維納濾波和卡爾曼濾波 (2)ppt課件

1、153第二章 維納濾波和卡爾曼濾波 2.1 2.1 引言引言 2.2 2.2 維納維納(Weiner)(Weiner)濾波器的離散時(shí)域解濾波器的離散時(shí)域解 2.3 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的z z域解域解 2.4 2.4 維納預(yù)測(cè)維納預(yù)測(cè) 2.5 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)(Kalman)濾波濾波 1532.1 引引 言言 2.1 引引 言言 隨機(jī)信號(hào)處置討論的濾波問(wèn)題：就是一個(gè)估計(jì)問(wèn)題，或者說(shuō)是隨機(jī)信號(hào)處置討論的濾波問(wèn)題：就是一個(gè)估計(jì)問(wèn)題，或者說(shuō)是從噪聲中提取信號(hào)、抑制噪聲。從噪聲中提取信號(hào)、抑制噪聲。 本章引見(jiàn)維納本章引見(jiàn)維納(Wiener)濾波器和卡爾曼濾波器和卡

2、爾曼(Kalman)濾波器。濾波器。 通?？梢詫⒂^測(cè)數(shù)據(jù)通?？梢詫⒂^測(cè)數(shù)據(jù)x(n)表示為信號(hào)表示為信號(hào)s(n)與噪聲與噪聲v(n)之和。之和。x(n)=s(n)+v(n) 2.1.1 ( )s n( )x n( )v n153濾波的目的：利用濾波系統(tǒng)濾波的目的：利用濾波系統(tǒng)h(n)取出有用信號(hào)取出有用信號(hào)s(n)， s(n)又稱為又稱為期望信號(hào)，期望信號(hào)，h(n)就是估計(jì)器。就是估計(jì)器。主要問(wèn)題：設(shè)計(jì)濾波器主要問(wèn)題：設(shè)計(jì)濾波器h(n)，使濾波器輸出，使濾波器輸出y(n)是是s(n)的一個(gè)最的一個(gè)最正確估計(jì)。采用不同的最正確準(zhǔn)那么，估計(jì)結(jié)果能夠不同。這正確估計(jì)。采用不同的最正確準(zhǔn)那么，估計(jì)結(jié)果能

3、夠不同。這樣的濾波，通訊中稱為波形估計(jì)；樣的濾波，通訊中稱為波形估計(jì)； 自動(dòng)控制中，稱為動(dòng)態(tài)估計(jì)。自動(dòng)控制中，稱為動(dòng)態(tài)估計(jì)。 )()()( )(nhnxnsny2.1 引引 言言 h(n)x(n)s(n)v(n)y(n)( ns153三種估計(jì)方式：三種估計(jì)方式：(1) 預(yù)測(cè)問(wèn)題：知預(yù)測(cè)問(wèn)題：知x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，估計(jì)，估計(jì)s(n+N), N0(2)過(guò)濾或?yàn)V波：知過(guò)濾或?yàn)V波：知x(n-1), x(n-2), , x(n-m) ，估計(jì)，估計(jì)s(n)(3)平滑或內(nèi)插平滑或內(nèi)插: 知知x(n-1), x(n-2), , x(n-m)，估計(jì)，估計(jì)s(n-N), N1維納濾波

4、維納濾波WF與卡爾曼濾波與卡爾曼濾波KF：屬于過(guò)濾或預(yù)測(cè)問(wèn)題，采用最：屬于過(guò)濾或預(yù)測(cè)問(wèn)題，采用最小均方誤差準(zhǔn)那么小均方誤差準(zhǔn)那么(MMSE)為最正確準(zhǔn)那么。為最正確準(zhǔn)那么。 MMSE: Minimum Mean Square Error。)( )()(nsnsne誤差)( )(E)(E22nsnsne均方誤差2.1 引引 言言 153維納濾波器與卡爾曼濾波器比較：維納濾波器與卡爾曼濾波器比較：稱號(hào)稱號(hào)知數(shù)據(jù)知數(shù)據(jù)需求計(jì)算需求計(jì)算計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果適用適用條件條件求解方法求解方法提出提出年代年代維納濾波器x(n-1), x(n-2),.相關(guān)函數(shù)H(z)或h(n)平穩(wěn)解析方式40年代卡爾曼濾波器前一

5、個(gè)估計(jì)值和最近的察看形狀方程量測(cè)方程形狀變量估計(jì)值平穩(wěn)或非平穩(wěn)遞推算法60年代2.1 引引 言言 1532.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 2.2.1 維納濾波器時(shí)域求解的方法維納濾波器時(shí)域求解的方法思索到系統(tǒng)的因果性，即思索到系統(tǒng)的因果性，即h(n)=0，nhj，設(shè)hj=aj+jbj為復(fù)數(shù)，思索復(fù)變量求導(dǎo)問(wèn)題。222| ( )| | ( )| | ( )| j,0jjjE e nE e nE e njhab定義求導(dǎo)符號(hào)： jjjjab 2.2. 維納濾波的極小值問(wèn)題變?yōu)椋?0| )(|2neEj2.2.8

6、 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153展開(2.2.8)式:：2*| ( )| ( )( )( )( )( )( )( )( )j( )j ( )jjjjjjE e nE e n e ne ne ne ne nEe ne ne ne naabb (2.2.9)分別計(jì)算(2.2.9每一項(xiàng)：*( )( )(),j ()( )( )(),j()jjjje ne nx njx njabe ne nx njx njab 0)()()(jjjnxhndne2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 ( )( )j ( )h na nb n153整理上面結(jié)果

7、，得：)()(2| )(|*2nejnxEneEj2.2.14) 因此，使均方誤差最小的充要條件描畫如下： Ex*(n-j)e(n)=0 j=0, 1, 2, 2.2.15 結(jié)論：均方誤差到達(dá)最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入結(jié)論：均方誤差到達(dá)最小值的充要條件是誤差信號(hào)與任一進(jìn)入估計(jì)器的輸入信號(hào)正交。這就是著名的正交性原理。估計(jì)器的輸入信號(hào)正交。這就是著名的正交性原理。正交性原理的重要意義：它提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)方法，來(lái)判正交性原理的重要意義：它提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)方法，來(lái)判別線性濾波系統(tǒng)能否任務(wù)于最正確形狀。別線性濾波系統(tǒng)能否任務(wù)于最正確形狀。2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方

8、式時(shí)域解時(shí)域解 153 假定濾波器任務(wù)于最正確形狀，相應(yīng)濾波器輸出yopt(n)與估計(jì)誤差為eopt(n)，那么有 0)()(*optnenyEopt(2.2.17) 最正確形狀下的信號(hào)關(guān)系最正確形狀下的信號(hào)關(guān)系(向量和幾何表示向量和幾何表示)：)()()(optoptnnneyd|2opt22dopteEy2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 上式假定輸入和期望信號(hào)為0均值。eopt(n)d(n)yopt(n)1532.2.2 維納維納霍夫霍夫(Wiener-Hopf)方程方程重寫正交性原理公式重寫正交性原理公式(2.2.15): 0)()()()(0*mmnxmhn

9、dknxE0),()()(0*kkmrmhkrmxxdx對(duì)上式取共軛，利用 ryx(-k)=r*xy(k)可得維納霍夫方程:0),()()()()(0kkrkhmkrmhkrxxmxxxd(2.2.20) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153特殊情況下的維納霍夫方程：特殊情況下的維納霍夫方程：h(n)是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為M的因果序列，的因果序列，或或h(n)是長(zhǎng)度為是長(zhǎng)度為M的的FIR濾波器。濾波器。0),()()()()(10kkrkhmkrmhkrxxMmxxxd(2.2.21) 上式取M個(gè)k值，得M個(gè)方程： k=0： h0rxx(0)+h1rxx(1)+hM1

10、rxx(M-1)=rxd(0)k=1： h0rxx(1)+ h2rxx(0)+ hM1rxx(M-2)= rxd(1) k=M-1： h0rxx(M-1)+ h1rxx (M-2)+hM1rxx(0)= rxd(M-1) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153維納霍夫方程維納霍夫方程( Wiener-Hopf )的矩陣方式：的矩陣方式： ) 1() 1 ()0()0()2() 1()2()0() 1 () 1() 1 ()0(110MrrrhhhrMrMrMrrrMrrrxdxdxdMxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxRhR(2.2.23) 維納濾波器的

11、最正確解：維納濾波器的最正確解：xdxxRRh1(2.2.24) 存在問(wèn)題：求維納濾波器的時(shí)域因果解，需求矩陣求逆，計(jì)算量大(M3)，不是一個(gè)有效的方法。 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153clc;close all;clear all;% 信號(hào)產(chǎn)生% 觀測(cè)點(diǎn)數(shù)N = 2000;n = linspace(0, 1200, N);% 信號(hào)d = 2 * sin(pi * n / 128 + pi / 3);% 噪聲方差1.25v = sqrt(1.25) * randn(N , 1);% 觀測(cè)樣本值x = d + v;2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散

12、方式時(shí)域解時(shí)域解 153% 設(shè)計(jì)維納濾波器tic% 觀測(cè)信號(hào)自相關(guān)C, lags = xcorr(x, N, biased);% 自相關(guān)矩陣R_xx，N 階濾波器R_xx = toeplitz( C(N + 1 : end) );% x,d 相互關(guān)函數(shù)R_xdR_xd = xcorr(d, x, N, biased);R_xd = R_xd(N + 1 : end);% 維納-霍夫方程Wopt = inv(R_xx) * R_xd;2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153% 濾波y = filter(Wopt, 1, x);% 誤差En = d - y;% 結(jié)果fi

13、gure, plot(n, d, r:, n, y, b-);legend(維納濾波信號(hào)真值,維納濾波估計(jì)值); title(期望信號(hào)與濾波結(jié)果對(duì)比);xlabel(觀測(cè)點(diǎn)數(shù));ylabel(信號(hào)幅度);figure, plot(n , En);title(維納濾波誤差曲線);xlabel(觀測(cè)點(diǎn)數(shù));ylabel(誤差幅度);toc2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 1532.2.3 估計(jì)誤差的均方值估計(jì)誤差的均方值 假定所研討的信號(hào)都是零均值的，濾波器為假定所研討的信號(hào)都是零均值的，濾波器為FIR型，長(zhǎng)度型，長(zhǎng)度等于等于M，可以得到，可以得到 122*0111*0

14、00| ( )| | ( )| ( ) () ( )( ) ()( )( ) ( ) ()()MkMMMkkiE e nE d nh k E x nk d nh k E x nk dnh k h i E x nk x ni(2.2.25) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153進(jìn)一步化簡(jiǎn)得到 *T111122*00002* T*T11T21* T| ( )| ( )( )( )( )( ) ( )()()()( *)() ()MMMMdxdxdxxkkkidxdxdxxxdxxxdxxxdxxxdxxdE e nh k rkh k rkh k h i r ikhR

15、RhhR hhRRhRR RR RR闡明：均方誤差與闡明：均方誤差與h(n)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系，因此存在極小值。是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系，因此存在極小值。當(dāng)濾波器任務(wù)于最正確形狀時(shí)，均方誤差獲得最小值。當(dāng)濾波器任務(wù)于最正確形狀時(shí)，均方誤差獲得最小值。optxddxdxxxddneEhRRRRT*21T*2min2)()(| )(|2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153例2.2.1 設(shè)y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪聲，方差22=0.1。 期望信號(hào)x1(n)的信號(hào)模型如圖2.2.2a所示，其中白噪聲v1(n)的方差21=0.27，且b0=0.8458。x

16、(n)的信號(hào)模型如圖2.2.2b所示，b1= -0.9458。假定v1(n)與v2(n)、x1(n)與y(n)不相關(guān)，并都是實(shí)信號(hào)。設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器，得到該信號(hào)的最正確估計(jì)，要求濾波器是一長(zhǎng)度為2的FIR濾波器。 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153圖 2.2.2 輸入信號(hào)與觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153 解 這個(gè)問(wèn)題屬于直接運(yùn)用維納-霍夫方程的典型問(wèn)題， 其關(guān)鍵在于求出觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)信號(hào)與期望信號(hào)的相互關(guān)函數(shù)。 圖 2.2.3 維納濾波器的框圖 H1(z)H2(z)v1(n)x1(n)x(n)

17、y(n)v2(n)2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153根據(jù)題意，畫出維納濾波器的框圖，如圖2.2.3所示。 用H1(z)和H2(z)分別表示x1(n)和x(n)的信號(hào)模型，輸入信號(hào)x(n)可以看作是v1(n)經(jīng)過(guò)H1(z)和H(z)級(jí)聯(lián)后的輸出， H1(z)和H(z)級(jí)聯(lián)后的等效系統(tǒng)用H(z)表示，輸出信號(hào)y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣Ryy和輸出信號(hào)與期望信號(hào)的相互關(guān)矩陣Ryd是處理問(wèn)題的關(guān)鍵。相關(guān)函數(shù)矩陣由相關(guān)函數(shù)值組成，知x(n)與v2(n)不相關(guān)，那么 )()()(22mrmrmrvvxxyy2.2 維納濾波器的離

18、散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153(1) 求出期望信號(hào)的方差。根據(jù)圖2.2.2(a)，期望信號(hào)的時(shí)間序列模型所對(duì)應(yīng)的差分方程為 x1(n)=v1(n)-b0 x1(n-1) 這里，b0=0.8458, 由于x1(n)的均值為零，其方差與自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的值相等。 22021212111021212111)1() 1()(2)()()0(xxxbnxbnxnvbnvEnxER9486. 0)8458. 0(127. 0122021221bxd2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153 (2) 計(jì)算輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣。根據(jù)自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度

19、和時(shí)間序列信號(hào)模型的等價(jià)關(guān)系，已信號(hào)模型，就可以求出自相關(guān)函數(shù)。這里，信號(hào)模型為12111( )( )( )(10.8458)(10.9458)H zH z Hzzz對(duì)應(yīng)的差分方程為 x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n) 式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值為零，因此 x(n)的均值為0。方程兩邊同乘以x*(n-m)，并取數(shù)學(xué)期望，得 rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx (m-2)=0 m0 (1)rxx(0)+ a1rxx(1)+a2rxx(2)=21 m=0 (2) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域

20、解 153對(duì)方程1取m=1, 2，得到 rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0 (3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0(4) 方程2、3、4聯(lián)立求解，得 5 . 08 . 011 . 01) 1 (1) 1 . 0()8 . 01(27. 08 . 018 . 01)1(11)0(2122212221222aaraaaarxxxxx15 . 05 . 01)0() 1 () 1 ()0(xxxxxxxxxxrrrrR2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153v2(n)是一個(gè)零均值的白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)矩陣呈對(duì)角形， 且 ，22)0(

21、22vvr1 . 0001 . 0)0() 1 () 1 ()0(2222222222vvvvvvvvvvrrrrR因此，輸出信號(hào)的自相關(guān)Ryy為 1 . 15 . 05 . 01 . 1)0()0() 1 () 1 () 1 ()0()0() 1 () 1 ()0(22222222vvxxvvxxvvxxvvxxyyyyyyyyyyrrrrrrrrrrrrR2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153(3) 計(jì)算輸出信號(hào)與期望信號(hào)的相互關(guān)函數(shù)矩陣。 由于兩個(gè)信號(hào)都是實(shí)信號(hào)，故 ryd(m)=Ey(n)d(n-m)=Ey(n)x1(n-m)=E(x(n)+v2(n)x1

22、(n-m)=Ex(n)x1(n-m) m=0, 1 根據(jù)圖2.2.2系統(tǒng)H2(z)的輸入與輸出的關(guān)系, 有 x1(n)-b1x(n-1)=x(n) x1(n)=x(n)+b1x(n-1) 這樣 ryd(m) =Ex(n)x1(n-m)=Ex(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m) =rxx(m)+b1rxx(m-1) 2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 153將m=0, m=1代入上式, 得 ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.94580.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+ b1rxx(0)=0.5-0.94581=-0.4458 因此

23、，輸出信號(hào)與期望信號(hào)的相互關(guān)為 4458. 05272. 0) 1 ()0(ydydydrrR求出輸出自相關(guān)的逆矩陣, 并乘以Ryd, 可得維納最正確解Wopt:1122(0)(1)(0)(1)1.14560.52081(0)(1)(1)(0)(1)(0)0.5208 1.1456yyrrrrRrrrrrr2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 1537853. 08360. 0458. 05272. 01456. 15428. 05208. 01456. 11ydyyoptRRW把Wopt代入2.2.27式，可計(jì)算出維納濾波器到達(dá)最正確形狀時(shí)均方誤差，即均方誤差有最小值

24、E|e(n)|2min， 22*Tminopt| ( )| ()0.94860.83600.52720.44580.15790.7583dydE e nRW2.2 維納濾波器的離散方式維納濾波器的離散方式時(shí)域解時(shí)域解 1532.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 不思索濾波器因果性的維納霍夫方程可以寫為不思索濾波器因果性的維納霍夫方程可以寫為 )()()()()(krkhmkrmhkrxxmxxxd設(shè)定d(n)=s(n)，對(duì)上式兩邊做Z變換： Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z) )()()(zSzSzHxxxsopt不思索因

25、果性維納濾波器(2.3.2) 153進(jìn)一步簡(jiǎn)化進(jìn)一步簡(jiǎn)化(2.3.2)：思索期望信號(hào)和噪聲不相關(guān)，：思索期望信號(hào)和噪聲不相關(guān)，rsv(m)=0 Sxs(z)=S(s+v)s(z)=Sss(z)+Svs(z) , Sxs(z)=Sss(z)，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) )()()()()()(zSzSzSzSzSzHvvssssxxxsopt物理意義：噪聲物理意義：噪聲=0信號(hào)全部經(jīng)過(guò)；信號(hào)信號(hào)全部經(jīng)過(guò)；信號(hào)=0噪聲全部抑制噪聲全部抑制(2.3.5) Hopt(ej)PSS(ej)Pvv(ej)02.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 頻譜頻譜噪聲)(信號(hào))(jvvjs

26、sePeP153 討論：(1)不思索因果性的維納濾波器Z域解非常簡(jiǎn)單。(2) 假設(shè)思索因果性，維納濾波器在Z域不能直接求解。Bode和Shannon提出了白化濾波器的方法較好的處理了這個(gè)問(wèn)題。 白化濾波器：對(duì)于具有有理譜的隨機(jī)信號(hào)x(n)可用MA模型描畫，并且B(z)知，可以設(shè)計(jì)出逆濾波器B-1(z)。假設(shè)逆濾波器輸入為x(n)，那么逆濾波器輸出為白噪聲。B(z)(n)x(n)B 1(z)(n)x(n)2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 白化濾波器153 維納濾波器求解思緒：用白噪聲作為待求濾波器G(z)的輸入，假設(shè)1/B(z)為x(n)白化濾波器傳輸函數(shù)，那么維納濾波器傳輸函

27、數(shù)可以表示為 )()()(zBzGzH(2.3.7) 因此維納濾波器的求解轉(zhuǎn)化為G(z)的求解。 (n)x(n)G(z)y(n) s(n)(1zB2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 下面分兩種情況討論：非因果系統(tǒng)和因果系統(tǒng)。 153kknkgngnnsny)()()()()( )(2.3.1 非因果維納濾波器的求解非因果維納濾波器的求解 根據(jù)前面討論的思緒，下面的問(wèn)題就是求解滿足以下條件根據(jù)前面討論的思緒，下面的問(wèn)題就是求解滿足以下條件的的g(n)或或G(z)，其中，其中 為白噪聲。為白噪聲。 )(nG(z)或g(n)(n)( )(nsny2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器

28、的Z域解域解 153kskskrkrkgrknkgnsEneE222ss22|)()()0()()()(| )(|(2.3.9) 計(jì)算均方估計(jì)誤差：計(jì)算均方估計(jì)誤差： 使均方誤差為最小的充要條件是： 0)()(krkgs -k (2.3.10) g(n)的最正確值： 2)()(krkgsopt -k (2.3.11) 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 222*22*( )( ) ()( ) ( )() ()( )() ( )( ) ()( )(0)( )( )( )(kkrkksswwskkE e nEs ng k w nkEs nEg k g r w nk w nkEg k

29、 w nk s ng k w nk s nrg kg k rkg *)( )wskk rk153G(z)的最正確值：2)()(zSzGsopt(2.3.12) 非因果維納濾波器的最正確解為 )()(1)()()(2optoptzBzSzBzGzHs(2.3.13) 思索s(n)=s(n)*(n)和x(n)=(n)*b(n)，由相關(guān)卷積定理得： rxs(m)=rs(m)*b(-m) (2.3.14) Sxs (z)=Ss(z)B(z-1) )()()(1zBzSzSxss(2.3.15) 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153 綜合上面的結(jié)果，并思索x(n)的MA模型，可得維

30、納濾波器的復(fù)頻域最正確解的普通表達(dá)式 )()()()()(11)(12optzSzSzBzSzBzHxxxsxs(2.3.16) 假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即Es(n)v(n)=0：rxs(m)=Es(n)+v(n) s(n+m)=rss(m)rxx(m)=Es(n)+v(n) s(n+m)+v(n+m)=rss(m)+rvv(m) Sxs(z)=Sss(z) Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) (2.3.17) (2.3.18) 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153)()()(1zBzSzSsss2.3.19) 非因果維納濾波器的復(fù)頻域最正確解：非因果維納濾波器的復(fù)頻

31、域最正確解： )()()()()()(optzSzSzSzSzSzHvvssssxxxs)()()()e ()e ()e ()e (jjjjoptvvssssvvssssPPPSSSH2.3.20) 2.3.21) 闡明：上述結(jié)果與(2.3.5)式一樣，但獲得的方法是不一樣的。 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153下面推導(dǎo)最小均方誤差E|e(n)|2min。 kssskrrneE22min2| )(|)0(| )(|(1)用圍線積分法求rss(0): CmsssszzzSmrd)(j21)(1(2.3.22) CsssszzzSrd)(j21)0(1(2.3.23) 2.

32、3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153zzzXzXnxCnd)(j21| )(|12(2.3.25) zzzSzSkrCssnsd)()(j21| )(|12(2.3.26) 綜合(1)和(2)得到: zzzSzSzSneEsssCd)()(1)(j21| )(|12min2(2.3.27) (2) 計(jì)算 nskr2| )(|復(fù)卷積定理2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 *11( )( )( )()2Cndzx n y nX z Yjzz( )( )ssrkSzZ153進(jìn)一步簡(jiǎn)化：zzzSzHzSzzzBzSzBzSzSneEssoptssCsssssCd)()

33、()(j21d)()()()(1)(j21| )(|1112min2(2.3.28) 思索實(shí)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)以及信號(hào)與噪聲不相關(guān)：CxxvvssCssxxsssszzzSzSzSzzzSzSzSzSneEd)()()(j21d)()()()(j21| )(|1min2(2.3.30) )()()()()(1zSzSzSzSzSvvssxxssss2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 1532.3.2 因果維納濾波器的求解因果維納濾波器的求解 假設(shè)維納濾波器是因果濾波器，假設(shè)維納濾波器是因果濾波器， 要求要求 g(n)=0 n0 0)()()()()( )(kknkgngnn

34、sny估計(jì)誤差的均方值：估計(jì)誤差的均方值： E|e(n)|2=E|s(n)-y(n)|2 (2.3.32) (2.3.31) 022202| )(|1)()()0(| )(|kskssskrkrkgrneE2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153使均方誤差獲得最小值的充要條件：使均方誤差獲得最小值的充要條件： )()(0,00,)()(22optnunrnnnrngss(2.3.34) 先計(jì)算： )(1)(ZT)()()()()(2opt0zSngzGznrznunrzSsoptnnsnnss(2.3.35) (2.3.36) 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域

35、解 153因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)G(z)G(z)的最正確解：的最正確解： )()(1)(12optzBzSzGxs(2.3.37) 因果維納濾波器的復(fù)頻域最正確解：因果維納濾波器的復(fù)頻域最正確解： )()()(11)()()(12optzBzSzBzBzGzHxsopt(2.3.38) 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153計(jì)算最小均方誤差：計(jì)算最小均方誤差： zzzSzHzSzzzBzSzBzSzSzzzSzSrkrkukrrkrrneExsssCxsxsssCsCssskssssksssd)()()(j21d)()()()(1)(j21d)()(1j21)0()()()(1)

36、0(| )(|)0(| )(|1opt11212*2022min2(2.3.39) 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153結(jié)論結(jié)論: (1): (1)因果維納濾波器最小均方誤差與非因果維納濾波器因果維納濾波器最小均方誤差與非因果維納濾波器最小均方誤差的方式一樣，但公式中的最小均方誤差的方式一樣，但公式中的Hopt(z)Hopt(z)的表達(dá)式不同。的表達(dá)式不同。(2)(2)非因果非因果E|e(n)|2minE|e(n)|2min一定小于等于因果一定小于等于因果E|e(n)|2min,E|e(n)|2min,，緣由如下緣由如下kssskrrneE22min2| )(|)0(|

37、)(|非因果：022min2| )(|)0(| )(|kssskrrneE因果：(3) 詳細(xì)計(jì)算時(shí),可以選擇單位圓作為積分曲線，運(yùn)用留數(shù)定理， 經(jīng)過(guò)計(jì)算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)得到。 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153因果維納濾波器的設(shè)計(jì)步驟：因果維納濾波器的設(shè)計(jì)步驟： (1) 根據(jù)觀測(cè)信號(hào)根據(jù)觀測(cè)信號(hào)x(n)的功率譜求出對(duì)應(yīng)的的功率譜求出對(duì)應(yīng)的MA信號(hào)模型，即用信號(hào)模型，即用譜分解的方法得到譜分解的方法得到B(z)。(2)求求 的的Z反變換，取其因果部分再做反變換，取其因果部分再做Z變換。即舍掉單位變換。即舍掉單位圓外的極點(diǎn)，得圓外的極點(diǎn)，得 (3)計(jì)算計(jì)算Ho

38、pt(z)，將積分曲線取單位圓計(jì)算，將積分曲線取單位圓計(jì)算E|e(n)|2min。 )()(1zBzSxs)()(1zBzSxs2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153例例 2.3.1 2.3.1 知知 )8 . 01)(8 . 01 (36. 0)(1zzzSss信號(hào)和噪聲不相關(guān)，即rsv(m)=0，噪聲v(n)是零均值、單位功率的白噪聲(2v=1，mv=0)，求Hopt(z)和Ee(n)|2min。 解： (1) 物理可實(shí)現(xiàn)，因果情況 )()()8 . 01)(8 . 01 ()5 . 01)(5 . 01 (6 . 11)8 . 01)(8 . 01 (36. 0)()

39、()(12111zBzBzzzzzzzSzSzSvvssxx6 . 1,8 . 015 . 01)(211zzzB思索因果穩(wěn)定系統(tǒng)2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 153思索Sxs(z)=Sss(z)：)5 . 01)(8 . 01 (36. 0)5 . 01 (6 . 18 . 01)()()(11)(11112optzzzzzBzSzBzHxs2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 nzzTZ8 . 06 . 0)5 . 01)(8 . 01 (36. 011118 . 016 . 0)(8 . 06 . 0)5 . 01)(8 . 01 (36. 0znuZ

40、Tzzn1111opt5 . 011838 . 016 . 0)5 . 01 (6 . 18 . 01)(zzzzzH15321minopt11111d| ( )| ( )( )()2j310.360.36d82j(10.8)(10.8 )10.5(10.8)(10.8 )50.361d80.3752j(10.8 )(10.5)ssxsCCCzE e nSzHz Szzzzzzzzzzzzz計(jì)算最小均方估計(jì)誤差：計(jì)算最小均方估計(jì)誤差： 2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解 未濾波的均方誤差未濾波的均方誤差 ：1| )(| )()(| )(|2222vnvEnsnxEneE153(

41、3) 非物理可實(shí)現(xiàn)，非因果 )5 . 01)(5 . 01 (225. 0)()()()()()(1optzzzSzSzSzSzSzHvvssssxxxs3 . 0d)5 . 01)(5 . 01)(8 . 01)(8 . 01 ()5 . 05 . 0025. 1 (36. 0j21d)8 . 01)(8 . 01 (36. 0)5 . 01)(5 . 01 (225. 0)8 . 01)(8 . 01 (36. 0j21d)()()(j21| )(|1111111optmin2zzzzzzzzzzzzzzzzzzzSzHzSneECCxsss2.3 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域

42、解 比較兩種情況：非物理可實(shí)現(xiàn)的最小均方誤差比較兩種情況：非物理可實(shí)現(xiàn)的最小均方誤差(0.3)(0.3)小于物理小于物理可實(shí)現(xiàn)的均方誤差可實(shí)現(xiàn)的均方誤差(0.375)(0.375)。 1532.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 2.4.1 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算維納預(yù)測(cè)的計(jì)算 觀測(cè)數(shù)據(jù)：觀測(cè)數(shù)據(jù)：x(n)，x(n1)，. 維納濾波：期望輸出維納濾波：期望輸出yd(n)=s(n)，實(shí)踐輸出，實(shí)踐輸出y(n)=s(n)。 維納預(yù)測(cè)：期望輸出維納預(yù)測(cè)：期望輸出yd(n)=s(n+N)，實(shí)踐輸出，實(shí)踐輸出y(n)=s(n+N)。預(yù)測(cè)的能夠性：可以從兩個(gè)方面了解。預(yù)測(cè)的能夠性：可以從兩

43、個(gè)方面了解。(1) 信號(hào)內(nèi)部存在著關(guān)聯(lián)性。數(shù)據(jù)前后的關(guān)聯(lián)性越親密，預(yù)測(cè)信號(hào)內(nèi)部存在著關(guān)聯(lián)性。數(shù)據(jù)前后的關(guān)聯(lián)性越親密，預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確；假設(shè)完全無(wú)關(guān)聯(lián)，那么無(wú)法預(yù)測(cè)。越準(zhǔn)確；假設(shè)完全無(wú)關(guān)聯(lián)，那么無(wú)法預(yù)測(cè)。(2) 系統(tǒng)是有慣性的。即使輸入無(wú)關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)輸出卻有關(guān)聯(lián)。系統(tǒng)是有慣性的。即使輸入無(wú)關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)輸出卻有關(guān)聯(lián)。1532.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 預(yù)測(cè)器輸出信號(hào)y(n)和誤差信號(hào)e(n+N)的描畫： )( )()()()()( )(0NnsNnsNnemNnxmhNnsnym2.4.3 2.4.4 H(z)( )(Nnsny)()()(nvnsnx)()(Nnsnyd維納預(yù)測(cè)器的目的使預(yù)測(cè)均方誤差極小

44、化：min2min2| )( )(| )(|NnsNnsENneE153滿足預(yù)測(cè)誤差均方值最小的充要條件：0| )(|2khNneE2.4.5 NxsxyzzSzSd)()(2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 0)()()()(20mmNnxmhNnskNnxE0)()()(mxxxymkRmhkRd)()()()(*kNrkNnsnxEkrxsxydyd(n)=s(n+N)153因果維納預(yù)測(cè)器的最正確解: )()()(11)()()(11)(1212optzBzSzzBzBzSzBzHxsNxyd2.4.9 非因果維納預(yù)測(cè)器的最正確解：維納預(yù)測(cè)器的最小均方誤差： CxsssCxysszdzzSz

45、HzSzdzzSzHzSNneEd)()()(j21)()()(j21| )(|1opt1optmin2結(jié)論：維納預(yù)測(cè)器的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。結(jié)論：維納預(yù)測(cè)器的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) )()()()()(optzSzSzzSzSzHxxxsNxxxyd2.4.8 1532.4.2 純預(yù)測(cè)純預(yù)測(cè)(N步步) 所謂純預(yù)測(cè)就是不思索噪聲的預(yù)測(cè)。所謂純預(yù)測(cè)就是不思索噪聲的預(yù)測(cè)。 N步純預(yù)測(cè)：步純預(yù)測(cè)：x(n)=s(n)+v(n)，v(n)=0，期望信號(hào)，期望信號(hào)s(n+N), N0。2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 因果純預(yù)測(cè)：設(shè)因果純預(yù)測(cè)：設(shè)

46、s(n)與與v(n)不相關(guān)。不相關(guān)。 )()()()()(12zBzBzSzSzSssxsxx2.4.11 )()(1)()()(11)(12optzBzzBzBzSzzBzHNxsN2.4.12 153純預(yù)測(cè)器最小均方誤差：純預(yù)測(cè)器最小均方誤差： CNNCNNCNxssszdzzBzzzBzBzBzdzzzBzBzBzBzzBzBzdzzzSzHzSNneE)()()()(j2)()()()()()(j21)()()(j21| )(|11212121optmin22.4.13 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153zzzBzBnbCnd)()(j21)(122.4.15 思索到思索到b(n)

47、b(n)是因果系統(tǒng)：是因果系統(tǒng)： )( )()()()()()(| )(|10220022222min2nbNnbnbNnbnuNnbnbNneENnnnnn結(jié)論：隨著結(jié)論：隨著N添加，添加，E|e(n+N)|2min也添加。這一點(diǎn)也容易了也添加。這一點(diǎn)也容易了解，由于預(yù)測(cè)間隔越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)效果越差，偏向越大。解，由于預(yù)測(cè)間隔越遠(yuǎn)，預(yù)測(cè)效果越差，偏向越大。 運(yùn)用復(fù)卷積定理：運(yùn)用復(fù)卷積定理：2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153例例2.4.1 2.4.1 知知 11,)1)(1 (1)(),()(12aazazazSnsnxxx求:(1) 最小均方誤差下的s(n+N)； (2) E|e(n+N)|2

48、min。 解：解：(1)(1)計(jì)算最正確預(yù)測(cè)輸出計(jì)算最正確預(yù)測(cè)輸出 221121,11)()1)(1 (1)(aazzBazazazSxx2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153)(11)(111nuaazTZzBTZn1T1)(),()(1azazBznuazBzNNNnZNNNNaazaazzBzzBzH11opt1)1 ()()(1)()()( )(nsaNnsnyN2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) )()(T1NnuazBzNnZN 153(2) 計(jì)算最小均方誤差計(jì)算最小均方誤差)(| )(|1022min2nbNneENn)()(,122nuanbaNaaaaaaaaNneENNNnn|

49、,111)1 ()1 (| )(|22221022min22.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153討論以上結(jié)果討論以上結(jié)果: :(1)Hopt(z)=aN(1)Hopt(z)=aN 純預(yù)測(cè)的維納濾波器是一個(gè)線性比例放大器。純預(yù)測(cè)的維納濾波器是一個(gè)線性比例放大器。 (2) B(z) (2) B(z) x(n) x(n) 的的MAMA模型模型111)(azzBx(n)=(n)+ax(n-1) (3) N0時(shí)，白噪聲(n+N)對(duì)x(n)無(wú)影響。 當(dāng)N=1時(shí)，x(n+1)=ax(n)=as(n)當(dāng)N=2時(shí)，x(n+2)=ax(n+1)=a2s(n) 當(dāng)N=N時(shí)，x(n+N)=ax(N+n-1)=aNs(

50、n) 2.4.19 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) aNx(n)y(n)153(4) 終值定理與所得估計(jì)值的物理意義 21)(lim)() 1(limxxxmxxzmmrzSz物理意義：一個(gè)信號(hào)的功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)與信號(hào)均值物理意義：一個(gè)信號(hào)的功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)與信號(hào)均值等于等于0等價(jià)，因此對(duì)于功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)的信號(hào)，要等價(jià)，因此對(duì)于功率譜在單位圓上沒(méi)有極點(diǎn)的信號(hào)，要估計(jì)估計(jì)s(n+N)時(shí)，可以為時(shí)，可以為(n+N)=0, N0，即僅需求思索，即僅需求思索B(z)的的慣性，這樣估計(jì)出來(lái)的結(jié)果將有最小均方誤差。慣性，這樣估計(jì)出來(lái)的結(jié)果將有最小均方誤差。 2.4 維維 納納 預(yù)

51、預(yù) 測(cè)測(cè) 1532.4.3 一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解一步線性預(yù)測(cè)：噪聲一步線性預(yù)測(cè)：噪聲v(n)=0，由，由x(n-1), x(n-2)，,x(n-p)預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)x(n)一步線性預(yù)測(cè)的計(jì)算：設(shè)系統(tǒng)脈沖呼應(yīng)為一步線性預(yù)測(cè)的計(jì)算：設(shè)系統(tǒng)脈沖呼應(yīng)為h(n)，令，令apk=-h(k)，預(yù)測(cè)輸出和預(yù)測(cè)誤差為預(yù)測(cè)輸出和預(yù)測(cè)誤差為pkpkpkknxaknxkhnxny11)()()()( )(pkpkpkpkknxaknxanxnxnxne01)()()()( )()(ap0=12.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153212)()(| )(|pkpkknxanxEneE2.4.23 推導(dǎo)使均方誤

52、差最小的充要條件：推導(dǎo)使均方誤差最小的充要條件： planeEpl, 2 , 10| )(|2Ee*(n)x(n-l)=0 l=1, 2, , p 2.4.24 pllkralrpkxxpkxx,.2 , 1, 0)()(12.4.25 計(jì)算均方誤差：計(jì)算均方誤差： 0)( )(*nxneE2.4.26 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153結(jié)論結(jié)論: (1) : (1) 最小預(yù)測(cè)誤差與輸入信號(hào)、最正確預(yù)測(cè)輸出正交。最小預(yù)測(cè)誤差與輸入信號(hào)、最正確預(yù)測(cè)輸出正交。 (2) (2.4.25)(2) (2.4.25)所描畫的所描畫的p p個(gè)方程是求解預(yù)測(cè)濾波器或預(yù)測(cè)系數(shù)個(gè)方程是求解預(yù)測(cè)濾波器或預(yù)測(cè)系數(shù)

53、的重要方程。的重要方程。計(jì)算最小均方預(yù)測(cè)誤差計(jì)算最小均方預(yù)測(cè)誤差 ：pkxxpkxxpkpkkrarnxknxanxEnxneEnxnxneEneE11*min2)()0()()()()()()( )()(| )(|2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153pkxxpkxxpkxxpkxxpllkralrneEkrar11min2, 2 , 10)()(| )(|)()0(00| )(|1)0() 1()() 1()0() 1 ()() 1 ()0(min21neEaarprprprrrprrrpppxxxxxxxxxxxxxxxxxxERAEAR1xxxxYule-Walker方程2.4 維維

54、納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153Yule-Walker方程的特點(diǎn)： (1) 除了第一個(gè)方程外，其他都是齊次方程，因此容易求解。(2) 與維納-霍夫方程相比，不需求求x(n)與s(n)的相互關(guān)函數(shù)。(3) p+1個(gè)方程可以確定p個(gè)預(yù)測(cè)系數(shù)和最小均方誤差。(4) 該方程可以用來(lái)求解AR模型參數(shù)和進(jìn)展功率譜估計(jì)。(5) 該方程提示了時(shí)間序列信號(hào)模型、功率譜和自相關(guān)函數(shù)在描畫一個(gè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)的等價(jià)性。 2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 153關(guān)于自相關(guān)矩陣Rxx的性質(zhì)： (1) 當(dāng)x(n)為實(shí)數(shù)時(shí)， Rxx為對(duì)稱矩陣， Rxx RxxT。 當(dāng)x(n)為復(fù)數(shù)時(shí)， Rxx為Hermitian矩陣， Rxx RxxH。

55、(2) Rxx恣意對(duì)角線上的元素一樣，Toeplitz矩陣。(3) Rxx為正定矩陣，特征值都大于零，一切主子式大于零。(4) 對(duì)于復(fù)序列x(n)，留意本書自相關(guān)函數(shù)的定義方法：)()()(*mnxnxEmrxx2.4 維維 納納 預(yù)預(yù) 測(cè)測(cè) 1532.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 卡爾曼濾波是用形狀空間來(lái)描畫系統(tǒng)，由形狀方程和量測(cè)卡爾曼濾波是用形狀空間來(lái)描畫系統(tǒng)，由形狀方程和量測(cè)方程所組成。方程所組成?？柭鼮V波器的特點(diǎn)：卡爾曼濾波器的特點(diǎn)： (1) 算法是遞推的，而且是在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器，特別適宜多維算法是遞推的，而且是在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)

56、濾波器，特別適宜多維隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)；離散型卡爾曼算法適用于計(jì)算機(jī)處置。隨機(jī)過(guò)程的估計(jì)；離散型卡爾曼算法適用于計(jì)算機(jī)處置。(2) 觀測(cè)數(shù)據(jù)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的。觀測(cè)數(shù)據(jù)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的。(3) 所采取的誤差準(zhǔn)那么仍為估計(jì)誤差的均方值最小所采取的誤差準(zhǔn)那么仍為估計(jì)誤差的均方值最小(MMSE)。 1532.5.1 卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程卡爾曼濾波的形狀方程和量測(cè)方程 kkkkxAx1(2.5.1a) kkkkvxCy(2.5.1b) 其中：(1) k表示時(shí)間或第k步迭代； (2) k為輸入信號(hào)向量 (3) vk為觀測(cè)噪聲向量，是白噪聲； (3) x形狀向量，y輸出信號(hào)

57、向量； (4) A、C為隨時(shí)間變化的增益矩陣。形狀方程形狀方程量測(cè)量測(cè)(輸出輸出)方程方程2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 153z1Ak1Ckk1xk1xkvkyk卡爾曼濾波器信號(hào)模型和對(duì)應(yīng)的形狀方程、量測(cè)方程： 111kkkkxAxkkkkvxCyN1NNN1N1M1MNN1M12.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 1530v0,kkEE卡爾曼濾波要處理的問(wèn)題：卡爾曼濾波要處理的問(wèn)題： 知：知： 遞推計(jì)算最小均方誤差下遞推計(jì)算最小均方誤差下xkxk的估計(jì)的估計(jì) 。, ,1kkkkxyCAkx 對(duì)對(duì) 的根本假設(shè)：零均值高斯白噪聲。的根本假設(shè)：零均值高斯白噪聲。kkv ,(

58、1) 均值向量(2) 自協(xié)方差矩陣和互協(xié)方差矩陣,kHkkkHkkEEvvRQ2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 kjkjHkkjkjHkEERvvQ,1532.5.2 卡爾曼濾波的遞推算法卡爾曼濾波的遞推算法 根本思想：先不思索根本思想：先不思索k和和vk的影響，得到形狀變量和輸出信的影響，得到形狀變量和輸出信號(hào)的估計(jì)值，然后再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差號(hào)的估計(jì)值，然后再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差(新息新息)來(lái)校正形狀來(lái)校正形狀變量的估計(jì)值，使形狀變量估計(jì)誤差的均方值最小。變量的估計(jì)值，使形狀變量估計(jì)誤差的均方值最小。 (1) 先思索無(wú)觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)的形狀方程和量測(cè)方程：先思索無(wú)觀測(cè)噪聲

59、和輸入信號(hào)時(shí)的形狀方程和量測(cè)方程： 1 kkkxAx(2.5.4) (2.5.5) 1 kkkkkkxACxCy2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 kkkyyy(2.5.6) 輸出信號(hào)估計(jì)誤差新息innovation153(2) 觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)對(duì)形狀變量的影響，經(jīng)過(guò)輸出信號(hào)估計(jì)誤差(新息) 的校正來(lái)實(shí)現(xiàn)。ky)()(111kkkkkkkkkkkkkxACyHxAyyHxAx(2.5.7) 定義三個(gè)重要參量：定義三個(gè)重要參量：Hk：增益矩陣加權(quán)矩陣)()(TTkkkkkkkkkkkkkEExxxxPxxxxPxxx(2.5.8) (2.5.9) (2.5.10) 校正后形狀變量估計(jì)

60、誤差的均方矩陣kx未校正Xk估計(jì)誤差均方矩陣2.5 卡爾曼卡爾曼(Kalman)濾波濾波 153卡爾曼濾波要求：經(jīng)過(guò)選擇適宜的卡爾曼濾波要求：經(jīng)過(guò)選擇適宜的Hk，使形狀變量估計(jì)誤差的，使形狀變量估計(jì)誤差的均方值均方值Pk最小。因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵是求出最小。因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵是求出PkHk的關(guān)系式。的關(guān)系式。分兩步推導(dǎo)上述關(guān)系式：分兩步推導(dǎo)上述關(guān)系式：Step 1 推導(dǎo)形狀變量的估計(jì)值推導(dǎo)形狀變量的估計(jì)值 和形狀變量的估計(jì)誤差和形狀變量的估計(jì)誤差 ;Step 2 計(jì)算計(jì)算 的均方值的均方值Pk ，并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，并經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)Pk ，得到一組卡爾曼濾，得到一組卡爾曼濾波的遞推公式。波的遞推公式。 k