有限元考試試題及答案——第一組(共10頁(yè))1

1、有限元考試試題及答案1、 簡(jiǎn)答題（5道，共計(jì)25分）。1.有限單元位移法求解彈性力學(xué)問(wèn)題的基本步驟有哪些？（5分）答：（1）選擇適當(dāng)?shù)膯卧愋蛯椥泽w離散化；（2）建立單元體的位移插值函數(shù)；（3）推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃?；?）將單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝成整體剛度矩陣；（5）代入邊界條件和求解。2. 在劃分網(wǎng)格數(shù)相同的情況下，為什么八節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元精度大于四邊形矩形單元？ （5分）答：在對(duì)于曲線邊界的邊界單元，其邊界為曲邊，八節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元邊上三個(gè)節(jié)點(diǎn)所確定的拋物線來(lái)代替原來(lái)的曲線，顯然擬合效果比四邊形矩形單元的直邊好。3.軸對(duì)稱單元與平面單元有哪些區(qū)別？ （5分） 答：軸對(duì)稱單元是三角形或四邊形

2、截面的空間的環(huán)形單元，平面單元是三角形或四邊形平面單元；軸對(duì)稱單元內(nèi)任意一點(diǎn)有四個(gè)應(yīng)變分量，平面單元內(nèi)任意一點(diǎn)非零獨(dú)立應(yīng)變分量有三個(gè)。4.有限元空間問(wèn)題有哪些特征？ （5分）答：（1）單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長(zhǎng)方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元 、軸對(duì)稱單元。（2）結(jié)點(diǎn)位移3個(gè)分量。（3）基本方程比平面問(wèn)題多。3個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何方程，6個(gè)物理方程。5.簡(jiǎn)述四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的平面問(wèn)題分析過(guò)程。（5）分）答：（1）通過(guò)整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系的映射關(guān)系得到四節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元的母單元，并選取單元的唯一模式； （2） 通過(guò)坐標(biāo)變換和等參元確定平面四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的幾

3、何形狀和位移模式； （3）將四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問(wèn)題的幾何方程，得到單元應(yīng)變分量的計(jì)算式，再將單元應(yīng)變代入平面問(wèn)題的物理方程，得到平面四節(jié)點(diǎn)等參 數(shù)單元的應(yīng)力矩陣； （4）用虛功原理求得單元?jiǎng)偠染仃嚕詈笥酶咚狗e分法計(jì)算完成。2、 論述題（3道,共計(jì)30分）。1. 簡(jiǎn)述四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的平面問(wèn)題分析過(guò)程。（10分）答：（1）通過(guò)整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系的映射關(guān)系得到四節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元的母單元，并選取單元的唯一模式； （2） 通過(guò)坐標(biāo)變換和等參元確定平面四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的幾何形狀和位移模式； （3）將四節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元的位移模式代入平面問(wèn)題的幾何方程，得到單元

4、應(yīng)變分量的計(jì)算式，再將單元應(yīng)變代入平面問(wèn)題的物理方程，得到平面四節(jié)點(diǎn)等參 數(shù)單元的應(yīng)力矩陣； （4）用虛功原理求得單元?jiǎng)偠染仃?，最后用高斯積分法計(jì)算完成。2.軸對(duì)稱問(wèn)題的簡(jiǎn)單三角形單元是否是常應(yīng)力，常應(yīng)變？為什么？（10分） 答：不是常應(yīng)力和常應(yīng)變。 因?yàn)閼?yīng)變與位移分量的關(guān)系式為: ,這里除含有微分算符外，還包含了r的倒數(shù)項(xiàng)1/r ,則即使位移模式為線性的，但由于該項(xiàng)的存在，使得應(yīng)變與坐標(biāo)有關(guān)，即不會(huì)是常應(yīng)變。應(yīng)力應(yīng)變的物理關(guān)系為 ，由于應(yīng)變不是常應(yīng)變，則所求得的應(yīng)力也不會(huì)是常應(yīng)力。3.在薄板彎曲理論中做了哪些假設(shè)？薄板單元和厚板單元的基本假設(shè)有什么不同？（10分）答：四種假設(shè)： 1）變形前的

5、中面法線在變形后仍為彈性曲面的法線。2）變形前后板的厚度不變。3）板變形時(shí)，中面無(wú)伸縮。4)板內(nèi)各水平層間互不擠壓。不同點(diǎn)：薄板單元假設(shè)橫向纖維無(wú)擠壓，板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面，但是厚板單元的假設(shè)考慮橫向變形的影響，板的中面法線變形后仍 基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面，法線繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角不再是撓度的導(dǎo)數(shù)，而是獨(dú)立的變量。3、 計(jì)算題（3道，共計(jì)45分）。1.如圖所示等腰直角三角形單元，其厚度為，彈性模量為，泊松比；單元的邊長(zhǎng)及結(jié)點(diǎn)編號(hào)見圖中所示。求(1) 形函數(shù)矩陣 (2) 應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 (3) 單元?jiǎng)偠染仃?（12分） 解：設(shè)圖

6、1所示的各點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)1（a，0），點(diǎn)2（a，a），點(diǎn)3（0，0）于是，可得單元的面積為 ，及(1) 形函數(shù)矩陣為 ； (2) 應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣分別為，； ，；(3) 單元?jiǎng)偠染仃?. 如圖所示的四結(jié)點(diǎn)矩形單元，求出節(jié)點(diǎn)3的位移。設(shè)厚度t1m，0，E為常量。（13分） 注：對(duì)于四節(jié)點(diǎn)矩形單元有：，解：對(duì)于四節(jié)點(diǎn)矩形單元有：，代入邊界條件1122440，將對(duì)應(yīng)的行和列劃掉沒(méi)剩下的方程為：，又，且，a=1,b=1所以所以解得3.有一如圖3(a)所示的剪力墻，墻頂作用豎向荷載P。將該剪力墻劃分為兩個(gè)三結(jié)點(diǎn)三角形常應(yīng)力單元，單元和結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖3(b)所示，并將荷載P分成兩個(gè)P/2作用在3、4結(jié)點(diǎn)。已知單元厚度為t，彈性模量為E，泊松比=1/3。求結(jié)點(diǎn)3和結(jié)點(diǎn)4的位移，以及單元的應(yīng)變和應(yīng)力。（20分）解：建立直角坐標(biāo)系(注Y軸向下為正)，單元i,j,m對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為3,1,4，單元對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為2,4,1。對(duì)于單元：i(0,0),j(0,4),m(2,0) bi=yi-ym=4；bj=ym-yi=0；bm=yi-yj=-4 ci=xm-xj=2；cj=xi-xm=-2；cm=xj-xi=0 三角形面積A=1