水箱水流量問(wèn)題13頁(yè)

1、水箱水流量問(wèn)題 班級(jí)：計(jì)算122姓名：李克文 學(xué)號(hào)：120901055 水箱的水流量問(wèn)題（一）問(wèn)題的提出：許多供水單位由于沒(méi)有測(cè)量流入或流出水箱流量的設(shè)備，而只能測(cè)量水箱中的水位。試著通過(guò)測(cè)得的某時(shí)刻水箱中水位的數(shù)據(jù)，估計(jì)在任意時(shí)刻（包括水泵灌水時(shí)間）t流出水箱的流量f(t)。假設(shè)：(1)影響水箱流量的唯一因素是該區(qū)域公眾對(duì)水的普通需要。(2)水泵的灌水速度為常數(shù)。(3)從水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度。(4)每天的用水量分布都是相似的。(5)水箱的流水速度可用光滑曲線來(lái)近似。(6)當(dāng)水箱的水容量達(dá)到514.8g時(shí)，開(kāi)始泵水；達(dá)到677.6時(shí)，便停止泵水。給出下面原始數(shù)據(jù)表，其中長(zhǎng)度

2、單位為E（1E=30.24cm）。水箱為圓柱體，其直徑為57E。時(shí)間/s水位E時(shí)間/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340（二）關(guān)鍵字 水箱 ，水流量，水

3、箱容積 ，時(shí)間。（三）問(wèn)題分析與建立模型引入如下記號(hào)： V水的容積； Vi時(shí)刻ti（h）水的容積（單位G，1G=3.785L（升）； f（t）時(shí)刻ti流出水箱的水的流速，它是時(shí)間的函數(shù)（G/h）；p水泵的灌水速度（G/h）。根據(jù)要求先將上表中的數(shù)據(jù)做變換，時(shí)間單位用小時(shí)（h），水位高轉(zhuǎn)換成水的體積（V=R2h），得下表。時(shí)間（h）水量（103G）時(shí)間（h）水量（103G）0606.112.954639.50.921593.713.876622.41.843583.014.982604.62.950571.615.904589.33.871562.616.826575.04.978552.117

4、.932558.85.900544.119.038542.67.001533.649.959528.27.929525.420.839514.88.968514.822.015/9.981/22.958/10.926/23.880663.410.954677.624.987648.512.033657.725.908637.6注：第一段泵水的始停時(shí)間及水量為 t始=8.968（h），v始=514.8103（G） t末=10.926（h），v末=677.6103（G）第二段泵水的始停時(shí)間及水量為 t始=20.839（h），v始=514.8103（G） t末=22.958（h），v末=677.61

5、03（G）2由于要求的是水箱流量與時(shí)間的關(guān)系，因此須由上表的數(shù)據(jù)計(jì)算出相鄰時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)及在時(shí)間區(qū)間內(nèi)水箱中流出的水的平均速度： 平均流速=（區(qū)間左端點(diǎn)的水量區(qū)間右端點(diǎn)的水量）/區(qū)間中點(diǎn)值得下表：時(shí)間區(qū)間的中點(diǎn)值（h）平均流量（×103G/h）0.460614.01.38212.02.39610.03.4119.64.4259.65.4398.96.459.67.4688.98.44810.09.474/10.45/10.94/11.4918.612.4920.013.4219.014.4316.015.4416.016.3716.017.3814.018.4914.019.5016

6、.020.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0做出散點(diǎn)圖如圖15-1:圖15-1 散點(diǎn)圖從圖中可以看出數(shù)據(jù)分布不均勻，局部緊密，因此不能采用插值多項(xiàng)式處理數(shù)據(jù)，而用曲線擬合的最小二乘法。（四）計(jì)算過(guò)程1 算法： 第1步:輸入數(shù)據(jù)xi，yi；第2步:進(jìn)行擬合；第3步:作出散點(diǎn)圖； 第4步:作出擬合函數(shù)圖； 第5步:進(jìn)行誤差估算。2 實(shí)現(xiàn): 在算法步2中使用Fit 函數(shù)，步3、步4使用Plot ，步5選用Integrate 函數(shù)。3 誤差估計(jì)： 誤差估算時(shí)，由于水泵的灌水速度為一常數(shù)，水箱中水的體積的平均變化速度應(yīng)近似等于水泵的灌水速度P減去此段時(shí)間

7、從水箱中流出的平均速度。即 此處f（t）在t區(qū)間的兩端點(diǎn)間進(jìn)行積分。 如果此模型確實(shí)準(zhǔn)確地模擬了這些數(shù)據(jù)，那么在不同的灌水周期中，按此模型計(jì)算出的水泵灌水速度應(yīng)近似為常數(shù)。下面通過(guò)水泵開(kāi)始和停止工作的兩段區(qū)間，即t8.968，10.926 及t20.839，22.958來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。 第一段： 對(duì)應(yīng)于 t始=8.968（h）， t末=10.926（h） 水量分別為 v始=514800（G），v末=677600（G） 故 V1=677600-514800=162800（G） t1=10.926-8.986=1.958（h） =83150（G/h） 第二段： 對(duì)應(yīng)于 t始=20.839（h）， t末

8、=22.958（h） 水量分別為 v始=514800（G）， v末=677600（G）所以 V2=677600-514800=162800（G） t2=22.958-20.839=2.119（h） =76830（G/h） P1=83150+ P2=76830+ （五）結(jié)果分析 通過(guò)水泵開(kāi)始和停止工作的兩段時(shí)間檢驗(yàn)水泵灌水速度應(yīng)近似為常數(shù)；其中由1，x，x2，x3，x8擬合的函數(shù)f（t）所產(chǎn)生的誤差為8.217%，由1，x3，x5，sin(0.1x)，cos(0.1x)擬合達(dá)到8.224%。由此可見(jiàn)如選擇不同的基函數(shù)，將得不同的誤差。但是只要基函數(shù)選擇恰當(dāng)，所產(chǎn)生的誤差也可以保持為相對(duì)穩(wěn)定最小常

9、數(shù)來(lái)支持該模型。同時(shí)，一旦確定了最佳f（t），我們便可通過(guò)Integrate 函數(shù)估算出一天的用水總量，從而根據(jù)常規(guī)每1000人用水量來(lái)推測(cè)出該地區(qū)的人口數(shù)，另外，還可求得水箱的平均流速。 評(píng)價(jià)1、 優(yōu)點(diǎn)：（1） 任意時(shí)刻從水箱中流出的水速都可通過(guò)該模型計(jì)算出來(lái)；（2） 可推測(cè)幾天的流速；（3） 可以將該建模過(guò)程推廣到用電及用氣的估算上。2、缺點(diǎn)：（1） 如能知道水泵的抽水速度，就能更準(zhǔn)確地估算水泵灌水期間水的流速；（2） 通過(guò)考慮體積測(cè)量的差異建模，該作法包含著某種不準(zhǔn)確性。 源程序：L=0.460，14.0，1.382，12.0，2.396，10.0，3.411，9.6， 4.425，9.

10、6，5.439，8.9，6.45，9.6，7.468，8.9， 8.448，10.0，11.49，18.6，12.49，20.0，13.42，19.0， 14.43，16.0，15.44，16.0，16.37，16.0，17.38，14.0， 18.49，14.0，19.50，16.0，20.40，15.0，24.43，14.0， 25.45，12.0fx=FitL，1，x3，x5，Sin0.1x，Cos0.1x，xgraph1=ListPlotL，DisplayFunctionIdentitygraph2=ListPlotfx，x，0.46，25.45，DisplayFunctionIden

11、tity；Showgraph1，graph2，DisplayFunction$DisplayFunction， PlotRangeAll圖15-2 水箱水流量擬合圖v1=677600-514800；t2=10.926-8.968；m1=v1/t1；v2=677600-514800；t1=22.958-20.839；m2=v2/t2；p1=m1+Integratefx，x，8.968，10.926/t1p2=m2+Integratefx，x，20.839，22.958/t2%=（p1-p2）p2運(yùn)行結(jié)果為：112.541-0.0198509x3+0.0000156083x5-97.968Cos0

12、.1x-33.1108Sin0.1x83159.9 76840.8 0.0822362（六）模型評(píng)價(jià)該模型數(shù)學(xué)概念簡(jiǎn)單, 并且容易實(shí)現(xiàn), 任意時(shí)刻從水箱中流出水的速度都可通過(guò)該模型計(jì)算出來(lái), 可以推測(cè)速度. 但數(shù)據(jù)太少, 只能參照一天的數(shù)據(jù). 另外, 如果知道水泵的灌水速度, 就能更準(zhǔn)確地估算水泵灌水期間水的流速.（七） 模型的分析與改進(jìn) 1）模型評(píng)價(jià) 1、模型的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)： 1.模型可以用于有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)水箱的小鎮(zhèn)使用，容易推廣； 2.模型用到的知識(shí)簡(jiǎn)單易懂,模型容易完成； 3.模型不僅提供了水流量及一天用水量的較為準(zhǔn)確的估計(jì),還可以估計(jì)任何時(shí)刻的水流量,包括水泵工作時(shí)的水流量. 缺點(diǎn): 無(wú)法準(zhǔn)