基本不等式知識(shí)點(diǎn)

1、.基本不等式知識(shí)點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱性）abba（傳遞性）ab,bcac（可加性） abacbc（同向可加性） ab, cdacbd（異向可減性） ab, cdacbd（可積性） ab, c0acbcab, c0acbc（同向正數(shù)可乘性）ab0, cd0acbda b 0,0 c dabcd（異向正數(shù)可除性）（平方法則） ab0a nbn (nN, 且 n 1)（開(kāi)方法則） ab0n an b(nN ,且 n 1)a b 01 1 ; a b 01 1（倒數(shù)法則）abab2、幾個(gè)重要不等式 a2b22aba，bR ,（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取 "aba2b2." 號(hào)）.

2、變形公式：2ababa，bR（基本不等式）2,（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取到等號(hào)） .ab2ab.ab2a b2變形公式：用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等” .ab c3abc ( a、 b、 cR ) （當(dāng)且僅當(dāng)（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）3abc 時(shí)取到等號(hào)） .;.222 abcabbcca a， bR（當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)取到等號(hào)） . a3b3c33abc(a0, b0, c0)（當(dāng)且僅當(dāng) abc 時(shí)取到等號(hào)） .若 ab0,則 ba2ab（當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）若 abba20,則ba（當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）bbm1ana

3、 aambnb ，（其中 a b0， m0， n0)規(guī)律：小于1 同加則變大，大于1 同加則變小 . 當(dāng) a0時(shí)，xax2a2xa或x a;xax2a2axa.絕對(duì)值三角不等式ababab .3、幾個(gè)著名不等式121ababa2b2平均不等式： ab22（a,bR，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取 " "，號(hào)） .（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均） .變形公式：a2a2b22abb;a2b2(a b).222冪平均不等式：a12a22.an21 (a1a2. an ) 2.n二維形式的三角不等式：x12y12x2 2y2 2( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2 (x1, y1

4、, x2 , y2 R).二維形式的柯西不等式：(a2b2 )(c2d 2 ) ( acbd )2 (a,b, c, dR). 當(dāng)且僅當(dāng) adbc 時(shí)，等號(hào)成立 .;.三維形式的柯西不等式：( a12a2 2a32 )(b12b22b32 ) (a1b1a2 b2a3b3 )2 .一般形式的柯西不等式：(a12a22.an2 )(b12b22.bn2 )(a1b1a2 b2. an bn )2 .向量形式的柯西不等式：設(shè),是兩個(gè)向量， 則, 當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù) k ，使k時(shí)，等號(hào)成立 .排序不等式（排序原理） ：設(shè) a1a2.an ,b1b2.bn 為兩組實(shí)數(shù) . c1 ,c2 ,.

5、, cn 是 b1 ,b2 ,., bn 的任一排列，則a1bna2 bn 1.an b1a1 c1a2 c2.an cna1b1a2b 2. anbn .亂序和（反序和順序和），當(dāng)且僅當(dāng) a1a2.an 或 b1b2. bn 時(shí)，反序和等于順序和 .琴生不等式 : （特例 :凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f ( x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1 , x2 (x1x2 ),有f ( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 ) 或f ( x12x2 )f (x1 )f (x 2 ) .222則稱 f(x) 為凸（或凹）函數(shù) .4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法）

6、、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見(jiàn)不等式的放縮方法：( a1) 23(a1)2;舍去或加上一些項(xiàng)，如242將分子或分母放大（縮小），11,11,2212,如 k2k 2k (k 1)k(k 1)2 kkkkkk 112( kN * , k 1)kkk1等 .5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0) 解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù) .二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根 .三求：求對(duì)應(yīng)方程的根 .;.四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象 .五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間

7、，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法 .分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集 .7、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則f ( x)f ( x)g( x)00g( x)f ( x)f ( x)g( x)00g(x) 0“ 或 ”g( x)（時(shí)同理）規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解f ( x)a(a 0)f ( x)0f ( x)a2f ( x)a( a 0)f ( x) 0f ( x) a2f ( x)0f ( x)0f ( x)g( x)g( x)0或f ( x) g(x

8、) 2g ( x)0f ( x)0f ( x)g( x)g( x)0f ( x) g( x) 2f (x)0f ( x)g ( x)g( x)0f (x)g ( x)規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a1時(shí) , a f ( x)ag ( x)f ( x) g (x)當(dāng) 0a 1時(shí) ,a f (x )a g( x)f (x) g ( x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 .10、對(duì)數(shù)不等式的解法;.f ( x)0log a f (x) loga g( x)g( x)0當(dāng) a 1時(shí) ,f ( x)g( x)f (x)0log a f (x

9、) log a g( x)g( x)0 .當(dāng) 0 a 1時(shí) ,f (x)g(x)規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 .11、含絕對(duì)值不等式的解法：定義法：平方法：a(a0)aa (a.0)f ( x)g( x)f 2 (x) g2 ( x).同解變形法，其同解定理有：xaaxa(a0);xaxa或 xa(a0); f (x)g( x)g( x)f (x)g( x) ( g( x)0)f ( x)g (x )f ( x)g( x) 或 f ( x)g (x )( g ( x)0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段

10、中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如 ax2bxc0 且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論 a 與 0 的大?。挥懻撆c 0 的大??；討論兩根的大小 .14、恒成立問(wèn)題不等式 ax2bxc0 的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng) a0 時(shí)b0, c 0;a0當(dāng) a0 時(shí)0.不等式 ax2bxc0 的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：;.當(dāng) a0 時(shí) b0, c 0;a0當(dāng) a0 時(shí)0. f (x)a 恒成立f (x)maxa;f ( x)a恒成立f ( x)maxa; f (x)a 恒成立f (x)mina;f ( x)a恒成立f ( x)