物理有限元基本原理PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1物理有限元基本原理物理有限元基本原理21.1 有限單元法的概念有限單元法的概念1.2 有限單元法基本步驟有限單元法基本步驟第1頁/共130頁31.1 有限單元法的概念有限單元法的概念基本思想基本思想:借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識，利用計算機技術(shù)而解決工程技術(shù)問題。Finite Element Method -_FEMFinite Element Analysis 第2頁/共130頁4三大類型三大類型(按其推導(dǎo)方法分):(1) 直接剛度法直接剛度法(簡稱直接法簡稱直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關(guān)場變量表示的單元性質(zhì)方程。 (2) 變分法變分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問

2、題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計算方法。 (3) 加權(quán)余量法加權(quán)余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似解法。 第3頁/共130頁51.2 有限單元法基本步驟有限單元法基本步驟(1) 待求解域離散化待求解域離散化(2) 選擇插值函數(shù)選擇插值函數(shù)(3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程形成單元性質(zhì)的矩陣方程(4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程形成整體系統(tǒng)的矩陣方程(5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程約束處理，求解系統(tǒng)方程(6) 其它參數(shù)計算其它參數(shù)計算第4頁/共130頁6圖1-2 工程問題有限單元法分析流程 第5頁/共130頁72.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性 2.2 結(jié)構(gòu)計

3、算基本知識結(jié)構(gòu)計算基本知識2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束2.4 自由度計算公式自由度計算公式 第6頁/共130頁82.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性 結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。如果不計材料的應(yīng)變，在其受到任意載荷作用時其形狀和位置沒有發(fā)生剛體位移時，稱之為幾何不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，反之則稱為幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。幾何可變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對結(jié)構(gòu)進行幾何構(gòu)造分析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。 第7頁/共130頁9 (a) 結(jié)構(gòu)本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一

4、點 圖2-1 幾何可變結(jié)構(gòu) 第8頁/共130頁102.2 結(jié)構(gòu)計算基本知識結(jié)構(gòu)計算基本知識2.2.1 結(jié)構(gòu)計算簡圖結(jié)構(gòu)計算簡圖 實際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實際情況進行力學(xué)分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實際結(jié)構(gòu)進行力學(xué)計算之前，必須將其作合理的簡化，使之成為既反映實際結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)與特點，又便于計算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為結(jié)構(gòu)的計算簡圖，有時也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。結(jié)構(gòu)計算所常用的結(jié)點和支座的簡化形式結(jié)構(gòu)計算所常用的結(jié)點和支座的簡化形式: （1）結(jié)點： 鉸結(jié)點； 剛結(jié)點； 混合結(jié)點。 （2）支座： 活動鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座 第9

5、頁/共130頁112.2.2 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征結(jié)構(gòu)的分類與基本特征 (1) 按結(jié)構(gòu)在空間的位置分 結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)兩大類(2) 按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分 桿系結(jié)構(gòu)： 梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。 板殼結(jié)構(gòu) 實體結(jié)構(gòu)實體結(jié)構(gòu)的長、寬、高三個尺寸都很 大，具有同一量級。 混合結(jié)構(gòu) 第10頁/共130頁12(3) 按結(jié)構(gòu)自由度分 靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特征: a. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面特征（幾何尺寸，形狀）無關(guān)。 c. 靜定結(jié)構(gòu)上無外載荷作用時，其內(nèi)力及支座反力全為零。

6、d. 若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下， 結(jié)構(gòu)中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨立地與載荷保持平衡時，則其它部分的內(nèi)力為零。 e. 當將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個幾何不變部分時，結(jié)構(gòu)的其余部分都無內(nèi)力產(chǎn)生。 f. 當靜定結(jié)構(gòu)中的一個內(nèi)部幾何不變部分上的載荷作等效變換時，其余部分的內(nèi)力不變。 g. 當靜定結(jié)構(gòu)中的一個內(nèi)部兒何不變部分作構(gòu)造改變時，其余部分的內(nèi)力不變。 第11頁/共130頁13 超靜定結(jié)構(gòu)自由度大于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特性： a. 超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個，但同時滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個。 b. 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而且與林料的力學(xué)性能和

7、截面尺寸有關(guān)。 c. 超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產(chǎn)生的位移會受到多余約束的限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。 d. 超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的承載能力， 不致整個結(jié)構(gòu)遭受破壞。 e. 超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)具有較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內(nèi)力分布也較均勻，且內(nèi)力峰值也較靜定結(jié)構(gòu)為小。 第12頁/共130頁14(1) 具有奇數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 2.2.3 結(jié)構(gòu)對稱性的利用結(jié)構(gòu)對稱性的利用 對稱結(jié)構(gòu)在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產(chǎn)生正對稱的位移，反對稱的位移為零；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載

8、荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。 (a) 對稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對稱性利用 圖2-22對稱性利用示意圖 第13頁/共130頁15 對稱剛架承受反對稱載荷作用 (a) 對稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性利用 圖2-23 反對稱性利用示意圖 第14頁/共130頁16 (a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對稱性利用 圖2-24對稱性利用示意圖(2) 具有偶數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 第15頁/共130頁17 反對稱載荷作用 (b) 反對稱性狀態(tài)分析 (a) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性受力分析 (d) 反對稱性利用 圖2-25對稱性利用示意圖第16頁

9、/共130頁18 2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束 (1) 自由度自由度指結(jié)構(gòu)在所在空間運動時，可以獨立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時所需的獨立參數(shù)的數(shù)目。(2) 約束約束 指減少結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)運動的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸； 復(fù)鉸； 完全鉸與不完全鉸。第17頁/共130頁19(1)桁架自由度計算公式桁架自由度計算公式 一個平面體系的自由度計算結(jié)果，不外下述三一個平面體系的自由度計算結(jié)果，不外下述三種可能：種可能： a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運動， 故結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。 b. W

10、=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的約束數(shù)。 c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。 2.4 自由度計算公式自由度計算公式zgjW 2zgjW 3平面桁架 空間桁架 桁架中的結(jié)點數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為z，則桁架的自由度W 為(2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計算公式平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計算公式第18頁/共130頁20 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.3 坐標變換及單元剛度矩陣坐標變換及單元剛度矩陣 3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.5 約束

11、處理及求解約束處理及求解 3.6 計算示例計算示例 第19頁/共130頁213.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu)支承架、起重機起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)構(gòu)按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁單元組成。 (a) Liebherr塔式起重機 (b) Liebherr履帶式起重機(c) 鋼結(jié)構(gòu)橋梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結(jié)構(gòu)第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第20頁/共130頁223.1.1 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化

12、由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實桿件聯(lián)接而成，故離散化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分為幾個單元 )作為一個單元，桿件與桿件相連接的交點稱為結(jié)點。桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、自由端、集中載荷作用點、支承點以及沿桿長截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點。這些結(jié)點都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點來確定的。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個結(jié)點間的每一個等截面直桿可以設(shè)置為一個單元。變換為作用在結(jié)點上的等效結(jié)點載荷。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第21頁/共130頁23 c. 變截面桿件可分段處理成多個單元，取各段中點處的截面近似作為該單元的截面，各單

13、元仍按等截面桿進行計算。 d. 對曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折線代替，每端折線為一個單元。如若提高計算精度，也可以在桿件中間增加結(jié)點。 e. 在有限元法計算中，載荷作用到結(jié)點上。當結(jié)構(gòu)有非結(jié)點載荷作用時，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法(a) 結(jié)點載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點載荷處理方式圖3-2桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖 第22頁/共130頁243.1.2 坐標系坐標系 圖3-3 坐標系示意圖 為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對結(jié)構(gòu)進行整體分析，尚需要建立一個對每個單元都適用的統(tǒng)一坐標系，即結(jié)構(gòu)坐標系或稱之為整體坐標系、總體坐標系。 第三章第三

14、章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第23頁/共130頁253.1.3 向量表示向量表示 在有限單元法中力學(xué)向量的規(guī)定為：當線位移及相應(yīng)力與坐標軸方向一致時為正，反之為負；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標軸正向相一致時為正。對于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標軸方向的分量。 (a)剛架結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 結(jié)點位移和結(jié)點力分向量 圖3-4 平面剛架分析示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第24頁/共130頁26 Tiiiivu Tjjjjvu結(jié)點位移列向量為 單元e結(jié)點位移列向量為 Tjjjiiijieuu 結(jié)點

15、力向量為 TeiiieiMVUF TejjjejMVUF 單元e結(jié)點力列向量為 TejjjiiiejeieMVUMVUFFF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第25頁/共130頁273.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù)軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù) 有限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真實反映真實結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律等，直接影響計算結(jié)果的真實性、計算精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當滿足下列要求

16、: a. 單元位移函數(shù)的項數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項和一次項。至于高次項要選取多少項，則應(yīng)視單元的類型而定。第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第26頁/共130頁28 由單元結(jié)點位移，確定待定系數(shù)項 當 時， 當 時， 所以 用結(jié)點位移表示 其中 、 分別表示當 ， 時； ， 時的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。0 xlx iuu juu iu1luuij2jjuiiuuNNxu)(lxNiu1lxNjuiuNjuN1iu0ju0iu1ju第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 b. 單元

17、的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當全部包含在位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。 第27頁/共130頁29 3.2.2 梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 梁單元平面彎曲僅考慮結(jié)點的四個位移分量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知,各截面的轉(zhuǎn)角: 故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個待定系數(shù) ， ， ， 的多項式 單元結(jié)點位移條件 當 時 ， 當 時 ，iijjxv1234342321)(xxxxv0 xivv ixvlx jvv jxvjijijijiiilvvllvvlv234232112213第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元

18、法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第28頁/共130頁3032233223223322112312231xlxlNxlxlNxlxlxNxlxlNjjviivjjjjviiiivNvNNvNxv)( ejjiijuiuNNNNNNvu000000 eNf稱為形函數(shù)矩陣。 N第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第29頁/共130頁313.2.3 單元的應(yīng)力應(yīng)變單元的應(yīng)力應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時，平面剛架單元內(nèi)任一點的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)變?yōu)?y為梁單元任意截面上任意

19、點至中性軸(x軸)的距離。 得出平面剛架單元應(yīng)變 xulx22xvybx圖3-5 彎曲應(yīng)變計算示意圖 22xvyxubxlxx exB則 xllyxllylxllyxllylB232232621261641261平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。 B exxBEE第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第30頁/共130頁323.2.4 平面剛架梁單元的剛度矩陣平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的i，j結(jié)點發(fā)生虛位移為 T*jjjiiieuu 單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為 exB*由虛功原理有 dxdydzFxvxeeT*T* evedxdydzBEBTT* 由于結(jié)點虛位移

20、的任意性，故上式可寫成 e eeevekdxdydzBEBFT 上式稱為局部坐標下的平面剛架單元的剛度方程，簡稱為單剛。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第31頁/共130頁33 dxdydzBEBkveT 橫截面積A 橫截面對形心軸z的靜矩S 橫截面對主慣性軸z的慣性矩I 得到四個3 3子塊所組成的局部坐標系下的平面剛架梁單元的單元剛度矩陣。 AdydzA0AydydzSAdydzyI2 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkkkkkejjejieijeiie460260

21、612061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第32頁/共130頁34 平面桁架的單元剛度矩陣為 lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie 空間桁架單元每個結(jié)點有3個位移分量，其單元結(jié)點位移列向量 Tjjjiiijiewuwu 空間桁架局部坐標下的單元剛度矩陣是66的 00000000000000000000000000000000lEAlEAlEAlEAkkkkkejjejieijeiie第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第33頁

22、/共130頁35 空間剛架單元每個結(jié)點有6個位移分量，其單元結(jié)點位移列向量 Tjzjyjxjjjiziyixiiijiewvuwvu 空間剛架局部坐標下的單元剛度矩陣是1212的。 (a) 桿單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 桿單元j端產(chǎn)生單位位移圖3-6 平面桁架單元剛度系數(shù)的物理意義 (a) 梁單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 梁單元j端產(chǎn)生單位位移 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第34頁/共130頁36(c) 梁單元i端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁單元j端產(chǎn)生單位角位移圖3-7 平面剛架單元剛度系數(shù)的物理意義 3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì)單元的剛度矩陣的

23、性質(zhì) a. 單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長度l、單元的彈性模量E有關(guān)。 b. 單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側(cè)對稱位置上的兩個元素數(shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。 c. 單元剛度矩陣是一個奇異陣。 d. 單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第35頁/共130頁373.3 坐標變換及單元剛度矩陣坐標變換及單元剛度矩陣 3.3.1 坐標變換坐標變換 在整體坐標系中單元結(jié)點力向量和結(jié)點位移列向量 可分別表示成 Tjjjiiiejeievu

24、vu TjjjiiijieMYXMYXFFF (a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換圖3-8 向量轉(zhuǎn)換示意圖 sincosiiivuucossiniiivuvii第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第36頁/共130頁38iiiiiivuvu1000cossin0sincos對于梁單元如圖3-8(b)所示，則有 jjjiiijjjiiivuvuvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos可簡寫為 eeT第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第37頁/共130頁3

25、9 同理 eeFTF式中 平面剛架梁單元的從局部坐標系向整體坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。 T 1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT3.3.2 整體坐標系下的單元剛度矩整體坐標系下的單元剛度矩陣陣 eeeeeeekTkTTkTFT1 式中 整體坐標下的單元剛度矩陣。 ek TTkTkee 和 一樣， 為對稱陣、奇異陣。 ek ek第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第38頁/共130頁403.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.4.1 整體剛度矩陣的建立整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結(jié)構(gòu)剛度矩陣

26、或總體剛度 矩陣，簡稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對象以整體坐標系為 依據(jù)。 圖3-9 載荷向量示意圖 如右圖所示剛架結(jié)構(gòu)，其結(jié)點載荷列向量分別為 T111. 1MPPPyx T2212. 2MPPPyx T3331. 3MPPPyx T444. 4MPPPyx第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第39頁/共130頁41結(jié)構(gòu)載荷列向量 T4321PPPPP T444333222111MPPMPPMpPMPPPyxyxyxyx結(jié)點位移列向量 T4321 T444333222111vuvuvuvu對于結(jié)點對于結(jié)點1對于結(jié)點

27、對于結(jié)點2對于結(jié)點對于結(jié)點3對于結(jié)點對于結(jié)點4111111111MPPMYXyx 111PF222222222121212MPPMYXMYXyx 22212PFF333333333232323MPPMYXMYXyx 33323PFF444343434MPPMYXyx 434PF建立結(jié)點平衡條件方程式如右表。第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第40頁/共130頁42用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點位移的關(guān)系式。用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點位移的關(guān)系式。對于單元對于單元1有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元1的剛度的剛度矩陣矩陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展

28、開為 211221211121111211kkkkFF 111kF 1221211121111kkkkk21221121122112111111kkFkkF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第41頁/共130頁43對于單元對于單元2有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元2的剛度矩陣的剛度矩陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 322332322232222322kkkkFF 222kF 2332322232222kkkkk32332232232223222222kkFkkF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第42頁/共130頁44對

29、于單元對于單元3有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元3的剛度矩的剛度矩陣陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 433443433343333433kkkkFF 333kF 3443433343333kkkkk43443343344334333333kkFkkF第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第43頁/共130頁45 單元剛度矩陣由22的子矩陣組成， 每個子矩陣是33的方陣。 的上角標表示單元編號，下角標表示單元j端單位位移所引起的i端相應(yīng)力。 將桿端內(nèi)力與結(jié)點位移關(guān)系式代入結(jié)點的平衡條件方程式中，經(jīng)整理得： eijk432143213443433343332332

30、32223222122121112111000000PPPPkkkkkkkkkkkk簡寫為 PK稱之為結(jié)構(gòu)原始平衡方程。其中 344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkkK 為整體剛度矩 陣。 K第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第44頁/共130頁463.4.2 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標系下，矩陣按照結(jié)點編號的順序組成的行和列的原則，將全部單元剛度矩陣擴展成nn方陣后對號入座疊加得到。 對于單元1 0000000000001221211121111kkk

31、kK對于單元2 0000000000002332322232222kkkkK對于單元3 34434333433330000000000000kkkkK 單元剛度矩陣集成得出整體剛度矩陣 34434333433323323222322212212111211132100000043214321kkkkkkkkkkkkKKKK結(jié)點編號第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第45頁/共130頁473.4.3 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點i的各相關(guān)單元的主子塊擴展之后疊

32、加求得，即 b. 當結(jié)點i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點時， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即 。 c. 當結(jié)點i、 j為非相關(guān)結(jié)點時， 中副子塊 為零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關(guān)。 e. 為對稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。 KiiKijK KeiiiikK KijKeijijkK KijK 0ijK K KjiijKK K第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第46頁/共130頁48 g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結(jié)點編號

33、有關(guān)，非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3-10(a)。在包括對角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。最大半帶寬等于相鄰結(jié)點號的最大差值加 1 與結(jié)點自由度數(shù)的乘積，結(jié)點號差越大半帶寬也就越大。計算機以半帶寬方式存儲，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計算機的存儲量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運算次數(shù)。其效果對大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點位移求出，進而求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場。 (a) 帶狀分布規(guī)律 (b) 帶狀存儲 第三章

34、第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第47頁/共130頁493.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.5.1 約束處理的必要性約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄盏?2 章的原則，結(jié)合實際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即對結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為 PK PK PK3.5.2 約束處理方法約束處理方法 約束處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用這兩種方法不會破壞整體剛度

35、矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第48頁/共130頁50 下面以圖3-11所示剛架結(jié)構(gòu)為例，解釋如何進行約束處理。對于下圖所示剛架結(jié)構(gòu) 設(shè)結(jié)點位移列向量為設(shè)結(jié)點載荷列向量為 T9321T321uuuu T9321T321ppppPPPP(a)固定支座 (b) 支座強迫位移已知 圖3-11 結(jié)構(gòu)約束第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第49頁/共130頁51其原始平衡方程式為 32132123323222322212212111211100PPPkkkkkkkk 按照每個結(jié)點的位移分量

36、將上式展開為987654321987654321999897969594939291898887868584838281797877767574737271696867666564636261595857565554535251494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211pppppppppuuuuuuuuukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析

37、的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第50頁/共130頁52 對于如圖3-11(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全部為零，此時做約束處理時，采用填0置1法比較適宜。 對于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給定的強迫值，此時做約束處理時，采用乘大數(shù)法比較適宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結(jié)點1、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部置換成1， 相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。 同時，所在同一行上的載荷分量替換成0，則有0987321uuuuuu第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第51頁/共130頁53000000010

38、00000001000000000100000000000000000000000000000010000000001000000000165498765432192666564565554464544pppuuuuuuuuukkkkkkkkkk654654666564565554464544pppuuukkkkkkkkk則第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 也可簡便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關(guān)的所在行的位移和載荷向量。第52頁/共130頁54 處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結(jié)點1為

39、固定支座，結(jié)點3處在方向的約束為已知強迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部乘以一個大數(shù)N，一般取 。同時，將相應(yīng)同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對角剛度系數(shù)和給定的強迫位移（包括零位移）。 22222122Pkk097321uuuuu088uu 15101010N第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第53頁/共130頁550000088865498765432199989796959493929189888786858483828179787776757473727169686766656463626159585756555453525

40、1494847464544434241393837363534333231282726262524232221191817161514131211kNpppuuuuuuuuukNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkNkkkkkkkkkkN0921111jjukukN得到由于N 足夠大，可以近似認為 0921jjuk,則得出 01u同時得到09732uuuu088uu 求出位移 之后，即可以求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場 。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第54

41、頁/共130頁56第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 用有限單元法計算空間剛架結(jié)構(gòu)，在原理上及推導(dǎo)過程與計算平面剛架結(jié)構(gòu)相同。在此不再重復(fù)。但應(yīng)注意到，由于空間的每一結(jié)點一般具有六個自由度，故計算較之復(fù)雜些。3.6 計算示例計算示例 設(shè)兩桿的桿長和截面尺寸相同， 27kN/m101 . 2 E桿件長 m。 10l圖3-12 剛架受力簡圖第55頁/共130頁57(1) 結(jié)構(gòu)離散化后 將結(jié)構(gòu)劃分為4個結(jié)點、3個單元2m5 . 0A43m2411215 . 0I截面積 ，慣性矩 (2) 求結(jié)點載荷 首先須求局部坐標系中固定端內(nèi)力 eF0 (a) 單元1作為兩端固定

42、梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖圖3-13內(nèi)力示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第56頁/共130頁58單元1 mKN8012106 . 912kN482106 . 922212101102101glMMglVVo單元2 mKN20081016081KlMMPVV在局部坐標系下單元載荷列向量在局部坐標系下單元載荷列向量 單元1 804808048010F單元2 20080020080020F單元3 00000030F第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第57

43、頁/共130頁59 為了求出在整體坐標下的載荷列向量，先求單元得坐標轉(zhuǎn)換矩陣 T單元1、2 00 I1000000100000010000001000000100000011000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos1T單元3 090 1000000010000100000001000000010000101000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos3T第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第58頁/共130頁60 求各單元在整體坐標下的求各單

44、元在整體坐標下的等效結(jié)點載荷等效結(jié)點載荷 eP0 1020110101108048080480PPFFTPT 203022020220200800200800PPFFTPT第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第59頁/共130頁61 30204303T30000000000000100000001000010000000100000001000010PPFTPT 求剛架的等效結(jié)點載荷 0P 3020100PPPP 00020080012012808048000000000000000020080020080000000000080480804800P第三章第三

45、章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第60頁/共130頁62因為無結(jié)點載荷作用，總結(jié)點載荷即為等效結(jié)點載荷。 T0000200800120128080480 PP(3) 求單元剛度矩陣由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故 ek 321kkk梁單元的局部坐標下的剛度矩陣表達式梁單元的局部坐標下的剛度矩陣表達式 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAke460260612061200000260460612061200000222323222323第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的

46、有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第61頁/共130頁63 2321103500525017505250525105052510500010500001050017505250350052505251050525105000105000010500kkk則（4）求整體坐標系中的 ek單元1 111111T122211211kkkkkIkIk單元2 222222233322322kkkkkkk單元3 33T33TkTk第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第62頁/共130頁64 3334332322244410350005251750052501050000

47、1050005250105525010517500525350005250105000010500052501055250105kkkkk（5）求結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣 K利用剛度集成法利用剛度集成法 344342223242321111000000233223222222211211kkkkkkkkkkkkK（6）建立原始平衡方程式43214321344342223242321111000000233223222222211211PPPPkkkkkkkkkkkk第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第63頁/共130頁65（7）引入約束條件解方程組 由于1、3、4為

48、固定端， 修改整體剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列向量中的相應(yīng)的行，既約束處理。 0444333111vuvuvu建立基本平衡方程建立基本平衡方程 22222222Pkkk即622210428.1145145.1198465. 2vu得到 （8）求各桿的桿端力 eF 單元3結(jié)點位移列向量 3336666010000001000000000100000100000102.8465 10119.5145000100119.5145 102.8465000001114.428 10114.428T第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第64頁/共130頁6

49、6單元1桿端內(nèi)力計算 10111FkF7753.1137526.529888. 22496.662474.439888. 2單元2桿端內(nèi)力計算 20222FkF2994.2262624.879888. 26757.1537376.729888. 2單元3桿端力計算 30333FkF9004.399776. 54902.1258755.199776. 54902.125第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第65頁/共130頁67（9）作內(nèi)力圖 （a） 剛架軸力圖（b） 剛架剪力圖（c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內(nèi)力圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單

50、元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法第66頁/共130頁684.1 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法4.2 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 4.3 平面問題的離散化平面問題的離散化4.4 平面三結(jié)點三角形單元平面三結(jié)點三角形單元 第67頁/共130頁69 嚴格地說，任何彈性體都是處于三維受力狀態(tài)，因而都是空間問題，但是在一定條件下，許多空間問題都可以簡化成平面問題。 平面問題可以分為兩類：平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)平面應(yīng)變問題變問題。圖4-1 平面問題應(yīng)力狀態(tài)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第68頁/共130頁7

51、04.1 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題圖4-2(a) 平面應(yīng)力問題 如圖所示的深梁結(jié)構(gòu)，其厚度方向的尺寸遠比其它兩個方向的尺寸小得多，可視為一薄板。它只承受作用在其平面內(nèi)的載荷，且沿厚度方向不變，計算時以中性面為研究對象。其力學(xué)特點力學(xué)特點是：, 0, 0, 0zyyzzxxzz0z平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣即彈性矩陣為：。 2100010112ED第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第69頁/共130頁71圖4-2(b) 平面應(yīng)變問題4.2 平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題 圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長度方向上的尺寸遠比其它兩個方向上的尺寸大得多，同樣，載荷作用在xy坐標

52、面內(nèi)，且沿z軸方向均勻分布。其力學(xué)特點是：0, 0, 0yzxzx但一般情況下 0z平面應(yīng)變問題的彈性矩陣只需將式(4-1)中的E換成 21E換成 ， 1即可。 )1 (22100011011)21)(1 ()1 (uED。第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第70頁/共130頁72 無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題的應(yīng)力無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題的應(yīng)力 與 應(yīng)變應(yīng)變 之間的關(guān)系均為： 0 D Txyyx Txyyx，其中： 0為初應(yīng)變。式中4.3 平面問題的離散化平面問題的離散化(a) 三結(jié)點三角形單元 (b) 四結(jié)點正方形單元 (c) 四結(jié)點矩形單元 (

53、d) 四結(jié)點四邊形單元圖4-3 平面問題單元的主要類型第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第71頁/共130頁73 圖4-4(a)表示的是帶有橢圓孔的平板，在均勻壓力作用下的應(yīng)力集中問題。圖4-5(b)是利用結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)的對稱性對稱性，采用三結(jié)點三角形單元而離散后的力學(xué)模型，各單元之間以結(jié)點相連。 (a) 均勻受力板力學(xué)模型 (b) 力學(xué)模型離散化圖4-4 平面問題有限單元法的計算力學(xué)模型第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第72頁/共130頁74 4.4 平面三結(jié)點三角形單元平面三結(jié)點三角形單元 4.1.1 位移函數(shù)位移函數(shù)圖4-5 三角形單

54、元 如果把彈性體離散成為有限個單元體，而且單元很小時，就很容易利用其結(jié)點的位移，構(gòu)造出單元的位移插值函數(shù)，即位移函數(shù)。65432110000001yxyxyxvyxu位移函數(shù)矩陣形式位移函數(shù)矩陣形式：第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第73頁/共130頁75簡寫為： Mf 由于位移函數(shù)適用于單元中的任意一點，所以帶入3個結(jié)點的坐標后，得出結(jié)點處位移函數(shù)為結(jié)點處位移函數(shù)為64321100000011000000110000001mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxyxyxyxyxvuvuvu簡寫為： Ae第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限

55、單元法第74頁/共130頁76 解出 eA1mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211其中， 是三角形單元的面積，當三角形單元當三角形單元結(jié)點結(jié)點i、j、m按逆時針次序排列時按逆時針次序排列時，則有)(21)(2121mijmijimmjjiyxyxyxyxyxyx4.4.2 形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第75頁/共130頁77jmmjimjmjimjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxam1111其中記號 表示將i、j、m進行輪換后，可得出另外兩組帶腳標的

56、a、b、c的公式。單元位移函數(shù)為結(jié)點位移的插值函數(shù)單元位移函數(shù)為結(jié)點位移的插值函數(shù)，即iiiimjimmmmjjjjiiiiiiiimjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbavycxbavuycxbauycxbauycxbauycxbau)(21)()()(21)(21)()()(21.第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法(4-9)第76頁/共130頁78)(21ycxbaNiiii令 mjiNNN、 在式(4-10)中表示的 稱為形函數(shù)形函數(shù)，于是位移函數(shù)表達式用形函數(shù)表示為：(4-10)mjiiimmjjiimjiiimmjjiivNvNv

57、NvNvuNuNuNuNu、(4-11)寫成矩陣形式mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvuf000000emjiINININ(4-12)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第77頁/共130頁79由幾何方程知vuxyyxxyyx00將式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏導(dǎo)數(shù)，得(4-13)()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub4.4.3 單元的應(yīng)力與應(yīng)變單元的應(yīng)力與應(yīng)變第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第78頁/共130頁80)()

58、(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub簡寫為： eB(4-14)mjimmjjiimjimjiBBBbcbcbccccbbbB00000021 由于B是常量，單元內(nèi)各點應(yīng)變分量也都是常量，這是由于采用了線性位移函數(shù)的緣故，這種單元稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?4-15)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第79頁/共130頁81 由彈性力學(xué)的物理方程彈性力學(xué)的物理方程可知，其應(yīng)力與應(yīng)變有如下關(guān)系： D(4-16) 將式(4-14)代入式(4-16)，得eeSBD(4-17)mjiSSSB

59、DS式中 (4-18) S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣轉(zhuǎn)換矩陣，對平面應(yīng)力問題，其子矩陣為iiiiiiibccbcbES2121)1 (22(4-19) 由式(4-17)看出，應(yīng)力分量也是一個常量。在一個三角形單元中各點應(yīng)力相同，一般用形心一點表示。其應(yīng)變也可同樣表示。第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第80頁/共130頁82 用虛功原理來建立結(jié)點力和結(jié)點位移間的關(guān)系式，從而得出三角形單元的剛度矩陣。 (a) 實際力系 (b) 虛設(shè)位移圖4-6 彈性體虛功原理的應(yīng)用4.4.4 三角形單元剛度矩三角形單元剛度矩陣陣第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第8

60、1頁/共130頁83結(jié)點力列向量和應(yīng)力列向量分別為TTmmjjiimjieVUVUVUFFFFTxyyx結(jié)點虛位移列向量和虛應(yīng)變列向量為T*T*mmjjiimjievuvuvuT*xyyx用虛功原理虛功原理建立三角形單元的虛功方程為tdxdyFeeT*T*）（ eB* TT*T*Be）（tdxdyBFeeeTT*T*）（）（由式(4-12)式知，代入式(4-20)得(4-20)第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法第82頁/共130頁84 由于虛位移是任意的，等號兩邊可左乘1T*e，得tdxdyBFeTetdxdyBDBTeek (4-21)三角形單元的剛度矩陣可寫成