脈沖響應不變法設計巴特沃斯低通濾波器

1、 脈沖響應不變法設計巴特沃斯低通濾波器 姓 名 學 號 專 業(yè) 第一章 摘要濾波器是自動控制、信號處理和通信領域的重要組成部分,廣泛地應用于各種系統(tǒng)中。MATLAB語言是一種簡單、高效的高級語言,是一種內(nèi)容豐富、功能強大的分析工具,其應用范圍幾乎覆蓋了所有的科學和工程計算領域。MATLAB中提供了豐富的用于模擬濾波器設計的函數(shù),通過編程可以很容易實現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻濾波器,并能畫出濾波器的幅頻特性曲線，大大簡化了模擬濾波器設計。本文將通過利用MATLAB濾波器設計函數(shù)直接實現(xiàn)巴特沃斯低通濾波器的設計，找到應用MATLAB來設計低通濾波器的方法。介紹了用脈沖響應不變法設計巴特沃斯低通濾波器

2、的基本理論和設計思想，給出了基于MATLAB設計巴特沃斯低通濾波器的具體步驟，文中還給出了利用MATLAB產(chǎn)生的濾波器的幅頻及相頻特性曲線。詳細介紹了在基于MATLAB設計低通濾波器過程中常用到的工具和命令。關鍵字：巴特沃斯 低通濾波器 脈沖響應不變法第二章 引言濾波器設計在電子工程、應用數(shù)學和計算機科學領域都是非常重要的內(nèi)，。而低通濾波器在信號處理中的作用等同于其它領域如金融領域中移動平均數(shù)（moving average)所起的作用，低通濾波器有很多種，其中，最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為

3、零。 在振幅的對數(shù)對角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負無窮大。巴特沃斯濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無論階數(shù)，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對角頻率圖和地結束的振幅對角頻率有不同的形狀。第三章 基本原理3.1 濾波器的基本理論3.1.1 濾波器的分類濾波器分兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器是假定輸入信號中的有用成分和希望取出的成分各自占有不同的頻帶。這樣，當通過一個線性系統(tǒng)（即濾波器）后可將欲去除的成分有效的去除。現(xiàn)代濾波器理論研究的主要內(nèi)容是從含

4、有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時間序列）中估計出信號的某些特征或信號本身。經(jīng)典濾波器分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。每一種又有模擬濾波器（AF）和數(shù)字濾波器（DF）。對數(shù)字濾波器，又有IIR濾波器和FIR濾波器。IIR DF 的轉移函數(shù)是：FIR DF的轉移函數(shù)是：FIR濾波器可以對給定的頻率特性直接進行設計，而IIR濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設計方法進行設計。3.1.2 濾波器的技術要求低通濾波器：通帶截止頻率 ：阻帶下限截止頻率：通帶允許的最大衰減 ：阻帶允許的最小衰減（，的單位dB）：通帶上限角頻率：阻帶下限角頻率（，）即 3.2 模擬濾波器的設計3.2.1 巴特沃思

5、(Butterworth)濾波器的介紹：因為我們設計的濾波器的沖擊響應一般都為實數(shù)，所以有這樣，如果我們能由，求出，那么就容易得到所需要的。不同類型的的表達式，代表了幾種不同類型的濾波器。巴特沃思(Butterworth)濾波器為：C為待定常數(shù)，N為待定的濾波器階次。3.2.2 巴特沃思模擬低通濾波器的設計由于每一個濾波器的頻率范圍將直接取決于設計者的應用目的，因此必然是千差萬別。為了使設計規(guī)范化，我們需要將濾波器的頻率參數(shù)作歸一化處理。設所給的實際頻率為（或），歸一化后的頻率為，對低通模擬濾波器，令顯然，。又令歸一化復數(shù)變量為，顯然所以巴特沃思模擬低通濾波器的設計可按以下三個步驟來進行。(1

6、)將實際頻率歸一化(2)求C和NC,N可按下式求解：若令3dB，則C1，這樣巴特沃思濾波器的設計就只剩一個參數(shù)N，這時(3)確定因為，根據(jù)上面公式有由解得，1，2，···，2N這樣可得求得后，用代替變量，即得實際需要得。3.3 數(shù)字濾波器的設計按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器；再按一定的規(guī)則將轉換成。若是高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器則將它們的技術指標先轉化為低通模擬濾波器的技術指標，然后按上述步驟2）設計出低通，再將轉換為所需的。第四章 設計過程4.1 設計低通數(shù)字濾波器4.1.1 數(shù)字低通

7、濾波器設計結構圖用脈沖響應不變法轉換原理如下圖：Ha（s） 拉氏逆變換 ha（t） 等間隔采樣 ha(nT)=h(n) Z變換 H（z）圖4.1結構框圖4.1.2 設計步驟設計要求：脈沖響應不變法設計數(shù)字低通濾波器，給定技術指標為：，采樣頻率。 首先應該得到角頻率，然后再按如下步驟求解:（1）將數(shù)字濾波器的技術要求轉換為模擬濾波器的技術要求。（2）設計低通濾波器由依次求出，再求出N，可得然后由轉換成（3）由求4.2 濾波器的MATLAB實現(xiàn)4.1.1 在MATLAB下，設計巴特沃斯IIR濾波器可使用butter函數(shù)。Butter函數(shù)可設計低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬IIR濾波器，其特性為

8、使通帶內(nèi)的幅度響應最大限度地平坦，但同時損失截止頻率處的下降斜度。在期望通帶平滑的情況下，可使用butter函數(shù)。butter函數(shù)的用法為：b,a=butter(n,Wn,/ftype/)其中n代表濾波器階數(shù)，Wn代表濾波器的截止頻率，這兩個參數(shù)可使用buttord函數(shù)來確定。buttord函數(shù)可在給定濾波器性能的情況下，求出巴特沃斯濾波器的最小階數(shù)n，同時給出對應的截止頻率Wn。buttord函數(shù)的用法為：n,Wn= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp和Ws分別是通帶和阻帶的拐角頻率（截止頻率），其取值范圍為0至1之間。當其值為1時代表采樣頻率的一半。Rp和Rs分別是通帶和阻帶

9、區(qū)的波紋系數(shù)。不同類型（高通、低通、帶通和帶阻）濾波器對應的Wp和Ws值遵循以下規(guī)則：a高通濾波器：Wp和Ws為一元矢量且Wp>Ws；b低通濾波器：Wp和Ws為一元矢量且Wp<Ws；c帶通濾波器：Wp和Ws為二元矢量且Wp<Ws，如Wp=0.2,0.7,Ws=0.1,0.8;d帶阻濾波器：Wp和Ws為二元矢量且Wp>Ws，如Wp=0.1,0.8,Ws=0.2,0.7。4.1.2 Matlab的信號處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù): freqz函數(shù)。freqz函數(shù)功能：離散時間系統(tǒng)的頻率響應。格式：h,w=freqz(b,a,n) h,f=freqz(b,a,n,Fs) h=

10、freqz(b,a,w) h=freqz(b,a,f,Fs) freqz(b,a,n)說明: freqz 用于計算數(shù)字濾波器H(Z)的頻率響應函數(shù)H(ej)。h,w=freqz(b,a,n)可得到數(shù)字濾波器的n點復頻響應值，這n個點均勻地分布在0,上,并將這n個頻點的頻率記錄在w中，相應的頻響值記錄在h中。要求n為大于零的整數(shù),最好為2的整數(shù)次冪,以便采用FFT計算，提高速度。缺省時n =512。 h,f=freqz(b,a,n,Fs)用于對H(ej)在0,Fs/2上等間隔采樣n點，采樣點頻率及相應頻響值分別記錄在f 和h中。由用戶指定FS（以HZ為單位）值。h=freqz(b,a,w)用于對

11、H(ej)在0,2上進行采樣，采樣頻率點由矢量w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于對H(ej)在0,FS上采樣，采樣頻率點由矢量f指定。freqz(b,a,n) 用于在當前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。4.1.3 采用脈沖響應不變法將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器可使用impinvar函數(shù)。BZ,AZ = IMPINVAR(B,A,Fs)生成一個數(shù)字濾波器。BZ 和 AZ 分別為脈沖值 ，結果與模擬濾波器的值相當。B 和 A 為采樣區(qū)間，采樣周期為1/Fs。當Fs缺省時，默認采樣頻率為1Hz。第五章 程序和仿真圖5.1 設計程序fp=100;fs=300;Rp=3;Rs=20;Fs

12、=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;Nn=256;n=(0:100-1);%采樣點數(shù)N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');b,a=butter(N,Wn,'s');w=linspace(1,400,100)*2*pi; H=freqs(b,a,w); % 在0,2上進行采樣，采樣頻率點由矢量w指定figure(1);plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H);title('巴特沃斯模擬濾波器幅頻特性');xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度/db&#

13、39;); bz,az=impinvar(b,a,Fs);figure(2);zplane(bz,az);title('脈沖響應不變法零極點分布圖');figure(3);Subplot(2,1,1);freqz(bz,az,Nn,Fs); 對H(ej)在0,Fs/2上等間隔采樣Nn點grid on;title('巴特沃斯數(shù)字濾波器幅頻特性');xlabel('幅度/Hz');ylabel('頻率/db');Subplot(2,1,2);title('巴特沃斯數(shù)字濾波器相頻特性');xlabel('幅度/H

14、z');ylabel('頻率/db');grid on; figure(4);x=cos(2*pi*50*n/Fs)+cos(2*pi*500*n/Fs);plot(n,x); title('濾波前輸入信號圖像');xlabel('時間(s)');ylabel('幅值');grid on; figure(5);y=filter(bz,az,x);%對原信號進行濾波¨plot(n/fs,y);title('濾波前輸入信號圖像');xlabel('時間(s)');ylabel('

15、;幅值');5.2 特性曲線仿真圖圖5.1巴特沃斯模擬濾波器幅頻特性曲線圖5.2脈沖響應不變法的零極點圖圖5.3橢圓低通濾波器的仿真圖圖5.4濾波前輸入信號圖5.4濾波后輸出信號圖像第六章 結語低通濾波器的應用十分廣泛，利用Matlab語言，可以很容易地設計出巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，與其他高級語言的程序設計相比,MA TLAB環(huán)境下更方便、快捷,節(jié)省大量的編程時間,提高編程效率,且參數(shù)的修改也十分方便. 還可以進一步進行優(yōu)化設計。巴特沃斯低通濾波器的振幅對角頻率單調(diào)下降，無論階數(shù)，振幅對角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇特性，在衰減特性要求不敏感的場合，適合用巴特沃斯型濾波器。心得體會通過一周的設計過程，讓我感觸最深的就是功能的強大性與掌握編程各種函數(shù)和語句的重要性。當然首先要了解所要編程運行的對象的原理。在設計的過程中，