數(shù)學建模層次分析法選擇手機問題

1、利用層次分析法解決大學生購買手機品牌的選擇方案摘要：在日常工作、 生活中總存在各種各樣的需要進行決策的問題， 這些問題會涉 及到經(jīng)濟、 社會等各方面因素的約束。 在大學生選購買手機時選擇手機品牌的問 題中，也會因為這樣子的諸多因素， 而不知如何做出抉擇。 本論文將這一問題進 行探討，對手機品牌抉擇這一問題進行相對合理的假設以及簡化， 將購買手機時 主要考慮因素集中在性能、價格、外觀、品牌這四個方面，并利用層次分析法， 將定性問題轉(zhuǎn)化成定量問題， 構造對比矩陣， 分析權重的一致性， 并在最后借助 Matlab 數(shù)學軟件進行求解，最終得出最佳選擇方案。關鍵詞：層次分析法 AHP Matlab 對比

2、矩陣 權重一、問題重述：如今，大學生都把手機當成了一種日常生活中的必需品。同時，越來越多 的商家也已開始把大學生作為手機購買群中最重要的消費群體之一， 開始為大學 生量身訂做了很多款適合大學生使用的手機。 作為一種重要的聯(lián)絡手段， 一種高 端科技產(chǎn)品， 一種時尚的象征和身份的標志， 手機在校園里的普及率已經(jīng)超乎人 們的想象，在有些院校幾乎達到“人手一部” 。我們在此并不準備討論大學生購 買手機的利與弊， 而是向目前大量準備購買新手機或者即將更換自己的手機的大 學生朋友們提出一些指導性意見。二、問題的分析：對于這類問題，普遍可以利用層次分析法（ AHP ）對所有方案進行優(yōu)先排 序。本問題首先分析

3、內(nèi)在因素間的聯(lián)系與結構，并把這種結構劃分為三層即可， 即目標層，準則層，方案層。把各層間諸要素的聯(lián)系用線表示出來，接著是同層 因素之間對上層因素重要性進行評價， 并利用 “兩兩比較法 ”建立比較矩陣， 求的 權系數(shù)，再進行一致性檢驗，如通過，則求得的權重系數(shù)可以被接受，否則，應 重新評判。 再進行單層權重評判的基礎上， 再進行層次間重要性組合權重系數(shù)的 計算。最后求出各個方案所占的權重，即可確定手機的優(yōu)先順序。三、模型假設:1、假設大學生所考察的因素中除了價錢，外觀，品牌，性能，不考慮其他因素2、假設4個因素中，性能因素囊括了電池，系統(tǒng)，攝像頭，硬件等其他綜合因 素3、假設大學生在構建成對比矩

4、陣的觀點一致4、假設只考慮市場上份額較大的四個牌子：諾基亞、三星、多普達、蘋果5、假設所有手機的價位都是建立同種品牌的熱門機種，不考慮相同牌子的不同 機種四、模型的建立和求解：STEP 1建立層次分析結構模型大學生購買手機的三個主要層次如下所示：目標層：選擇哪種品牌手機準則層：價錢外觀品牌性能方案層：諾基亞三星多普達蘋果該問題十分明確，三個層次的要素也十分明顯。首先將有關因素按照不同的 屬性從上到下分為三個層次，分別為目標層、中間層和方案層。最上層為目標層: 最終要選的手機品牌；中間層為準則層：品牌，性能，外觀、價錢；最下層為方 案層：蘋果、諾基亞、SUMSUNG、多普達。其中，這三個層次相互

5、影響，上層 受下層影響，而層內(nèi)各因素基本上相對獨立，將這三個層次用圖表示即為：目標層準則層STEP 2:構造成對比較陣在構造成對比矩陣之前，引入一個評價指標，即由購買者評價品牌、性能、 價格、外觀等四個指標對于購買決定的影響大小，采用1-9級相對重要性作為尺度的方法。其詳細內(nèi)容如下所示：Ci/Cj相同重要稍微重要明顯重要強烈重要絕對重要介于兩級 之間135792,4,6,8在網(wǎng)絡上通過對以上四種產(chǎn)品的四種種評價指標的實際情況的調(diào)查，得到下面幾個表格。其中，表格1是對四種指標之間的相對重要性進行比較，表格2到表格5則是針對于每種具體的指標，根據(jù)四種手機在該指標上的優(yōu)劣進行比 較，最終得出以下的對

6、比矩陣：表格1價錢外觀品牌性能價錢1321/3外觀1/3131/5品牌r 1/21/311/5性能3551表格2價錢諾基亞三星多普達蘋果諾基亞 1273三星1/2171多普達r 1/71/711/7蘋果1/3171表格3外觀；諾基亞三星多普達蘋果諾基亞11/31/71/3三星311/51/3多普達r 7515蘋果331/51表格4品牌諾基亞三星多普達蘋果諾基亞121/51/5三星1/211/71/4多普達r 5715蘋果541/51表格5性能諾基亞三星多普達蘋果諾基亞11/51/81/5三星511/51多普達r 8515蘋果511/51STEP 3:計算權向量并作一致性檢驗借助數(shù)學軟件Matl

7、ab對每一個成對比矩陣計算最大特征根和特征向量，并作一致性檢驗，若通過，則可認為成對比矩陣的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權向量。否則則應該重新構造成對比矩陣。在這里引入計算公式與隨機一致性指標：1、定義一致性指標：CI二一（ CI越大，不一致越嚴重）n -12、隨機一致性指標RI:表格6 （隨機一致性指標RI）n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.513、定義一致性比率 CR = CI/RI （當CRvO.1時，通過一致性檢驗） 利用Matlab軟件計算可得：（注：Matlab程序以及語句、結果在附錄中）（1）四種

8、指標之間的相對重要性：表格1成對比矩陣由Matlab得出結果最大特征根& =4.2489權向量（特征向量）w0 = (0.2321 0.1347 0.08340.5499 f一致性比率CR=CI / RI =0.0922<0.1（2）四種手機在對應指標上的相對重要性：表格2 （價錢）成對比矩陣由Matlab得出結果最大特征根&=4.1179權向量（特征向量）w1 = (0.4784 0.2486 0.04380.2292 T一致性比率CR=CI / RI =0.0437<0.1表格3 （外觀）成對比矩陣由 Matlab得出結果最大特征根扎=4.2281權向量（特征向

9、量）W2 = (0.0603 0.1125 0.62230.2019$一致性比率CR=CI / RI =0.0845<0.1表格4 （品牌）成對比矩陣由 Matlab得出結果最大特征根人=4.1660權向量（特征向量）w3 =(0.1003 0.0609 0.62720.2116$表格5 （性能）成對比矩陣由 Matlab得出結果最大特征根扎=4.1665權向量（特征向量）W4 = (0.0454 0.1628 0.6289 0.1628T一致性比率CR=CI /RI =0.0617<0.1致性比率CR=CI / RI =0.0615<0.1在上述表格中，可以看出所有的 CR

10、都小于0.1，表示這5個成對比矩陣的不 致程度在容許范圍之內(nèi)，故其特征向量均可以用作權向量。STEP 4:計算組合權向量（作組合一致性檢驗）計算組合權向量并將最后結果作為決策的定量依據(jù)。將上述5個表格中得到 的結果融合并用EXCEL進行處理，計算最終的組合權向量。表格7 （組合權向量）價錢外觀品牌性能組合權 向量準則層權重0.23210.13470.08340.5499諾基亞0.04540.06030.10030.47840.2900三星0.1628 :0.11550.06090.24860.1951多普達0.6289 :0.62230.62720.04380.3062蘋果0.16280.20

11、190.21160.22920.2087最大特征值丸4.1179 14.2281r 4.1664.1665一致性比率CR0.04370.08450.06150.0617綜上可得，方案1在目標中的組合權重應為方案1在各準則中的權重與相應 準則對于目標的權重的兩兩乘積之和，即：0.0454*0.2321+0.0603*0.1347+0.1003*0.0834+0.4784*0.5499=0.2900同理可以算出方案2、方案3、方案4在目標中的組合權重分別為0.19510.30620.2087由上述表格我們可以得到最終結果：多普達 諾基亞蘋果三星，故最后我 們的選擇會是多普達。五、模型的推廣層次分析

12、把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式 進行決策。把定量和定性的方法結合起來，能處理許多傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術無法著 手的實際問題，應用范圍很廣。具有中等文化程度以上的人即可了解層次分析的 基本原理和掌握它的基本步驟，計算也非常簡便。但也有它的局限性，可以用粗 略、主觀等詞來概括，第一，它只能從原有的方案中選優(yōu)，不能生成新方案；第 二，它的比較判斷直到結果都是粗糙的；第三，人主觀因素的作用很大，當然， 采取專家群體判斷的方法是克服這個缺點的一種途徑。六、附錄Matlab 函數(shù) JianYan 的代碼：function JianYan(A)%輸出格式format short;%輸入

13、待求的矩陣 Av,d=eigs(A);%最大特征值tbmax=max(d(:);%得到行數(shù)和列數(shù)m,n=size(v);%將特征向量標準化sum = 0;for i=1:msum = sum + v(i,1);endtbvector = v(:,1);for i=1:mtbvector(i,1)= v(i,1)/sum;enddisp('=');disp('最大的特征值為：)；tbmaxdisp('最大的特征值對應的特征向量為(標準化后的)：)；tbvectordisp('一致性比率CR為：)CR=(tbmax-4)/3/0.9if CR<0.1d

14、isp('CR小于0.1,通過一致性檢驗，特征向量為權向量')elsedisp('CR大于0.1，沒能通過一致性檢驗，特征向量不為權向量)；end (注：由于題目要求需要，我將原先的求權重的程序做了小幅度修改，來適應這 次題目的要求 )五個矩陣的一致性檢驗結果分別為：>> A=1 3 2 1/31/3 1 3 1/51/2 1/3 1 1/53 5 5 1；B=1 2 7 31/2 1 7 11/7 1/7 1 1/71/3 1 7 1；C=1 1/3 1/7 1/33 1 1/5 1/37 5 1 53 3 1/5 1;D=1 2 1/5 1/31/2 1

15、 1/7 1/45 7 1 53 4 1/5 1; E=1 1/5 1/8 1/55 1 1/5 18 5 1 55 1 1/5 1;>> JianYan(A)最大的特征值為： tbmax = 4.2489 最大的特征值對應的特征向量為（標準化后的） ： tbvector =0.23210.13470.08340.5499 一致性比率 CR 為： CR =0.0922CR 小于 0.1，通過一致性檢驗，特征向量為權向量 >> JianYan（B）最大的特征值為： tbmax = 4.1179 最大的特征值對應的特征向量為（標準化后的） ： tbvector =0.47840.24860.04380.2292 一致性比率 CR 為： CR =0.0437CR 小于 0.1，通過一致性檢驗，特征向量為權向量 >> JianYan（C）最大的特征值為：tbmax =4.2281 最大的特征值對應的特征向量為（標準化后的） ： tbvector =0.06030.11550.62230.2019 一致性比率 CR 為： CR =0.0845 CR 小于 0.1，通過一致性檢驗，特征向量為權向量 >> JianYan(D)最大的特征值為： tbmax =4.1660 最大的特征