奇異協(xié)方差矩陣的最優(yōu)投資組合選擇

1、第26巻第3期2004年9月武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)J. W uhan bi st ChanTech.Vol 26 Na 3Sep. 2004:1004 - 4736(2004) 03 - 0082 - 04奇異協(xié)方差矩陣的最優(yōu)投資組合選擇安中華(湖北教育學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖北武漢430060):當(dāng)收益率的協(xié)方差矩陣為奇異矩陣時(shí)均值-方差模塑的最優(yōu)投資組合問題不宜直接求解本文通過 利用收益率的主成分和二次凸規(guī)劃的求解方法給出了間題解的解析表達(dá)式:投資組合:均值-方差模塑:奇異協(xié)方差矩陣:主成分:二次規(guī)劃:F 83Q 91:A6© 1994-2010 China Academic Journal E

2、lectronic Publishing House. All rights reserved, 第26巻第3期2004年9月武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)J. W uhan bi st ChanTech.Vol 26 Na 3Sep. 20046© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 第26巻第3期2004年9月武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)J. W uhan bi st ChanTech.Vol 26 Na 3Sep. 2004Y= = rx R", Y”Ai入 rrG

3、f=入rrTGD=0M arkow itz建立的劃時(shí)代理論資產(chǎn)投資 理論山，使得金融理論發(fā)生了一場革命，從而導(dǎo)致 現(xiàn)代資本市場理論的發(fā)展 他運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)論和 數(shù)學(xué)規(guī)劃理論的方法.提出的組合證券最優(yōu)投資 模型均值-方差模型被視為現(xiàn)代證券理論的 基礎(chǔ)之后,有了度量風(fēng)險(xiǎn)的不同方法巴建立了 不同的證券最優(yōu)投資模型但是在實(shí)際中，解決 最優(yōu)投資組合選擇的問題，仍然以M arkow itz建 立的均值-方差模型為主求解均值-方差模型即為求解二次規(guī)劃雖 然在條件充分好每種資產(chǎn)的收益服從正態(tài) 分布時(shí).樣本數(shù)大于資產(chǎn)種數(shù)，協(xié)方差矩陣概率為 1的正定,此時(shí)的求解比較簡單但是實(shí)際情況 經(jīng)常不能滿足這些條件協(xié)方差矩陣常

4、為半正定. 這時(shí)的求解會(huì)比較麻煩對(duì)于半正定協(xié)方差矩陣的均值-方差模型. 文獻(xiàn)4利用線性代數(shù)的方法從理論上證明了該 組風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中有套利機(jī)會(huì)戒有多余的資產(chǎn)即有 些資產(chǎn)收益是線性相關(guān)的但文章未給出尋找收 益相關(guān)的資產(chǎn)即進(jìn)行投資決策的方法本文結(jié)合 主成分分析理論和二次規(guī)劃的求解方法提出一 種求解協(xié)方差矩陣為半正定的均值-方差模型的 方法并在均值-方差模型有解的條件下可以求 出解的解析式1設(shè)”種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其收益率的均值不全等，求 在取得預(yù)期收益率的條件下使投資組合收益率 的風(fēng)險(xiǎn)(方差)最小，即最優(yōu)化問題：(P) min *D(Rp)=*GXs i Et (R)X= rPe«X= 1其中：X=

5、Cm2, , x«)T為n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的 投資組合問題(P)的決策變量:實(shí)數(shù)為預(yù)期收 益率;維隨機(jī)變量R= (/? i. /? 2, R »)T為風(fēng)險(xiǎn) 資產(chǎn)的收益率其均值E(R)=(門，門，J,協(xié) 方差矩陣G二 Cov(R.R) ( R”x”),G 是秩為 r(0< /< “)的半正定對(duì)稱矩陣：7?產(chǎn)R *X為扌殳資組合X 的收益率，其均值為ET (R)X (= E(RP),方差為D (RP)= XTGX；e«= (1, 1,，1)T( R"). c、E(R)線 性無關(guān)(收益率的均值不全等).記:G的單位特征 向量(Xi, Ob, 0G,，0G

6、.對(duì)應(yīng)的特征值A(chǔ)i > A> > 0, A= 0(r<R= (Xu Ot, , (Xr)nxr,Iwr=(06* 1. (Xr4- 2. (Xn)nX<n- rH=(“ Itr) R 的/個(gè)主成分山為Yr=改R又記、Ar= A.00=AxX作變換:x= rv即可得：1優(yōu)化問題(P)與下列優(yōu)化問題(P y)等價(jià)6© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 第26巻第3期2004年9月武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)J. W uhan bi st C

7、hanTech.Vol 26 Na 3Sep. 20046© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 第26巻第3期2004年9月武漢化工學(xué)院學(xué)報(bào)J. W uhan bi st ChanTech.Vol 26 Na 3Sep. 2004:2003 - 12" 17:安中華(1961 J男，河北潘河碩士研究生工程帥研究方向:金融優(yōu)化6© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishin

8、g House. All rights reserved, 第3期安中華:奇異協(xié)方差矩陣的最尤投許組合選擇83© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights resented, 第3期安中華:奇異協(xié)方差矩陣的最尤投許組合選擇#(ZM min 扌 YTGrY=扌丫丁 AY=s t ET(R)rY= rPelrf= 1Y為(Py)的決策變量.目標(biāo)西數(shù)中的系數(shù)矩 陣A為階半正定矩陣但對(duì)Y的子向量Y，,其在 目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)矩陣人為/階正定矩陣?yán)?此特點(diǎn)可得出求解問題(P)或(PQ的方法2

9、 優(yōu)化問題(P)有解的充要條件為下而4 eA 廣 A EcO.得A eA r- A L> a 如 A E 或 A <為0,則-A ic> 0.矛盾故A E> O.A <> 0,A s 廣 A L> 0A e A tcA Ec A E1 0A =1°J即:為正定矩陣又由A e A EcA Ec A E得A為正定矩陣將代入(3),得Y“滿足的等式、A ePi+ A+ E1 (R)EuY”= rp(1)A EcP 1 + A 屮2+ eJr«rYjir=:1(2)dzE (R)/7i+二0(3)且(P)的解為： >X = EAr，r

10、/r(E(R),e«)Pl+ ErY；r(4)列2卄2階線性方程組有解:其中為方程組(3)的解A e= E1 (R)DAr' aElE(R),A Ec= ET(R)DAr 1DTe«= cJFA TJe(R),A. e "TpAr !Rte«, "1、“2 R證明:e”、E(R)線性無壽正定.得Et (R)RcJ線性無關(guān) 則凸二次規(guī)劃(P)的解等于(b)rp1 -X. XrJr (E (R ) , ex) A Ir (E (R ) , o.) T Ynr(10)依據(jù)模型的假設(shè)E(R),e“線性無關(guān)即矩陣 (E (R), e”)的秩為2,

11、所以戊(E (R), 6)的秩V 2 2 1 戊(E(R),e“)= 0此時(shí)，戊(E(R),e«)= 0, VYWr, (10)均成立.取 Y.r= 0.則由(9)得rJ(E(R),eJAA lA r- A EC11丿，代入得(P)的解:的 Kuhn " Tucker 點(diǎn).(P>) K Kuhn "Tucker 方程：ArY廣 I7e(R)r0(5)rJrE (R)P1+心“2= 0(6)Er(R) (EYr+ G,Y”)= rPe/(I；Y+ GY”)= 1(8)X = IA/ Tt(e(r).6);廠A eA 廣 A Ec 11 ErT(E(R), 6)

12、= 1不妨設(shè)&(E(R)e“)行向量的極大線性無關(guān) 組為第一行P即：pi= (XL l(E(R)t &r) HO.由(5)得:Yr= A/ 1 RtE (R)Mi+ A,代入(6)(8)得方程組(1)(3),由問題(P)與 問題(P)等價(jià)得所證rJr(E(R), 6)=記Y.yrlYnrl本部分討論在條件A飢廠A百H0時(shí)問題(10)得：jrpi、pp“J A lA e- A Ec3 女口AeA 廣 A則A= A _ J"為正定矩陣I - /I Ec A EP'Pp,y”i R, Y”I R" ' 代入P'、pp*A (pJ. piTP

13、T)Ymx (P)解的結(jié)構(gòu) 由、(2)得：f r f 、 r>Er(R) el(9)得等價(jià)方程:piApl.PpiApi即：piApiP7PpiAp J P：y；iH證明：由入正定得.人正定、ea/ 1 r?半正 定.(6, E(R) rEA/ 1 if (s E(R)半正定即A f A EcA Ec A E=(CH,E(R)rEA, (eE(R)piA = plApJy" Y"i可取任意值由A正定，piHU.知(piApJ) 1存在取Y.1 為0,得一解/、半正定所以A,=A eA 廠 A AOY”piAppiAr 1、O(it r- 1)X1X© 199

14、4-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights resented, 第3期安中華:奇異協(xié)方差矩陣的最尤投許組合選擇85© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights resented, 第3期安中華:奇異協(xié)方差矩陣的最尤投許組合選擇#piAs (?)得:f 、 rPPlAAr- A Bex *Er(R)DrwOg r- 1)X1piApn o<fl-r-hx, > a/ 北Z pg

15、pVpA) 代入(4),得(P)的解：X = VrAr 記(E(R),C“)，嚴(yán)X A A t- A Ec(Izx2 pi1 (piApi1) 1 diA) +0(r+ I (piApJ)' *piA jj2 3 ErT(E(R),en) = 2按上方法同理可得：Pip iAr 1"2Er(R) eJXXA(Ah4 r- A He r pzApl)O(|卜 2) XlLUp:A12- pl (pzAp：7)" 1 pal ):X*=皿 T(E(R),c , A x (I：X2- p 2T (p ：A p 2T )' 1 p:A) +i, 0G+2) (pzA

16、ppT) 'p:A P<ILoC+ 13+5c”)的第f二夕亍組矗的極大線性無關(guān)組 本部分的結(jié)尾將說明條件：廣A包工0” 比匕為正定的條件”寬松4 如果G正定，則A lA ,A也> 0反其中：P2 =之不成立(E(R)g)為由戊(E(R),C/2 0 r2/21= 0 1 0、 C/2 0 廠T/?則:G- rAr1半正定而2A iA A Ec=|(E(R), c”)tEA； *r? (E(R), e«) |=l/25> 0,即得所證3在求解投資組合的優(yōu)化問題(卩)時(shí)經(jīng)常逋 到收益率R的協(xié)方差矩陣為半正定這導(dǎo)致問題 不易求解但通過風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率/?的廠個(gè)主成

17、 分，可得到二次凸規(guī)劃問題(Pr)在其目標(biāo)函數(shù)的 系數(shù)矩陣中有部分構(gòu)成正定矩陣而(P，)較易求 解.所以先求(內(nèi))的解再得(P)的解a從主成分的統(tǒng)計(jì)意義上看主成分方向?yàn)?方差變化最快的方向這樣沿方差變化最快的方 向定能使方差快速到達(dá)最小值所以本方法改善 了計(jì)算速度b對(duì)于一般情況，為求解(P),只需求解線性 方程組(1)(3),而此方程組較一般的方法又減 少了 r個(gè)變量，這樣能進(jìn)一改善計(jì)算速度c特別在A eA.- A L> 0時(shí),得到了問題(P) 解的完全解析表達(dá)式通過這一表達(dá)式能快捷地 求出間題(P)的解而這里的條件是比協(xié)方差矩 陣正定寬松多的條件很多實(shí)際問題均能滿足這 一條件總之，本文

18、針對(duì)協(xié)方差矩陣奇異的投資組合 問題，提出一有效的解法1 M arkow itzM H. Portfolb selecti)nJ Journal of Fi證明：由G正定得：r=小C= R A>= AG 1正定又由(c“E(R)的秩為2得： .丁.-At A ec(s E(R)tDA/ 'D1 (s E(R) =A Ec A EAA Ec正定.所以=A eA廣A L> 0A Ec A E反之取 n= 3> r= 2> 6= (1 1 1 )丫、E (R)=(0 5.0 2,0 1)T.10Ar *=0 2,rT=1 0Ar=/ A=1° 1/0r2/20

19、 C2/2L 01/29nance. 1952.7(1): 779I.【21李仲飛.汪壽陽EaR風(fēng)險(xiǎn)度量與動(dòng)態(tài)投資決策J | 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2003. 20(1): 45 -5L31楊維枳劉蘭亭林沔洲等多元統(tǒng)計(jì)分析M 1高 尊教育出版社.1986: 29-3Q4熊和平投份組合協(xié)方差矩陣的性質(zhì)與最優(yōu)組合的 選擇J I中國管理科學(xué).2002. 10(2): 12 - 14|5|呂盛鴿多元統(tǒng)計(jì)在投資組合中的應(yīng)用研究|M I « 國時(shí)政經(jīng)濟(jì)出版社.2002: 19 - 246 M.阿佛里耳非線性規(guī)劃(上冊)|M 上海:上?？?技出版社,1979: 178-179© 1994

20、-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights resented, 第3期安中華:奇異協(xié)方差矩陣的最尤投許組合選擇87The optinal portfol fo selectbn of shgular covarfence matrixAN Zhong hua(M ath Department. Hubei bistitute of Educatbn. W uhan 430060. China)Abstract The optin al portfdlb selectbn of average volu

21、e " square error model is hardly salved, if covariance matrix of yield is singular matrix. To the op t in a 1 po rtfb lb of singular covariance matrix, the paper gives the expressbn of average volue 一 square error mode hi ean " variance models solulbn with the principal components and the

22、method solving quadratic programm mgKey words portfolb； average volue 一 square errormodelM ean V ariance modet singular covariance m a* trix; pr inc pal component; quad ratio prog ran m ing本文編輯:蕭寧(上接第50頁)Study on the performance of polyurethane elasternerPENG Yong li,M EI M ei, MJ Fei, L I X iao _ q

23、 iang. HU H ao(School ofM aterial Science and Engineering, W uhan b)stitute of Chan ical Technobgy, W uhan 430073, China)Abstract A new chain ex tender, w hich can be used for co st big po lyurethane elastomer, was synthesized from MOCA and BM I By using MOCA, BM I 一MOCA and their blend as chain ex tenders,