平面向量的數(shù)量積與運(yùn)算律

1、sF 一個(gè)物體在力一個(gè)物體在力F 的作用下產(chǎn)生位的作用下產(chǎn)生位移移s，那么力那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，功是數(shù)量是向量，功是數(shù)量.| s|F|W cos 是是F的方向的方向 與與s的方向的方向 的夾角。的夾角。先看一個(gè)概念先看一個(gè)概念-向量的夾角向量的夾角 AOB)1800( OABab OABba當(dāng)當(dāng) ，0 OABba當(dāng)當(dāng) ，180 OABab 當(dāng)當(dāng) ，90 ba 記作記作已知已知a 與與b 同向；同向；a 與與b 反向；反向；a 與與b 垂直垂直. 在在 中，找出下列向量的夾角：中，找出下列向量的夾角： ABCABC(1);

2、ABAC與(2);ABC與B(3)ACC與B 。平面向量的數(shù)量積的定義平面向量的數(shù)量積的定義 （1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號由）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定夾角決定. （3） 在運(yùn)用在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是范圍是 0，180（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法，它與，它與數(shù)的乘法是有區(qū)別的，數(shù)的乘法是有區(qū)別的， a b不能寫成不能寫成 ab 或或 ab .說明：說明：例題例題1 1：求下列向量的內(nèi)積：求下列向量的內(nèi)積（1 1）e a=a

3、 e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判斷兩向量垂直的依據(jù)判斷兩向量垂直的依據(jù)) ) （3 3）當(dāng)當(dāng)a 與與b b 同向時(shí)，同向時(shí)，a b =| a | | b |，當(dāng)當(dāng)a 與與b 反向反向時(shí)，時(shí)， a b = -| a | | b | 特別地特別地22a aaaa或 4cosa ba b( a / b a b=|a| |b| )(5) a ba b 4cosa ba b數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：abba)()()(bababacbcacba )(交換律：交換律：對數(shù)乘的結(jié)合律：對數(shù)乘的結(jié)合律：分配律：分配律：則，和實(shí)數(shù)、已知向量cba（1 1） 23ab 解：由題

4、意解：由題意0,（1）在四邊形）在四邊形ABCD中，中，AB BC=0，且，且AB=DC則四邊形則四邊形ABCD是（是（ ）A 梯形梯形 B 菱形菱形 C 矩形矩形 D 正方形正方形（3）在）在 中，已知中，已知|AB|=|AC|=1，且，且ABCAB AC= ，則這個(gè)三角形的形狀是，則這個(gè)三角形的形狀是12C1等邊三角形等邊三角形（2）已知向量）已知向量 a , b 共線，且共線，且 |a| =2|b|則則a與與b間的夾角的余弦值是間的夾角的余弦值是 ?？偨Y(jié)提煉總結(jié)提煉1、向量的數(shù)量積的物理模型是力的做功；、向量的數(shù)量積的物理模型是力的做功； 4、兩向量的夾角范圍是、兩向量的夾角范圍是0,

5、5、掌握五條重要性質(zhì)、掌握五條重要性質(zhì)：平面向量的數(shù)量積的幾何意義是平面向量的數(shù)量積的幾何意義是: a 的長度的長度 |a|與與 b 在在 a 的方向的方向 上的上的數(shù)量數(shù)量 |b|cos 的乘積的乘積2、a b的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它是標(biāo)量不是向量。的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，它是標(biāo)量不是向量。3、利用、利用 a b= |a| |b|cos 可求兩向量的夾角，可求兩向量的夾角， 尤其尤其 是判定垂直。是判定垂直。判斷下列各題是否正確：判斷下列各題是否正確：（2）、若 ， ，則0a 0a b0b （3）、若 ， ，則0a a bbcac(1)、若 ，則任一向量 ，有0a b0a b（4）、/a ba bab

6、分配律的證明：aAcBCb1AB1Oabc ().abca cb c r rr rr rr r r rr r r r 在實(shí)數(shù)中，有在實(shí)數(shù)中，有(a b)c = a(b c)，向量，向量中是否也有中是否也有 ? 為什么為什么?答：沒有答：沒有.()()a bcab c 因?yàn)橛叶耸桥c因?yàn)橛叶耸桥c 共線的向量，而共線的向量，而左端是與左端是與 共線的向量，但一般共線的向量，但一般 與與 不共線不共線 a c c a 所以，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律所以，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律所以，向量的數(shù)量積不滿足消去律所以，向量的數(shù)量積不滿足消去律 在實(shí)數(shù)中，在實(shí)數(shù)中，若若a b = a c且且a 0，則，則b

7、= c向量中是否也有向量中是否也有“若若 ，則，則 ”成立呢成立呢 ? 為什么為什么?(0)a ba c a bc OababABC 例例3 已知已知| | = 6，| | = 4， 與與 的夾角為的夾角為60 ，求：，求：a b 解：解：(1)b a (1) (2 ) (3 );abab (2 ) (3 )abab 6a aa bb b 22|6 |aa bb 22664cos6064 = 72. 1. 小結(jié)：小結(jié)： 2. 向量運(yùn)算不能照搬實(shí)數(shù)運(yùn)算律，向量運(yùn)算不能照搬實(shí)數(shù)運(yùn)算律，交換律、數(shù)乘結(jié)合律、分配率成立；交換律、數(shù)乘結(jié)合律、分配率成立；向量結(jié)合律、消去律不成立。向量結(jié)合律、消去律不成立

8、。 3. 向量的主要應(yīng)用是解決長度和夾向量的主要應(yīng)用是解決長度和夾角問題。角問題。0.aba b 運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)求內(nèi)積運(yùn)用平面向量的坐標(biāo)求內(nèi)積11,x ya22,xybij探究：設(shè)，探究：設(shè)， 分別為分別為x x軸和軸和y y軸軸正方向上的單位向量。正方向上的單位向量。12121221x x i iy y j jx y i jx y j i 11平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)表示平面向量內(nèi)積的坐標(biāo)表示1212x xy y a b即：兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和即：兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和. .探究：利用坐標(biāo)公式驗(yàn)證向量的模探究：利用坐標(biāo)公式驗(yàn)證向量的模例題例題：求下列向量的內(nèi)積：求下列向量的內(nèi)積解解：（）：（）121200 x xy y aba b例題例題2 2：已知：已知1,2 ,2,3 ab，求： （1） abab （2） 2abab 向量夾角