線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，拉普拉斯變換，傳遞函數(shù)的定義，非線性特性的線性化處理，方框圖的簡化，梅遜公式的含義和應(yīng)用。 第1頁/共125頁 描述控制系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、差分方程、傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達式等。建立合理的數(shù)學(xué)模型，對于系統(tǒng)的分析研究是至關(guān)重要的。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立，一般采用解析法或?qū)嶒灧ā?第2頁/共125頁v第3頁/共125頁（1）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出變量，每個環(huán)節(jié)可考慮列寫一個方程；（2）根據(jù)各變量所遵循的基本定律(物理定律、化學(xué)定律)或

2、通過實驗等方法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡化和線性化；（3）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)的微分方程； （4）將輸出變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號左邊，將輸入變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標準化微分方程。 第4頁/共125頁例例2-1 試列寫圖中所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸入為ui(t)，輸出為u0(t) 。 解解 根據(jù)基爾霍夫定理，可列出以下式子：dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211dttiCtu)(

3、1)(220第5頁/共125頁整理得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 則得 )()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi該網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是一個二階線性常微分方程。 第6頁/共125頁例例2-2 圖為一彈簧阻尼系統(tǒng)，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動。試列寫外力F(t)與位移y(t)之間的微分方程。 第7頁/共125頁解解 彈簧和阻尼器有相應(yīng)的彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根據(jù)牛頓第二定律有 ：2221)()()()(dt

4、tydmtttFFF)()(1tkytFdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可由彈簧、阻尼器特性寫出 式中 k 彈簧系數(shù) f 阻尼系數(shù)第8頁/共125頁整理且標準化 )(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令 稱為時間常數(shù)； 稱為阻尼比； 稱為放大系數(shù)。 kmT/)2/(mkfkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF得第9頁/共125頁例例2-3 電樞控制的它激直流電動機如圖所示，電樞輸入電壓u0(t)，電動機輸出轉(zhuǎn)角為。Ra、La、ia(t)分別為電樞電路的電阻、電感和電流，if為恒定激磁電流，eb為反電勢，f為電動機軸上的粘性摩

5、擦系數(shù)，G為電樞質(zhì)量，D為電樞直徑，ML為負載力矩。 第10頁/共125頁解解 電樞回路電壓平衡方程為 baaaaaedttdiLtiRtu)()()(dttdceeb)(ce為電動機的反電勢系數(shù) 力矩平衡方程為 LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD式中 為電動機電樞的轉(zhuǎn)動慣量 gGDJ42為電動機的力矩系數(shù) Mc第11頁/共125頁整理得 dtdMLMRucdttdccfRdttdJRfLdttdJLLaLaaMMeaaaa )()()()()(2233dttd)(無量綱放大系數(shù)aacRLT MeaMccJRTMeafccfLT eccK1MeafccfRK電機轉(zhuǎn)速電磁

6、時間常數(shù)機電時間常數(shù)時間常數(shù)電機傳遞系數(shù)第12頁/共125頁dtdMccLMccRtuKKfdtdTfTMdtdTeTMLMeaLMeaae)( ) 1()(22無量綱放大系數(shù)。 MeaMccJRTMeafccfLT eccK1 時間常數(shù)電機傳遞系數(shù)第13頁/共125頁例例2-4 熱水電加熱系統(tǒng)，如圖所示，為減小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電動控溫開關(guān)。 第14頁/共125頁根據(jù)能量守恒定律 liChQQQQQ0其中 Qh 加熱器供給的熱量； QC 貯槽內(nèi)水吸收的熱量； Q0 熱水流出槽所帶走的熱量: Qi 冷水進入槽帶入的熱量: Ql 隔熱壁逸散的熱量:dtdTCQCVHTQ

7、0iiVHTQ RTTQelC貯槽水的熱容量；V流出槽水的流量；H 水的比熱；R熱阻；Ti進入槽水的溫度；T槽內(nèi)水的溫度；Te槽周圍空氣溫度。 第15頁/共125頁整理得 RTTTTVHdtdTCQeih)( 一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的微分方程為 :)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn或 mjjmjmjniininidttrdbdttcda00)()(返回第16頁/共125頁 實際的物理系統(tǒng)往往有間隙、死區(qū)、飽和等各類非線性現(xiàn)象。嚴格地講，幾乎所有實際物

8、理和化學(xué)系統(tǒng)都是非線性的。目前，線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠不完善。因此，在工程允許范圍內(nèi)，盡量對所研究的系統(tǒng)進行線性化處理，然后用線性理論進行分析不失為一種有效的方法。 第17頁/共125頁 當(dāng)非線性因素對系統(tǒng)影響較小時，一般可直接將系統(tǒng)當(dāng)作線性系統(tǒng)處理。另外，如果系統(tǒng)的變量只發(fā)生微小的偏移，則可通過切線法進行線性化，以求得其增量方程式。 第18頁/共125頁 非線性函數(shù)的線性化，是指將非線性函數(shù)在工作點附近展開成泰勒級數(shù)，忽略掉高階無窮小量及余項，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。 第19頁/共125頁 假如元件的輸出與輸入之間關(guān)系x2=f(x1)的曲線如

9、圖，元件的工作點為(x10，x20)。將非線性函數(shù)x2= f(x1)在工作點(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù) )(! 21)()()(2101102121011011012xxdxfdxxdxdfxfxfxxx第20頁/共125頁當(dāng)(x1x10)為微小增量時，可略去二階以上各項，寫成 )()()(10120101101102xxKxxxdxdfxfxx 其中 為工作點(x10，x20)處的斜率，即此時以工作點處的切線代替曲線，得到變量在工作點的增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。 101xdxdfK 第21頁/共125頁圖2-8為一鐵芯線圈，輸入為ui(t)，輸出為i(t

10、)。線圈的微分方程為 )()(tuRidtdidiidi第22頁/共125頁 當(dāng)工作過程中線圈的電壓和電流只在工作點（u0,i0）附近變化時，即有 )()(0tuutuiiiii0 線圈中的磁通 對 也有增量變化，假如在i0附近連續(xù)可微，將在i0 附近展開成泰勒級數(shù)，即 02021200)()(! 21)(ididididii因是微小增量，將高階無窮小量略去，得近似式 ididi00)(第23頁/共125頁)(tuiRdtidLi 這就是鐵芯線圈的增量化方程，為簡便起見，常略去增量符號而寫成 )(tuRidtdiLi返回第24頁/共125頁 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸

11、入量的拉普拉斯變換之比，定義為線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 即，)()()(sRsCsG第25頁/共125頁若已知線性定常系統(tǒng)的微分方程為 )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量 。 設(shè)c(t)和r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)初始值均為零，對式(2-47)取拉氏變換，得 )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn第26頁/共125頁則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG1

12、1101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或?qū)憺?傳遞函數(shù)與輸入、輸出之間的關(guān)系，可用圖表示。 G(s)R(s)C(s)第27頁/共125頁1.作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運算。 2.傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無關(guān)。 第28頁/共125頁3.傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統(tǒng)的物理

13、特性和物理結(jié)構(gòu)。許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。 4.傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關(guān)系，對多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)陣表示。 第29頁/共125頁5.傳遞函數(shù)式(2-49)可表示成 )()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點；z1、z2、 zn為分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點； 第30頁/共125頁6.傳遞函數(shù)分母多項式稱為特征多項式，記為而D(s)=0稱為特征方程。傳遞函數(shù)分母多項式的階次總是大于或等于分子多項式的階

14、次，即nm。這是由于實際系統(tǒng)的慣性所造成的。 nnnnasasasasD1110)(第31頁/共125頁 控制系統(tǒng)由許多元件組合而成，這些元件的物理結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點，從傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)，常用的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等。 第32頁/共125頁1. 比例環(huán)節(jié) 環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無時間滯后的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，也稱無慣性環(huán)節(jié)。輸入量與輸出量之間的表達式為c(t)=Kr(t) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 KsRsCsG)()()(式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。 第33頁

15、/共125頁2. 慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié)) 慣性環(huán)節(jié)的動態(tài)方程是一個一階微分方程 )()()(tKrtcdttdcT其傳遞函數(shù)為 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù) K 慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù) 第34頁/共125頁當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，其單位階躍響應(yīng)為 )1 (11)()(111TeKsTsKLsCLtc單位階躍響應(yīng)曲線 第35頁/共125頁11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 慣性環(huán)節(jié)實例很多，如圖所示的R-L網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數(shù)式中 RLT RK1第36頁/共125頁2. 積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為

16、積分環(huán)節(jié)，其動態(tài)特性方程 dttrTtcti0)(1)(其傳遞函數(shù) sTsRsCsGi1)()()(式中Ti為積分時間常數(shù)。 第37頁/共125頁積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為 tTtCi1)(它隨時間直線增長，當(dāng)輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。 第38頁/共125頁上圖為運算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 第39頁/共125頁4. 微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動態(tài)方程 dttdrTtcd)()(其傳遞函數(shù) sTsRsCsGd)()(

17、)(式中Td稱微分時間常數(shù) 它的單位階躍響應(yīng)曲線 )()(tTtcd第40頁/共125頁如圖所示，理想微分環(huán)節(jié)實際上難以實現(xiàn)，因此我們常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù) 1)(sTsKTsGdd其單位階躍響應(yīng)為 dTKetc1)(第41頁/共125頁 曲線如下圖所示，實際微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律下降，若K值很大而Td值很小時，實際微分環(huán)節(jié)就愈接近于理想微分環(huán)節(jié)。 第42頁/共125頁5. 二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié)) 二階振蕩環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為 )()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT其傳遞函數(shù) 12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG式中

18、 為無阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比，在后面時域分析中將詳細討論。 Tn1第43頁/共125頁 圖中所示為RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入為ui(t)、輸出u0(t)，其動態(tài)特性方程 )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi其傳遞函數(shù) 222022 11)()()(nninssRCsLCstUtUsG式中 LCn1LCR2第44頁/共125頁6. 延遲環(huán)節(jié)(時滯環(huán)節(jié)) 延遲環(huán)節(jié)是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時間后才重現(xiàn)輸入信號，其動態(tài)方程為 )()(trtc其傳遞函數(shù)是一個超越函數(shù) sesRsCsG)()()(式中稱延遲時間 第45頁/共125頁 需要指出，在實際生產(chǎn)中，有很多場合

19、是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過程、管道反應(yīng)和管道混合過程，多個設(shè)備串聯(lián)以及測量裝置系統(tǒng)等。遲延過大往往會使控制效果惡化，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。 返回第46頁/共125頁 在控制工程中，為了便于對系統(tǒng)進行分析和設(shè)計，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來表示，即方框圖和信號流圖。 第47頁/共125頁 方框圖也稱方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，具有形象和直觀的特點。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。構(gòu)成方框圖的基本符號有四種，即信號線、比較點、傳遞環(huán)節(jié)的方框和引出點。 第48頁/共125頁第49頁/共125頁 對于一個系統(tǒng)在清楚系統(tǒng)工作原理及信

20、號傳遞情況下，可按方框圖的基本連接形式，把各個環(huán)節(jié)的方框圖，連接成系統(tǒng)方框圖。 例2-5 圖中為一無源RC網(wǎng)絡(luò)。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫出其微分方程組為 第50頁/共125頁dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011第51頁/共125頁零初始條件下，對等式兩邊取拉氏變換，得 )(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI第52頁/共125頁 RC網(wǎng)絡(luò)方框圖 各環(huán)節(jié)

21、方框圖 第53頁/共125頁例2-6 圖中為電樞電壓控制的直流他勵電動機,描述其運動方程為 LDaMDeaaaaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(第54頁/共125頁零初始條件下，對式中兩邊取拉氏變換 )()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME第55頁/共125頁 將同一變量的信號線連接起來，將輸入Ua(s)放在左端，輸出(s)放在圖形右端，得系統(tǒng)方框圖如圖所示。 第56頁/共125頁環(huán)節(jié)的連接有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式。 1.串聯(lián) :在單向的信號傳遞中，若前一

22、個環(huán)節(jié)的輸出就是后一個環(huán)節(jié)的輸入，并依次串接如圖2-32所示，這種聯(lián)接方式稱為串聯(lián)。 n個環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù) :)()()( )()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn第57頁/共125頁即環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于串聯(lián)的各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 環(huán)節(jié)的串聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)第58頁/共125頁2.并聯(lián) :若各個環(huán)節(jié)接受同一輸入信號而輸出信號又匯合在一點時，稱為并聯(lián)。如圖2-34所示。由圖可知 )()()()(21sCsCsCsCn)()()( )()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn總的傳遞函數(shù)為 )()()

23、( )()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn環(huán)節(jié)的并聯(lián)第59頁/共125頁3.反饋：若將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端，與輸入信號相比較，就構(gòu)成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號與給定信號極性相反，則稱負反饋連接。反之，則為正反饋連接，若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1稱為單位反饋。 反饋連接第60頁/共125頁 反饋連接后，信號的傳遞形成了閉合回路。通常把由信號輸入點到信號輸出點的通道稱為前向通道；把輸出信號反饋到輸入點的通道稱為反饋通道。 對于負反饋連接，給定信號r(t)和反饋信號b(t)之差，稱為偏差信號e(t) 即 )()()()()()(sBsRsEtb

24、trte通常將反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比，定義為開環(huán)傳遞函數(shù)，即 開環(huán)傳遞函數(shù)= )()()()(sHsGsEsB第61頁/共125頁輸出信號C(s)與偏差信號E(s)之比，稱為前向通道傳遞函數(shù)，即 前向通道傳遞函數(shù)= )()()(sGsEsC 而系統(tǒng)輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，記為(s)或GB(s)。 )()()()()()()()()(sCsHsRsBsRsEsEsGsC第62頁/共125頁得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs對于正反饋連接，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs第63頁/共1

25、25頁 有了系統(tǒng)的方框圖以后，為了對系統(tǒng)進行進一步的分析研究，需要對方框圖作一定的變換，以便求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。方框圖的變換應(yīng)按等效原則進行。所謂等效，即對方框圖的任一部分進行變換時，變換前、后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系式應(yīng)保持不變。除了前面介紹的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接可以簡化為一個等效環(huán)節(jié)外，還有信號引出點及比較點前后移動的規(guī)則。 第64頁/共125頁例例2-7化簡圖(a)所示系 統(tǒng) 方 框圖 ， 并 求系 統(tǒng) 傳 遞函數(shù) )()()(sRsCsG第65頁/共125頁)()(1)GG(GG ) 1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321211GGGGHG

26、GGHGGGHGGGHGGGGGGHGGGsRsCsG第66頁/共125頁 圖2-37 (a)是一個交錯反饋多路系統(tǒng)，采用引出點后移或前移，比較點前移等，逐步變換簡化，可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 例例2-8 試化簡如圖2-37 (a)所示系統(tǒng)的方框圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。 )()(1)(1 ()()(33224312143215sHGGsHGGsHGGsGGGGGsG第67頁/共125頁圖2-37 方框圖的變換與簡化 第68頁/共125頁返回第69頁/共125頁 信號流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖示方法，將信號流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關(guān)系，既直觀又形象。當(dāng)系統(tǒng)

27、方框圖比較復(fù)雜時，可以將它轉(zhuǎn)化為信號流圖，并可據(jù)此采用梅遜(Mason)公式求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 第70頁/共125頁考慮如下簡單等式 jijixax 這里變量xi和xj可以是時間函數(shù)、復(fù)變函數(shù)，aij是變量xj變換(映射)到變量xi的數(shù)學(xué)運算，稱作傳輸函數(shù)，如果xi和xj是復(fù)變量s的函數(shù)，稱aij為傳遞函數(shù)Aij(s)，即上式寫為 )()()(sXsAsXjiji第71頁/共125頁 變量xi和xj用節(jié)點“”來表示，傳輸函數(shù)用一有向有權(quán)的線段(稱為支路)來表示，支路上箭頭表示信號的流向，信號只能單方向流動。 信號流圖第72頁/共125頁在線性系統(tǒng)信號流圖的繪制中應(yīng)包括以下步驟： （1）將描述

28、系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換為以s為變量的代數(shù)方程。 （2）按因果關(guān)系將代數(shù)方程寫成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211第73頁/共125頁（3）用節(jié)點“”表示n個變量或信號，用支路表示變量與變量之間的關(guān)系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。 例例2-9 如上圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，v1為輸入、v3為輸出。選5個變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、電流定律可寫出四個獨立方程 第74頁/共125頁1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243

29、sIRsV 將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、I2(s)、V3(s)作節(jié)點表示，由因果關(guān)系用支路把節(jié)點與節(jié)點聯(lián)接，得信號流圖。 第75頁/共125頁節(jié)點：表示變量或信號的點，用“”表示。 支路：連接兩個節(jié)點之間的有向有權(quán)線段，方向 用箭頭表示，權(quán)值用傳輸函數(shù)表示。 輸入支路：指向節(jié)點的支路。 輸出支路：離開節(jié)點的支路。 源節(jié)點：只有輸出支路的節(jié)點，也稱輸入節(jié)點， 如圖中節(jié)點X1。 匯節(jié)點：只有輸入支路的節(jié)點，如圖節(jié)點X7。 第76頁/共125頁信號流圖定義與術(shù)語混合節(jié)點：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點， 如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。 通道(路徑)：沿著支路箭頭方向通過各個相

30、連支路 的路徑，并且每個節(jié)點僅通過一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反饋回X2。 第77頁/共125頁前向通道：從輸入節(jié)點(源節(jié)點)到匯節(jié)點的通道。 如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為 一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也為另一條前向通道。 閉通道(反饋通道或回環(huán))：通道的起點就 是通道的 終點，如圖X2到X3又反饋到X2；X4到X5 又反饋到X4。 自回環(huán)：單一支路的閉通道，如圖中的-H3構(gòu)成 自回環(huán)。 第78頁/共125頁通道傳輸或通道增益：沿著通道的各支路傳輸?shù)?乘積。如從X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 不接觸回環(huán)：如果一

31、些回環(huán)沒有任何公共的節(jié)點， 稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。如G2H1 與G4H2。 第79頁/共125頁（1）信號流圖只適用于線性系統(tǒng)； （2）信號流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)形式的代數(shù)方程； （3）信號只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞； （4）節(jié)點上可把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路； （5）具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有單位傳輸?shù)闹?，可把其變?yōu)檩敵龉?jié)點，即匯節(jié)點； （6）對于給定的系統(tǒng)，其信號流圖不是唯一的。 第80頁/共125頁（1）加法規(guī)則：n個同方向并聯(lián)支路的總傳輸，等于各個支路傳輸之和，如圖(a) 所示： （2）乘法規(guī)則 ：n個同方向串聯(lián)支路的總

32、傳輸，等于各個支路傳輸之積，如圖（b）。 第81頁/共125頁（3）混合節(jié)點可以通過移動支路的方法消去，如圖（c）。 （4）回環(huán)可根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路，如圖（d）。 第82頁/共125頁例例2-10 2-10 將圖2-43所示系統(tǒng)方框圖化為信號流圖并化簡求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) )()()(sRsCs 第83頁/共125頁解解：信號流圖如圖 (a)所示?；疓1與G2串聯(lián)等效為G1G2支路，G3與G4并聯(lián)等效為G3+G4支路，第84頁/共125頁如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡化為 支路，又與G3+G4串聯(lián)，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGG

33、G第85頁/共125頁進而求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG第86頁/共125頁 給定系統(tǒng)信號流圖之后，常常希望確定信號流圖中輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系，即兩個節(jié)點之間的總增益或總傳輸。上節(jié)采用信號流圖簡化規(guī)則，逐漸簡化，最后得到總增益或總傳輸。但是，這樣很費時又麻煩，而梅遜(Mason)公式可以對復(fù)雜的信號流圖直接求出系統(tǒng)輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數(shù)，使用起來更為方便。 第87頁/共125頁梅遜增益公式可表示為 kkPT式中， T 輸出和輸入之間的增益或傳遞函數(shù)； Pk 第k條

34、前向通道的增益或傳輸函數(shù)； 信號流圖的特征值， Lj1所有不同回環(huán)增益之和； Lj2所有兩兩互不接觸回環(huán)增益乘積之和； Lj3所有三個互不接觸回環(huán)增益乘積之和 k 與第k條前向通道不接觸的那部分信號流圖的，稱為第k條前向通道特征式的余子式。 第88頁/共125頁例例2-11 利用梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C(s) / R(s)。第89頁/共125頁解解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有三條前向通道，對應(yīng)Pk與k為P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1圖中有五個單回環(huán)，其增益為：L1= -G

35、3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的，其增益之積L1L2 = G3G5H1H2 第90頁/共125頁系統(tǒng)的特征式為 21654321)(1LLLLLLLL系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG第91頁/共125頁例例2-12 求圖示信號流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解解：系統(tǒng)單回環(huán)有：L1 = G1，L2 = G2，

36、L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統(tǒng)的特征式 為： 212151311GGGGLii第92頁/共125頁前向通道有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii返回第93頁/共125頁 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)分析和設(shè)計中是相當(dāng)重要的,在線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達式等,而這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達式來描述線性時不變系統(tǒng)(Linear T

37、ime Invariant簡記為LTI)。 第94頁/共125頁單輸入單輸出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多項式的根稱為系統(tǒng)的零點,分母多項式的根稱為系統(tǒng)的極點。令分母多項式等于零,得系統(tǒng)的特征方程: D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 第95頁/共125頁 因傳遞函數(shù)為多項式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項式的。MATLAB中多項式用行向量表示,行向量元素依次為降冪排列的多項式各項的系數(shù),例如多項式P(s)=s3+2s+4 ,其輸入為 P=1 0 2 4 注

38、意盡管s2項系數(shù)為0,但輸入P(s)時不可缺省0。 MATLAB下多項式乘法處理函數(shù)調(diào)用格式為 C=conv(A,B) 第96頁/共125頁 例 如 給 定 兩 個 多 項 式 A ( s ) = s + 3 和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應(yīng)先構(gòu)造多項式A(s)和B(s),然后再調(diào)用conv( )函數(shù)來求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv(A,B) C = 10 50 63 9即得出的C(s)多項式為10s3 +50s2 +63s +9 第97頁/共125頁 MATLAB提供的conv( )函數(shù)的調(diào)用允許多級嵌套,例如 G(s)=

39、4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語句來輸入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 第98頁/共125頁 有 了 多 項 式 的 輸 入 , 系 統(tǒng) 的 傳 遞 函 數(shù) 在MATLAB下可由其分子和分母多項式唯一地確定出來,其格式為 sys=tf(num,den) 其中num為分子多項式，den為分母多項式 n u m = b 0 , b 1 , b 2 , , b m ； d e n = a0,a1,a2,an；第99頁/共125頁對于其它復(fù)雜的表達式,如)432)(3()62)(1()(23222sssssssssG可由下列語句來輸入 num=conv(1,1,co

40、nv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045sssssssssss第100頁/共125頁 傳遞函數(shù)G(s)輸入之后,分別對分子和分母多項式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點,MATLAB提供了多項式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為 roots(p)其中p為多項式。 第101頁/共125頁例如,多項式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.353

41、3 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反過來,若已知特征多項式的特征根,可調(diào)用MATLAB中的poly( )函數(shù),來求得多項式降冪排列時各項的系數(shù),如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000第102頁/共125頁 而polyval函數(shù)用來求取給定變量值時多項式的值,其調(diào)用格式為 polyval(p,a)其中p為多項式;a為給定變量值 例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5) value=66第103頁/共125頁p,z=pzma

42、p(num,den)其中, p傳遞函數(shù)G(s)= numden的極點 z傳遞函數(shù)G(s)= numden的零點例如,傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點圖,采用pzmap()函數(shù)來完成,零極點圖上,零點用“。”表示,極點用“”表示。其調(diào)用格式為13316)(232sssssG) 3)(2)(2()2)(1()(sisissssH第104頁/共125頁 用MATLAB求出G(s)的零極點,H(s)的多項式形式,及G(s)H(s)的零極點圖 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點p=roots(den

43、g)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點 1.0000+0.0000i第105頁/共125頁 n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/denh=%H(s)表達式pzmap(num,den) %零極點圖title(pole-zero Map) 第106頁/共125頁零極點圖如圖所示 ：第107頁/共125頁 若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)

44、可實現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。 1.串聯(lián)串聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯(lián),在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series( )來求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(21第108頁/共125頁2.并聯(lián)并聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯(lián),可由MATLAB的并聯(lián)函數(shù)parallel( )來實現(xiàn),其調(diào)用格式為 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennum

45、sGsG)()(21第109頁/共125頁3.反饋反饋 反饋連接如圖所示。使用MATLAB中的feedback( )函數(shù)來實現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負反饋其為1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(第110頁/共125頁例如 G(s)= ,H(s)= ,負反饋連接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,num

46、h,denh,1); printsys(num,den) num/den= 1322ssss第111頁/共125頁 MATLAB中的函數(shù)series,parallel和feedback可用來簡化多回路方框圖。另外,對于單位反饋系統(tǒng),MATLAB可調(diào)用cloop( )函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù),其調(diào)用格式為 num,den=cloop(num1,den1,sign) 第112頁/共125頁 傳遞函數(shù)可以是時間常數(shù)形式,也可以是零極點形式,零極點形式是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母進行因式分解得到的。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了零極點模型與時間常數(shù)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù),其調(diào)用格式分別為 z,p,k=

47、tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一個函數(shù)可將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點表示形式,而第二個函數(shù)可將零極點表示方式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。 第113頁/共125頁例如 G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB語句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i 第114頁/共125頁p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412i k=6即變換后的零極點模型為G(s)= )9287. 00353. 0)(9287. 00353.