定積分及其應用

1、學校代碼：10904 學 士 學 位 論 文定積分及其應用姓 名：帥仁旺學 號：201404130134指導教師：秦孝艷院系（部所）：數(shù)學與統(tǒng)計學院專 業(yè)：金融工程完成日期：2018年04月18日棗莊學院學士學位論文作者聲明本人聲明：本人呈交的學位論文是本人在導師指導下取得的研究成果。對前人及其他人員對本文的啟發(fā)和貢獻已在論文中作出了明確的聲明，并表示了謝意。論文中除了特別加以標注和致謝的地方外，不包含其他人和其它機構(gòu)已經(jīng)發(fā)表或者撰寫過的研究成果。本人同意學校根據(jù)中華人民共和國學位條例暫行實施辦法等有關(guān)規(guī)定保留本人學位論文并向國家有關(guān)部門或資料庫送交論文或者電子版，允許論文被查閱和借閱；本人授

2、權(quán)棗莊學院可以將本人學位論文的全部或者部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或者其它復制手段和匯編學位論文（保密論文在解密后應遵守此規(guī)定）。作者簽名： 日期： 年 月 日摘 要定積分最開始是由于求面積和體積等實際問題而出現(xiàn)的。它的出現(xiàn)是人類不斷認識世界和改變世界的一個側(cè)面反應，從古希臘的阿基米德使用“窮竭法”，魏晉時期劉徽使用“割圓術(shù)”到牛頓萊布尼茨公式的訂立都反映著定積分的不斷發(fā)展和進步。定積分現(xiàn)在已經(jīng)成為解決相關(guān)實際問題的有力工具，牛頓萊與布尼茨給出的計算定積分的方法使得原本相互獨立的微分學和積分學聯(lián)系在了一起，共同構(gòu)成了現(xiàn)在完整的微積分學理論體系。定積分是函數(shù)的特定結(jié)構(gòu)總和式

3、的極限。這種極限不僅在數(shù)學方面有應用，在解決實際問題中也應用廣泛，比如說運用定積分可以在經(jīng)濟學與物理學方面計算一些常見的問題。本論文主要討論一些定積分的基本的概念、性質(zhì)和方法繼而引導出它在其他學科方面的運用。通過研究一些性質(zhì)、運算方法和定理來解決實際應用問題。定積分性質(zhì)主要有三個即：可加性、非負性、連續(xù)性。運算方法有換元積分法和分部積分法。關(guān)鍵字：定積分、性質(zhì)、定理、應用AbstractThe definite integral begins with the actual problem of area and volume. The emergence of it is to know t

4、he world and change the world one side reaction, from the ancient Greek Archimedes used the method of exhaustion, Liu Hui wei-jin period using "cyclotomic surgery" Newton leibniz formula to conclude all reflects the definite integral of the continuous development and progress. Definite int

5、egral now has become a powerful tool to solve the actual problem, Newton, and cloth has given the calculation of the definite integral method makes the differential calculus and integral calculus of originally independent together, now constitute a complete system of calculus theory.The definite int

6、egral is the limit of the sum of the specific structures of the function. This limit is applied not only in mathematics, but also in solving practical problems, such as using definite integrals to calculate common problems in economics and physics. This paper mainly discusses the basic concepts, pro

7、perties and methods of definite integrals, and then leads to its application in other disciplines. Some properties, methods and theorems are studied to solve practical problems.There are three definite integral properties: additivity, non-negativity and continuity. The operation method has the subst

8、itution integral method and the integration by parts.Keywords: definite integral, property, theorem, application.目 錄第1章 緒論.11.1定積分的產(chǎn)生背景 .1第2章 定積分的定義及其性質(zhì).12.1定積分的定義.12.2定積分的性質(zhì).2第3章 定積分的計算方法.23.1牛頓萊布尼茨公式.23.2換元法求定積分.43.3分部積分法計算定積分.7第4章 定積分的應用.74.1定積分在數(shù)學上的應用.74.2定積分在物理中的應用.104.3定積分在統(tǒng)計中的應用.12第5章 定積分在金融中

9、的應用.13 5.1經(jīng)濟函數(shù)問題.13 5.2最大利潤問題.14 5.3資金的現(xiàn)值、終值和投資問題.14 5.4廣告策略問題.15第6章 總結(jié).17參考文獻.17致謝.18定積分及其應用第一章 緒論1.1定積分的產(chǎn)生背景假設是閉區(qū)間上的一個連續(xù)函數(shù)，且，由曲線，直線，以及軸可以圍成一個平面曲邊梯形下面我們來討論一下如何求這個曲邊梯形的面積我們都知道在數(shù)學中，圓的面積是用邊數(shù)無限增加的內(nèi)接（或外切）正多邊形的面積極限去定義的，那么我們現(xiàn)在仍舊可以使用這種類似的方法去定義曲邊梯形的面積根據(jù)這一方法我們就可以得到曲邊梯形的面積公式由上邊的結(jié)論我們可以得到，上下的兩條連續(xù)曲線，以及直線和直線所圍的平面

10、曲邊梯形的面積，它的計算公式為 我們運用這種解題思想和方法再去掉問題的具體含義，保留其數(shù)學結(jié)構(gòu)，便是定積分的產(chǎn)生的過程。第二章 定積分的定義及其性質(zhì)2.1定積分的定義假設是在閉合區(qū)間上的一個連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間上插入任意個分點：使得這個區(qū)間劃分為n-1個子區(qū)間，則第個子區(qū)間長度為任意取，作出乘積，然后把這些乘積加起來就可以得到和式：如果無論區(qū)間怎么樣去分割，點怎么樣去選取，當?shù)臅r候，這個和式全部趨向于同一個常數(shù)，那么就我們就稱這個函數(shù)在區(qū)間上可積，常數(shù)為區(qū)間上的定積分。2.2定積分的性質(zhì)（1） （線性性質(zhì)） 假設那么有，并且.（2） （單調(diào)性） 假設且，那么 .（3） 假設，則，且有.（4） （對

11、區(qū)間的可加性） 假設是一個有限的閉區(qū)間，.若是在上可積，那么在上的任何一個閉合子區(qū)間都可積，且有.（5） （乘積性質(zhì)） 假設，那么有.（6） （積分中值定理） 假設，且有在上不變號，那么至少會存在一點，使得.第三章 定積分的計算方法3.1牛頓-萊布尼茲公式在定積分的運算中一個有效的方法就是牛頓萊布尼茨公式，它也在理論上把定積分和不定積分聯(lián)系在一起。定理：假設在區(qū)間上連續(xù)，并且在區(qū)間上有一個原函數(shù),那么：則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，并且,那么這個公式就是牛頓萊布尼茲公式也可以寫作：。在定積分的計算中，經(jīng)常會出現(xiàn)像計算定積分=，=等類型的題目這類題目看似容易，但學生一計算就會出錯這是因為：=但卻不能簡單

12、的運用牛頓萊布尼茲公式來計算=這種計算方式是錯誤的這是因為被積函數(shù) 在區(qū)間上是連續(xù)并且恒正的所以說它在區(qū)間上的積分是大于0的.它的錯因在于函數(shù)在區(qū)間上不連續(xù)，為的第一類間斷點可以求得：=從而在點處并不是在上的一個原函數(shù)，我們就稱這種函數(shù)為分段原函數(shù)。定理：假設是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間和上的一個分段原函數(shù)，是其第一類間斷點，則有： 證：由定積分的可加性知：利用公式（1）計算和=。例1：= ,求。解：=F(3)-F(-1)+F(0-0)-F(0-0)+F(2-0)-F(2+0) =arctan。3.2換元法求定積分換元法其實就是將復合函數(shù)的求導法則反過來用于定積分，換元法是計算定積分的最重要的一個方法。定

13、理：假設函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)，滿足條件：(1) ；(2)在和具有連續(xù)導數(shù)，且它的值域為，則有 這個公式就是定積分的換元公式。下面介紹一下幾個較為常用的代換：（1） 三角代換：被積函數(shù)中若是含有，則令或者;被積函數(shù)中若是含有，則令或者；被積函數(shù)中若是含有，則令或者；被積函數(shù)中若是含有，則令t=；被積函數(shù)中若是含有，則令t=；被積函數(shù)中若是含有和，則令t=，（2） 倒代換：該代換一般用適于分母次數(shù)較高的情況如：，令在具體解題時需具體分析，靈活的運用代換方法去處理，下面我們舉一些具體例子來分析。例2：求解：令，原式=例3：求解：令,則例4：求解：令t=x=利用換元法求定積分的應用十分的廣泛，

14、但是這種方法卻極易出現(xiàn)錯誤，被積函數(shù)在變換時，它的自變量一定要在原區(qū)間上連續(xù).例5：計算.誤解：令 =0方程的解顯然是錯誤的，換元令，時 , 無意義，在上無界，不可導，無法滿足換元的基本條件 因此不能令正解：假假設在區(qū)間a,b上連續(xù)且為偶函數(shù)，則：即：。換元在區(qū)間上必須滿足換元的條件：例6：計算誤解：假設，則當x=0時t=0; x=a時原式=誤因分析：若是被積函數(shù)中含有二次根式，我們就需要運用換元法消去二次根式，假設 雖然，但在時是0，所以這個計算是錯誤的正解：令原式=3.3分部積分法計算定積分分部積分公式假設函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)導數(shù)，那么有.（定積分的分部積分公式）例7:計算解：令 則 例8：

15、計算解： （）。第四章 定積分的應用定積分在數(shù)學中的應用4.1 定積分在數(shù)學中的應用曲邊梯形的面積的求法例9: 求拋物線與直線所圍成的平面曲邊形的面積解： 假設拋物線與直線的交點為與用直線把曲邊形分為兩個部分，使用公式分別求得它們的面積為=，=所以假設曲線由參數(shù)方程=，給出，并且它在區(qū)間上是也連續(xù)的，連續(xù)可微并且記作=，=，那么由曲線和直線以及軸所圍成的曲邊圖形，它的面積計算公式為假如參數(shù)方程表示的曲線是閉合的，那么由曲線自己所圍成的曲邊圖形的面積為立體圖形的體積的求法我們假設是在垂直于軸的兩個平面與之間的立體，若是在任意一點處作垂直于軸的平面，使得它截得的截面面積是關(guān)于的函數(shù)，記為，那么我們

16、稱為的截面面積函數(shù)假設截面面積函數(shù)是上的一個連續(xù)函數(shù)那么對分割：過各個分點作垂直于軸的平面使得，這些平面把立體切割成了個薄片使在每個小區(qū)間上的最大和最小值分別是與，那么每一薄片的體積滿足的體積也會滿足又因為為連續(xù)函數(shù)，在上可積，所以當非常小時，使得，為任意小的正數(shù)由此可知（或） ，其中，所以有例10 :求橢球面所圍的立體的體積解: 以平面截得橢球面，橢圓面為，那么橢球截面面積函數(shù)是=，求得橢球的體積為：V= =利用定積分對數(shù)列求和我們都知道導數(shù)與積分互為逆運算，那么我們先對所求的數(shù)列進行積分，就會得到一個等比數(shù)列，然后再對等比數(shù)列求和，最后再對其求導數(shù)就可以得到原數(shù)列的和例11: 求數(shù)列的和解

17、：假設，利用定積分證明等式我們可以根據(jù)等式的特點來作出等式的輔助函數(shù)，然后再對輔助函數(shù)進行積分從而來證明這個等式而其中的重點和難點就是分析等式并對其作出輔助函數(shù)例12; 證明：證明 :令對積分可得，又由積分可得 ，從而得到，再令，就可得到4.2定積分在物理中的應用引力問題我們通過物理學知識可以知道，兩個質(zhì)量為和的，距離為的兩個物體，它們之間的引力大小為，其中是萬有引力常量，其實在靜電場中兩個帶電的粒子它們之間的引力也是類似的，但是計算較大物體對一質(zhì)點的引力時，物體的各個點到質(zhì)點的距離是不一致的，所以就無法用上面的公式來求解，那么我們就可以運用定積分來解決這個問題例13 ：設有一根均勻的長度為的

18、細長桿，其質(zhì)量為，在細桿的垂線上距離為處有一個質(zhì)量為的質(zhì)點試求得細桿對質(zhì)點的萬有引力解： 首先建立合適的直角坐標系，使細桿位于軸上的閉合區(qū)間，質(zhì)點則位于軸正方向上的點處。任取，當很小時我們可以把這一段段小細桿看作一個個質(zhì)點，其質(zhì)量為那么一段小細桿對質(zhì)點的引力可表示為因為細桿上的各點對于質(zhì)點的引力方向都不一致，所以我們不能直接對進行積分(該條件不符合代數(shù)可加性）因此，將分解到軸和軸兩個方向上，得到，又因為質(zhì)點位于細桿的中垂線上，一定會使得它們之間相互作用的水平合力為零，即又由，可得垂直方向它們的合力為，其中負號表示合力方向和軸方向正相反功與平均功率之前我們可以通過所學的物理上的知識來解決一些簡單

19、的功的問題，但是當我們碰到一些較為復雜的問題這些物理公式就沒有太大的用處了，那么我們可以運用定積分的方法來解決物理中的變力沿直線做功的問題。舉個簡單的例子來說：有一個方向恒定的變力對一個物體做功，假如變力對這個物體的作用距離為，為的函數(shù)，那么變力所做的功就是（其中，為變力的起始與末尾值），下面我們可以通過一些具體事例來驗證 例14：假設有一倒置的圓錐形蓄水池，池口的直徑為米，池深為米，向池中注滿水，問將池中水全部抽出需要做多少的功？ 解： 首先我們建立一個合適的坐標軸因為抽出相同深度處單位體積的水所作的功相同，所以首先考慮到將池中深為到的一薄層水抽到池口需做的功為當很小時，把這一薄層水的深度都

20、看做，求得的體積為 ，這時有那么將全部池水抽出池外所作的功就是4.3 定積分在統(tǒng)計中的應用統(tǒng)計人口問題在生活中人口的統(tǒng)計是很困難的，尤其是我們國家，人口多，密度大，那么使用常規(guī)的方法來統(tǒng)計人口是很復雜的工作。那么我們可以通過引入定積分來建立人口統(tǒng)計模型，使得我們可以更加輕易簡便的來統(tǒng)計人口的大致數(shù)量。下面我們通過一個事例來驗證一下。例15：大家都清楚，一般來說城市人口的分布密度都會隨著與市中心的距離的增加而不斷地減小。那么我們可以假設某城市的1990年的人口密度為（10萬人/）,試求這個城市距離市中心2km范圍內(nèi)的人口數(shù)量。解： 在足夠小時，我們可以近似地認為圓環(huán)（內(nèi)半徑,外半徑）上的人口密度

21、是。那這個城市的人口我們可以近似看做分布在圓環(huán)上的人口之和，即圓環(huán)面積微元為。那么距市中心2km范圍的人口數(shù)為。第五章 定積分在金融中的應用5.1經(jīng)濟函數(shù)問題在經(jīng)濟學中，我們通過邊際函數(shù)來求總函數(shù)，一般都會運用不定積分去解決。它不僅可以求總需求函數(shù)，也可以求總成本函數(shù)、總收入函數(shù)以及求總利潤函數(shù)。我們假設經(jīng)濟應用函數(shù)的邊際函數(shù)是，那么有例16：我們假設生產(chǎn)某個產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)是，固定成本為，試求生產(chǎn)個產(chǎn)品的總成本函數(shù)解：5.2最大利潤問題我們都知道，企業(yè)都是追求在最低成本下能獲得更高的利潤，而這就產(chǎn)生了如何才能使利潤獲得最大化的問題。我們可以把最大利潤問題轉(zhuǎn)化為定積分函數(shù)來解答，通過經(jīng)濟學中

22、有可知邊際利潤是產(chǎn)量的函數(shù)，所以當我們已知邊際收入和邊際成本的數(shù)值相等時，就可以利用定積分來求出總利潤例17： 假設某個生產(chǎn)企業(yè)的固定成本是50，它的邊際收入與邊際成本分別是和，那么試求解其最大利潤解：我們要先求出獲得最大利潤的產(chǎn)量，由于總利潤函數(shù)，因此要想總利潤獲得最大值，就必須使得，即，而總利潤的最大值也是在邊際收入等于邊際成本時取得，有，可以解出，這時利潤函數(shù)就可能會取得最大值，而這個最大值一定會是極大值，我們由極大值的充分條件可得因此只有才滿足條件，由已知的條件我們就可以求得企業(yè)的最大利潤：5.3資金的現(xiàn)值、終值和投資問題假設現(xiàn)在有資金元，若是我們按照年利率作連續(xù)復利計算，那么年末的本

23、利和就是元，我們可以稱這本利和為元資金在年末的終值，反之，若是在年末得到資金元，按照上面相同的方式來計算連續(xù)復利，那么現(xiàn)在需要多少資金投入？我們可以設現(xiàn)在投入的資金為元，所以，我們就可以稱為年末終值的計算公式是的資金的現(xiàn)值。它所求的總收入的現(xiàn)值的計算公式就是=，=例18： 假設收入率為200萬元/年，求這項投資凈收入的現(xiàn)值和它的投資回收期解： 這項投資的總收入的現(xiàn)值為=，運用定積分的計算方法可得=1728.4萬元5.4 廣告策略問題例19：某上市公司每個月的銷售額是元，設平均利潤是銷售額的，根據(jù)以往的經(jīng)驗，公司的廣告宣傳期間銷售額的變化率近似服從增長曲線（以月為單位），公司現(xiàn)在要決定是否舉行類

24、似的總成本為元的廣告活動。按照以往的慣例，公式對于超過元的廣告活動，若是新增銷售額的利潤超過廣告費用投資的，就決定做廣告，否則不做。試問這家公司是否要作這個廣告？解: 由公式知銷售額已知公司的利潤是銷售額的，則新增銷售額產(chǎn)生的利潤為由于元利潤是花費元的廣告費取得的，所以，廣告產(chǎn)生的實際利潤為這說明盈利大于廣告成本的，所以公司應作此廣告。在實際的問題當中，我們可以發(fā)現(xiàn)有許多定積分的原函數(shù)是難以計算或者是計算過程比較繁雜的。但是如果我們對其進行適當?shù)淖兞看鷵Q，變換成我們熟悉的定積分，那么復雜的問題也會得到很好的解決。總而言之，通過定積分我們不僅可以解決數(shù)學上的一些難題，并且在其他學科和實際生活中我

25、們也可以運用定積分來解決一些其他的比較抽象和復雜的問題，通過本文對定積分的探討和研究，我們可以了解到定積分在解決問題的方法中占據(jù)很重要的地位。第六章 總結(jié)：從上邊的具體事例中我們可以看出，定積分不僅在實際生活中應用十分廣泛，而且利用定積分我們也可以解決其他學科中的一些問題，由此我們可以看到橫向?qū)W習、橫向思維的妙處，所以說我們要學會去橫向?qū)W習，而各個學科之間都是有關(guān)聯(lián)的，若是我們能夠在學習中把這些關(guān)聯(lián)找出來并加以分析、總結(jié)和運用，那么不僅能夠加深我們對于知識的理解，貫通新舊知識，更能夠拓寬知識的應用范圍，活躍我們的思維，無論是從深度上還是從廣度上都是一種質(zhì)的飛躍。目前，雖然說人們對于定積分的求法和應用的研究是比較全面和完善