對中考“兄弟連”試題的對比與評析

1、對中考“兄弟連”試題的對比與評析2000年上海市的中考壓軸題與2008年廣州市的中考壓軸題,在幾何圖形背景與考查的知識都有相似之處,是屬于“兄弟連”試題。“弟”試題較好地繼承了“兄”試題的亮點，并在新課程背景下進了自主創(chuàng)新，有效考查了學生運用已學知識分析問題和解決問題的綜合分析能力。下面對“兄弟連”試題對比評析如下：例1、（2000年上海市中考試題）如圖，在半徑為6，圓心角為90º的扇形OAB的弧AB上，有一個動點P，PHOA，垂足為H，OPH的重心為G。（1）當點P在弧AB上運動時，線段GO、GP、GH中，有無長度保持不變的線段？如果有，請指出這樣的線段，并求出相應的長度；（2）設

2、PH=x,GP=y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）如果PGH是等腰三角形，試求出線段PH的長。解(1) 長度保持不變的線段是GH,且GU=2延長HG交OP于C, G是OPH的重心， CH是斜邊OP上的中線，GH=CH=OP= (2)延長PG交OH于D，PH=x，OH=，而DP=y=GP= （0x6）(3)分類討論：在PGH中 若GP=PH時，則有 化簡得： ，若GP=GH時,則有 解得 (不合題意舍去)若PH=GH時,則有 .【評析】第(1)小題中主要抓住了同圓的半徑相等的性質(zhì),雖然點P在弧AB上運動,但OP是O的半徑始終保持不變,即OP6。再結合直角三角形和三角形重心的性

3、質(zhì),使所求線段GH與已知半徑OP聯(lián)系起來，從而使問題解決；在第（3）小題中，已知PGH是等腰三角形，但題中沒有指明哪兩邊是腰，因此解題中必須對三角形的三邊進行分類討論解決，滲透了數(shù)學中的分類思想。例2、（2008年廣州市中考試題）如圖2，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角AOB=90°，點C是弧AB上異于A、B的動點，過點C作CDOA于點D，作CEOB于點E，連結DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形（2）當點C在弧AB上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度（3）求證：是定值解：（1）如圖3，連結

4、OC交DE于M，由矩形得OMCG，EMDM 圖2因為DG=HE所以EMEHDMDG得HMDG 所以四邊形OGCH是平行四邊形。（2）DG不變，在矩形ODCE中，DEOCOA=3，所以DG （3）一題多解：方法一：利用三角形的中位線與勾股定理解：如圖3，設CDx,延長OG交CD于N，OG=CH，且OGCH，CN=DN，在RtODN中， 而 ， 【評析】本解法充分利用了題中的三等分點、平行四邊形和三角形中位線的性質(zhì)，較好地實現(xiàn)了把線段ON轉化為線段CH的倍分關系，再以RtOND為基礎，通過勾股定理，使問題得以解決。方法二：利用相似三角形與勾股定理 解：如圖4，分別過H、G作HMGNDC，則有 ，

5、， ，。在RtCMH中， 【評析】本解法充分利用了題中的三等分點、相似三角形的性質(zhì)，得出相關線段關于x的代數(shù)式，再以RtCMH為基礎，通過勾股定理，使問題得以解決。方法三：利用三角形面積與勾股定理解：如圖5，過點C作CKED于K，在RtECD中，由面積法得： RtCKH中，化簡得： 【評析】本解法充分利用了幾何中的面積法，得出斜邊上的高CK和HK關于X的表達式，再以RtCKH為基礎，通過勾股定理，使問題得以解決。方法四：三角函數(shù)與勾股定理解：如圖5，過點C作CKED于K，在RtCEK和RtCHK中，由勾股定理得：在RtEKC和RtECD中， 化簡得： 【評析】本解法充分利用了三角函數(shù)，使線段E

6、K能用x的代數(shù)式表示，再通過勾股定理和乘法公式進行轉化，使問題得以解決。上海試題考查的知識點有：同圓的半徑相等，直角三角形的性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定及分類討論的數(shù)學思想。第（1）小題起點較高，三個小題層次不明顯，第（3）小題注重了數(shù)學思想的滲透，對等腰三角形的各種情況進行分類求解，考查了學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力。廣州試題在上海試題的基礎上進行自主創(chuàng)新，它所涉及的知識點有：同圓的半徑相等，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股定理，相似三角形或三角函數(shù)等。第（1）小題比較基礎，學生容易解決，第（2）小題只利用矩形的性質(zhì)求解，不涉及到課標不要求的三角形重心的性質(zhì)求解，三個小題有一定