《線性代數(shù)總復(fù)習(xí)J》ppt課件

1、線性代數(shù)總復(fù)習(xí)線性代數(shù)總復(fù)習(xí)第一章第一章 行列式行列式二階行列式的計算方法二階行列式的計算方法.2112221122211211aaaaaaaa 第一節(jié)第一節(jié) n階行列式的定義階行列式的定義三階行列式的計算方法三階行列式的計算方法沙路法沙路法323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD nnnn 212)1(21)1( 一些常用的行列式結(jié)果：一些常用的行列式結(jié)果：nnnnaaaaaa000222112111122nna aa nn

2、 2121 kkkkmmmmbbbb*aaaaDMMMMMM111111110 *1111mmmmaaaaMM .1111kkkkbbbbMM行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 性質(zhì)性質(zhì)1.1行列式的某一行列中一切元素的行列式的某一行列中一切元素的公因子可以提到行列式符號的外面公因子可以提到行列式符號的外面 性質(zhì)性質(zhì)1.2式為零。式為零。行列式的某一行列中的一切元素都行列式的某一行列中的一切元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) k ，等于用數(shù)，等于用數(shù) k 乘此行列式乘此行列式.假設(shè)行列式中有一行假設(shè)行列式中有一行(列列)為零，那么行列為零，那么行列第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質(zhì)行列

3、式的性質(zhì)對換行列式的兩行列對換行列式的兩行列,行列式變號行列式變號. 性質(zhì)性質(zhì)1.3那么此行列式為零那么此行列式為零.假設(shè)行列式有兩行列完全一樣，假設(shè)行列式有兩行列完全一樣，比例，那么行列式為零比例，那么行列式為零 性質(zhì)性質(zhì)1.4假設(shè)行列式中有兩行列對應(yīng)成假設(shè)行列式中有兩行列對應(yīng)成假設(shè)行列式的某一行列的元素都是假設(shè)行列式的某一行列的元素都是那么那么D等于以下兩個行列式之和：等于以下兩個行列式之和：例如第例如第i 行的元素都是兩數(shù)之和行的元素都是兩數(shù)之和 性質(zhì)性質(zhì)1.5兩數(shù)之和，兩數(shù)之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaDMMMMMM21221111211 nnnniniina

4、aabbbaaaDMMMMMM212111211 nnnniniinaaacccaaaMMMMMM212111211 同一數(shù)然后加到另一行同一數(shù)然后加到另一行(列列)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行列列 把行列式的某一行列的各元素乘以把行列式的某一行列的各元素乘以 性質(zhì)性質(zhì)1.6式不變式不變 (倍加運算倍加運算)計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值從而算得行列式的值第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行行列式按行(列列)展開展開數(shù)余子式的乘積，即數(shù)余子式的乘積，即.ijijAaD

5、引理引理 一個一個n階行列式，假設(shè)第階行列式，假設(shè)第i 行一切元素除行一切元素除ija外都為零，外都為零，ija與它的代與它的代那么這個行列式等于那么這個行列式等于式某行式某行(列列)元素與另一行元素與另一行(列列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子對應(yīng)元素的代數(shù)余子行列式的某行行列式的某行(列列)的一切元素與其對應(yīng)的一切元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值。的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值。式乘積之和等于零。式乘積之和等于零。行列行列行列式按行列展開法那么是把高階行列式按行列展開法那么是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具要工具. ;,0,1jij

6、iDAankkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDAankjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)?shù)诙碌诙?矩陣及其運算矩陣及其運算一、矩陣的概念一、矩陣的概念 由由 個數(shù)個數(shù)nm njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 稱為稱為m m行行n n列矩陣列矩陣, ,簡稱簡稱 矩陣矩陣. .nm 排成的排成的m行行n列的數(shù)表列的數(shù)表mnmmnnaaaaaaaaaMMM212222111211 Anm 其中其中 個數(shù)稱為矩陣個數(shù)稱為矩陣A A的元素，數(shù)的元素，數(shù)ija稱為矩陣稱為矩陣A的第的第i 行第行第j 列的元素列的元素. 1. 矩陣的根本概念矩陣的根本概念 加法加法 數(shù)與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘 矩陣與矩陣相乘

7、矩陣與矩陣相乘 方陣的冪方陣的冪 轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣 對稱及反對陳矩陣對稱及反對陳矩陣 方陣的行列式方陣的行列式 1. 矩陣的根本運算：矩陣的根本運算： 二、矩陣的運算二、矩陣的運算2. 矩陣的運算規(guī)律：矩陣的運算規(guī)律： ;1ABBA 交交換換律律： .2CBACBA 結(jié)合律：結(jié)合律：加法：加法： ;:1AA 結(jié)結(jié)合合律律 :2 分配律分配律 .BABA ;AAA 數(shù)乘：數(shù)乘： ;1BCACAB ,3ACABCBA ;CABAACB BABAAB 2其中其中 為數(shù)為數(shù); 乘法：乘法：方陣的冪運算：方陣的冪運算：kllkAA )(2lklkAAA 1 留意：留意： .kkkBAAB ;1AATT

8、;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 轉(zhuǎn)置運算：轉(zhuǎn)置運算：由由n n階方陣階方陣A A的元素按原相對位置所構(gòu)成的元素按原相對位置所構(gòu)成或或A.det A稱為方陣稱為方陣A的行列式，記作的行列式，記作的行列式，的行列式，3. 方陣的行列式及其性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)AAT BAAB 方陣的行列式滿足以下規(guī)律：方陣的行列式滿足以下規(guī)律：2 23 3設(shè)設(shè)A、B為為n階方陣，階方陣， 為數(shù)為數(shù) 1 1;AAn . .列標(biāo)列標(biāo)三、逆矩陣三、逆矩陣1. 根本概念根本概念對于對于n n階方陣階方陣A A，假設(shè)存在一個，假設(shè)存在一個n n階方陣階方陣B B使得使得EBAAB 那么稱那么稱B B

9、是是A A的逆矩陣，并稱矩陣的逆矩陣，并稱矩陣A A是可逆矩陣或滿秩是可逆矩陣或滿秩.1 A矩陣，或非奇特矩陣矩陣，或非奇特矩陣, ,記為記為闡明闡明 假設(shè)假設(shè)A A是可逆矩陣，那么是可逆矩陣，那么A A的逆矩陣是獨一的逆矩陣是獨一的的. .11AA 寫寫成成不不能能將將 留意留意各元素各元素aij aij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式Aij Aij 構(gòu)成如下構(gòu)成如下n n階方陣階方陣 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111稱為矩陣稱為矩陣A A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. .,)(nnijaA 設(shè)有設(shè)有n階方陣階方陣A由行列式由行列式 中中 *A留意留意: :伴隨陣伴隨陣與原矩陣與原

10、矩陣A A元素位置的對應(yīng)關(guān)系元素位置的對應(yīng)關(guān)系. .EAAAAA 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣，A*為其伴隨矩陣，那么為其伴隨矩陣，那么2. 根本定理根本定理,11 AAA且且.的伴隨陣的伴隨陣是是其中其中AA 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，那么階方陣，那么,0 AA可逆可逆或或若若(EAB 設(shè)設(shè)A、B 都是都是n階方陣，階方陣，.1 AB則則, )EBA AA且且可可逆逆則則數(shù)數(shù)可可逆逆若若, 0,2 且且也也可可逆逆則則為為同同階階可可逆逆矩矩陣陣若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且也也可可逆逆則則可可逆逆若若3. 可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì) .,4AAA

11、AT 且且也也可可逆逆則則可可逆逆若若TT1 1 .,511 AAA則則有有可可逆逆若若 .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A 利用定義普通適用于證明題利用定義普通適用于證明題 (3)待定系數(shù)法待定系數(shù)法 (4) 初等變換法初等變換法:步驟如下步驟如下 ;21AAA 利用公式利用公式4. 逆矩陣的計算方法逆矩陣的計算方法);()1(EAM構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣1,)()2( AEEAEA對應(yīng)部分即為對應(yīng)部分即為右邊右邊后后單位矩陣單位矩陣化為化為將將施行初等行變換施行初等行變換對對M.21tAAAA tAOAOAA21設(shè)方陣設(shè)方陣分塊對角矩陣的性質(zhì)分塊對角矩陣的性質(zhì)那么那么 1. 可可逆

12、逆，且且即即矩矩陣陣則則如如果果AAtiAi, 0, 2 , 10 .21 tAAAAoo1 1 1 1 2. ktkkkAOAOAA21. 3 四、分塊矩陣四、分塊矩陣 nn 0000002211特殊地，假設(shè)特殊地，假設(shè) 是對角矩陣是對角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)nn ,2211都不為零時，都不為零時， 是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且 11221111000000nn knnkkk 0000002211則則矩陣的初等變換包括矩陣的初等變換包括3 3種：對換變換、數(shù)乘變換種：對換變換、數(shù)乘變換和倍加變換。這三種初等變換的過程都是可逆的，和倍加變換。這三種初等變換的過程都是可逆的，且其逆變換是同一類型的

13、初等變換且其逆變換是同一類型的初等變換. . .列標(biāo)列標(biāo)五、矩陣的初等變換與初等矩陣五、矩陣的初等變換與初等矩陣1.初等變換與初等矩陣初等變換與初等矩陣nmrOOOE 設(shè)設(shè)A是一個是一個 非零矩陣，那么非零矩陣，那么A一定一定nm 可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形及行最可以經(jīng)過有限次初等行變換化為行階梯形及行最簡形，再進展初等列變換化為如下規(guī)范形：簡形，再進展初等列變換化為如下規(guī)范形：其中其中r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).留意：初等變換不改動矩陣的可逆性。留意：初等變換不改動矩陣的可逆性。 對于任何一個非零矩陣對于任何一個非零矩陣,都可以先進展初等行變換

14、化都可以先進展初等行變換化為行階梯形及行最簡形為行階梯形及行最簡形,再進展初等列變換化為規(guī)范形再進展初等列變換化為規(guī)范形.A的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣階初等矩陣.nm 設(shè)設(shè)A是一個是一個 矩陣，對矩陣，對A 施行一次施行一次初等行變換，相當(dāng)于在初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的m階階初等矩陣；對初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在施行一次初等列變換，相當(dāng)于在ECCACRRRts 2121121121)()( tsCCCERRRA1112111121 CCCRRRtsn階方陣階方陣A可逆的充要條件是存在有限可逆的充要條件是存在有限.,2121llPPP

15、APPP 使得使得個初等矩陣個初等矩陣六、矩陣的秩六、矩陣的秩求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)利用定義：尋覓矩陣中非零子式的利用定義：尋覓矩陣中非零子式的最高階數(shù)最高階數(shù)(2)初等變換法：把矩陣用初等行變換初等變換法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩對于對于n階方陣階方陣A，假設(shè)，假設(shè)A的秩等于的秩等于n，那么稱，那么稱A為滿秩矩陣，否那么稱為降秩矩陣為滿秩矩陣，否那么稱為降秩矩陣. ;)(nAR ;0 AA為可逆矩陣為可逆矩陣.對于對于n階方陣階方陣A，以下命題等價：，以下命題等價：(1)

16、 A為滿秩矩陣；為滿秩矩陣；(2)(3)(4)第三章 線性方程組( )nAR=( )nAR有無窮多解有無窮多解. .b bAx = =非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx ;有有唯唯一一解解bAx BRAR (1)無解無解(2)并且通解中有并且通解中有n-r個自在未知量個自在未知量. 其中其中 bABM ( )( )BRAR=有解有解:非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 的詳細解法：的詳細解法： (1)對增廣矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，對增廣矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較比較 以及以及n之間的大小關(guān)系，從而判別之間的大小關(guān)系，從而判別方程組解的情況：無解，獨一解，無窮解

17、。方程組解的情況：無解，獨一解，無窮解。 BRAR、 (2)在判別有解的情況下，繼續(xù)對行階梯形矩陣施在判別有解的情況下，繼續(xù)對行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形行初等行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形對應(yīng)的線性方程組進展求解。假設(shè)方程組有無窮多對應(yīng)的線性方程組進展求解。假設(shè)方程組有無窮多個解，需寫出通解方式。個解，需寫出通解方式。bxAnn 0 A當(dāng)當(dāng)m = n m = n 時，時，n n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組有獨一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣有獨一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A A的行列式的行列式( )nAR=( )nAR齊次線性方程組齊次線性方程組 一

18、定有解：一定有解：0 Ax(1)(2)并且通解中有并且通解中有n-r個自在未知量個自在未知量. 0 Ax0 Ax只需零解只需零解有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax的詳細解法：的詳細解法： (1)對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，對系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較比較 與與n之間的大小關(guān)系，從而判別方程組解之間的大小關(guān)系，從而判別方程組解的情況：獨一解零解，無窮解非零解。的情況：獨一解零解，無窮解非零解。 AR (2) 繼續(xù)對行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為繼續(xù)對行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡形，并寫出最簡形對應(yīng)的線性方程組進展求解。行最簡形

19、，并寫出最簡形對應(yīng)的線性方程組進展求解。假設(shè)方程組有無窮多個解，需寫出通解方式。假設(shè)方程組有無窮多個解，需寫出通解方式。;0 A當(dāng)當(dāng)m = n m = n 時，時，(1)齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)只需零解只需零解(2)齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)有非零解有非零解.0 A當(dāng)當(dāng)m n m n 時，時， 即方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時，即方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時，齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)必有非零解必有非零解. )(nmAR 第四章第四章 向量組的線性向量組的線性 相關(guān)性相關(guān)性設(shè)設(shè)n維向量維向量,s21,skkk21sskkk2211假設(shè)存在一組數(shù)假設(shè)存在一組數(shù)使得使得

20、s,21那么稱向量那么稱向量是向量組是向量組的線性組合或稱向的線性組合或稱向s,21可由向量組可由向量組線性表示線性表示. 量量第二節(jié)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一、線性表示一、線性表示s,21向量向量可由向量組可由向量組線性表示線性表示 .BRAR的充分必要條件是矩陣的充分必要條件是矩陣sA,21的秩等的秩等Bs,21于矩陣于矩陣的秩，即的秩，即 闡明：判別某個向量能否可由某向量組線性表闡明：判別某個向量能否可由某向量組線性表示，可歸結(jié)為非齊次線性方程組能否有解，從而示，可歸結(jié)為非齊次線性方程組能否有解，從而取決于該方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩能否相取決于該方程組系數(shù)矩陣和增

21、廣矩陣的秩能否相等，所以該問題最終可利用初等行變換化增廣矩等，所以該問題最終可利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣來處理陣為階梯形矩陣來處理. 02211sskkk,s21對于對于n維向量組維向量組假設(shè)存在一組假設(shè)存在一組使使得得,skkk21不全為零的數(shù)不全為零的數(shù)021skkks,21s,21那么稱向量那么稱向量組組線性相關(guān)線性相關(guān). 假設(shè)上式只需當(dāng)假設(shè)上式只需當(dāng)時才成立時才成立,那么稱向量那么稱向量組組線性無關(guān)線性無關(guān). 二、線性相關(guān)與線性無關(guān)二、線性相關(guān)與線性無關(guān).)(sAR 條條件件是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組s ,21的秩小于的秩小于矩陣矩陣條件是它所構(gòu)成的

22、條件是它所構(gòu)成的),(21s A ;)(sAR, s 即即向向量量個個數(shù)數(shù)必必要要向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)的的充充分分 于是判別某向量組的線性相關(guān)性，可歸結(jié)為齊次線于是判別某向量組的線性相關(guān)性，可歸結(jié)為齊次線性方程組能否有非零解，從而取決于方程組系數(shù)矩性方程組能否有非零解，從而取決于方程組系數(shù)矩陣的秩，所以該問題最終可利用初等行變換化系數(shù)陣的秩，所以該問題最終可利用初等行變換化系數(shù)矩陣為階梯形矩陣來處理矩陣為階梯形矩陣來處理. nA,21的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣;0A的行列式等于零，即的行列式等于零，即向量組線性無關(guān)的充分必向量組線性無關(guān)的充分必,ns

23、n,21假設(shè)假設(shè) 那么那么n 個個n 維維向量向量線性相關(guān)線性相關(guān). 0A要條件是要條件是,ns 即向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，即向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，假設(shè)假設(shè)向量組必線性相關(guān)向量組必線性相關(guān). ,21sA 事事實實上上，記記 ，因因為為snAR .,21線性相關(guān)線性相關(guān)故故s Bs,:21 221sAs,: (1) 向量組向量組線性相關(guān)線性相關(guān)(A)中至少有一個向量能由其他中至少有一個向量能由其他線性相關(guān)，那么向量線性相關(guān)，那么向量的充分必要條件是：的充分必要條件是： sA,:21線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組(2)設(shè)向量組設(shè)向量組向量線性表示向量線性表示.一定可由向一定

24、可由向量組量組(A)線性表示，且表示式是獨一的線性表示，且表示式是獨一的. 三、相關(guān)定理三、相關(guān)定理設(shè)有向量組設(shè)有向量組 ,s:21Arjjj,21而而是是(A)的部分向量組的部分向量組 ,假設(shè)假設(shè)(1) rjjj,21線性無關(guān)；線性無關(guān)；(2) 對于向量組對于向量組 (A) 中的任何一個向量中的任何一個向量 ,k都有都有 kjjjr,21線性相關(guān)，那么稱線性相關(guān)，那么稱 rjjj,21為向量為向量組組(A)的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組. 留意：在條件留意：在條件(1)下，下，(2)和下述條件等價：和下述條件等價： )(2對于向量組對于向量組 (A)

25、 中的任何一個向量中的任何一個向量 ,k都可由都可由rjjj,21線性表出線性表出.第三節(jié)第三節(jié) 極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組向量組向量組 s,:21A的極大性無關(guān)組的極大性無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩，記為所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩，記為 s,21Rn階方陣階方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是 A的行的行(列列)向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān).向量組秩的求法：經(jīng)過求向量組構(gòu)成的矩陣的秩來向量組秩的求法：經(jīng)過求向量組構(gòu)成的矩陣的秩來求該向量組的秩及其極大線性無關(guān)組求該向量組的秩及其極大線性無關(guān)組. 第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組解的構(gòu)造線性方程組解的構(gòu)造一、齊次線性方程組解的構(gòu)

26、造一、齊次線性方程組解的構(gòu)造 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(4.1)假設(shè)假設(shè)n元齊次線性方程組元齊次線性方程組4.1的系數(shù)的系數(shù)矩陣矩陣A的秩的秩 , nrAR那么方程組那么方程組4.1的根底的根底. rn(證明略證明略)解系一定存在，且根底解系含的解向量的個數(shù)為解系一定存在，且根底解系含的解向量的個數(shù)為 齊次線性方程組根底解系的求法齊次線性方程組根底解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA1對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 進展初等變換，將其化為進展初等變換，將其化為 最簡形最簡形A nrn ,rrrrnrn

27、,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr 10001000121MMMM2得出得出 ，同時也可知方程組的一，同時也可知方程組的一個根底解系含有個根底解系含有 個線性無關(guān)的解向量個線性無關(guān)的解向量 rAR rn ,bbr 0011111MM ,bbr 0102122MM .bb,rn ,rrn ,rn 1001MM 故故, 12121111 rnrrnrrrbbbbbbxxMMMM得得為齊次線性方程組的一個根底解系為齊次線性方程組的一個根底解系. .齊次線性方程組的通解為齊次線性方程組的通解為1122sn rk k k 二、非齊次線性方程組解的構(gòu)造二、非齊次線性方

28、程組解的構(gòu)造mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121114.5 性質(zhì)性質(zhì)4.4導(dǎo)出組導(dǎo)出組 (4.1)的解的解. 為為(4.5)的解，那么的解，那么 21xx，設(shè)設(shè)21 是其是其 性質(zhì)性質(zhì)4.5的解，那么的解，那么 設(shè)設(shè) 為為(4.5)的解，的解，x x 是其導(dǎo)出組是其導(dǎo)出組 (4.1) 也是也是(4.5)的解的解. 設(shè)設(shè) *是非齊次方程組是非齊次方程組(4.5)的一個取定的解的一個取定的解(稱為特解稱為特解)， 是其導(dǎo)出組是其導(dǎo)出組4.1的通解，那么方程組的通解，那么方程組 (4.5)的通解為的通解為x*闡明：此定理闡明闡明：此定理闡

29、明非齊次方程組的通解非齊次方程組的通解 = 齊次方程組的通解齊次方程組的通解 +非齊次方程組的特解非齊次方程組的特解 第五章第五章特征值、特征向量特征值、特征向量及矩陣的對角化及矩陣的對角化 一、一、 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積設(shè)有設(shè)有n 維向量維向量 ,nnyyyyxxxxMM2121 1122,Tnnx yx yx yx yxy令令 ., yxyx的的與與為為向向量量稱稱內(nèi)積內(nèi)積,22221nxxxxxx令令 . xnx或或的的維維向向量量為為稱稱長度長度范數(shù)范數(shù).,0, yxyx與與稱向量稱向量時時當(dāng)當(dāng) 正交正交 .,1 AAAEAAn TT正交矩陣正交矩陣為為稱稱則則即即階矩陣滿足階矩陣滿足

30、如果如果 向量都是單位向量且兩兩正交向量都是單位向量且兩兩正交矩陣矩陣A為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 A 的列的列(行行)求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： ;det. 1EAA 的特征多項式的特征多項式計算計算 ;,0det. 221的的全全部部特特征征值值就就是是的的全全部部根根求求特特征征方方程程AEA n .xEA iii的特征向量的特征向量就是對應(yīng)于就是對應(yīng)于的非零解的非零解求齊次方程組求齊次方程組對于特征值對于特征值 ,0,. 3二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量 ).(,212121證證明明略略線線性性無無關(guān)關(guān)則則為為所所對對應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量依依次次與與之之的的互互異異特特征征值值為為設(shè)設(shè)mmmnnxxxxxxA 留意：屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的留意：屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)：矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)：;)1(