化歸于轉化思想

1、專題13 化歸與轉化思想一、 考點回顧化歸與轉化的思想，就是在研究和解決數(shù)學問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，進而達到解決問題的思想。轉化是將數(shù)學命題由一種形式向另一種形式的變換過程，化歸是把待解決的問題通過某種轉化過程歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題?；瘹w轉化思想是中學數(shù)學最基本的思想方法，堪稱數(shù)學思想的精髓，它滲透到了數(shù)學教學內容的各個領域和解題過程的各個環(huán)節(jié)中。轉化有等價轉化與不等價轉化。等價轉化后的新問題與原問題實質是一樣的，不等價轉則部分地改變了原對象的實質，需對所得結論進行必要的修正。應用化歸轉化思想解題的原則應是化難為易、化生

2、為熟、化繁為簡，盡量是等價轉化。常見的轉化有：1、等與不等的相互轉化 等與不等是數(shù)學中兩個重要的關系，把不等問題轉化成相等問題，可以減少運算量，提高正確率；把相等問題轉化為不等問題，能突破難點找到解題的突破口。2、正與反的相互轉化 對于那些從“正面進攻”很難奏效或運算較難的問題，可先攻其反面，從而使正面問題得以解決。3、特殊與一般的相互轉化 對于那些結論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉。 4、整體與局部的相互轉化 整體由局部構成，研究某些整體問題可以從局部開始。5、高維與低維的相互轉化事物的空間形成，總是表現(xiàn)

3、為不同維數(shù)且遵循由低維想高維的發(fā)展規(guī)律，通過降維轉化，可把問題有一個領域轉換到另一個領域而得以解決，這種轉化在復數(shù)與立體幾何中特別常見。6、數(shù)與形的相互轉化通過挖掘已知條件的內涵，發(fā)現(xiàn)式子的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性解決問題，使問題簡化。7、函數(shù)與方程的轉化二、 經典例題剖析例1、（2007安徽卷 理）設，（）令，討論在內的單調性并求極值；（）求證：當時，恒有解析：（）討論在內的單調性并求極值只需求出的導數(shù)即可解決；（）要證當時，恒有，可轉化為證時，亦即轉化為時恒成立；因，于是可轉化為證明，即在上單調遞增，這由（）易知。 答案：（）解：根據(jù)求導法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內

4、是減函數(shù)，在內是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（）證明：由知，的極小值于是由上表知，對一切，恒有從而當時，恒有，故在內單調增加所以當時，即故當時，恒有點評：對于證明在區(qū)間恒成立問題，常運用化歸轉化思想轉化為證明在區(qū)間上恒成立，令，即可轉化為在上，這樣只需求出在區(qū)間上的最小值即可解決之。這種化歸轉化的思想方法在近幾年高考中經常用到。例2、（2005年湖北卷）以平行六面體ABCDABCD的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率p為（ ）A B C D解析：以平行六面體的八個頂點中任取三點為頂點可以構成56個三角形，從這56個三角形中任取兩個，這兩個三角形不共面

5、有多少種不同取法？直接去做較困難，若利用“化歸轉化”數(shù)學思想，采用“正與反的相互轉化”，正難則反，從問題的反面入手，找出共面的三角形的對數(shù)，問題較易解決。 答案：解：以平行六面體ABCDABCD的任意三個頂點為頂點作三角形共有個， 從中隨機取出兩個三角形共有28×55種取法，其中兩個三角形共面的為，故不共面的兩個三角形共有(28×5512×6)種取法，以平行六面體ABCDABCD的任意三個頂點為頂點作三角形，從中隨機取出兩個三角形，則這兩個三角形不共面的概率p為，選(A) 點評：當問題從正面入手難以解決時，常采用“正與反的相互轉化”，從問題的反面入手，將不符合條件

6、的情況去掉（這在排列組合、概率題中常用），或驗證問題的反面不成立（反證法），從而使問題得以解決。例3、（2007年全國理）設數(shù)列的首項（1）求的通項公式；（2）設，證明，其中為正整數(shù)解析：（1）已知數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項，常通過變形使之轉化為形式的等差或等比數(shù)列來解決；（2）比較與的大小，這里由于式子里含有根號，因此可通過平方化無理為有理，比較與的大小。答案：解：（1）由整理得又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，得（2）方法一：由（1）可知，故那么， 又由（1）知且，故，因此為正整數(shù)方法二：由（1）可知，因為，所以由可得，即兩邊開平方得即為正整數(shù)點評：數(shù)列是每年高考的必考內容。已知數(shù)列的遞

7、推公式或已知數(shù)列前n項和與的關系求數(shù)列通項也是?？純热荨Ｈ粢阎獢?shù)列的遞推公式為（）的形式，求數(shù)列的通項時常通過變形使之轉化為形式的等比數(shù)列來解決；若已知數(shù)列前n項和與的關系式求數(shù)列通項，則常用將與的關系式化歸轉化為與（或與）間的遞推關系再進一步求解。例4、 （2007年江蘇卷）在平面直角坐標系中，已知的頂點和，頂點在橢圓上，則_解析：這里頂點是橢圓上的動點，所以、不易確定。但根據(jù)“一般成立特殊一定成立”可將這個一般性的問題轉化化歸為點在特殊位置（橢圓短軸端點）來處理較易。當然：注意到A、C是兩焦點，利用正弦定理，進行數(shù)形轉化也能取得很好的效果.答案：頂點取橢圓短軸端點，即 ，則，點評：象這種“

8、特殊與一般的相互轉化”在高考的選擇題和填空題中經常應用。例如：（2006年遼寧卷）給出下列四個命題: 垂直于同一直線的兩條直線互相平行.垂直于同一平面的兩個平面互相平行.若直線與同一平面所成的角相等，則互相平行.若直線是異面直線，則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4利用特殊圖形正方體我們不難發(fā)現(xiàn)、均不正確，故選擇答案D。再如：（2006年遼寧卷）若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為，則_不妨認為這個正四棱柱為正方體，與正方體的所有面成角相等時，為與相交于同一頂點的三個相互垂直的平面所成角相等，即為體對角線與該正方體所成角.故.例5、（2

9、006年江西卷）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角CB三角形，ÐACB90°，AC6，BCCC1，P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_解析：這里求CPPA1的最小值，而CP與PA1在直三棱柱ABCC1A1B1C1的兩個不同平面內，因此需利用“高維與低維的相互轉化”把立體問題轉化為平面問題來解決。A1答案：解：連A1B，沿BC1將CBC1展開與A1BC1在同一個 平面內，如圖所示， 連A1C，則A1C的長度就是所求的最小值。通過計算可得ÐA1C1C90°又ÐBC1C45°ÐA1C1C135° 由

10、余弦定理可求得A1C.點評：此題將幾何體的側面展開，空間問題轉化成平面問題來解決，這是立體幾何分支中常用的降維轉化思想 在解答立幾問題的過程中，還常用等積變換求有關幾何體的體積或點到平面的距離；常用割補轉化，改變幾何體的狀態(tài)，由復雜幾何體變?yōu)楹唵螏缀误w，同時，線線、線面、面面之間的垂直或平行的互相轉化，貫穿于立體幾何始終；線線、點面、線面、面面之間的距離，既相互聯(lián)系，又可相互轉化。各種轉化策略的運用，是解決立幾問題的法寶。例6、(2007年天津理)設均為正數(shù)，且，則（）ABCD解析：這里要比較三個正數(shù)的大小，而由已知條件很難求出三個數(shù)的準確值。由已知條件可知分別是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象交點的橫

11、坐標，因此可利用化歸轉化數(shù)學思想的“數(shù)與形的相互轉化”來進行解題。答案：在同一直角坐標系下畫出函數(shù)與與及的圖象（如圖所示）則表示的是函數(shù)與交點的橫坐標的值，同理有：表示的是函數(shù)與交點的橫坐標的值，表示的是函數(shù)與交點的橫坐標的值，則有：故選A。點評：通過發(fā)掘函數(shù)式的幾何意義，將代數(shù)問題轉化為函數(shù)問題或幾何問題或解析幾何，然后利用函數(shù)圖象或幾何圖形來解決，這也是近年來高考中常用的解題方法。例7、（2007年全國卷II理）已知函數(shù)（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：解析：（1）通過求導得出切線的斜率，從而由點斜式較易寫出切線方程；（2）由（1）易得過點的曲線的切

12、線方程，曲線有三條切線可轉化為方程有三個相異的實數(shù)根，即函數(shù)有三個零點，故只需的極大值大于零且的極小值小于零。答案：解：（1）的導數(shù)曲線在點處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點，則存在，使若過點可作曲線的三條切線，則方程有三個相異的實數(shù)根記，則當變化時，變化情況如下表：000增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根；當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數(shù)根，則即點評：將證明不等式的問題通過等價轉化化歸為函數(shù)的極值問題來討論，這是近年來高考試題中常出現(xiàn)

13、的一種類型。例8、（2007年福建理）已知函數(shù)（）若，試確定函數(shù)的單調區(qū)間；（）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（）設函數(shù)，求證：解析：（）求出的導函數(shù)，易得的單調區(qū)間；（）易知是偶函數(shù)，于是對任意成立可等價轉化為對任意成立，進一步轉化為在上的最小值大于零，從而求出實數(shù)的取值范圍。答案：解：（）由得，所以由得，故的單調遞增區(qū)間是，由得，故的單調遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立等價于對任意成立由得當時，此時在上單調遞增故，符合題意當時，當變化時的變化情況如下表：x0單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故點評：利用偶函數(shù)

14、的性質進行等價轉化是解決此例問題（）的關鍵。高考試題中常利用奇函數(shù)或偶函數(shù)的性質將函數(shù)在R上的問題進行“整體與局部的相互轉化”轉化為函數(shù)在區(qū)間上問題來討論。三、 方法總結與2008年高考預測（一）方法總結1、熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉化的基礎；豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉化的橋梁；培養(yǎng)訓練自己自覺的化歸與轉化意識需要對定理、公式、法則有本質上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質聯(lián)系。“抓基礎，重轉化”是學好中學數(shù)學的金鑰匙。2、為了實施有效的化歸，既可以變更問題的條件，也可以變更問題的結論，既可以變換問題的內部結構，

15、又可以變換問題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認識問題，又可以從幾何的角度去解決問題。3.要注意化歸轉化的原則及合理性，同一個問題往往用不同的轉化方式可以轉化為不同類型的問題。例如：設x、yR且3x2y6x，則xy的取值范圍為 。若設 xy，再代入消去y，轉化為二次函數(shù)問題；若發(fā)掘式子的幾何意義則知xy的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方，于是可轉化為解析幾何問題；若對已知式和待求式都可以進行三角換元，則又可轉化為三角問題。要注意換元法在化歸轉化中的作用。4.要注意“構造法”在轉化化歸中的作用，通?？筛鶕?jù)已知條件的特點，構造函數(shù)、構造方程、構造幾何圖形等來達到化歸轉化的目的。（二）200

16、8年高考預測1.注意知識網絡的交匯。高考題往往在幾個知識的交匯處命題，考查幾個知識點和能力點，從各方面考查知識點和分析、解決問題的能力。因此，要注意各知識網絡間的相互聯(lián)系，從而達到“化難為易、化生為熟、化繁為簡”的目的。2. 2008年高考，函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、直線與平面、向量、概率、導數(shù)及應用這些數(shù)學主干知識仍然是高考的重點，因此要注意代數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何等數(shù)學分支之間的相互轉化，特別是用向量研究立體幾何、用導數(shù)研究函數(shù)及不等式，以及各主干知識點的綜合考查，特別是與高等數(shù)學相銜接的知識的考查。3.注意創(chuàng)新題型的考查。2007年湖南、安徽、北京、上海等都有一些創(chuàng)新題型，這些題主

17、要體現(xiàn)在對知識點的進一步挖掘、創(chuàng)新，有背景創(chuàng)新、結構創(chuàng)新、立意創(chuàng)新，考查學生的創(chuàng)新能力、創(chuàng)新意識、知識的遷移。2008年可能有更多省市高考中出現(xiàn)這類創(chuàng)新題型。四、 強化訓練（一） 選擇題： 1. 若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是A B C D2. 函數(shù)的圖象關于（ ）A、原點對稱 B、x軸對稱 C、y軸對稱 D、直線yx對稱3. 若、滿足，則有A最小值和最大值1 B最小值和最大值1C最小值但無最大值 D最大值1，但無最小值4. （2006年上海卷）若關于的不等式4的解集是M，則對任意實常數(shù)，總有：（ ）A、2M，0M； B、2M，0M； C、2M，0M； D、2M，0M5. 函數(shù)的值域是

18、A BC D6. 三個平面兩兩垂直，它們的三條交線交于一點O，點P到三個平面的距離之比為1：2：3，則點P到三個平面的距離分別為A2，4，6 B4，8，12 C3，6，9 D5，10，157. （2006年江西卷）若不等式x2ax1³0對于一切xÎ（0，）成立，則a的取值范圍是（ ） A0 B. 2 C. D. 38. 在四面體ABCD中，ABCD，BCAD，ACBD，則BACCADDAB的大小是A90° B180° C銳角 D鈍角9. （1x）（1x）2（1x）3（1x）10展開式中各項系數(shù)和為（ ）A、2112 B、2111 C、211 D、2111

19、10. 若，則點的軌跡是A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線11. 函數(shù)， x的值域是（ ）A、 B、 C、 D、12.設，且，。則的值為（ ） A0 B1 C D（二） 填空題： 13. P（x，y）在直線x2y30上運動，則x2y2的最小值是_14. 若不等式對一切均成立，則實數(shù)的取值范圍為 ；15. 在6，4，2，0，1，3，5，7這8個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)分別作為虛數(shù)的實部和虛部，則所組成的所有不同虛數(shù)中，模大于5的虛數(shù)的個數(shù)是_16. 在中， ，且，則角B的取值范圍是 。（三） 解答題： 17. （2007年湖北文16）已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求

20、實數(shù)的取值范圍18. 如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EFBC.（1）證明FO平面CDE；（2）設BCCD，證明EO平面CDF.19. 設，且。求證20. （2007年湖南卷）設是數(shù)列（）的前項和，且，（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）試找出一個奇數(shù)，使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項都是數(shù)列中的項，并指出是數(shù)列中的第幾項21. （2007年湖北卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，其中設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）22. （2007年浙江理）設，對任意實數(shù)，記（I）求

21、函數(shù)的單調區(qū)間；（II）求證：（）當時， 對任意正實數(shù)成立；（）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立四創(chuàng)新試題1. 設橢圓的方程為，曲線的方程為 ，且曲線與在第一象限內只有一個公共點。 （1）試用表示點的坐標；（2）設A、B是橢圓的兩個焦點，當變化時，求ABP的面積函數(shù)的值域；（3）記為中最小的一個. 設是以橢圓的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)的表達式.2. 對任意函數(shù)f(x)， xD，可按圖示構造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下 輸入數(shù)據(jù)x0D，經數(shù)列發(fā)生器輸出x1f(x0)；若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結束工作；若x1D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2f(x1)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去 現(xiàn)

22、定義（1）若輸入x0，則由數(shù)列發(fā)生器產生數(shù)列xn，請寫出xn的所有項；（2）若要數(shù)列發(fā)生器產生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值；（3）若輸入x0時，產生的無窮數(shù)列xn，滿足對任意正整數(shù)n均有xnxn1；求x0的取值范圍 解析答案：1. C 解析：函數(shù)的定義域為R，對恒成立。 當時有對恒成立，符合題意；當時，要使對恒成立，必須且，解得。綜上，故選C.2. A 解析：函數(shù)定義域滿足，f(x)為奇數(shù)，選A3. B 解析：因、滿足，故可設，則，所以的最大值為1，最小值為，故選B。4. A 解析：方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關于的不等式解集是否為； 方法2：求出不等式的解集：

23、 4；故選A。5. D 解析： 令，則，所以有，由得，故選D。6. A 解析：可構造一個以OP為對角線的長方體，設點P到三個平面的距離分別為，則有，由得，所以點P到三個平面的距離分別為2、4、6。故選A 。7. C 解析：設f（x）x2ax1，則對稱軸為x，若³，即a£1時，則f（x）在0，上是減函數(shù)，應有f（）³0Þ£ x £1；若£0，即a³0時，則f（x）在0，上是增函數(shù)，應有f（0）1>0恒成立，故a³0若0££，即1£a£0，則應有f（）恒成立，故1

24、£a£0ABCD綜上，有£a 。 故選C。8. B 解析：由ABCD，BCAD，BDBD得；同理BACBDC，CADDBC，所以BACCADDABBDCDBCBCD。故選B。9. A 解析： 令x1，22223210選A10. C 解析：由得，由雙曲線的定義知點的軌跡是雙曲線。故選C。11. B 解析：y2sinx2（1sin2x）12sin2x2sinx12選B12. B 解析：根據(jù)題意得，令，顯然是奇函數(shù)，則可得；又，而在上為增函數(shù)，故必有，即，。故選B。13. 解析：x2y2為原點與直線x2y30上的點距離的平方，其最小值為原點到直線x2y30距離的平方14

25、. 或 解析： 令，則要使它對均有，只要有 或。點評：在有幾個變量的問題中，常常有一個變元處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢的影響，在解決這類問題時，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時若能變更主元，轉移變元在問題中的地位，就能使問題迎刃而解。本題中，若視x為主元來處理，既繁且易出錯，實行主元的轉化，使問題變成關于p的一次不等式，使問題實現(xiàn)了從高維向低維轉化，解題簡單易行。15. 32個 解析：當a0時，b可取6，7；當a0時，從6，4，2，1，3，5，7中任取2個作為a、b，共個，其中不合格的是從4，2，1，3中任取2個共個模大于5

26、的不同虛數(shù)共2個16. 解析：由于，構造二次方程由條件，所以方程有兩個相等的實根1. 由韋達定理得： ， 即，故。點評 看到這個題，自然會想到直接將條件進行變形，那么就會相當復雜。而借助于二次方程并利用韋達定理，很快得到熟悉的等式，從而使問題得到解決，方法比較獨特。17. 本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質解題的能力解：（） 又，即，（），且，即的取值范圍是18. 解：(1)證明： 取CD中點M，連結OM，在矩形ABCD中，OMBC，又EFBC，則EFOM.連結EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形. FOEM.   &

27、#160; 又 FO平面CDE，且EM平面CDE，      FO平面CDE.（2）證明： 連結FM，由（）和已知條件，在等邊CDE中，CMDM，EMCD且EMCDBCEF.因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EOFM，CDOM，CDEMCD平面EOM，從而CDEO，而FMCDM，所以EO平面CDF.【點評】 立體幾何是考查轉化與化歸的重要截體，如本題中的位置關系轉化（第（）問中的線線平行與線面平行的轉化，第（）問中的線線垂直與線面垂直的轉化），空間向平面的轉化、等積轉化等等.19.解：由可知。 構造方程，則為該方程的兩個根 解得，從而20. 解：（I）當

28、時，由已知得因為，所以 于是 由得：于是由得：即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列（II）由有，所以由有，所以，而表明：數(shù)列和分別是以，為首項，6為公差的等差數(shù)列所以，由題設知，當為奇數(shù)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項，只可能是數(shù)列中的項若是數(shù)列中的第項，由得，取，得，此時，由，得，從而是數(shù)列中的第項（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項即可）21. 本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力解：（）設與在公共點處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當，即時，；當，即時，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設，則故在為減函數(shù)，

29、在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當時，有，即當時，22. 本題主要考查函數(shù)的基本性質，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力（I）解：由，得因為當時，當時，當時，故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，；單調遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得，當時，所以在內的最小值是故當時，對任意正實數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當時，當時，所以當時，取得最大值因此當時，對任意正實數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對任意正實數(shù)成立即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立下面證明的唯一性：當，時，由（i）得，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立方法二：對任意，因為關于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因為，不等式成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立（四） 創(chuàng)新試題1. 解析：（1）設點的坐標為，則有，消去并化間得由曲線與在第一象限內只有一個公共點知，又，即，代入方程解得，所以點的坐標為。（2）A、B是橢圓的兩個焦點，且，即的