初二數(shù)學(xué)--等腰三角形和等邊三角形-知識點(diǎn)與例題

1、三角形等腰三角形和等邊三角形等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩個邊稱為這個三角形的腰等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形的兩個底角相等。（簡寫成 “等邊對等角 ”）2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成“等腰三角形的三線合一 ”）3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半6.等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰距離之和等于一腰上的高(需用等面積法證明)7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是

2、它的對稱軸等腰三角形的判定：1.在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義 ) 2.在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等角對等邊）等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是銳角三角形 ，等邊三角形的內(nèi)角都相等，且均為60°。等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合（三線合一 ）等邊三角形是軸對稱圖形 ，它有三條對稱軸，對稱軸 是每條邊上的中線、高線或?qū)堑钠椒志€所在的直線。等邊三角形 重心 、內(nèi)心、外心、垂心 重合于一點(diǎn)，稱為等邊三角形的中心。（四心合一）等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的

3、距離之和為定值(等于其高 )等邊三角形的判定：三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）三個內(nèi)角都相等（為60度）的三角形是等邊三角形有一個角是60度的等腰三角形是等邊三例題解析等腰三角形的性質(zhì)應(yīng)用及判定角形(4) 兩個內(nèi)角為 60度的三角形是等邊三角形(5) 說明 :可首先考慮 判斷 三角形是 等腰三角形 。(6) 等邊三角形的性質(zhì)與判定理解：(7) 首先，明確等邊三角形定義。三邊相等的三角形叫做等邊三角形，也稱正三角形。其次，明確等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系。 等邊三角形是特殊的等腰三角形， 等腰三角形不一定是等邊三角形?！纠?1】（揚(yáng)州中考）如圖，ABC 中， D、 E 分別是AC 、AB 上

4、的點(diǎn)， BD 與 CE 交于點(diǎn)O.給出下列三個條件：EBO= DCO; BEO= CDO; BE=CD.(1) 上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）(2) 選擇第（ 1）小題中的一種情形，證明 ABC 是等腰三角形AEODBC【例 2】如圖， ABC 為等邊三角形， 延長 BC 到 D, 又延長 BA 到 E，使 AE=BD, 連接 CE,DE,求證： CDE 為等腰三角形EABCD【例 3】（福建中考）如圖，將一個等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE=a, 則下列說法正確的個數(shù)有（）'平分 BDE BC長為 ( 2 2 )aDC BC'

5、 D 是等腰三角形 CED的周長等于 BC的長A.1 個B.2個C.3個 D.4個ADDBCBECB'EC【例 4】如圖， ABC是邊長為.1 的正三角形， BDC是頂角為 120°的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個 60°的 MDN ，點(diǎn) M,N 分別在 AB,AC上，則 AMN的周長是AMNDBC【例 5】（重慶中考）已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)比為1:4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（ ）A.20 °B.120 °C.20°或 120°D.36 °【例 6】（雙柏中考）等腰三角形兩邊長分別為4 和 9，則第三邊

6、長為例 7】如圖，點(diǎn) O 事等邊 ABC 內(nèi)一點(diǎn)， AOB=110 °， BOC= ，將 BOC 繞點(diǎn) C 按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得 ADC, 連接 OD, 則 COD 是等邊三角形； (1)當(dāng) 為多少度時，AOD 是等腰三角形？ (2)求證： COD 是等邊三角形（ 3）當(dāng)A=150 °時，試判斷 AOD 的形狀，并說明理由D等邊三角形的性質(zhì)應(yīng)用及判定OBC【例 8】（樂山中考）如圖，在等邊ABC 中，點(diǎn) D,E 分別在邊 BC,AB 上，BD=AE,AD與 CE 交于點(diǎn) F.(1)求證：AAD=CE;(2) 求 DFC 的度數(shù)。E F【例 9 】（黃岡中考）如

7、圖，分別以Rt ABC的直角邊AC,BC 為邊，在 Rt ABC 外作兩個等邊三角形ACE 和BCF ，連接 BE,AF 。求證：BDCFBE=AFCEBA【例 10】（天津中考）如圖， DAC 和 EBC 均是等邊三角形，交于點(diǎn) M 、 N,有如下結(jié)論： ACD DCB; CM=CN; AC=DN. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是A.3 個B.2 個C.1 個D.0 個【例 13】如圖，點(diǎn) C 在線段 AB 上，在 AB 的同側(cè)作等邊三角形 ACM 和 BCN ，連AE 、 BD 分別與 CD 、CEEDMNACBA三角形 ACM 和 BCN ，連接 AN ，BN ，若 MBN=38 °，則

8、 ANB 的大小等于。MNE【例 14】（常州中考）已知，如圖，延長ABC 的各邊，F(xiàn)使得 BF=AC,AE=CD=AB, 順次連接 D,E,F ，得到 DEF 為AB C等邊三角形，求證： （ 1） AEF CDE;(2) ABC為等DCBF邊三角形BCAED等腰直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用及判定【例 15】如圖，在 Rt ABC 中， B=90 °， ACB=60 °，D 是 BC 延長線上一點(diǎn)， 且 AC=CD,則 BC:CD=ABCD【例 16】已知，如圖，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜邊， AD 是A 的平分線，求證：AC+CD=ABABDC【例 17】（棗莊中考）兩

9、個全等的含 30°， 60°的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如圖所示放置，E,A,C 三點(diǎn)在一條直線上， 連接 BD, 取 BD 的中點(diǎn) M, 連接 ME,MC, 試判斷 EMC 的形狀，并說明理由DMBEAC練習(xí)題1.下列兩個命題：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；如果一個等腰三角形有一個內(nèi)角是60°，那么這個等腰三角形一定是等邊三角形，則以下結(jié)論正確的是（）A. 只有命題正確B. 只有命題正確C.命題、都正確D. 命題、都不正確2. (四川中考 )若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為25°，則該三角形的一個底角為（ ）°°C.65°或 57.5°°或 57.5°A3.如圖，在 ABC 中， AD BC 于 D,請你再添加一個條件，就