從算式到方程

1、展示問題展示問題： 倫敦博物館保存著一件極其珍貴的文物紙莎草文書這是古代埃及人用象形文字寫在一種特殊的草上的著作，它于公元前年左右寫成，至今已有三千七百多年，草片文書中記載中了許多有關(guān)數(shù)學(xué)的問題，其中有如下一道著名的求未知數(shù)的問題問題問題：一個數(shù)，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是解解:設(shè)這個數(shù)為x,則 21133327xxxx問: 方程中有些系數(shù)是分?jǐn)?shù),能否化去分母,把系數(shù)化成整數(shù)呢?先來解含有分母的方程先來解含有分母的方程:3132 2322105xxx 分析:我們可以根據(jù)等式性質(zhì)根據(jù)等式性質(zhì)2,方程兩邊同乘以分母之間的(最小公倍數(shù))10,于是方程的左邊就變?yōu)?1

2、10 (2)?2x方程左邊方程左邊= =5(3x+1)-20 注:不要漏乘,每一項都要乘問:去了分母去了分母,方程右邊變?yōu)槭裁捶匠逃疫呑優(yōu)槭裁? 方程右邊方程右邊= =(3x-2)-2(2x+3)注:只有方程才有去分母,有理數(shù)運算沒有!于是方程變?yōu)? 10(3x+1)-20 =(3x-2)-2(2x+3)32 2310 ()105xx3110 (2)2x解這個方程的過程:3132 2322105xxx 153426520 xxx 5(31)102(32)2(23)xxx167x 716x 去分母,得 =解:去括號,得移項,得合并,得化系數(shù)為1,得3110 (2)2x32 2310 ()105x

3、x這個方程與我們這個方程與我們以前解的方程多以前解的方程多了哪一步驟了哪一步驟?155203246xxx 1、解埃及古題中的方程：根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，在方程兩邊同時乘42（各分母的最小公倍數(shù)），即21142()4233.327xxxx28216421386xxxx971386x 138697x 根據(jù)分配律，得合并，得系數(shù)化為，得.本題可以不用去分母做本題可以不用去分母做,直接直接進(jìn)入合并這一過程進(jìn)入合并這一過程.采用哪些采用哪些步驟取決于解決什么形式的步驟取決于解決什么形式的方程方程,有針對性地采用有針對性地采用,最終最終化成化成x=a 形式形式!2、回顧 : (1)“去分母”使方程的系數(shù)都

4、化為整數(shù),可以使解方程減少分?jǐn)?shù)運算,從而計算更為簡便,而選擇方程中各分母的最小公倍數(shù),即能化去分母又使所乘的數(shù)最小,因此一般采用這個方法.(2)解方程的一般步驟: 解方程就是要求出其中的未知數(shù)(例如x),通過去分母、去括號、移項、合并、化系數(shù)為1等步驟，就可以使一元一次方程逐步向著x=a的形式轉(zhuǎn)化，這個過程的主要依據(jù)等式的性質(zhì)和運算律等。(3)解題時,需要采用靈活、合理的步驟，不能生搬硬套、機械模仿。請同學(xué)們記請同學(xué)們記住這個步驟住這個步驟3、練習(xí)、練習(xí)（1）（2）51312423xxx3221211245xxx 哈哈，我做對了！哈哈，我做對了！不要驕傲，不要驕傲，繼續(xù)努力！繼續(xù)努力?。?）1

5、7x （2）928x 507035xx5(50)3(70)xx52503210 xx53210250 xx2460 x230 x、解決引例的問題，解方程：解：去分母，得去括號，得移項，得合并，得化系數(shù)為，得0.240.310.50.06xx5 3 111 (1)33 5 622xx預(yù)備預(yù)備：1.解方程2.解方程家庭作業(yè)：教科書習(xí)題.第題學(xué)生練習(xí)冊全能培優(yōu)方程中寫在同一條分?jǐn)?shù)線上下部分,可以被認(rèn)為是一項.例如,在方程中,可以認(rèn)為左右兩邊各有兩項,它們認(rèn)為是有4項,分別為3132 2322105xxx 313223, 2,2105xxx （童話數(shù)學(xué)（童話數(shù)學(xué)100雁問題）雁問題）碧空萬里，一群大雁

6、在碧空萬里，一群大雁在飛翔，迎面又飛來一只小灰雁，它對群雁說：飛翔，迎面又飛來一只小灰雁，它對群雁說：“你們好，你們好，百只雁！你們百雁齊飛，好氣派！可憐我孤雁獨飛百只雁！你們百雁齊飛，好氣派！可憐我孤雁獨飛.”群群雁中一只領(lǐng)頭的老雁說：雁中一只領(lǐng)頭的老雁說： “不對！小朋友，我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)不不對！小朋友，我們遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足足100只只.將我們這一群加倍，再加上半群，又加上四分將我們這一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后還得請你也湊上，那才一共是之一群，最后還得請你也湊上，那才一共是100只呢！只呢！”請問這群大雁有多少只？請問這群大雁有多少只？解：設(shè)這群大雁有解：設(shè)這群大雁有x只。只。由題意，得

7、由題意，得 2x+ x+ x+1=100去分母，得去分母，得 8x+2x+x+4=400合并及移項，得合并及移項，得 11x=396 x=36答：這群大雁有答：這群大雁有36只。只。2141拓展探索甲、乙兩同學(xué)做數(shù)學(xué)游戲，規(guī)則是：甲先報一個不為甲、乙兩同學(xué)做數(shù)學(xué)游戲，規(guī)則是：甲先報一個不為零的數(shù)，乙就說出甲所說數(shù)的零的數(shù)，乙就說出甲所說數(shù)的2倍，接著甲說出比乙倍，接著甲說出比乙所說數(shù)小所說數(shù)小1 的數(shù)，乙又說出甲第二次所說數(shù)的的數(shù)，乙又說出甲第二次所說數(shù)的2倍，倍，如此下去，先得零者為勝如此下去，先得零者為勝.現(xiàn)知甲第四次說出的數(shù)為零，現(xiàn)知甲第四次說出的數(shù)為零，問甲第一次報出的數(shù)是多少？問甲第

8、一次報出的數(shù)是多少？解：設(shè)甲第一次報出的數(shù)是x.由題意，得 22(2x-1)-1-1=0去括號，得去括號，得 24x-2-1-1=0 8x-4-2-1=0移項及合并，得移項及合并，得 8x=7 x=7/8答：答：甲第一次報出的數(shù)是7/8。小明背對小亮，讓小亮按下列四個步驟操作：小明背對小亮，讓小亮按下列四個步驟操作： 第一步第一步 分發(fā)左、中、右三堆牌，每堆牌分發(fā)左、中、右三堆牌，每堆牌不少于兩張且各堆牌的張數(shù)相同；不少于兩張且各堆牌的張數(shù)相同； 第二步第二步 從左邊一堆拿出兩張，放入中間一堆；從左邊一堆拿出兩張，放入中間一堆； 第三步第三步 從右邊一堆拿出一張，放入中間一堆；從右邊一堆拿出一

9、張，放入中間一堆； 第四步第四步 左邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿左邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿幾張牌放入左邊一堆幾張牌放入左邊一堆. 這時，小明準(zhǔn)確說出了中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù)這時，小明準(zhǔn)確說出了中間一堆牌現(xiàn)有的張數(shù).你認(rèn)你認(rèn)為中間一堆牌的張數(shù)是多少為中間一堆牌的張數(shù)是多少? 左左 中中 右右第一步第一步 x x x第二步第二步 x-2 X+2 x第三步第三步 X-2 X+3 X-1第四步第四步 2(x-2) x+3-(x-2) X-1解：設(shè)最初每堆牌解：設(shè)最初每堆牌的張數(shù)為的張數(shù)為x(x1的的正整數(shù)正整數(shù)),則每步每則每步每堆牌的張數(shù)為：堆牌的張數(shù)為：所以中間一堆牌的中間一堆牌的張數(shù)是張數(shù)

10、是x+3-(x-2)=5.按某種規(guī)定，個人發(fā)表文章、出版圖書所得稿費應(yīng)該繳納個人收入調(diào)節(jié)稅，計算方法是：（1）稿費不高于800元的，不納稅；（2）稿費高于800元的不超過4000元的，應(yīng)交納超過800元的那一部分14%的稅款；（3）稿費高于4000元的，應(yīng)該交納全部稿費的11%的稅款；按照這樣的規(guī)定，會出現(xiàn)所得稿費多的人與所得稿費少的人納稅一樣多嗎？會出現(xiàn)所得稿費多的人反而比所得稿費少的人納稅少嗎？解：設(shè)稿費正好是4000元所交稅款與稿費x元（x4000)所交稅款一樣多，列方程得 (4000-800)14%=11%x, 解得解得x=4072.73. 因此，當(dāng)稿費等于因此，當(dāng)稿費等于4072.7

11、3元時，元時，與所得與所得稿費正好是稿費正好是4000元的人納稅一樣多；元的人納稅一樣多；當(dāng)稿費當(dāng)稿費 小于小于4072.73元大于元大于4000元時，所納稅反而比所得元時，所納稅反而比所得稿費稿費4000元元所納稅少；當(dāng)稿費所納稅少；當(dāng)稿費 大于大于4072.73元時，元時，所得稿費所得稿費多的人與所得稿費少的人納稅多.商店出售茶壺和茶杯，茶壺每把商店出售茶壺和茶杯，茶壺每把24元，元，茶杯每只茶杯每只5元元.有兩種有兩種優(yōu)惠方法：優(yōu)惠方法：1.買一把茶壺送一只茶杯；買一把茶壺送一只茶杯；2.按原價打按原價打9折付款折付款.一位顧客買了一位顧客買了5把茶壺和把茶壺和x只茶杯（只茶杯（x5)（

12、1）計算兩種方式的付款數(shù)）計算兩種方式的付款數(shù)y1和和y2（用用x的式子表示的式子表示）.（2）購買多少只茶杯時，）購買多少只茶杯時，兩種方法的付款數(shù)相同？兩種方法的付款數(shù)相同？解解（1） y1=245+5(x-5)=120+5x-25=95+5x y2=24 90% 5+590%x=108+4.5x (2)如果如果兩種方法的付款數(shù)相同兩種方法的付款數(shù)相同. 則則 95+5x=108+4.5x 0.5x=13 x=26答：購買答：購買26只茶杯時，只茶杯時，兩種方法的付款數(shù)相同。兩種方法的付款數(shù)相同。數(shù)學(xué)小史數(shù)學(xué)小史希臘文集希臘文集中有一道關(guān)于畢達(dá)哥拉斯的問題，中有一道關(guān)于畢達(dá)哥拉斯的問題，畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他在意大利南部的克畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他在意大利南部的克羅托那建立了一個秘密組織，形成了羅托那建立了一個秘密組織，形成了“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”，這個學(xué)派對數(shù)學(xué)發(fā)展有重要的貢獻(xiàn)，有關(guān)畢達(dá)哥拉斯這個學(xué)派對數(shù)學(xué)發(fā)展有重要的貢獻(xiàn)，有關(guān)畢達(dá)哥拉斯的問題是這樣提出的：的問題是這樣提出的： “尊敬的畢達(dá)哥拉斯，請你告訴我，有多少名學(xué)生在尊敬的畢達(dá)哥拉斯，請你告訴我，有多少名學(xué)生在你學(xué)校里聽你講課？你學(xué)校里聽你講課？” 畢達(dá)哥拉斯回答說畢達(dá)哥拉斯回答說“一共有這么多學(xué)生在聽課一共有這么多學(xué)生在聽課:其中其中二分之一在學(xué)數(shù)學(xué)，