2014高考數(shù)學(xué)理科試題大沖關(guān)：變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例(精)

1、2014 屆高考數(shù)學(xué)理科試題大沖關(guān)：變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案 一、選擇題 1.設(shè)（Xi, yi），（X2, y2），（Xn, yn）是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直 線I是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線 （如圖），以下結(jié)論 正確的是（ ） A. x和y的相關(guān)系數(shù)為直線I的斜率 B. x和y的相關(guān)系數(shù)在 0 到 1 之間 C. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在I兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同 D.直線I過點(diǎn)（x , y ） 2通過隨機(jī)詢問 110 名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表: 男 女 總計(jì) 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 _ n a

2、dbe 由 K = a+ b c+ d a+ e b+ d 算得, -幼 2 口= 60X 50X 60X 50 7.8. 附表： P（心 k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結(jié)論是 （ ） A. 有 99%上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B. 有 99%上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” 3. 位母親記錄了自己兒子 39 歲的身高數(shù)據(jù)（略），由此建立的身高與年

3、齡的回歸模 型為y= 7.19 x+ 73.93，用這個(gè)模型預(yù)測(cè)這個(gè)孩子 10 歲時(shí)的身高，則正確的敘述是 （ ） A. 身高一定是 145.83 cm B. 身高在 145.83 cm 以上 C. 身高在 145.83 cm 左右 D. 身高在 145.83 cm 以下 4. 如圖 5 個(gè)（x, y）數(shù)據(jù)，去掉D（3,10）后，下列說法錯(cuò)誤的是（ ） T - （10,12） P（3J0） （13） A. 相關(guān)系數(shù) r 變大 B. 殘差平方和變大 C. 相關(guān)指數(shù)RR變大 D. 解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) 5. 某商品銷售量y（件）與銷售價(jià)格x（元/件）負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是 （ ）

4、 A A A.y=- 10 x+ 200 B.y = 10 x + 200 A A C.y=- 10 x- 200 D.y = 10 x 200 6. 下列四個(gè)命題正確的是 （ ） 線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱； 殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好； 用相關(guān)指數(shù)F2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好； 隨機(jī)誤差e是衡量預(yù)報(bào)精確度的一個(gè)量，它滿足 E（e） = 0. A. B. C. D. 二、填空題 7. 調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入 x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元），調(diào)查 顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)

5、據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程： y = 0.254 x + 0.321.由回歸方程可知，家庭年收入每增加 1 萬元，年飲食支出平均增加 _ 萬元. &某數(shù)學(xué)老師身高 176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是 173 cm、170 cm 和 182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測(cè)他孫子的 身高為 _ cm. 9. 第二十屆世界石油大會(huì)將于 2011年12月4日8日在卡塔爾首都多哈舉行，能源 問題已經(jīng)成為全球關(guān)注的焦點(diǎn). 某工廠經(jīng)過技術(shù)改造后，降低了能源消耗，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該廠某種i = 1 產(chǎn)品的產(chǎn)量X（單位：噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 y（單位：噸）有如下幾組樣

6、本數(shù)據(jù): X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 根據(jù)相關(guān)性檢驗(yàn)，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系， 通過線性回歸分析，求得回歸直線 的斜率為 0.7.已知該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為 10 噸，則該工廠每年大約消耗的汽油為 _ 噸. 三、解答題 10. 已知x, y的一組數(shù)據(jù)如下表： X 1 3 6 7 8 y 1 2 3 4 5 （1） 從x, y中各取一個(gè)數(shù)，求 x+ y 10 的概率； 1 1 1 （2） 對(duì)于表中數(shù)據(jù)，甲、乙兩同學(xué)給出的擬合直線分別為 y = 3X + 1 與y= 2x + ?,試?yán)?用“最小平方法（也稱最小二乘法）”判斷哪條直線擬合程度更好. 11. 為了分析某個(gè)高三學(xué)生的

7、學(xué)習(xí)狀態(tài)， 對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議. 現(xiàn)對(duì)他 前 7 次考試的數(shù)學(xué)成績(jī) x、物理成績(jī)y進(jìn)行分析下面是該生 7 次考試的成績(jī). 數(shù)學(xué) 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1） 他的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的證明； （2） 已知該生的物理成績(jī) y與數(shù)學(xué)成績(jī)x是線性相關(guān)的，若該生的物理成績(jī)達(dá)到 115 分, 請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績(jī)大約是多少？并請(qǐng)你根據(jù)物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性， 給出該生在 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議. （其中，數(shù)據(jù)（Xi, yi）（ i = 1,2，n）的線性回歸方程為y = 30 bx

8、+ a, z i = 1 A _ b= Xi x yi y n Xi ,a= y b x ) 30 12. 某學(xué)生對(duì)其親屬 30 人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示 人的飲食指數(shù).(說明：圖中飲食指數(shù)低于 70 的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于 70 的 人，飲食以肉類為主.) 甲(50 歲以下) 乙(50 歲以上) 2 1 3 0 1 5 6 7 6 5 3 4 2 3 7 9 6 8 5 4 5 2 6 7 8 4 6 8 5 3 2 7 1 0 8 5 8 9 (1) 根據(jù)莖葉圖，幫助這位學(xué)生說明其親屬 30 人的飲食習(xí)慣; (2) 根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列 2X2的列聯(lián)

9、表： 主食蔬菜 主食肉類 合計(jì) 50 歲以下 50 歲以上 合計(jì) (3)能否有 99%勺把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，并寫出簡(jiǎn)要分析. _ n ad be 附：K = a+ b c+ d a+ e b+ d P(K2 ko) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ko 1.32 3 2.07 2 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82 8 詳解答案 一、 選擇題 1.解析：回歸直線過樣本中心 (X, V). 答案：D 2 解析：根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，正確選項(xiàng)為 A. 答案：A 3. 解析：用回歸模型y=

10、 7.19 x+ 73.93，只能作預(yù)測(cè)，其結(jié)果不一定是一個(gè)確定值. 答案： C 4. 解析：相關(guān)系數(shù) r越接近 1, R越大，殘差平方和越小，擬合效果越好. 答案：B 5. 解析：由圖象可知，選項(xiàng) B D 為正相關(guān)，選項(xiàng) C 不符合實(shí)際意義，只有 A 項(xiàng)符合要 求. 答案：A 6解析：線性相關(guān)系數(shù) r滿足| r| 10 X, 的有(6,4) , (6,5) , (7,3) , (7,4) , (7,5) ,(8,2) , (8,3) , (8,4) , (8,5)，共 9 對(duì).故所 主食蔬菜 主食肉類 合計(jì) 9 求概率p= 25. 1 用y= 3X + 1 作為擬合直線時(shí)，所得 4 y值與y

11、的實(shí)際值的差的平方和為 S= (3 1)2 _ _ 7 + (2 2)2+ (3 3)2+ (T 4)2 + (T 5)2= 3. 10 11 1 1 用y = 2x + 2 作為擬合直線時(shí)，所得 y值與y的實(shí)際值的差的平方和為 8= (1 1)2+ (2 7 9 1 2) 2+ ( 2 3)2+ (4 4)2+ (2 5)2= 2. 1 1 S2s物理，該生的物理成績(jī)更穩(wěn)定. (2)由于x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系, 7 i%yi-7x y 497 A rv I 八 _ 八_ b= 72 2 = 994= 0.5 , a= y b x = 100 0.5 X 100= 50, 7 線性回歸方程為 y= 0.5 x+ 50.當(dāng)y= 115 時(shí)，x = 130. 建議: 進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)， 提高數(shù)學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性，這將有助于物理成績(jī)的進(jìn)一步提高. 12.解: (1)在 30 位親屬中，50