大學物理角動量轉動慣量及角動量的守恒定律PPT學習教案

1、會計學1大學物理角動量轉動慣量及角動量的守大學物理角動量轉動慣量及角動量的守恒定律恒定律第五章第五章 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律角動量角動量轉動轉動慣量慣量 角動量的角動量的時間變化時間變化率率力矩力矩角動量角動量定理定理角動量角動量守恒定律守恒定律重要性：重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋轉運動；大到星系，小到基本粒子都有旋轉運動；微觀粒子的角動量具有量子化特征；微觀粒子的角動量具有量子化特征；角動量遵守守恒定律，與空間旋轉對稱性相對應。角動量遵守守恒定律，與空間旋轉對稱性相對應。第1頁/共92頁學時：學時： 6難點：難點：角動量概念，角動量

2、概念， 角動量定理及角動量守恒定律的應用角動量定理及角動量守恒定律的應用重點：重點：概念：概念：角動量，轉動慣量，力矩，角沖量，角動量，轉動慣量，力矩，角沖量，規(guī)律：規(guī)律：剛體定軸轉動定律，剛體定軸轉動定律， 角動量定理的微分形式和積分形式，角動量定理的微分形式和積分形式， 角動量守恒定律，角動量守恒定律， 第2頁/共92頁0=CvMp總總5.1 5.1 角動量角動量 轉動慣量轉動慣量一、角動量一、角動量由于該系統(tǒng)質心速度為零，所以，系統(tǒng)總動量為由于該系統(tǒng)質心速度為零，所以，系統(tǒng)總動量為零，系統(tǒng)有機械運動，總動量卻為零？零，系統(tǒng)有機械運動，總動量卻為零？說明不宜采用動量來量度轉動物體的機械運動

3、量說明不宜采用動量來量度轉動物體的機械運動量。*引入與動量引入與動量 對應的角量對應的角量 角動量（動量矩）角動量（動量矩）pL問題：問題：將一繞通過質心的固定軸轉將一繞通過質心的固定軸轉動的圓盤視為一個質點系，系統(tǒng)總動的圓盤視為一個質點系，系統(tǒng)總動量為多少？動量為多少？C M動量對參考點（或軸）求矩動量對參考點（或軸）求矩第3頁/共92頁mopr1.1.質點的角動量質點的角動量vmrprL=定義：定義：prprmvrL=sin=大?。捍笮。?p r方向：方向：xyzm rpo o rL p服服從從右右手手定定則則。組組成成的的平平面面，和和垂垂直直于于pr第4頁/共92頁pm LpprLo，

4、大大小小相相同同，則則：、若若為為參參考考點點：以以0or p作直線運動作直線運動設設m物理意義：物理意義：o r 0 Lo為參考點：為參考點：以以* *質點對某參考點的角動量反映質點繞該參考點旋質點對某參考點的角動量反映質點繞該參考點旋轉運動的強弱。轉運動的強弱。* *必須指明參考點，角動量才有實際意義。必須指明參考點，角動量才有實際意義。第5頁/共92頁 iiiiciiiiiiciciiiiiiciiiicvmrvmrvmrvvmrvmrvmrrL 2.2.質點系角動量質點系角動量系統(tǒng)內所有質點對同一參考點角動量的矢量和系統(tǒng)內所有質點對同一參考點角動量的矢量和 iiiiiiiiivmrpr

5、LL ipo1ririm2r1p2p iciicivvvrrr ipocririmir c有有：對質心：對質心無無：對參考點：對參考點與與i無關無關第6頁/共92頁iiiiciiiiiicvmrvmrvmrL iimM設設第一項：第一項： icciicvMrvmr即將質點系全部質量集中于質心處的一個質點上，即將質點系全部質量集中于質心處的一個質點上，該質點對參考點的角動量該質點對參考點的角動量以質心為代表，描述質點系整體繞參考點的旋轉運以質心為代表，描述質點系整體繞參考點的旋轉運動，稱為質點系的動，稱為質點系的軌道角動量軌道角動量。CCvMrL 軌軌道道即即：第7頁/共92頁由由MrmrMrm

6、riiiciiic 第二項：第二項：0 ccciiivrMvmr質心對自己的位矢質心對自己的位矢iiiiciiiiiicvmrvmrvmrL ciiiciiivrmvmr CiiivMrmM 與與 i 無關無關第8頁/共92頁iiiiciiiiiicvmrvmrvmrL 反映質點系繞質心的旋轉運動，與參考點反映質點系繞質心的旋轉運動，與參考點O O的選擇無關，的選擇無關，描述系統(tǒng)的內稟性質：描述系統(tǒng)的內稟性質：自自旋旋L第三項：第三項：iiiivmr 各質點相對于質心角動量的矢量和各質點相對于質心角動量的矢量和于是：于是：自旋自旋軌道軌道LLvmrvMrLiiiicc+=+=自自旋旋L軌道軌道

7、LL軌軌道道L自自旋旋L與與 i 有關有關第9頁/共92頁3.3.定軸轉動剛體的角動量定軸轉動剛體的角動量 方向：沿方向：沿大?。捍笮。?iiiiiioiormvmrLL 2iiiormL 即即對對的角動量：的角動量：imiiiiovmrL 轉軸轉軸 角速度角速度剛體上任一質點剛體上任一質點轉軸與其轉動平面交點轉軸與其轉動平面交點 繞繞 圓周運動半徑為圓周運動半徑為 imzimirivimoir 轉動轉動平面平面z第10頁/共92頁剛體對剛體對 z 軸的總角動量為：軸的總角動量為： iiiiiiiizzmrmrLL22 在軸上確定正方向，角速度在軸上確定正方向，角速度 表示為代數(shù)量，表示為代數(shù)

8、量，則定義質點對則定義質點對 z 軸的角動量為軸的角動量為: 2iiioizrmLL mrmrLLzzddd22 vmdor z對質量連續(xù)分布的剛體：對質量連續(xù)分布的剛體：第11頁/共92頁 JLz 剛體對剛體對 z 軸的總角動量為：軸的總角動量為：令：令： iiimrJ2mrJd2 二、剛體對軸的轉動慣量二、剛體對軸的轉動慣量1.1.定義定義 iiimrJ2剛體對某定軸的轉動慣量等于其各質點的質量與剛體對某定軸的轉動慣量等于其各質點的質量與該質點到轉軸距離的平方之積求和。該質點到轉軸距離的平方之積求和。若質量連續(xù)分布，則若質量連續(xù)分布，則mrJd2 轉動慣量轉動慣量第12頁/共92頁mrJd

9、2 剛體對軸的轉動慣量剛體對軸的轉動慣量 J J與剛體總質量有關與剛體總質量有關與剛體質量分布有關與剛體質量分布有關與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關2. 2. 計算計算積分元選?。悍e分元選?。簃d mdl,ldd線線元元：線線密密度度： S,Sdd面元：面元：面密度：面密度： V,Vdd體元：體元：體密度：體密度： mdmd第13頁/共92頁練習練習1.由長由長 l 的輕桿連接的質點如圖所示，求質點系的輕桿連接的質點如圖所示，求質點系對過對過 A 垂直于紙面的軸的轉動慣量垂直于紙面的軸的轉動慣量llllAmm2m3m4m5222232254232ml)l)(mm()l(mmlJ 第14頁/共9

10、2頁2302231031ddmLLxLmxLmxmxJL 2. 一長為一長為的細桿，質量的細桿，質量 m 均勻分布均勻分布 ，求該桿對過，求該桿對過桿一端端點且垂直于桿的桿一端端點且垂直于桿的 z 軸的轉動慣量。軸的轉動慣量。LmdoxxzxLmxmddd 第15頁/共92頁3. 求質量求質量 m ,半徑半徑 R 的均勻球殼對直徑的轉動慣量的均勻球殼對直徑的轉動慣量24 Rm dsin2d2dRRlrS dsin21ddmSm dsin21dsindd3222mRmRmrJ 023232dsin21dmRmRJJ解：解：取離軸線距離相等的點的集合取離軸線距離相等的點的集合 為積分元為積分元or

11、Rld dm第16頁/共92頁4. 求質量求質量 m ,半徑半徑 R 的均勻球體對直徑的轉動慣量的均勻球體對直徑的轉動慣量rrVd4d2 334Rm Vmdd 342d2d32dRrmrrmJ 234052d2dmRRrmrJJR 解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球殼的球殼 為積分元為積分元rrdorrdRm第17頁/共92頁教材教材P.93 一些均勻剛體的轉動慣量表一些均勻剛體的轉動慣量表第18頁/共92頁注意：注意：對同軸的轉動慣量具有可加減性。對同軸的轉動慣量具有可加減性。or1r2m1m2同軸圓柱同軸圓柱2221122212rmrmJJJz 2221122212rmrmJJJz

12、r1r2m1m2空心圓盤空心圓盤z第19頁/共92頁平行軸定理平行軸定理CDdm2mdJJCD 正交軸定理正交軸定理yxzJJJ 對平面剛體對平面剛體yxzo證明見教材證明見教材9292頁頁第20頁/共92頁練習：練習：CA4LmBozL求長求長 L、質量、質量 m 的均勻桿對的均勻桿對 z 軸的轉動慣量軸的轉動慣量解解2.2224874343314431mLLmLmJJJoBoAz 解解3.222248741214mLLmmLLmJJCz 243422487ddmLllLmmlJLLz 解解1.用其它方法求：用其它方法求：第21頁/共92頁一、質點角動量的時間變化率一、質點角動量的時間變化率

13、tprptr)pr(ttLdddddddd prL FrtprtLvmvpvptr dddd0dd質點位矢質點位矢合力合力5.2 5.2 角動量的時間變化率角動量的時間變化率 力矩力矩第22頁/共92頁FrM 二、力矩二、力矩1. 1. 對參考點的力矩：對參考點的力矩：大?。捍笮。篎drFFr sin方向：方向：服從右手定則服從右手定則rF odmFrtL dd質點角動量的時間變化率等于質點角動量的時間變化率等于質點所受合力的力矩質點所受合力的力矩服服從從右右手手定定則則。組組成成的的平平面面和和垂垂直直于于方方向向：,Fr sinFrFd 大大小?。毫亓氐?3頁/共92頁 FrFrFFr

14、FrMo/)(F/F Frodmz2. 2. 對軸的力矩對軸的力矩zM第一項第一項/FrM 1方向垂直于軸，其效果是改方向垂直于軸，其效果是改變軸的方位，在定軸問題中變軸的方位，在定軸問題中，與軸承約束力矩平衡。，與軸承約束力矩平衡。第二項第二項 FrM2方向平行于軸，其效果是改變繞軸轉動狀態(tài)，方向平行于軸，其效果是改變繞軸轉動狀態(tài)，稱為力對軸的矩，表為代數(shù)量：稱為力對軸的矩，表為代數(shù)量： FrMz第24頁/共92頁即：即： xyzxyzzyxoyFxFkxFzFjzFyFiFFFzyxkjiFrM xyzyFxFM 力對力對 o 點點 的力矩在的力矩在 z 軸方向的分量軸方向的分量注意：注意

15、：力矩求和只能對同一參考點（或軸）進行。力矩求和只能對同一參考點（或軸）進行。 oooMMM21 zzzMMM21矢量和矢量和代數(shù)和代數(shù)和第25頁/共92頁思考：思考： 00oMF 00oMF合力為零時，其合力矩是否一定為零？合力為零時，其合力矩是否一定為零？合力矩為零時，合力是否一定為零？合力矩為零時，合力是否一定為零？FFooFF例：例：第26頁/共92頁三、質點系角動量的時間變化率三、質點系角動量的時間變化率對對個質點個質點 組成的質點系，由組成的質點系，由Nm,m,m21tLFrMdd 可得可得內內外外內內外外內內外外NNNMMtLMMtLMMtL dddddd222111兩邊求和得兩

16、邊求和得 iiiiiiMMtLLt內內外外dddd第27頁/共92頁于是于是外外外外iiFrMtL idd質點系總角動量的時間變化率等于質點系所受質點系總角動量的時間變化率等于質點系所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和 ( (合外力矩合外力矩 ) ) iiiiiiMMtLLt內內外外dddd由圖可知由圖可知0 iiM內內1 2 12f21f1m2m1r2rdo第28頁/共92頁注意：注意： 合外力矩合外力矩 是質點系所受各外力矩是質點系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。的矢量和，而非合力的力矩。外外M外外外外iiFrMtL idd注意：注意：質點系內力矩的作用質點系內力矩的作用不能改變質點系總

17、角動量，但是影響總角動量不能改變質點系總角動量，但是影響總角動量在系內各質點間的分配。在系內各質點間的分配。第29頁/共92頁 例例 質量為質量為 ，長為，長為 的細桿在水平粗糙桌面的細桿在水平粗糙桌面上繞過其一端的豎直軸旋轉，桿的密度與離軸距離上繞過其一端的豎直軸旋轉，桿的密度與離軸距離成正比，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為成正比，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為 ，求摩擦力矩，求摩擦力矩。 mL 解：解：rkrrmddd 設桿的線密度設桿的線密度kr 22d2d2Lrmrm,Lmk 得得2021ddkLrkrmmL 由由omdfdzr 第30頁/共92頁rrLmgmgfd2dd2 frMdd mgLrrLm

18、gMML 32d2d022 2d2dLrmrm omdfdzr 第31頁/共92頁實際意義實際意義ff rRo半徑半徑 R ，質量，質量 m 的勻質圓盤，與桌的勻質圓盤，與桌面間摩擦系數(shù)面間摩擦系數(shù) ，求摩擦力矩求摩擦力矩等效等效kr 簡化模型：簡化模型：長長 R ，線密度，線密度 總質量總質量 m 的細桿的細桿omd fdzr第32頁/共92頁本講內容：三個基本概念本講內容：三個基本概念1.1.角動量角動量vmrprL 質點質點自自旋旋軌軌道道LLvmrvMrLiiiicc 質點質點系系定軸剛體定軸剛體 JmrLiiiz 22. 2. 轉動慣量轉動慣量 iiimrJ2mrJd2 3.3.力矩

19、力矩FrM FrMz0 iiM內內第33頁/共92頁1.1.角動量角動量vmrprL 質點質點自自旋旋軌軌道道LLvmrvMrLiiiicc 質點質點系系定軸剛體定軸剛體 JmrLiiiz 22. 2. 轉動慣量轉動慣量 iiimrJ2mrJd2 5.1 5.1 角動量角動量 轉動慣量轉動慣量上講上講第34頁/共92頁5.2 5.2 角動量的時間變化率角動量的時間變化率( (續(xù)續(xù)) )一、質點角動量的時間變化率一、質點角動量的時間變化率FrtL ddprL=由：由：質點角動量的時間變化率等于質點所受的合力矩質點角動量的時間變化率等于質點所受的合力矩FrM 二、力矩二、力矩1. 1. 對參考點的

20、力矩：對參考點的力矩：2. 2. 對對z軸的力矩軸的力矩: :對參考點的力矩在對參考點的力矩在z軸上的投影。軸上的投影。 FrMzxyzyFxFM 第35頁/共92頁三、質點系角動量的時間變化率三、質點系角動量的時間變化率外外外外iiFrMtL idd iiiiiiMMtLLt內內外外dddd0 iiM內內質點系總角動量的時間變化率等于質點系所受質點系總角動量的時間變化率等于質點系所受外力矩的矢量和。外力矩的矢量和。內力矩不影響總角動量，只改變質點系總角動內力矩不影響總角動量，只改變質點系總角動量在質點系內的分配。量在質點系內的分配。第36頁/共92頁四四. . 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定

21、律tLMdd 外外tLMzzdd 由由 JLz JtJ)J(ttLMzz dddddd得得 JMz 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律第37頁/共92頁比較比較 JMamFzJ是物體轉動慣性的量度。是物體轉動慣性的量度。m是物體平動慣性的量度。是物體平動慣性的量度。改變物體平動狀態(tài)的原因改變物體平動狀態(tài)的原因FzM改變物體繞軸轉動狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉動狀態(tài)的原因地位相同地位相同 JMz 剛體定軸轉動問題剛體定軸轉動問題平動問題平動問題amF 矢量式矢量式標量式標量式第38頁/共92頁例例1:1: 一定滑輪的質量為一定滑輪的質量為 ，半徑為，半徑為 ，一輕繩，一輕繩兩邊分別系兩邊分別系 和和

22、兩物體掛于滑輪上，繩不伸兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律。速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律。m1m2mr2m1mrm已知：已知：0021 , r,m,m,m求：求： ?t 思路：思路：質點平動與剛體定軸轉動關聯(lián)問題，質點平動與剛體定軸轉動關聯(lián)問題，隔離法，分別列方程，隔離法，分別列方程，先求角加速度先求角加速度 第39頁/共92頁解：解：在地面參考系中，分別以在地面參考系中，分別以 為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律

23、和剛體定軸轉動定律建立方程。和剛體定軸轉動定律建立方程。m,m,m21思考：思考：?TT?aa2121 2m1mrm1T1agm1)(amTgmm1:11111 向向下下為為正正2a2Tgm2)(amgmTm2:22222 向上為正向上為正第40頁/共92頁r+1T2TNmg四個未知數(shù)：四個未知數(shù)：三個方程三個方程 ？ ,T,T, aaa2121 繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：)(ra4 解得解得 rmmmgmm 212121 rmmmgtmmt 2121210 滑輪滑輪 m：以順時針方向為正方向：以順時針方向為正方向)(mrJrTrT32

24、1221 第41頁/共92頁 如圖示，兩物體質量分別為如圖示，兩物體質量分別為 和和 ，滑輪質量，滑輪質量為為 ，半徑為，半徑為 。已知。已知 與桌面間的滑動摩擦系與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為數(shù)為 ，求，求 下落的加速度和兩段繩中的張力。下落的加速度和兩段繩中的張力。 1mm2mr2m 1m2m1momr 解：解：在地面參考系中，選取在地面參考系中，選取 、 和滑輪為研究和滑輪為研究對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉動定律得：對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉動定律得： 1m2m練習練習1.第42頁/共92頁2m2Tagm2gm2 N1m1Tagm1列方程如下：列方程如下： ramrr )TT(a

25、mgmTamTgm 22122211121可求解可求解o1T2TxNyN向里向里+ +第43頁/共92頁例例2. 質量為質量為 M 的勻質圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固的勻質圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣有質量為定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣有質量為 m、長為、長為 l 的勻質柔的勻質柔軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側軟繩索（如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側繩長差為繩長差為 s 時，繩的加速度的大小。時，繩的加速度的大小。解：解：在地面參考系中，建立如圖在地面參考系中，建立如圖 x 坐標，設繩兩端坐標分別為坐標，設繩兩端坐標分別為x1，

26、x2，滑輪半徑為滑輪半徑為 r 有：有：rxxBBABAAl 21,xlmm,xlmm2BB1AA rlmm AB21xxs ox1x2sMABA B rxm第44頁/共92頁用隔離法列方程：（以逆時針方向為正）用隔離法列方程：（以逆時針方向為正）2221rmMrJJJABABM amTgmAA 1JrTrT 21amgmTBB 2T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBgBAoox1x2sMABA B rxmCBCA第45頁/共92頁解得：解得：l )Mm(mgsa21 ra 又又：21xxs ox1x2sMABA B rxmCBCA第46頁/共92頁5.3 5.3 角動量定理角動量定理一

27、、角動量定理的微分形一、角動量定理的微分形式式1.1.質點質點MFrtL dd由：由：tMLdd 得：得：2.2.質點系質點系tJJMdd 軸軸由由：tMJdd軸軸得得： 外外由由：MtLddtMLdd外外得得： 3.3.定軸剛體定軸剛體第47頁/共92頁二、角動量定理的積分形二、角動量定理的積分形式式tLMdd tLMdd 外外 JM 軸軸積分形式積分形式 （有限時間過程）（有限時間過程）微分微分形式形式質點質點質點系質點系定軸定軸剛體剛體瞬時瞬時效應效應 JJtMtt2121dd軸軸LLtMLLtt 2121ddLLtMLLtt 2121dd外外tMJdd軸軸 tMLdd tMLdd外外

28、第48頁/共92頁注意注意1. 力矩對時間的積累：力矩對時間的積累：角沖量（沖量矩）角沖量（沖量矩）定義：定義： 21dtttM效果：效果：改變角動量改變角動量3. 同一式中，同一式中， 等角量等角量 要對同一參考點或同一軸計算。要對同一參考點或同一軸計算。 ,J,L,Mp一定時間過程的變化量與一定時間過程的變化量與 對應對應 21dtttF時間變化率與時間變化率與 對應對應F2.比較：比較：L一定時間過程的變化量與一定時間過程的變化量與 對應對應 21dtttM時間變化率與時間變化率與 對應對應M第49頁/共92頁三、角動量定理的應用舉例三、角動量定理的應用舉例旋進旋進(進動進動)錄象錄象1

29、-2-9 角動量定理角動量定理 8 8分鐘分鐘1.1.回轉儀實驗：回轉儀實驗： 如圖所示的杠桿陀如圖所示的杠桿陀螺儀。當陀螺儀高速旋螺儀。當陀螺儀高速旋轉時，移動平衡物轉時，移動平衡物B B，桿不會傾斜，而是在水桿不會傾斜，而是在水平面內繞平面內繞O O旋轉。這種旋轉。這種運動稱為旋進運動，它運動稱為旋進運動，它是在外力矩作用下產生是在外力矩作用下產生的回轉效應的回轉效應。第50頁/共92頁(1) 若若 時：時： 在重力矩在重力矩 作用下，作用下， 陀螺將繞垂直于黑板的軸轉動，陀螺將繞垂直于黑板的軸轉動， 即倒地。即倒地。0 Lgmrc （2）當時：）當時： 重力矩重力矩 ， 將不改變將不改變

30、 的大小，的大小， 只改變只改變 的方向。的方向。 使陀螺繞豎直軸旋轉使陀螺繞豎直軸旋轉旋進旋進0 LLLgmrc L2.陀螺陀螺o第51頁/共92頁LL dLgmrMc tLMdd 重力矩始終不改變角動量的大小，只改變角動量的重力矩始終不改變角動量的大小，只改變角動量的方向。形成角速度矢量不斷向外力矩方向靠攏的趨方向。形成角速度矢量不斷向外力矩方向靠攏的趨勢。勢。最終效果：最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉陀螺繞豎直軸旋轉旋進旋進)(LMtLLt sindsinddd旋進角速度：旋進角速度：Lcrgm oLLd dL oL L d dtdd L o第52頁/共92頁3.3.車輪的旋進車輪的旋進oLL

31、 MLd討論討論：改變改變 的方向，旋進方向是否改變？的方向，旋進方向是否改變？改變配重改變配重 ，對旋進有什么影響？，對旋進有什么影響？用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生用外力矩加速（或阻礙）旋進，會發(fā)生什么現(xiàn)象？什么現(xiàn)象？ G o1. 2. 3第53頁/共92頁4 4、炮彈的旋進、炮彈的旋進c rvfgm5 5、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：、旋進現(xiàn)象在自然界廣泛存在：地球的旋進；地球的旋進；用電子在外磁場中的旋進解釋物質用電子在外磁場中的旋進解釋物質的磁化的本質；的磁化的本質；.錄像片：錄像片：1 12 29 9角動量守恒定律角動量守恒定律1010分鐘分鐘第54頁/共92頁開普勒的宇宙模型：

32、開普勒的宇宙模型：行星軌道在正多面行星軌道在正多面體的內接、外切球面上。體的內接、外切球面上。15971597年發(fā)表于年發(fā)表于神秘的宇宙神秘的宇宙由此成為由此成為第谷的學生和助手。第谷的學生和助手。16091609年年探索成因的新天文學或天體物理學探索成因的新天文學或天體物理學 ：第一定律：橢圓軌道定律（否定圓軌道）；第一定律：橢圓軌道定律（否定圓軌道）；第二定律：等面積定律（否定勻速率運動）。第二定律：等面積定律（否定勻速率運動）。16191619年年宇宙的和諧宇宙的和諧 ：第三定律：周期定律（建立各行星軌道間的聯(lián)系）第三定律：周期定律（建立各行星軌道間的聯(lián)系）開創(chuàng)了物理學中將實驗觀測數(shù)據(jù)表

33、達為準確的數(shù)開創(chuàng)了物理學中將實驗觀測數(shù)據(jù)表達為準確的數(shù)學定律的先河。學定律的先河。第55頁/共92頁5.3 5.3 角動量守恒定律角動量守恒定律一、角動量守恒定律一、角動量守恒定律恒量恒量時時恒量恒量時時恒量恒量時時 zzyyxxLMLMLM000分量式：分量式：對定軸轉動剛體，當對定軸轉動剛體，當0 軸軸M時，時，恒恒量量軸軸 L時時，得得：當當外外0 M L恒矢量恒矢量由角動量定理：由角動量定理：研究對象：研究對象：質點系質點系tLMdd 外外第56頁/共92頁當質點系所受外力對某參考點（或軸）的力矩的矢當質點系所受外力對某參考點（或軸）的力矩的矢量和為零時，質點系對該參考點（或軸）的角動

34、量量和為零時，質點系對該參考點（或軸）的角動量守恒。守恒。角動量守恒定律：角動量守恒定律：2.2.守恒條件守恒條件或或0 軸軸M0 外外M能否為能否為?tM 0d外外注意注意1.1.與動量守恒定律對比與動量守恒定律對比當當時，時，0 外外M L恒矢量恒矢量 p恒矢量恒矢量當當時，時，0 外外F彼此獨立彼此獨立第57頁/共92頁 角動量守恒現(xiàn)象舉例角動量守恒現(xiàn)象舉例 適用于一切轉動問題，大至天體，小至粒子適用于一切轉動問題，大至天體，小至粒子.為什么銀河系呈旋臂盤形結構？為什么銀河系呈旋臂盤形結構？為什么貓從高處落下時總能四腳著地？為什么貓從高處落下時總能四腳著地？體操運動員的體操運動員的“晚旋

35、晚旋”芭蕾、花樣滑冰、跳水芭蕾、花樣滑冰、跳水.為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？為什么直升飛機的尾翼要安裝螺旋槳？茹科夫斯基凳實驗茹科夫斯基凳實驗第58頁/共92頁例例1. 一半徑為一半徑為R、質量為、質量為 M 的轉臺，可繞通過其中心的轉臺，可繞通過其中心的豎直軸轉動的豎直軸轉動, 質量為質量為 m 的人站在轉臺邊緣，最初人的人站在轉臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉臺邊緣跑一周和臺都靜止。若人沿轉臺邊緣跑一周 (不計阻力不計阻力)，相，相對于地面，人和臺各轉了多少角度？對于地面，人和臺各轉了多少角度？RMm 思考：思考：1.1.臺為什么轉動？向什么方臺為什么轉動？向什么方向轉動？向轉動？

36、2.2.人相對轉臺跑一周，相對人相對轉臺跑一周，相對于地面是否也跑了一周？于地面是否也跑了一周？3.3.人和臺相對于地面轉過的人和臺相對于地面轉過的角度之間有什么關系？角度之間有什么關系？第59頁/共92頁選地面為參考系，設對轉軸選地面為參考系，設對轉軸人：人：J J , , ; ; 臺：臺：J J , , 解：解：系統(tǒng)對轉軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：系統(tǒng)對轉軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：2221MRJmRJ 0 JJ Mm2 RMm 設人沿轉臺邊緣跑一周的時間為設人沿轉臺邊緣跑一周的時間為 t 2dd00 tttt?, JJ第60頁/共92頁 2d2d00 tttMmt

37、人相對地面轉過的角度：人相對地面轉過的角度：MmMt 22dt0 臺相對地面轉過的角度：臺相對地面轉過的角度：Mmmtt 24d0 第61頁/共92頁二二. 有心力場中的運動有心力場中的運動物體在物體在有心力有心力作用下的運動作用下的運動力的作用線始終通過某力的作用線始終通過某定點定點的力的力力心力心有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物有心力對力心的力矩為零，只受有心力作用的物體對力心的角動量守恒。體對力心的角動量守恒。應用廣泛，例如：應用廣泛，例如： 天體運動天體運動（行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星（行星繞恒星、衛(wèi)星繞行星.） 微觀粒子運動微觀粒子運動（電子繞核運動；原子核中質子、中（電子繞核

38、運動；原子核中質子、中子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射子的運動一級近似；加速器中粒子與靶核散射.）第62頁/共92頁例例2. 已知：已知：地球地球 R=6378 km 衛(wèi)星衛(wèi)星 近地：近地：h1= 439 km v1-1 遠地遠地: h2= 2384 km 求求 ： v2=?h2mh1解：解：建立模型建立模型 衛(wèi)星衛(wèi)星質點質點 m 地球地球均勻球體均勻球體O dFmdmdmdF1dF2對稱性：對稱性：引力矢量和過地心引力矢量和過地心 對地心力矩為零對地心力矩為零衛(wèi)星衛(wèi)星 m 對地心對地心 o 角動量守恒角動量守恒第63頁/共92頁衛(wèi)星衛(wèi)星 m 對地心對地心 o 角動量守恒角動量守恒11

39、1212skm3 . 61 . 8238463784396378vvhRhRv 2211hRmvhRmv 增加通訊衛(wèi)星的可利用率增加通訊衛(wèi)星的可利用率探險者號衛(wèi)星偏心率高探險者號衛(wèi)星偏心率高近地近地1411skm10383km9160 .v.h1252skm1225km10032 v.h大充分利用大充分利用t 遠地遠地小小很很快快掠掠過過t mh1h2R1v2v.o第64頁/共92頁地球同步衛(wèi)星的定點保持技術地球同步衛(wèi)星的定點保持技術 衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面傾角為零衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面傾角為零軌道嚴格為圓形軌道嚴格為圓形運行周期與地球自轉周期完全相同運行周期與地球自轉周期完全相同 （

40、2323小時小時5656分分4 4秒）秒） 嚴格同步條件嚴格同步條件地球同步衛(wèi)星：地球同步衛(wèi)星：相對地球靜相對地球靜止，定點于赤道上空，軌道止，定點于赤道上空，軌道半徑約半徑約36000km，實現(xiàn)全球，實現(xiàn)全球24小時通信。小時通信。第65頁/共92頁地球扁率，太陽、月球攝動引起同步衛(wèi)星星下點漂移地球扁率，太陽、月球攝動引起同步衛(wèi)星星下點漂移用角動量、動量守恒調節(jié)用角動量、動量守恒調節(jié) 定點保持技術定點保持技術研究微觀粒子相互作用規(guī)律研究微觀粒子相互作用規(guī)律 自學教材自學教材P108例例4第66頁/共92頁第五章第五章 角動量角動量 角動量守恒角動量守恒 習題課習題課復習提要：復習提要：三個概

41、念，兩條規(guī)律三個概念，兩條規(guī)律一、轉動慣量一、轉動慣量 miiimrrmJd22二、角動量二、角動量 質點質點 質點系質點系定軸剛體定軸剛體 vmrL iiiiccvmrvmrLLL自自旋旋軌軌道道JLz 三、力矩三、力矩0; iizMFrMFrM內內第67頁/共92頁質點質點 21dddttLtMtLM質點系質點系定軸剛體定軸剛體 21dddttLtMtLM外外外外JMz 21dttzzLtM五、角動量守五、角動量守恒恒恒恒量量恒恒矢矢量量外外 zzLMLM00四、角動量定理四、角動量定理第68頁/共92頁例例1 .1 .已知：已知：兩平行圓柱在水平面內轉動，兩平行圓柱在水平面內轉動，求：求

42、：接觸且無相對滑動時接觸且無相對滑動時20221011 ,Rm;,Rm,? 21 .o1m1R1.o2R2m210 20 o1.o2.1 2 請自行列式請自行列式。第69頁/共92頁解解1：因摩擦力為內力，外力過軸因摩擦力為內力，外力過軸 ，外力矩為零，則，外力矩為零，則J1 + J2 系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒 ，以順時針方向旋轉為正：，以順時針方向旋轉為正： 12211202101 JJJJ 接觸點無相對滑動接觸點無相對滑動： 22211RR 又：又： 3212111RmJ 4212222RmJ 聯(lián)立聯(lián)立1 1、2 2、3 3、4 4式求解，對不對？式求解，對不對？ o1. o21 2

43、1R2R第70頁/共92頁問題：問題：（1）式中各角量是否對同軸而言？）式中各角量是否對同軸而言？ （2）J1 +J2 系統(tǒng)角動量是否守恒？系統(tǒng)角動量是否守恒？0 20 11221 FFMo)(Mo)(為軸為軸為軸為軸系統(tǒng)角動量不守恒！系統(tǒng)角動量不守恒！分別以分別以m1 , m2 為研究對象，受力如圖：為研究對象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f21R2R第71頁/共92頁解解2：分別對分別對m1 , m2 用角動量定理列方程用角動量定理列方程設：設：f1 = f2 = f ， 以順時針方向為正以順時針方向為正m1對對o1 軸：軸：211110111121dRmJ,JJtfR m2對對o2

44、軸：軸：222220222221dRmJ,JJtfR 接觸點：接觸點：2211RR o2F2o1.F1f1f21 2 1R2R第72頁/共92頁聯(lián)立各式解得：聯(lián)立各式解得： 221202210112121202210111RmmRmRmRmmRmRm 第73頁/共92頁解解1：m 和和 m 2 系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒 m v 0 = (m + m 2 ) v解解2： m 和和 (m1 + m 2 )系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v解解3：m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 2v以上解法對不對？以上解法對不對？m2m1m0v2L2L

45、A例例2. 已知：已知：輕桿，輕桿，m 1 = m , m 2 = 4m , 油灰球油灰球 m， m 以速度以速度v 0 撞擊撞擊 m 2 ，發(fā)生完全非彈性碰，發(fā)生完全非彈性碰撞撞 求：求：撞后撞后m 2的速率的速率 v ?第74頁/共92頁因為相撞時軸因為相撞時軸A作用力不能忽略作用力不能忽略不計，故不計，故系統(tǒng)動量不守恒系統(tǒng)動量不守恒。因為重力、軸作用力過軸，對軸因為重力、軸作用力過軸，對軸力矩為零，故力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒。由此列出以下方程：由此列出以下方程： LvmLvmmLmv 222120或：或： v;vLmmmmLLLL 202021222022 得：得：90v

46、v m2m1m2L2LNyNxA第75頁/共92頁注意：區(qū)分兩類沖擊擺注意：區(qū)分兩類沖擊擺 水平方向：水平方向： Fx =0 ， px 守恒守恒 m v 0 = ( m + M ) v 對對 o 點：點： ， 守恒守恒m v 0 l = ( m + M ) v l0 ML軸作用力不能忽略，動量不守恒，軸作用力不能忽略，動量不守恒，但對但對 o 軸合力矩為零，角動量守恒軸合力矩為零，角動量守恒lvMlmllmv 22031（1）olmM0v質質點點質點質點柔繩無切向力柔繩無切向力質點質點 定軸剛體定軸剛體（不能簡化為質點）（不能簡化為質點）(2)0volmMFxFy第76頁/共92頁回顧習題回顧

47、習題P84 4 -10 vRMmRghmOM mMpMmF 2 0;0點點角角動動量量守守恒恒對對系系統(tǒng)統(tǒng)不不守守恒恒系系統(tǒng)統(tǒng)軸軸軸軸mMFO第77頁/共92頁0 軸軸FA、B、C系統(tǒng)系統(tǒng) 不守恒；不守恒；p0 軸軸MA、B、C系統(tǒng)對系統(tǒng)對 o 軸角動量守恒軸角動量守恒 vRmmmRvmmcBABA 1回顧習題回顧習題P84 4 -11C BNxNyAo第78頁/共92頁練習：練習：已知已知 m = 20 克，克，M = 980 克克 ,v 0 =400米米/秒，秒，繩不可伸長。求繩不可伸長。求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v =?思考：思考：系統(tǒng)哪些物理量守恒？系統(tǒng)哪些物理量守恒？（總

48、動量、動量分量、角動量）（總動量、動量分量、角動量）解：解：m、M系統(tǒng)水平方向動量守恒（系統(tǒng)水平方向動量守恒（F x =0)豎直方向動量不守恒（繩沖力不能忽略）豎直方向動量不守恒（繩沖力不能忽略）對對o 點軸角動量守恒（外力矩和為零）點軸角動量守恒（外力矩和為零）omMv300v vMmmv 0030sin或：或： 00090sin30sin lMmvlmvv = 4 m.s-1得：得：第79頁/共92頁解：解：碰撞前后碰撞前后AB棒對棒對O的角動量守恒的角動量守恒思考：思考：碰撞前棒對碰撞前棒對O角動量角動量 L=? 碰撞后棒對碰撞后棒對O角動量角動量 =？L ? 例例3 . 已知：已知：勻

49、質細棒勻質細棒 m , 長長 2l ；在光滑水平面；在光滑水平面內以內以 v 0 平動，與固定支點平動，與固定支點 O 完全非彈性碰撞。完全非彈性碰撞。 求：求：碰后瞬間棒繞碰后瞬間棒繞 O 的的v0clBAl / 2l / 2 Om撞前：撞前：自自旋旋軌軌LLL 020 lmvL（1）思考：思考：碰撞后的旋轉方向？碰撞后的旋轉方向？第80頁/共92頁（2）各微元運動速度相同，但到）各微元運動速度相同，但到O距離不等，距離不等，棒上段、下段對軸棒上段、下段對軸O角動量方向相反角動量方向相反 設垂直向外為正方向，總角動量：設垂直向外為正方向，總角動量：lmvxxlmvxxlmvLll002023

50、0021d2d2 lm2 lxmxm2ddd xxlmvxvmLd2dd00 質元角動量：質元角動量：線密度：線密度：取質元：取質元：xdm-l/23l/20vO第81頁/共92頁撞后：撞后： 22212722121mllmlmJL 令：令： 2012721mllmvLL 得：得：lv760 xC-l/23l/2 O平行軸定理平行軸定理第82頁/共92頁例例 4 . P113 5 - 16有的恒星在其核燃料燃盡，達到生命末期時，會發(fā)有的恒星在其核燃料燃盡，達到生命末期時，會發(fā)生所謂生所謂超新星爆發(fā)超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質噴射到，這時星體中有大量物質噴射到星際空間，同時該星的內核向內收縮

51、，坍縮成體積星際空間，同時該星的內核向內收縮，坍縮成體積很小、異常致密的很小、異常致密的中子星中子星。由于中子星的致密性和。由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在星體周圍形成極強的磁場并極快的自轉角速度，在星體周圍形成極強的磁場并發(fā)射出很強的電磁波。當中子星的輻射束掃過地球發(fā)射出很強的電磁波。當中子星的輻射束掃過地球時，地面上就測得脈沖信號。因此，中子星又稱為時，地面上就測得脈沖信號。因此，中子星又稱為脈沖星脈沖星。目前，我們探測到的脈沖星已超過。目前，我們探測到的脈沖星已超過550個。個。設某恒星繞自轉軸每設某恒星繞自轉軸每45天轉一周，它的內核半徑天轉一周，它的內核半徑 約為約為 ，坍縮

52、為半徑僅為，坍縮為半徑僅為6000m的中子星，的中子星，將星體內核當作質量不變的勻質圓球，計算中子星將星體內核當作質量不變的勻質圓球，計算中子星的角速度。的角速度。0Rm1027 第83頁/共92頁赫威斯赫威斯(1924(1924) ) 英國物理學家英國物理學家19671967年利用射電望遠鏡年利用射電望遠鏡第一次發(fā)現(xiàn)了脈沖星。第一次發(fā)現(xiàn)了脈沖星。于于19741974年獲諾貝爾獎。年獲諾貝爾獎。脈沖星（左邊照片中間白點為變亮的脈沖星（左邊照片中間白點為變亮的脈沖星，右邊為脈沖星變暗后的照片脈沖星，右邊為脈沖星變暗后的照片）第84頁/共92頁恒星：恒星： 發(fā)光的星體（亮度不一定恒定）發(fā)光的星體（亮度不一定恒定） 變星：變星： 較短時間內，亮度規(guī)則或不規(guī)則變化較短時間內，亮度規(guī)則或不規(guī)則變化 新星：新星： 亮度突然增大幾千倍亮度突然增大幾千倍超新星：超新星： 不到一天內亮度突然增大幾億倍，不到一天內亮度突然增大幾億倍，10秒內釋秒內釋放的能量比太陽在全部壽命中釋放的總能量大放的能量比太陽在全部壽命中釋放的總能量大100倍倍，其中光能占其中光能占10 - 4 ，已足以蓋過整個銀河發(fā)光的總和，已足以蓋過整個銀河發(fā)光的總和 ( 10 37 J/s ) 已確認的超新星爆炸事件：已確認的超新星爆炸事件：公元（年）：公元