專題四函數(shù)與導數(shù)重點題型

1、模塊二、函數(shù)與導數(shù)解答題重點題型研究重點題型一：含參函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及零點問題【問題分析】含參函數(shù)的單調(diào)性、極值點及零點問題，在高考中考查頻次非常高，主要考查利用分類討論來研究 函數(shù)單調(diào)性和由函數(shù)極值、最值及零點求解參數(shù)范圍。此類問題難度較大，經(jīng)常出現(xiàn)在試卷T20或T2L 屬于高考壓軸題型。該題型主要考查考生的分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想。解決此類問題的本質(zhì)就是確定函數(shù)定義域上的單調(diào)性，基本思想就是“分類討論”，解題的關鍵就是 參數(shù)“分界點”的確定。所以，要解決好此類問題，首先要明確參數(shù)“分界點”，其次確定在參數(shù)不同的 分段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，進而可以確定函數(shù)的極值點、最值及零點，達到解

2、題目的。數(shù)單調(diào)性圖1-1含參函數(shù)問題解題思路【知識回顧】圖1-2函數(shù)fG）單調(diào)性、極值、最值及零點關系圖特別提醒:1 .函數(shù)f(x)單調(diào)性、極值、最值及零點必須在函數(shù)定義域內(nèi)研究，所以解決問題之前，必須先確定函 數(shù)的定義域。2 .函數(shù)f(x)的極值點為其導函數(shù)變號的點，亦即導函數(shù)尸(外的變號零點。3 .函數(shù)f(x)的極值點為函數(shù)單調(diào)區(qū)間的“分界點”，經(jīng)過極大值點函數(shù)由增變減，經(jīng)過極小值點函數(shù) 由減變增。4 .函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間不能寫成并集，也不能用“或”連接，只能用逗號”或“和”連接?！尽胺纸琰c”確認】參數(shù)對導函數(shù)/(久)的值符號有影響，就必須根據(jù)參數(shù)對導函數(shù)的影響確定參數(shù)“分界點”，然后在

3、進 行分類討論函數(shù)的單調(diào)性。常見的“分界點”確認方法如下：1 .觀察法：解決問題的過程中，我們會發(fā)現(xiàn)導函數(shù)形式比較簡單的情況下，我們可以通過觀察直接確定參數(shù)的 “分界點”，例如：當導函數(shù)/(幻的值與y = / +。函數(shù)有關，可以直接觀察得到：當。之0時，y > 0：當a V 0時，y = 0有兩根4 = yfa,x2 =當 G («>, Va) U+8)時，y > 0,當 G (Ja)時,y V 0.所以我們可以根據(jù)常見函數(shù)的性質(zhì)及其之間的不等關系，通過直接觀察確定“分界點”，常見函數(shù)性 質(zhì)及其之間的關系如下：/ >0(xG R),完全平方式不小于0)tanx

4、 > x > sinx (0 V x Ve" >x + l (x R),僅當久=0時，等號成立e" = x + l®lnx <x-l (x > 0),僅當# = 1時，等號成立mx = x-l！nx <x < ex (x > 0)a” > 0 (x R)2 .由二次函數(shù)引發(fā)的“分界點”當函數(shù)f(x)求導后，導函數(shù)尸(乃值符號由一個含參的二次函數(shù)(二次三項式)決定，一般可以從兩個 方面進行“分界點”的確定：(1)通過二次函數(shù)(一元二次方程)的判別式進行“分界點”的確定.對于一個二次函數(shù)y = ax2 + bx +

5、 c(a豐0)：憶:="。或憶2”。二次函數(shù)有兩個零點(或二次方程y = 0有兩個不同實根)<&)，“在兩根之外函數(shù)大于0,兩根之內(nèi)函數(shù)小于0.1：=二次函數(shù)有兩個零點(或二次方程y = O有兩個不同實根)右,必(右<M)，x在兩根之外函 數(shù)小于0,兩根之內(nèi)函數(shù)大于0.特別提醒：當二次函數(shù)有兩個零點時，需要確定兩個零點是否在函數(shù)定義域之內(nèi)，若不在需要舍棄.(2)由二次函數(shù)零點分布(一元二次方程實根分布)進行“分界點”確定當二次函數(shù)定義域受限，可以根據(jù)上表情況進行“分界點”確認，進而進行分類討論。3 .由導函數(shù)零點含參引發(fā)的“分界點”當導函數(shù)零點是含參的情況，可以根

6、據(jù)函數(shù)定義域情況確定分界點，同時如果導函數(shù)零點個數(shù)不小于 兩個的情況時，可以根據(jù)零點之間的大小進行“分界點”的確認，然后在進行分類討論確定函數(shù)單調(diào)性。例如：導函數(shù)通過整理之后，其值符號由y = (ax 1)(2X 1)(% >0,a >0)函數(shù)決定，可以通過比較 y = (ax- 1)(2% - l)(x >O,a> 0)兩個零點刈=-,x2 =:的大小來確認“分界點”。a 24 .通過分離參數(shù)確定“分界點”如果導函數(shù)中的參數(shù)容易分離，可以將導函數(shù)進行參數(shù)分離，變成一個簡單函數(shù)與參數(shù)之間的關系， 根據(jù)簡單函數(shù)的最值，確定“分界點”。例如：如果導函數(shù)值符號由y = /-。

7、工+ 13>0)決定，由于 >0,參數(shù)很容易分離，分離參數(shù)后 y = x (X + ：- a),最終導函數(shù)值符號由% = x + 1 > 2(% > 0)與參數(shù)a的大小來決定。例題1(2018 全國卷I節(jié)選)已知函數(shù)f(4)=； - x + Mnx,討論f(x)的單調(diào)性.【分析】由己知導函數(shù)/=一與一 1 + 士,整理后尸。)=一土爐，尸(乃值符號由g(%) =/一四+ ATXXl(x>0)決定，f'(x)值符號與g(x)值符號相反。思路一：由于x>0,通過觀察可以發(fā)現(xiàn)當a K 0時g(x) > 0.同時g(x)為二次函數(shù)，可以通過判別式來確定

8、分界點。思路二：g(x)=/ax+ia>0),參數(shù)a容易 分離，得g(x) = + ：-a) (x > 0).1 a/一ax+1【解析】凡X)的定義域為(0, +8), ,I (x)=-亍- 1+；= 不一.當aW2時，則/ (x)W0,當且僅當a=2, x=l時，/ (x)=0,所以«x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.當心2時，令/ &)=0,得產(chǎn)睡三或x=讓F.當送(0, 0-尸)u(, +時，/ (x)<0;當?shù)靡划a(chǎn),“+里卜/ (.x)>0.所以加)在(o, 曰三今，(三乒三，+8)上單調(diào)遞減，在(七醇i, 銬三)上單調(diào)遞增.綜合可知，當aW2時，

9、«v)在(0, +8)上遞減；當a>2時，大、)在卜，匚號)，件尹，+8)上遞減，在爛，吐號)上遞增.例題2已知函數(shù)/'(%) = 2x3 - ax2 + b,討論f (x)的單調(diào)性?！痉治觥坑杉褐獙Ш瘮?shù)/(X)= 6%2 - 2ax = 2x(3% 一 a), f'(x)有兩個零點%i = 0,x2 =右尸(%)的零點含參，可以通過比較兩個零點的大小確認“分界點” .【解析】由已知f(x)的定義域為(-8,+8), ff(x) = 6x2 - 2ax = 2x(3% - a).令f'(%) 0,得%i = 0,x2 =當a >0時，xG(-cz)

10、, 0)U(p+a>)Ht, f (x)>0: 46(05)時，ff(x) < 0.故f(x)在(一8,0),停,+8)單調(diào)遞增，在(0,§上單調(diào)遞減.當a = 0時，ff(x) > 0,僅當x = 0時，/(x) = 0, % = 0為尸(%)的不變號零點.故f (外在(-8, +00)單調(diào)遞增.當a V 0時,% W (-8卷)U(0,+8)時,ff(x) > 0： %停,0)時,ff(x) < 0.故f(X)在(一8,§, (0,+8)單調(diào)遞增，在('(J)上單調(diào)遞減.綜上所述：當Q>0時，f(%)在(一8,0),+8

11、)單調(diào)遞增，在(0,§上單調(diào)遞減當Q=0時，£(%)在(-8,+8)單調(diào)遞增.當aVO時，f(x)在(-8,?, (0,+8)單調(diào)遞增，在仁,0)上單調(diào)遞減.例題3已知函數(shù)f(x) = ae + (a - 2)e"-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.【分析】由已知導函數(shù)f(x) = 2ae2jc + (a- 2)ex-1 = (aex - 1)(2” + 1),由于e" > 0,通過觀察(2ex + 1) > 0,所有導函數(shù)/(外值符號由(ae，- 1)決定.顯然a < 0時,尸(幻V 0 ;

12、a > 0時，尸(幻只有一 個零點x = Ina.【解析】(1)由已知f(%)的定義域為(-8,+8), fx) = 2ae + (a - 2)ex - 1 = (aex - l)(2ex + 1).當a <0時，f'M<0,所以f(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞減.當a >0時當a > 0時，由/(%) = 0,得x = -Ina.所以，% W(8,Ina)時,ff(x) < 0 ： /W(Tna,+8)時9 fx) > 0.故f(x)在(一8,一"a)上單調(diào)遞減，在(一京a,+8)上單調(diào)遞增.綜上：a 4 0時,f (乃在(-8,+

13、8)上遞減;a>0時，f(%)在(8,Ina)上遞減,在(Tna,+8)上遞增(2)由(1)知當a <0時，f (%)至多有一個零點.由于f(x)有兩個零點，故a > 0.當a>0時，由(1)知x =bta是f(幻的極小值，也是f(x)的最小值.又f(%)在(-8, Tna)上單調(diào)遞減，在(-Zna, +8)上單調(diào)遞增.(/(-Zna) < 0所以f(x)有兩個零點<=> % t 8,f(x) > 0,由于f(%) = ae2x + (a 2)ex x = ex(aex + a 2) %(% t +co,/(x) > 0顯然 T -co,/

14、(x) > 0, % -> +8,f(x) > 0.同時f(-Zruz) = 1- + lna <0.令g(a) = 1 5+ Ina (a > 0),顯然g(a)在(0,+8)是單調(diào)遞增的，同時g(l) = 0所以 1 ： +bia V 0等價于g(a) V g(l),解得0 V a V L所以當OVaVl, f(%)在(-8,Tna)有一個零點,在(一/a,+8)上有一個零點.綜上，Q的取值范圍為(0,1)重點題型二：函數(shù)極值點偏移問題【知識拓展】我們知道函數(shù)f(x)的導函數(shù)r(乃值符號決定了函數(shù)的單調(diào)性，If'(幻|的大小決定了函數(shù)f(x)變化的快

15、慢，當外幻在極值點與對稱兩側|廣(幻|大小一樣時，表明函數(shù)外在極值點X。兩側的變化快慢是相同的， 就說極值點沒有偏移。當f(x)在極值點40對稱兩側|廣(幻|大小不一樣時，表明函數(shù)f(x)在極值點久0兩側的 變化快慢是不相同的，就說極值點偏移。極值點偏移判定：若函數(shù)f (均存在極值點X0,方程f (幻=C的兩個根為七/2,當W =跖也就是說極左快右慢極值點左偏移左慢右快極值點右偏移口訣：誰陡向誰偏，左偏小，右偏大.【命題形式】極值點偏移問題常見的考題形式：（1）若函數(shù)f（X）存在兩個零點久1，g且"1豐x2，求證+ x2> 2%0或q +x2< 2x0為函數(shù)f （幻的極值

16、點）（2）若函數(shù)f（x）存在%1，小且勺,使得FG1） = f （“2），求證X1 +%2 > 2%0或X1 +必V 2“0（%0為函 數(shù)f（x）的極值點）（3）若函數(shù)/'（x） = c的有兩個不同的根為X1，x2，求11E%1 +x2> 2x0或Xi + x2 < 2x0 （x0為函數(shù)/'（x）的 極值點）（4）若函數(shù)f（x）存在兩個零點刈,不且私工不，求證尸（夸）之0或/（空）40.（5）若函數(shù)f（x）存在/且Z*&，使得f（"i） = f （右），求證尸（弩）> 0或/（弩）< 0.【解題策略】解決極值點偏移問題主要有以下方

17、法：（1）構造函數(shù)法：根據(jù)極值點支。構造對稱函數(shù)F（x）= f Go +幻一 f （與一切或尸（幻=f （幻一 f（2x0-幻，根據(jù)F（x）的正負，可以判斷極值點的偏移情況，或根據(jù)F（x）單調(diào)性判斷.（2）比較大?。焊鶕?jù)函數(shù)外幻單調(diào)性比較f（x0+幻與人”。-幻或者f（x）與/'（2X0-幻的大小，進而 得出所證結果（"。為函數(shù)f（x）的極值點）.（3）證明尸（弩）的符號問題，比較空與“°之間的大小，即可得出弩所在的單調(diào)區(qū)間，進而得出 廣（弩）的正負.（4）消參減元：根據(jù)兩點八,外之間的關系，利用簡單運算，化簡或轉(zhuǎn)化所求問題，減少變量個數(shù)， 在構造相應函數(shù)求解.例題

18、4 已知函數(shù)f （幻= ex-2x-l.（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在V 2n2 V使得f(4)= f(X2),證明：x1+x2< 2 in 2.【分析】由已知導函數(shù)尸(幻=合2, f(x)的極值點為4 =加2.第(1)問，很容易解決。第(2)問很容 易看出是極值點偏移問題，先找到必關于 =仇2的對稱點2仇2 不，構造函數(shù)二(幻=/'(幻一 f(2仇2-幻利用單調(diào)性發(fā)現(xiàn)f(X2)>f(2仇2-&)，再結合條件f("i) = f(g)及(1)的結論幻在 (oc,仇2)上單調(diào)遞減，可得X + x2 < 2ln2.【解析】(1)由已知得f(幻的的

19、定義域為(一8,+8), f'M = ex-2.令尸(x) = 0 得% = ln2.當 W (8,1n2)時,f (%) < 0, f(x)在(一8,m2)上單調(diào)遞減：當 W (In2,+的時，/ (%) > 0, f(x)在(2n2,+8)上單調(diào)遞增.綜上，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一 8,m2),單調(diào)遞增區(qū)間為(加2,+8).(2)當>1n2時，21n2XVln2.f(2 In2 x) = e2ln2x 2(2Zn2 %) 1 = g + 2% 4ln2 1.令/4(x) = /(%) f(2 In 2 x) = e* ' 4% + 4 2n 2 (x

20、> In 2),則力(%) = e* + 捺-4 > 0.，及均在(標2,+8)上單調(diào)遞增.又5標2) = 0,，當x>2n2時，4(%)>夙/2) = 0,即f(%) > f(22n2 x).Vx2 > In 29 /./(x2) > f(2 ln2 x2)-'；fGD = f(M)，"(O > f(2 In 2- x2).而由 & > In 2 知2 in 2 x2 < In 2 9V%i < In 2 9 由(1)知 f (x)在(一8,2n2)上單調(diào)遞減，*%1 < 2ln2 - x29

21、/%1 + x2 < 2 ln2.例題5 設函數(shù)f (x) = -a2 Inx + x2 - ax(a e R).(1)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性；(2)如果a > 0,關于x方程f(x) = m有兩解4在2(“1 < g)，證明巧,+ x2 > 2a【分析】 由已知導函數(shù)尸(幻=一三+2% 。=竺竽衛(wèi)(4>0),可以觀察到當。>0時，尸值符 號由(x - a)決定；當a V 0時，/(外值符號由(2x + a)決定；當a = 0時，f'(x) > 0.(2)由(1)可知當a >0時，尸(幻=0得f (幻的極值點為x = a, 0 V勾V a

22、 V必，又有fGD = f(M)，所 以此問題是極值點偏移問題，當血22a時，命題顯然成立：當a V”2 V 2a時，可以構造函數(shù)g(x)= f(x)-f(2a-x),通過g(x)單調(diào)性可以確定f(M)f(2aM)，再結合條件f GD =外孫)及 的結 論可以得出Xx+x2> 2a.【解析】 由已知f(x)的定義域為(0,+8), f(x) = -+2x-a = (2x+aa) (x > 0)當a >0時，若x(0,a), f(x)<0, f(x)單調(diào)遞減：若x(a,+8), fx) > 0, f(x)單調(diào)遞增：當a = 0時，f'M>0, f(x)

23、在(0,+8)上單調(diào)遞增；當aVO時，若X(0, 3，/(x) < 0, f(x)遞減：若xE(-£+8), f'(x) > 0, f(x)遞增；綜上所述：當a>0時，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,+8)單調(diào)遞增：當a = 0時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增：當aVO時，外幻在他,一小單調(diào)遞減，在(冶,+8)單調(diào)遞增：(2)由(1)知f(x)的極小值點為x =(a)為f (x)的極小值，也是f(x)的最小值.又方程f (x) = m有兩個根Zpx2(xi V xz)，所以f (%i) = f (X2)，o << a < x2 .

24、當X2 2 2a時，右+ q > 2a顯然成立.當a V %2 V 2a時，/(%2) /(2a %2)= - a2(Znx2 In(2 a x2) + (x2 (2 a x2)2) (a%2 a(2a Q)整理得f (g) - f(2a-xz) = a2 in (三 _ 1) + 竽_ 2令 & = t(：VtVl)，g(t) = ln(2t l)+三一 2,所以，g<t)=工-1=*可/ = ”-'；：> 0 X2 、2'八'7 t ，2t-l t2 (2t-l)t2(2t-l)t2所以g(t)在tW G，l)時是單調(diào)遞增的，又g(l)=0

25、,故g(t) V0,所以fa2)-f(2a-M)V0所以f (“2)V /(2a X2)，即f (%i) V /(2a x2) 9 又0 V Xi V a, 0 < 2a - x2 < a由(1)知當a >0時，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,+8)單調(diào)遞增：所以%> 2a 必，即1 +久2 > 2a.綜上所述x1+ x2> 2a.例題6己知函數(shù)f (x) = "2 一(a - 2)x - alnx.(1)求f(x)單調(diào)區(qū)間， 若方程f (幻= c(cR)兩個根分別為“1，必(右VM),求證：尸(警)>0 . 【分析】(1)由已知得f&

26、#39;G) = 2x (a2)?=絲等2a >o),觀察導函數(shù)形式可以發(fā)現(xiàn)a <0時 尸(外> 0, a > 0時f(x)有一個極值點4。= p由此可以得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)由已知得f(Xi)=f(X2)，要證尸(弩)>0,根據(jù)(1)中f(x)在仁,+8)為單調(diào)遞增的，只需要證 三”> x0 =彳即可，即+x2> 2x0 = a.【解析】(1)由已知得函數(shù)f(x)得定義域為(0,+8),/(%)= 2% (。-2)-2=空半由 當時，f'(x)>0.函數(shù)f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.當a >0時，若f，M>0,

27、若OVxV；,尸(幻VO,所以外幻在(；,+8)上遞增，在(0,)上遞減 綜上所述：當Q <0時，f(%)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間.當a >0時J(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(以+8),調(diào)遞減區(qū)間為(0,5.(2)由已知方程f(%) = c有兩個根%V ”2)，所以f("i) => 0.由(1)知f(x)的極小值點為“0 =:，故0VX1V?V”2 當外之。時，刈+必>。顯然成立，所以弩由(1)知當a >0時，若%>金/(幻>。故/(夸)>0當9 V *2 V a時,則OVa-x2VM所以 f (x2) - f(a - X2)

28、 =xl-(a-X2)2 -(a- 2)x2 - (a- x2) - alnx2 -ln(a - x2)整理得= aln(-l) + 4-2(a>0)令£ = t,(lV"2), g(t) = ln(l) + ；2.所以 9，(亡)=之一尚= =號>。所以g(t)在1 V t < 2上是單調(diào)遞增的,又g(2) = 0,故g(t) < 0.所以f(X2)一/一”2)VO,即 f(%2)<"。一42)，所以 fGi) Vf(a-%2)，又。V 七 V 三,0 V a - 42Vm由(1)知，當a >0時,f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(柒+

29、8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 所以%>°一外,即夸 >?,所以尸(萼)>0.綜上所述：/(空)>0.重點題型三：不等式“恒成立問”與“存在性問【問題分析】不等式恒成立與存在性問題是高中數(shù)學的重要知識，也是高考命題的熱點題型，通常把函數(shù)與導數(shù)、 函數(shù)與方程、不等式問題結合在一起，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力。此類問題經(jīng)常以壓軸題 型出現(xiàn)，難度略大。解決該問題的關鍵是將不等式恒成立與存在性問題轉(zhuǎn)化為最值問題，在根據(jù)函數(shù)的單 調(diào)性或基本不等式知識求出最值，進而解決該問題°【解題策略】(1)不等式“恒成立問題”與“存在性問題”區(qū)別“恒成立問題”中使用的

30、量詞是全稱量詞，如“任意、所有、全部、每一個、總、都”等；而“存在 性問題”中使用的量詞為存在性量詞，如“存在、有一個、至少有一個、有解”等。所以在解決此類問題時，首先要區(qū)分是“恒成立問題”，還是“存在性問題”。(2)不等式“恒成立問題”與“存在性問題”的轉(zhuǎn)化不等式“恒成立問題”的基本轉(zhuǎn)化類型：a. f(x) > 0恒成立o f(x)min > 0; f(x) < 0恒成立=f(x)max < 0.b. f(x) > k恒成立f(x)min > k ; /(x) < k恒成立fMmax < k.c. f(x) > g(%)恒成立=f (x)

31、 -g(x)min >0；f(x) < g(x)恒成立u> f(x)-g(x)max < 0.e.函數(shù)f(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增=在區(qū)間。上尸(x) > 0恒成立：函數(shù)f(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞減0 在區(qū)間D上尸(x)K 0恒成立.f.V%i，必 G D , /(%i) > g(M)恒成立=f(x)min > g(x)max; Vx1,x2 W D , f(x1) < 以必)恒成立ofOOmax < PWmin不等式“存在性問題”的基本轉(zhuǎn)化類型a- fM >。有解=f(x)max > 0 ; f(x) < 0 有解 Q f(

32、x)min < 0.b. f(x) > % 有解 Q f(x)max > k "(幻 < 一有解 o f(x)min < k.c. fM > g(x)有解 u> fM - g(x)max > 0; f(x) < g(%)有解=fM - g(x)min < 0.e. G Dlt Bx2 G D2,/(%i) > g(%2)0 fmin > 9(xminf 仁 G Dp Bx2 G D2,f(X1) < g(&) = fmax <。(乃(3)不等式“恒成立問題”與“存在性問題”解題思路不等式恒成立

33、與存在性問題通常都轉(zhuǎn)化為最值問題來解決，一般情況下常用以下方法來解決：分離參數(shù)，如果問題中含有參數(shù)，且參數(shù)很容易分離，就采用參數(shù)分離法，將不等式轉(zhuǎn)化為一邊是 參數(shù)，另一邊是簡單函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解決.構造函數(shù)，通過構造函數(shù)，討論構造的新函數(shù)單調(diào)性來解決此類問題.數(shù)形結合，如果函數(shù)圖像易得，可以根據(jù)函數(shù)圖像來解決此類問題.適當縮放，如：ex > x + 1 (xR), Inx < % 1 (% > 0)» Inx <x < ex 例題7(2020 全國高考真題(理)已知函數(shù)f(幻=產(chǎn)+ ax2- x.(1)當。=1時，討論f(“)的單調(diào)性；(2)當“2

34、0時，+ 求。的取值范圍【分析】(1)由已知得f(幻=靖+ 2”一1,很明顯/(幻是單調(diào)遞增的，又有尸(0) = 0,所以當x>0 時,/(幻>0,當XV0時,f'G)V0.(2)由已知得當"NO時,/'(X)之：，+1,屬于恒成立問題，可以很容易將參數(shù)分離出來，然后在構造函 數(shù)，求出新構造函數(shù)最大值即可.【解析】(1)由已知得當a=l時，/(幻=e" + 2x l, 7,(0) = 0.當x>0時/(幻>0.函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當XV0時,(幻V0函數(shù)f(x)單調(diào)遞增減綜上所述：函數(shù)f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，在(8, 0)單

35、調(diào)遞減.(2)由已知f(x) > %3 + 1 <=> ax2 > +x - ex + 1.當x = 0時，不等式a-之、3 + % 產(chǎn)+ 1 = o2o,顯然成立.當 x >。時，不等式 a > “3 -1-x ex+l<=a> ''"- 2 X2令g(“)=士?>。),要使原不等式成立，只需心g(%)m-即可所以(幻=(-0：> XX。)令以幻= x2+x-ex + l(x > 0),則/(幻= x + l- ex(x > 0)，顯然/(幻 < 0.所以刈乃在(0,+8)上單調(diào)遞減，4(

36、%) < h(0) = 0所以當2時，g'(x) V O.g(x)單調(diào)遞減，當0VxV2時，g'(x) > 0, g(x)單調(diào)遞增.所以g(x)max = 9(2)=三二，所以a >三.綜上所述a的取值范圍為勺二,+8).例題8設函數(shù)/(%) ='工？(aeR),若“X)在3,+oo)上為減函數(shù)，求的取值范圍.【分析】由己知得f(x)在3,+8)單調(diào)遞減等價于尸(幻= 二次函數(shù)性質(zhì)可以求出參數(shù)a的取值范圍.< 0在3,+8)上恒成立，然后在由-3x2+(6-a)x+a【解析】由已知得尸(幻=-3/+,二。氏+。一。在3,+8)恒成立等價于一3%2

37、 + (6 - a)x + a < 0恒成立,x E 3, +oo).令9(x) = "3x2 + (6 a)x + a；當g(%)=。時,A= a2 + 36 > 0 '6-a所以原不等式恒成立等價于1 K)：；，解得a之一會綜上所述a的取值范圍為-1+Q0).例題9 設函數(shù)f(x) = (-x2)ex.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當”之0時，/(x)<ax + l,求實數(shù)”的取值范圍.【分析】由已知得尸(幻=/(一/ 2% + 1)，令/(幻=0可得匕=«-1在2 = -«1，即可得到 函數(shù)f(x)單調(diào)性.(2)由已知f(x

38、) <ax + l,可以通過適當縮放，證明不等式成立.【解析】(D由已知得f'(幻=ex(-x2 -2x + l),令尸(x) = 0可得處=夜一 lfx2 = -n/2-1.所以，當x (co, V2 1) U (V2 - 1,+8)/(幻 < 0,f(x)單調(diào)遞減.當x G (-V2-1, V2-> 0.f(x)單調(diào)遞增.(2)由已知f(x) = (1 + %)(1%)二.當a > 1時，令N(x) = (1 幻/,則/(幻=-xex < 0(x > 0),僅當"=。時/(幻=0所以應>)在0+8)上單調(diào)遞減，所以刈>)&l

39、t; 4(0) = 1.所以f(x)=%(%)(% + 1) < x + 1 < ax + 1.當0 V a V 1時，由于e” >x + 1當0 V % V 1時,f(x) = (1 + x)(l - x)ex > (1 - x)(l + x)2,(1 x)(l + x)2 - ax 1 = x(l a - x 取與= '，二。-' 6 (O,l)-S'lf (x0) > a%0 + 1,不合題意. 當a40時，取=;打 (0,1) JOo) > (1 >)(1 +)2 = 1之a(chǎn)x。+ 1,不合題意.綜上所述，a的取值范圍為

40、1,+8)重點題型四：“雙變量”問題【問題分析】近年來函數(shù)綜合問題中，常常出現(xiàn)兩個在一定范圍內(nèi)可以變化的量，即函數(shù)的雙變量問題。此問題經(jīng) 常結合不等式進行命題，主要考查學生轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學生對問題的轉(zhuǎn)化及處理能力，此類問題難 度較大，對學生的綜合能力要求較高。解決此類問題主要通過變元來解決，如何將兩個變量轉(zhuǎn)化為一個變 量是此類問題解體的關鍵。然后，再結合函數(shù)性質(zhì)即可解決此類問題?！窘忸}策略】解決此類問題常用以下四種策略：策略一：消元，變量歸一若兩個變量存在確定的關系，可以利用其中一個變量替換另一個變量，直接消元，將兩個變量轉(zhuǎn)化 為一個變量.若兩個變量不存在確定的關系，有時可以將兩個變量之

41、間的關系看成一個整體(比如三,與乃,右一 x2制,刈+必)，進行整體換元，將兩個變量化為一個變量.策略二：變換主元當兩個變量之間沒有關系，也不能看成一個整體時，主元的選擇就顯得尤為重要了，主元若選擇得 當，可以降低思維難度，可以將復雜的函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)。主元變換是將其中一個變量作為主元，其中一 個變量作為參數(shù)。策略三：構造函數(shù)根據(jù)題中條件構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)性質(zhì)解決.策略四：轉(zhuǎn)化為最值根據(jù)題中條件將雙變量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來處理，此類題型可以參考“恒成立”與“存在性”問題 解題思路與方法.例題10已知函數(shù)f (%) =+ alnx(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)若函數(shù)存在兩個極值點4/2

42、,證明0。一2. xLx2【分析】(D略，參考重點題型一，(2)由已知導函數(shù)f,G)= -與一 1 +±,整理后尸G)= 一立爐,極值點如“2即為方程/-ax + l = 0的兩個根，X1X2=1,由此可以進行消元，只留一個變量?！窘馕觥?1)略，參考重點題型一.(2)由(1)知q > 2且X/2 = 1/(%1) - f (&) = 一 G1 一 42)+ d(lnxL - Znx2). XLX2。一2,即證次江21.故/(孫)-/(必)_ _2 + a (出肛Tf)假設> 1 > “2 > °，則只需證2nxi lnx2 <0,又=

43、 1，所以2 lnxL - x1 + < 0.XL令g(x) = 2 Znx-4+：(x > 1),由(1)知當a = 2時，g(x)是單調(diào)遞減的,所以g(%) V g(l) = 0所以2 1nxi z + V 0成立，即金，)< «一 2成立.XLXL-X2例題11已知函數(shù)f (幻=e攵2t 1 +幻+ / + 2產(chǎn)+ L求證/(外 |【分析】題中主元為4,不等式/(外記等價于3一2(產(chǎn)+h+ / + 2產(chǎn)+1轉(zhuǎn)。若以乃主元形式較為 復雜：若以t為主元，則不等式轉(zhuǎn)換為一元二次不等式，非常簡單.【解析】由題意f(x) 評價于e?* - 2(ex + x)t + x2

44、 + 2t2 - 0.令 9(t) = 2t2 - 2(ex + x)t + e2x + xz -則4= 4(ex + x)2 8 7) = -4(e2x + / 2xex - 1) = 4(ex x)2 1又e'Nx + 1,所以e'-x > 1,所以(/一幻2 _ i > o.所以A<0,故g(t)N0恒成立，即f(x)之意例題12已知函數(shù)f(x) = 罩1(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)存在41中2 w (1,+8)且%使IfOD-f(七)l之-以外1成立，求的取值范圍.【分析】(1)由已知得尸(幻=一等，易得函數(shù)單調(diào)區(qū)間.(2)由(1)可以知道函數(shù)f(

45、x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，將不等式兩邊變換為形式一致，然后根據(jù)不等式兩 邊的形式進行構造新函數(shù)，再根據(jù)新函數(shù)的性質(zhì)及題中條件即可求解.【解析】(1)由題意得尸(功=一等(%>0).當4 >1時,尸(x) V0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.當0 V % V 1時，f'M > 0.函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.(2)由(1)知f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，假設應>“2>1-不等式IfQt) - f(&)l >-ln%2l等價于f(%2)-f(%i)之 Klnxi - lnx2)即f (必)+ klnx2 > f GD + klnxL.即存在W (

46、1,+8)且1H “2，x1> x2,使/(孫)+ klnx2 > f(x1) + Idnxi展立.令g(x) = f(x) + bix,則g(x)在(1,+8)存在單調(diào)遞減區(qū)間，也即g'(x)V0有解.又娟(外=":警,g'(x) V0有解等價于kV矍有解，即左(1等)由0#令機)=罷(>1)，則力'(幻="V" Q >1)所以4(幻在(1,迎)上單調(diào)遞增，在(、,+8)上單調(diào)遞減.所以必乃小加=力()=:，所以 < 例題13已知函數(shù)f(x) = xlnx + x,對k，"2 G9,1，Ifg) -

47、 f(g)l < b,求b的取值范圍.【分析】根據(jù)題中條件，只要滿足|f(%L)- “MXmoxWb即可,又-/(MXmaxnfCOmax- f(X)min,所以只需求出f(X)最大值與最小值即可?！窘馕觥?1)由題意得f'G) = 1mt+2.所以f(x)在佳斕上單調(diào)遞減，在電1上單調(diào)遞增.所以fg) = -W，f(2)T，f(i)= i故fO）max =f（l） = l，f（x）min = f （尚）=一 , 所以，（與）一 f （必）Imax = 1 + 4,故b 之 1 + *重點題型五：導函數(shù)“零點不可求”問【問題分析】近年來，導函數(shù)零點不可求逐漸成為高考命題的熱點，導

48、函數(shù)零點不可求是命題人故意為之，主要是 考查學生對于函數(shù)零點的處理是否掌握到位，所以在學習過程中，函數(shù)零點處理技巧，處理策略就非常重 要了。導函數(shù)的變號零點就是函數(shù)的極值點，也是函數(shù)單調(diào)性的分界點，如果導函數(shù)零點"不可求”，我 們就無法透徹的研究函數(shù)，就是是問題的解決陷入困境。解決導函數(shù)零點不可求問題的依據(jù)其實就是函數(shù)零點存在性定理。在解題過程中經(jīng)常判斷導函數(shù)尸(外 的單調(diào)性(通過二次求導判斷)，然后再根據(jù)零點存在性定理判斷導函數(shù)尸(乃零點所在的區(qū)間。零點存在性定理如果函數(shù)y=f(x)滿足：在區(qū)間a，句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：/'(a)。f(b)O；則函數(shù)y =f(x)

49、在(a, b)上存在零點，即存在c (a, b)，使得f(c) =0，這個c也就是方程f(x) =0的根.【注】L若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點.函數(shù)的零點不是一個“點”， 而是方程£(x)=0的實根.2.由函數(shù)丫=外與(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間a,句上有零點不一定能推出f(a)-f(b) V0,如圖所示， 所以f(a) /()。是y =f(x)在閉區(qū)間a，句上有零點的充分不必要條件.卜一O « _/ bX【解題策略】(1)觀察法：對于導函數(shù)為常見的超越函數(shù)，我們無法求出其零點，但可以根據(jù)我們的直覺判斷出常見超越函數(shù)的 零點，如：，

50、=6"-“1,其零點無法求出，通過我們觀察當 = 0時，y = 0,即x = 0是導函數(shù)y'的一個零 點6對于導函數(shù)y'= ”工一£/的形式，x = 0是導函數(shù)y'的一個零點。/=仇"一x + 1,其零點無法求出，通過觀察當 =1時，y = 0,即x = l是導函數(shù)/的一個零點。對于導函數(shù)y' = klnx-xn+xn-1t(kln E R)的形式，x = 1是導函數(shù)y'的一個零點。= x simt,其零點無法求出，通過我們觀察x = 0是導函數(shù)/的一個零點。對于y' = mx - nsinx, (m,n G R)的

51、形式，x =。是導函數(shù)y'的一個零點。y/= tanx-x,其零點無法求出，通過我們觀察“=。是導函數(shù)y'的一個零點。iyf = mtanx - nxf （mf n G R）的形式，4 = 0是導函數(shù)y'的一個零點°（2）二次求導，數(shù)形結合在求導函數(shù)時，若尸（刈=0不可解，我們要進行二次求導或者多次求導，利用導函數(shù)單調(diào)性并結合圖 像判斷導函數(shù)的正負及導函數(shù)零點所在區(qū)間。(3)設而不求，等價轉(zhuǎn)化當出現(xiàn)導數(shù)零點不可求的情況時，我們可以先假設所要求的零點打,然后建立關于“°的關系式，將問 題轉(zhuǎn)化為一個新問題，進而使問題順利解決。(4)等價變形，兩邊求導對于

52、由超越函數(shù)組合的復雜不等式，無法求其零點時，可以將所求證不等式進行適當變形，變?yōu)閮蛇?都易求導且導數(shù)零點易得，進而轉(zhuǎn)化為求兩邊最值即可。例題14已知函數(shù)fG) = (x a)2后，對任意的x (0,3e,恒有f(x) < 4e2成立，求實數(shù)a的取值范圍?！痉治觥扛鶕?jù)題意，此問題為恒成立問題，可以采取分離參數(shù)的方法去求參范闈，即求出一邊函數(shù)的最值 即可。但分離參數(shù)后，利用導數(shù)求函數(shù)最值時，由于導數(shù)的零點無法直接求出，只能通過觀察“探出”零 點。再根據(jù)導函數(shù)單調(diào)性，推出零點存在，得到原函數(shù)的單調(diào)性，使問題順利解決?！窘馕觥坑深}意得(x a)21nx44e2恒成立.當x e (0,1Bf,顯然

53、不等式(x - a)2lnx < 4e?恒成立.當x 6 (l,3e時，不等式(久a)2lnx < 4e?恒成立等價于x < a < x 恒成立.令g(x)="一焉,人(幻=" +藹.原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)max <«< h(x)min.由于g'G) = 1+以扁菽,0,所以g(x)在(l,3e為單調(diào)遞增函數(shù).所以。(乃演以= g(3e) = 3e - =.由于h'(x) = l= 乂心=當"=0時,零點不可求.通過觀察當 = &時，hx) = 0. 、'xlnxVlnx xlnxvln

54、x令武幻=1 一篇信則,(幻(品行+標導)> 6所以h'(x)在(1,3句上是單調(diào)遞增的，存在唯一零點x = e.所以x G (1,可時，"(X) < 05(外單調(diào)遞減.x E (e,3e時，(幻> 0.人(幻單調(diào)遞增.所以人(外皿”=隊負=3e所以a的取值范圍為3e -蓋,3e例題15已知函數(shù)f(幻= ax2-ax- xbix,且f(幻> 0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點出,且丁2 v f(x0) v 2-2【分析】(1)由題意外幻> 0等價于> 0,由/(幻的單調(diào)性求出f(x)最小值即可解決此問題。這道題 也可以采

55、用分離參數(shù)的方法求出a值。(2) f(x)極值點既是其導數(shù)為零的點，但導致的零點不可求，可以通過觀察得到導數(shù)的一個零點”= 1,但這個零點并不是極大值點。所以需要對導數(shù)進行二次求導，結合導數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)導數(shù)有兩個零點，另一 個零點也是無法求出，但可以判斷出其大致范圍。對導數(shù)另一個零點進行設而不求，等價轉(zhuǎn)化即可證明不 等式成立.【解析】(1)解法一：因為f(%) = ax? ax xlnx = x (ax a Inx) (x>0),則f (%) > 0等價于h(x) =ax - a - Znx > 0,又3() = a .當a 40時乂(%) VO,即y=/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以當與 > 1時，h(x) < h(l) = 0,與題意矛盾.當a > 0時，則當0 V x V 2時斤(%) < 0；當% >，時(x) > 0.所以=人(6又因為人(1) = a a Ini = 0,所以搟=1,解得a =1;注：此解