高三數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)與題型總結(jié)文科

1、占八、一. 向量的根本概念與根本運(yùn)算1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小. 零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行 單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量uuur r uni rr uuu uju uuur2、 向量加法：設(shè) AB a,BC b，貝U a + b = AB BC=AC(1) 0 a a 0 a ;(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律；uuuuuuuuu uuuruuuuurABBCCDL PQQRAR，但這時(shí)必須“首尾相連.3、向

2、量的減法：相反向量：與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，作圖法：a b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量(a、b有共同起點(diǎn))4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，記作入a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(I) a| I I |a ; (n )當(dāng) 0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，入a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a 0，方向是任意的5、兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b = a6、平面向量的根本定理：如果e,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1

3、, 2使：a ©2僉，其中不共線的向量(2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底二. 平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向量a可表示成a xf yj，記作a=(x,y)。2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：r b%X1,y2X2,y1X2,X1y2UUU(2)假設(shè) A Xi, yi , B X2, y2 ,那么 ABx?討2 y艸rb% yX1 XX =( ra raa=(X2,y2x, y)，那么 abXiy2X2V10r b%X1>y2y1X1y2X2,假設(shè) a b，那么 x1 x2 y1 y2 0三. 平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為

4、，那么a b=I a丨丨b i cos 叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積規(guī)定0 a 02向量的投影:rbr braTa R,稱為向量br在a方向上的投影 投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：a br等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上的投影的乘積 4向量的模與平方的關(guān)系：a a a2af5乘法公式成立:6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:r r交換律成立：a b b a 對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：a b a b a b 分配律成立：a b c a c b c c a b特別注意：i結(jié)合律不成立：a b c a b c ；2消去律不成立abac不能得到b crr r r3 a b =0不能得到a=0或b =07兩個(gè)向量的數(shù)量

5、積的坐標(biāo)運(yùn)算：rr兩個(gè)向量 a x., y,b x2,y2，那么 a yy1800) 叫-r r uun r uuu rn8向量的夾角：兩個(gè)非零向量 a與b，作OA=a,OB=b,那么/AOB= 00做向量a與b的夾角cos = cos a, ba ?b _x1 x2 y1 y2al?b 認(rèn)2 y12 7x7_r r0r r0r當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b同方向時(shí)，B =0,當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時(shí)B =180，同時(shí)0與 其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題r ro r rr r9垂直：如果a與b的夾角為900那么稱a與b垂直，記作a丄b10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件 ：a丄b a b = O%x

6、2 y1 y2 0+平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【練習(xí)題】1、給出以下命題： 兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；uuur uuur 假設(shè)A, B, C, D是不共線的四點(diǎn)，貝V AB = DC是四邊形ABC助平行四邊形的充要條件； 假設(shè)a與b同向，且| a|>| b|，那么a>b； 入，口為實(shí)數(shù)，假設(shè)Xa= b，那么a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 42 .設(shè)ao為單位向量，假設(shè)a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，那么a = | a| ao；假設(shè)a與ao平行，那么a= | a| ao；假設(shè)a與a。平行且|a| = 1,那么a= 上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是)A.0B. 1C

7、.2D. 33、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.uuuuuuuuu(1)假設(shè) AB = a+ b,BC = 2a+ 8b,CD = 3( a b).求證：A, B,D三點(diǎn)共線;2試確定實(shí)數(shù)k，使ka+ b和a+ kb共線.uuur4、兩點(diǎn)A4,1，B7，- 3，那么與AB同向的單位向量是uuiruuu uuur5、 在厶ABC中, M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，AN = X AB + 口 AC，貝V入+ 口的值 為D. 16、 兩個(gè)單位向量 e1，e2的夾角為，假設(shè)向量5 = e1 2e2，b2= 3e1 + 4e2，貝V A b2 =.7、|a| = 1，| b| = 2，a與b的夾角為1

8、20°，a+ b+ c= 0,那么a與c的夾角為A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°8、 a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，假設(shè)向量 a+ b與向量ka b垂直，那么k=9、設(shè)向量 a, b 滿足 | a| = 1, | a b| =, a (a b) = 0,那么 |2 a+ b| =()A. 2B. 2D. 4C. 410、向量 a= (sin x, 1) , b=.當(dāng)a丄b時(shí)，求| a+ b|的值;(2)求函數(shù)f(x) = a - (b-a)的最小正周期.11、 f (x) = a b,其中 a = (2cosx, s

9、in2 x) , b= (cosx, 1)( x R).(1)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間; 在厶ABC中，角A B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c, f(A) = 1,a=,uuuABuult AC = 3,求邊長(zhǎng)b和c的值(b>c).uun uuu12、如圖，在 ABC中，OA a, OB b,M為OB的中點(diǎn),N為AB的中點(diǎn),uuuP為ON AM的交點(diǎn)，貝U AP等()21.ab3312.-ab332 1 A2 a bB33da 2bD3313.A ABC中，AB邊的高為CD假設(shè)CB = a,uuuuuuCA = b, a buuur| a| = 1, |b| = 2,那么 AD

10、 =()a ba b14. (2021 鄭州質(zhì)檢)假設(shè)向量a = (x 1,2),b= (4 , y)相互垂直，那么9x+ 3y的最小值為()B. 2A. 12C. 3D. 6UULuuu15. (2021 山西省四校聯(lián)考)在厶 OABO 為原點(diǎn))中，OA = (2cos a , 2s in a) , OB = (5cos p ,uuu uuu5sin p )，假設(shè) OA Ob = 5,那么厶 OAE的面積 S=()C. 516、 假設(shè)a, b, c均為單位向量，且a b = 0, (a c) (b c) <0,那么| a+ b c|的最大值為().1B. 1 C.D . 217、 AB

11、C為等邊三角形，AB= 2.設(shè)點(diǎn)P, Q滿足=入，=(1 入),入尺假設(shè)=,那么 入=().18如圖，平行四邊形 ABC啲頂點(diǎn)A(0 , 0) , B4,1) , Q6,8)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；uuur uuur假設(shè)DE = 2 EC , F為AD的中點(diǎn)，求 AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo).【課后練習(xí)題】1. 以下等式： Oa = a;一一a = a; a+ a = 0; a+ 0a; a b= a+ b.正確的個(gè)數(shù)是A. 2B. 3C. 4D. 5解析：選C2. 2021 福州模擬假設(shè) a + b+ c= 0,貝V a, b, cA. 都是非零向量時(shí)也可能無(wú)法構(gòu)成一個(gè)三角形B. 定不可能構(gòu)成三角形C.

12、 都是非零向量時(shí)能構(gòu)成三角形D. 定可構(gòu)成三角形解析：選Auuu uuu uuu3. 2021 威海質(zhì)檢平面上不共線的四點(diǎn) QA,B,C.假設(shè)OA + 2OC = 3OB，那么的值為解析：選A4. 2021 -海淀期末如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BCuuurE的一個(gè)三等分點(diǎn)靠近B>,那么EF=()IuuuuuuruuuuuurABADAB +ADuuuuuuuuuruuujAB+ DAABADAB解析:選Duur uuu uuu5. 2021 -揭陽(yáng)模擬點(diǎn)O為厶ABC外接圓的圓心，且 OA + OB + CO = 0,那么厶ABC的內(nèi) 角A等于A. 30°B.

13、 60°C. 90°D. 120°解析：選Auur uuu uuu uuu6. ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)A、B C及平面內(nèi)一點(diǎn) P滿足PA + PB + PC = AB ,那么點(diǎn)P與厶ABC的關(guān)系為A. P在厶ABC內(nèi)部B. P在厶ABC外部C. P在AB邊所在直線上D. P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)解析：選 Duuur uuur uuur7. (2021 鄭州五校聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外, BC 2= 16, | AB + AC | uuur uuur uuuur=| AB Ac |，那么 | AM | =.答案： 2uuur uuur uuur uu

14、ur8. (2021 -大慶模擬)O為四邊形ABC斷在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量 OA , OB , OC , OD滿 uuur uuur uuur uuur足等式OA + OC = OB + OD，貝y四邊形ABC啲形狀為.答案：平行四邊形 uuur uuur uuur9. 設(shè)向量 ei, e2不共線，Ab = 3( ei + e2), Cb = e2 ei, CD = 2ei + e2,給出以下結(jié)論： AB, C共線；A, B, D共線；B, C, D共線；A, C, D共線，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 .答案：uuur uuur10. 設(shè)i , j分別是平面直角坐標(biāo)系 Ox Oy正方向上的單位向量

15、，且 OA = 2i + nji, OB = ni uuur+j , OC = 5i j，假設(shè)點(diǎn)A, B, C在同一條直線上，且 m= 2n,求實(shí)數(shù) m n的值.或7. 向量 a=, b= (x, 1)，其中 x>0,假設(shè)(a 2b) II (2a+ b)，貝V x=.答案： 48. P= a|a= ( 1,1) + m1,2) , mG R, Q= b|b = (1 , 2) + n(2,3) , n F是兩個(gè)向量集合，那么Pn Q等于.答案：uuur uuur uuur9. 向量 OA = (1， 3), OB = (2 , 1) , OC = (k+ 1, k 2)，假設(shè) A, B

16、, C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，那么實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是 .答案：k工110. A(1,1) ，B(3， 1)，C(a，b).(1) 假設(shè)A, B, C三點(diǎn)共線，求a, b的關(guān)系式；uuur uuur(2) 假設(shè)AC = 2 AB，求點(diǎn)C的坐標(biāo).(5 , 3) .11. a=(1,0) , b=(2,1) .求：(1) | a3b|；(2) 當(dāng) k 為何實(shí)數(shù)時(shí), ka b 與 a3b 平行,平行時(shí)它們是同向還是反向？方向相反.uuuur uuur uuur12. O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2) , B(4,6) , OM = tQA + t?AB .(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件;(2)求證：當(dāng)ti= 1時(shí)，不管t2為何實(shí)數(shù)，A, B, M三點(diǎn)都共線.&向量 a，b 夾角為 45°，且 |a| = 1, |2a b| =，那么 | b| =.答案： 39向量a= (2 , 1) , b = (x, 2),c= (3 ,y)，假設(shè) a/b,(a+ b)丄(b c),Mx,y),uuuurN(y，x) ，那么向量 MN 的模為 答案： 810. a= (1,2) , b= ( 2, n) , a與 b 的夾角是 45°.(1) 求 b;(2) 假設(shè) c 與 b 同向 且 a 與 c a 垂直 求 c.c= b= ( 1,3).11