北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊-第一章-三角形的證明(提高)

1、精品文檔第一章三角形的證明一、八條基本事實1、兩點確定一條直線；2、兩點之間直線最短；3、同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；4、同位角相等，兩直線平行；5、過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；6、兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（SAS）；7、兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（ASA）；8、三邊分別相等的兩個三角形全等（SSS）；二、平行線的判定和性質(zhì)判定：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.三、全等三角形判定定理：1、三組對應(yīng)邊分別相等的兩個三角形全等(SSS)2、有

2、兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS)3、有兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA)4、有兩角及一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(AAS)性質(zhì) : 全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。三角形全等常用來證明線段或角相等。例： 如 圖 ， ABC中 ， AC=BC， ACB=90o， 點 D 在 AC 上 ， 點 E 在 BC 延 長 線 上 ， CD=CE，BD的延長線交 AE于點 F，連 CF.（ 1） 證明：（ 2）證明：AEBD ；EFFD2 FC.。1 歡迎下載精品文檔練習(xí)：1、在四邊形 ABCD中， AC=AB，DC=DB， CAB=60°， CDB=120&#

3、176;， E是 AC上一點， F是 AB延長線上一點，且CE=BF（ 1）求證： DE=DF；（ 2）若 G在 AB上且 EDG=60°，求證 CE+BG=EG；2、 如圖，在ABC中， AB=AC、 D 是 AB上一點， E 是 AC延長線上一點，且CE=BD，連結(jié)DE 交 BC于 F。猜想 DF與 EF 的大小關(guān)系并請證明你的猜想。3、如 圖 ， RT ABC中 ， ACB=90o， ABC的 角 平 分 線 AD、 BE 相 交 于 點 P，過P作 PFAD交 BC的延長線于點 F，交 AC于點 H.（1）求APB的度數(shù)；（2）證明：AH BDAB.四、等腰三角形1、性質(zhì)定理

4、：等腰三角形有兩邊相等；(定義 )定理：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。2 歡迎下載精品文檔例題： 1、點 P 是等邊三角形 ABC所在平面上一點，若P 和 ABC的三個頂點所組成的PAB、 PBC、 PAC都是等腰三角形，則這樣的點P 的個數(shù)為（）A 1,B 4,C 7,D 102、如圖， 等腰三角形ABC中， AB=AC， A=20o， D為 AB邊上一點，且AD=BC求 CDB的度數(shù)。練習(xí)： 1、等腰三角形ABC中， AB=AC， D 為 BC上的一點，且BD=AD=DC，那么 B 的度數(shù)為。2、 如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點A 在第一象限，點 P 在 x 軸上，若以 P， O，A

5、 為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點P 共有（）A2 個B3個C4 個D5個3、等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為 3，則底邊長為4、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點 A1，A2，A3， 和 B1 ，B2，B3， 分別在直線y=kx+b 和 x 軸上 OA1B1，B1A2 B2， B A B ， 都是等腰直角三角形，如果A（ 1，1），A，那么點 A 的縱坐標(biāo)是，點的縱坐233123標(biāo)是5、如圖， ABC中， AB =AC，點 Q在 AC 上，在 BA的延長線上取AP=AQ，求證： PQ垂直于 BC。3 歡迎下載精品文檔6、已知：如圖，在等腰三角形ABC中， AB=AC，P 是底邊 BC

6、 上任意一點，過點P 作 PEAB，PFAC，垂足分別為E， F，過點 B 作 BDAC，垂足為D求證： PE+PF=BD推論 1: 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（三線合一）推論 2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。例： 如圖，在RT ABC中， ACB=90o， AC<BC，D 為 AB的中點， DE交 AC 于點 E，DF交 BC于點 F，且 DEDF，過A 作 AG BC交 FD的延長線于點G（ 1）求證：AG BF；（ 2）若 AE9 ， BF 18 ，求線段 EF 的長練習(xí)： 1、如圖，在ABC中， ABC=45o， C

7、DAB， BEAC，垂足分別為D、 E， F 為 BC 中點， BE 與 DF、 DC分別交于點 G、 H， ABE= CBE（ 1）證明：BHCA ；（ 2）證明： BG 2 GE 2 EA2 2、已知 CE 垂直于 AB 于 E 點， 1= 2， AE=1/2 （ AD+AB），求證： ABC+ D=180°。4 歡迎下載精品文檔2、判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形。定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。3、反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從

8、而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法例 1:如圖所示，在邊長為2 cm的正三角形ABC中， E、 F、 G分別為 AB、 AC、 BC 的中點，點P 為線段EF上一個動點，連接BP、 GP，則 PBG的周長的最小值是例 2: 如 圖 ， 在 等 腰 RT ABC中 ， ACB=90o， AC=CB， F 是 AB 邊 上 的 中 點 ， 點 D、 E 分 別 在 AC、 BC 邊上運動，且始終保持 AD=CE連接 DE、DF、EF（1）求證： DFEF ；C（2）試證明 DEF是等腰直角三角形EDABF例 3: 如 圖 ， 等 腰 直 角 三 角 形 ABC中 ， BAC=90o，

9、 D、 E 分 別 為 AB、 AC 邊 上 的 點 ， AD=AE，AFBE交 BC 于 點 F， 過 點 F 作 FGCD交 BE的延長線于點G，交 AC于點 M。（1）證明： EGM 為等腰三角形；（2）證明：BGAF FG.。5 歡迎下載精品文檔練習(xí)：1、如圖，已知 ABC為等邊三角形，D 為 BC 延長線上的一點，CE平分 ACD， CE=BD，求證： ADE為等邊三角形2、在等邊三角形ABC中，點 D、 E 分別在邊BC、 AB上，且 BD=AE， AD 與 CE交于點 F，求 DFC的度數(shù)五、直角三角形1、直角三角形的性質(zhì)直角三角形兩銳角互余；直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊

10、的平方（勾股定理）；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；2、直角三角形判定有兩個銳角互余的三角形是直角三角形；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）；3、互逆命題、互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理 .注意：真命題的逆命題不一定為真，定理和逆定理均為真命題。4、直角三角形全等的判定斜

11、邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（“斜邊、直角邊”或“HL”）。6 歡迎下載精品文檔例 1：如圖， ABC中， C=90°， 1= 2， CD=3/2， BD=5/2，求 AC的長。例 2：小明是一位善于思考的學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)活動課上，他將一副直角三角板如圖位置擺放，A、 B、 D 在同一直線上， EF AD， A= EDF=90°， C=45°， E=60°，量得DE=8，試求BD的長例 3: 如圖，等邊ABC中， AO是 BAC的角平分線，D為 AO上一點，以CD為一邊且在CD的下方作等邊三角形CDE，連接BE。（ 1）求證： ACD BC

12、E ；（2）延長 BE至 Q ,P 為 BQ 上一點，連結(jié)CP 、 QC 使 CPCQ5,若 BC8時，求 PQ 的長 .練習(xí)： 1、如圖，在 ABC中， ACB=90°，D 是 BC的中點， DE BC，CE AD，若 AC=2，CE=4，則四邊形ACEB的周長為。7 歡迎下載精品文檔2、如圖 2-5 所示在等邊三角形ABC中， AE=CD， AD， BE交于 P 點， BQ AD于 Q求證： BP=2PQ3、如圖，D是等邊 ABC的邊 AB上一點，E是 BC延長線上一點，CEDA，連 接 DE 交 AC于 F ，過 D點作于 DGAC于G點.（1）證明： AG1 AD；2（2）證

13、明：GFFCAG.4、已知等腰Rt ABC中， ACB=90°， AC=BC，點 G在 BC上，連接AG，過 C 作 CF AG，垂足為點E，過點B 作BF CF于點 F，點 D 是 AB的中點，連接DE、 DF（ 1）若 CAG=30°， EG=1，求 BG的長；（ 2）求證： AED= DFECEGADBF六、線段的垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。（外心）判定：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。8 歡迎下載精品文檔例 ： 1、 如圖， ABC中，

14、 AB=AC， BAC=54°， BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將 C 沿 EF（ E 在BC上， F 在 AC上）折疊，點C 與點 O恰好重合，則OEC大小為（ ）A134°,B136° ,C108°,D112°2、在ABC 中， AB 的中垂線DE 交AC 于F ，垂足為D，若AC=6， BC=4， BCF 的周長為。ECFADB3、 如 圖 ， 在 RT ABC中 ， AB=AC， BAC=90o， D、 E 為 BC 上 的 兩 點 ， DAE=45o， F 為 ABC外一點，且 FB BC， FA AE。（1）證明： CE

15、BF ；（2）證明： BD2CE 2DE2.練習(xí)： 1、如圖，在矩形ABCD中， AB=2， BC=4，對角線 AC 的垂直平分線分別交AD、 AC于點 E、 O，連接 CE，則CE的長為（）A3B35C25D280DE交 BC的延長線于點 E，CE的長為2、如圖，在 RT ABC中， ACB=90，BC=3，AC=4，AB的垂直平分線3、如圖所示，在 ABC中， AB=AC， BAC=1200， D、 F 分別為 AB、 AC 的中點， DE AB， FG AC， E、 G在 BC上，BC=15cm， EG的長度為。ADFBEGC4、（ 1）在 ABC中， AB AC， AB的垂直平分線交

16、AB 于 N，交 BC的延長線于M， A 400，求 NMB的大小（ 2）如果將（ 1）中 A 的度數(shù)改為 70 0 ，其余條件不變，再求NMB的大小。9 歡迎下載精品文檔（ 3）你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律性？試證明之.（ 4）將（ 1）中的 A 改為鈍角，對這個問題規(guī)律性的認識是否需要加以修改AAANNNBBCMCBMCM5、如 圖 1 ，已 知 點 D 為 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 內(nèi) 一 點 ， ACB=90o， CAD= CBD=15o， E 為 AD 延 長 線 上的一點，且 CE=CA。（1）求DCA的大?。唬?）若點 M 在 DE上，如圖 2，且 DCDM，求證： MEDB.

17、七、角平分線。性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等。（內(nèi)心）判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。例： 1、已知：如圖，BAC的平分線與BC 的垂直平分線相交于點P， PE AB，PF AC，垂足分別為E、 F，若 AB 8， AC 4，則 AE2、如圖，分別以ABC的邊 AB、AC向外作等邊三角形 ABD和等邊三角形 ACE，線段 BE與 CD相較于點 O，連接 AO。（1）求BOD的度數(shù)；（2）求證： AO平分DOE。10 歡迎下載精品文檔練習(xí)： 1、 如圖，在 ABC中， BC=5cm， BP、 CP分別是 ABC和 ACB的角平分線，且PD AB， PE AC，則PDE的周長是cm2、如圖， AD 是 ABC的角平分線，DF AB，垂足為F， DE=DG， ADG和 AED的面積分別為50 和 39，則 EDF的面積為（）A11B5.5C7D3.53、如圖， ABC是等邊三角形，P 是 ABC的平分線BD上一點， PE AB 于點 E，線段 BP 的垂直平分線交BC于點 F，垂足為點Q若 BF=2，則 PE的長為（）A2B23C3D34、在 ABC中，點O 是 AC邊上一動點，過點O 作直線MN BC，與 ACB的角平分線交于點E，