻折至EBP，BCPABPPE 與 CD 相交于點 O，且 OE =OD，則

2、 AP 的長為 _.3、如圖，在 ABC 中， AB =AC ，BC =24 ， tanC=2 ，如果將 ABC 沿直線 l 翻折后，點B 落在邊 AC 的中點 E 處，直線 l 與邊 BC 交于點 D，那么 BD 的長為。4、如圖，菱形紙片ABCD 中，A=60 0，將紙片折疊，點A、 D 分別落在 A 、D 處，且A D經過B， EF 為折痕，當D FCD 時， CF 的值為。FD5、如圖，在 ABC 中，C 90 °，將ABC 沿直線 MN 翻折后，頂點C 恰好落在AB 邊上的點 D 處，已知MN AB ， MC 6， NC 2 3 ，則四邊形MABN 的面積是。第 4 題第

3、5 題第 6題6、如圖，已知邊長為5 的等邊三角形ABC 紙片，點E 在 AC 邊上，點 F 在 AB 邊上，沿著 EF 折疊，使點 A 落在 BC 邊上的點 D 的位置，且，則 CE 的長是。7、如圖 1，在矩形紙片 ABCD 中， AB 8 3， AD 10 ，點 E 是 CD 的中點 .將這張紙片依次折疊兩次： 第一次折疊紙片使點A與點E重合，如圖 2 ，折痕為MN，連接、；ME NE第二次折疊紙片使點N 與點 E 重合，如圖 3 ，點 B 落在 B處，折痕為 HG ，連接 HE，則 tanEHG.圖2圖38、如圖，在邊長為6 的正方形ABCD 中，E 是邊 CD 的中點，將ADE 沿

4、AE 對折至AFE ，延長交 BC 于點 G，連接 AG .（ 1 ）求證： ABG AFG ；（ 2）求 BG 的長 .類型二：軸對稱應用1、菱形 ABCD 在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B（2 ， 0），DOB =60 °，點P是對角線 OC 上一個動點， E（ 0 ，1），當 EP +BP 最短時，點P 的坐標為2、如圖， AOB =30 °，點 M、N 分別是射線OA、OB 上的動點， OP 平分AOB ，且 OP =6 ，當PMN 的周長取最小值時，四邊形PMON 的面積為3、如圖 ,在銳角 ABC 中 ,AB=6, BAC=60 °,BAC 的

5、平分線交 BC于點D, 點M,N分別是AD和AB上的動點,則BM+MN的最小值為。4、如圖，在等邊 ABC 中， AB=4 ，點 P 是 BC 邊上的動點，點P 關于直線 AB ，AC 的對稱點分別為M， N，則線段 MN 長的取值范圍是.類型三：動點與軸對稱1、如圖，在矩形 ABCD 中， AB= 23 ， 點 E 是邊 BC 的一個三等分點（CE<BE ）， F 是AD 邊上一動點，將圖形以EF 為折痕翻折后，當、D、C 的對應點 D 、C 與 B 在一條直線上時，?EFG 的周長是。AFDGBECD'C'第 1題第 2 題2、如圖，在矩形 ABCD 中， AB=5

6、， AD=13 ， E、F 分別是 AB 、AD 邊上的動點， 將?ABE向下翻折，點A落在BC邊上A、。處，則 A B 的最小值是3、如圖，正方形 ABCD 的邊長為6，EF 是正方形 ABCD 的一條對稱軸， G、H 分別在 AB 、CD 上，將圖形沿GH 對折后，點 C 落在 E 處，求 tan ANE =。AEAEDDNHNMGBFCCB第 3 題第 4 題4、如圖，在 Rt ? ABC 中 AC=4 ， BC=3 ， D 是 AB 邊上一動點，點E 與點 A 關于直線 CD對稱，當 DE/BC 時， AD=。5、如圖，在、Rt ? ABC 中， AB=4 ， BC=3 ， D 是 A

7、B 邊上一動點， DE/BC ， A、 A 關于、。DE 對稱，當? A EC 為直角三角形是 AD=ADEA'BC類型四：綜合應用1、如圖，在矩形ABCD 中， E 是 AB 邊的中點，沿EC 對折矩形 ABCD ，使 B 點落在點 P處，折痕為EC ，連結 AP 并延長 AP 交 CD 于 F 點，（ 1 ）求證：四邊形 AECF 為平行四邊形；（ 2 ）若AEP 是等邊三角形，連結 BP ，求證： APBEPC；（ 3 ）若矩形 ABCD 的邊 AB =6 ， BC =4 ，求CPF 的面積2 、如圖（ 1），在矩形ABCD 中，把B 、D 分別翻折，使點B 、 D 分別落在對角

8、線BC 上的點 E、 F 處，折痕分別為CM 、 AN.（ 1）求證： AND CBM.（ 2）請連接 MF 、 NE ，證明四邊形 MFNE 是平行四邊形，四邊形 MFNE 是菱形嗎？請說明理由？（ 3）P、Q 是矩形的邊 CD 、AB 上的兩點， 連結 PQ 、CQ 、MN ，如圖（ 2）所示， 若 PQ=CQ ， PQ MN 。且 AB=4 ，BC=3 ，求 PC 的長度 .3、已知一個矩形紙片OACB ，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A （ 11， 0 ），點B（ 0 ， 6），點 P 為 BC 邊上的動點（點 P 不與點 B、 C 重合），經過點 O、P 折疊該紙片，得點 B 和

9、折痕OP 設 BP=t （）如圖，當BOP=30 0 時，求點 P 的坐標；（）如圖，經過點 P 再次折疊紙片，使點 C 落在直線 PB 上，得點 C 和折痕PQ ，若AQ=m ，試用含有t 的式子表示m；（）在（）的條件下， 當點 C恰好落在邊 OA 上時，求點 P 的坐標（直接寫出結果即可）4、如圖，在矩形紙片ABCD 中， AB=6 ，BC=8 把BCD 沿對角線 BD 折疊，使點C 落在C處，BC 交AD 于點 G；E、F 分別是 CD 和 BD 上的點， 線段 EF 交 AD 于點 H ，把FDE沿 EF 折疊，使點 D 落在 D處，點D恰好與點A 重合（1 ）求證： ABG C D

10、G ；（2 ）求 tan ABG 的值；（3）求 EF 的長5、問題提出（1 ）如圖，已知 ABC ，請畫出 ABC 關于直線AC 對稱的三角形 .問題探究（2 ）如圖，在矩形 ABCD 別存在點 G、H，使得四邊形中， AB=4 ， AD=6 ， AE=4 ，AF=2 ，是否在邊BC 、 CD 上分EFGH 的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由.問題解決（3 ）如圖，有一矩形板材ABCD，AB=3米， AD=6米，現想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使 EFG=90°，EF=FG=米，EHG=45°，經研究，只有當點E、 F、

11、G 分別在邊AD 、 AB、 BC 上，且 AF BF ，并滿足點H 在矩形 ABCD 內部或邊上時， 才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形 EFGH 部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH 部件的面積；若不能，請說明理由.三、課后作業(yè)1、如圖，等邊 ABC 的邊長為6,AD 是 BC 邊上的中線 ,M 是 AD 上的動點 ,E 是 AC 邊上一點. 若 AE=2,EM+CM的最小值為.2、如圖1，在銳角三角形ABC中， AB=4, BAC=45°，BAC的平分線交BC于點D，M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為第 1 題第 2 題第

12、 3題3、如圖，已知點C(1 ，0) ，直線 7 與兩坐標軸分別交于A，B兩點，D，E分別是yxAB ，OA 上的動點，則 CDE 周長的最小值是 _.4、如圖 1，將正方形紙片ABCD 對折，使 AB 與 CD 重合，折痕為EF 如圖 2，展開后再折疊一次， 使點 C 與點 E 重合，折痕為 GH ，點 B 的對應點為點M，EM 交 AB 于 N ，則 tanANE=_ 5、如圖，AOB=30 °，點M 、 N 分別在邊 OA、 OB 上，且 OM=1 ，ON=3 ，點 P、Q分別在邊 OB 、OA 上，則 MP+PQ+QN的最小值是 _6 、 如 圖 ， Rt ABC中 ， C=

13、90 °，AB=5 ， AC=3 ， 在 邊 AB 上 取 一 點 D ， 作 DE AB 交 BC 于點 E，先將BDE沿 DE 折疊，使點 B落在線段 DA 上，對應點記為B1；BD 的中點 F 的對應點記為 F1若EFB AF 1E，則 B1D=7、如圖，AEF中，EAF=45°，AGEF 于點 G，現將AEG沿 AE 折疊得到AEB ，將AFG沿 AF 折疊得到AFD ，延長 BE 和 DF 相交于點 C探究一：猜想：四邊形 ABCD是何種特殊的四邊形？請證明自己的猜想探究二：連接 BD 分別交 AE、AF 于點 M、N，將ABM 繞點 A 逆時針旋轉，使 AB 與 AD 重合，得到ADH ，試判斷線段 MN2、ND2、DH2之間的數量關系，并說明理由探究三：若EG=4 ，GF=6 ，BM=3，你能求出 AG、MN 的長嗎？8 、 數 學 課 上 ， 老 師 出 了 一 道 題 ， 如 圖 ， Rt ABC中 ， C=90 °，AC=1AB ，2求證：B=30 °