一級(jí)倒立擺系統(tǒng)分析

1、一級(jí)倒立擺的系統(tǒng)分析一、 倒立擺系統(tǒng)的模型建立如圖1-1所示為一級(jí)倒立擺的物理模型小 車導(dǎo) 軌xlF擺桿圖1-1 一級(jí)倒立擺物理模型對(duì)于上圖的物理模型我們做以下假設(shè)：M：小車質(zhì)量m：擺桿質(zhì)量b：小車摩擦系數(shù)l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I：擺桿慣量F：加在小車上的力x：小車位置：擺桿與垂直向上方向的夾角：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）圖1-2是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中的檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较?。FNPMXBxXmgNPI圖1

2、-2 小車及擺桿受力分析分析小車水平方向受力，可以得到以下方程：Mx-x- (1-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到以下方程：N=md2dt2(x+lsin) (1-2)即： N=mx+mlcos-ml2sin (1-3)將這個(gè)等式代入式（1-1）中，可以得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：M+mx+bx+mlcos-ml2sin=F (1-4)為推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得出以下方程：P-mg=md2dt2(lcos) (1-5)P-mg=- mlsin-ml2cos (1-6)利用力矩平衡方程可以有：-Plsin-Nlcos=I (1-7)注意：此方程中

3、的力矩方向，由于=+，cos=-cos，sin=-sin，所以等式前面含有負(fù)號(hào)。合并兩個(gè)方程，約去P和N可以得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：I+ml2+mglsin=-mlxcos (1-8)設(shè)=+，假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即1，則可以進(jìn)行近似處理：cos=-1，sin=-，（ddt）2=0。用u來代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：I+ml2-mgl=mlxM+mx+bx-ml=u (1-9)假設(shè)初始條件為0，則對(duì)式（1-9）進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到：I+ml2ss2-mgls=mlX(s)s2M+mXss2+bXss-mlss2=U(s) (1-10)由于輸出為角度，求解方程

4、組的第一個(gè)方程，可以得到：Xs=I+ml2ml-gs2s (1-11)或改寫為：sXs=mls2I+ml2s2-mgl (1-12)如果令v=x,則有：sV（s）=mlI+ml2s2-mgl (1-13)如果將上式代入方程組的第二個(gè)方程，可以得到：M+mI+ml2ml-gsss2+bI+ml2ml+gs2ss-mlss2=U(s) (1-14)整理后可得傳遞函數(shù)：sU(s)=mlqs2s4+bI+ml2qs3-M+mmglqs2-bmglqs (1-15)其中 q=M+mI+ml2-(ml)2假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：X=AX+Bu y=CX+Du (1-16)方程組對(duì)x,解代數(shù)方程，可以得到解

5、如下：x=xx=-I+ml2bIM+m+Mml2x+m2gl2IM+m+Mml2+I+ml2IM+m+Mml2u=-mlbIM+m+Mml2x+mgl(M+m)IM+m+Mml2+mlIM+m+Mml2u (1-17)整理后可以得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：xx=01000-I+ml2bIM+m+Mml2m2gl2IM+m+Mml2000010-mlbIM+m+Mml2mgl(M+m)IM+m+Mml20xx+0I+ml2IM+m+Mml20mlIM+m+Mml2u y=x=10000010xx+00u (1-18)由（1-9）的第一個(gè)方程為：I+ml2-mgl =mlx對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿可以有：

6、I=13ml2于是可以得到：13ml2+ml2-mgl =mlx化簡(jiǎn)可以得到：=3g4l+34lx (1-19)設(shè)X=x, x, , ，u=x則有：xx =010000000001003g4l0xx+01034lu y=x=10000010xx+00u (1-20)以上公式推理是根據(jù)牛頓力學(xué)的微分方程驗(yàn)證的。在實(shí)際系統(tǒng)中模型參數(shù)如下：M 小車質(zhì)量 1.096 Kgm 擺桿質(zhì)量 0.109 Kgb 小車摩擦系數(shù) 0 .1N/m/secl 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.2 5mI 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m將上述參數(shù)代入，就可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：sXs=

7、0.02725s20.0102125s2-0.26705 (1-21)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：sV（s）=0.027250.0102125s2-0.26705(1-22)擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：sU（s）=2.35655ss3+0.0883167s2-27.9169s-2.30942(1-23)以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：xx =01000-0.08831670.629317000010-0.23565527.82850xx+00.88316702.35655uy=x=10000010xx+00u (1-24)以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：xx =0

8、100000000010029.40xx+0103uy=x=10000010xx+00u （1-25）綜述可知以上就是一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的模型建立過程，最終得出了實(shí)際模型的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程。二、 系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為例，將系統(tǒng)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，能觀標(biāo)準(zhǔn)型和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。由系統(tǒng)狀態(tài)方程可知：A=0100000000010029.40B=0103C=10000010D=001、 轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型定出系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：>> a=poly(A) a =1.0000 -0.0000 -29.4000 0 0由此可知a0=0, a1=0, a2=-29.4,

9、 a3=0。>> b3=C*Bb3 = 0 0b2=C*A*B+a3*C*Bb2 = 1 3>> b1=C*A2*B+a3*C*A*B+a2*C*Bb1 = 0 0>> b0=C*A3*B+a3*C*A2*B+a2*C*A*B+a1*C*Bb0 = -29.4000 0所以系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型為：x1x1 11=0 10000 1000010029.40x1x111+ 0001uy=-29.40100030x1x111+00u2、 轉(zhuǎn)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型利用對(duì)偶性求出能觀標(biāo)準(zhǔn)型為：x1x1 11=0 00010 0001029.40010x1x111+ 0-29.40

10、03300uy=0001x1x1113、 轉(zhuǎn)化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型首先求出系統(tǒng)的特征值以及相應(yīng)的特征向量：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0A = 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 29.4000 0>> V,D=eig(A)V = 0 0 1.0000 -1.0000 0 0 0 0.0000 0.1814 -0.1814 0 0 0.9834 0.9834 0 0D = 5.4222 0 0 0 0 -5.4222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0其中D表示A全部特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，V表示相對(duì)應(yīng)的特征

11、向量。求出變換矩陣V的逆：>> V1=inv(V)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.720635e-292. V1 = 1.0e+291 * 0 0 0.0000 0.0000 0 0 -0.0000 0.0000 0.0000 2.4948 0 0 0 2.4948 0 0計(jì)算變換后的系數(shù)矩陣：>> A1=V1*A*VA1 = 5.4222 0 0 0 0.0000 -5.4222 0 0 0 0 0 0.0000 0 0

12、 0 0B1=V1*BB1 = 1.0e+291 * 0.0000 0.0000 2.49482.4948所以系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為：x1x1 11=5.4222 0000-5.4222 0000000000x1x111+ 1.0e+291 *002.49482.4948u三、 開環(huán)階躍響應(yīng)曲線及分析利用已知的狀態(tài)空間方程來進(jìn)行階躍響應(yīng)分析，在MATLAB中可以寫入以下命令：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0；>> B=0;1;0;3；>> C=1 0 0 0;0 1 0 0；>> D=0;0；>&g

13、t; step(A,B,C,D)可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車位置和擺桿角度都是發(fā)散的。四、 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以利用根軌跡來判斷，已知實(shí)際系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：sV（s）=0.027250.0102125s2-0.26705，則其根軌跡圖形可以利用MATLAB鍵入如下命令來完成。>> num=0.02725;>> den=0.0102125 0 -0.26705;>> z=roots(num)z = Empty matrix: 0-by-1>> p=roots(den)p = 5.1136 -5.1136>> r

14、locus(num,den)可以看出系統(tǒng)沒有零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)，并且有一個(gè)極點(diǎn)為正。由畫出的根軌跡圖形可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，這就意味著系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。五、 能控性和能觀性分析對(duì)于系統(tǒng)的能控性和能觀性分析，可以利用能控性秩判據(jù)和能觀性秩判據(jù)。能控性秩判據(jù)：對(duì)于n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，構(gòu)成能控性判別矩陣：Qc=BABAn-1B，則系統(tǒng)完全能控的充要條件為：rankQc=rankBABAn-1B=n能觀性秩判據(jù)：對(duì)于n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，構(gòu)成能觀性判別矩陣：Qo=CCACAn-1，則系統(tǒng)完全能觀的充要條件為：rankQo=rankCCACAn-1=n利用

15、MATLAB鍵入以下命令來進(jìn)行判斷：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> C=1 0 0 0;0 1 0 0;>> D=0;0;>> Qc=B A*B A2*B A3*BQc = 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000 0 88.2000 3.0000 0 88.2000 0>> R1=rank(Qc)R1 = 4>> Qo=C;C*A;C*A2;C*A3Qo = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0>> R2=rank(Qo)R2 = 2可以看出，系統(tǒng)的完全能控矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全能觀測(cè)矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)，所以系統(tǒng)是可以完全能控完全能觀測(cè)的系統(tǒng)。六、 根軌跡校正以及仿真已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：Gs=0.027250.0102125s2-0.26705設(shè)計(jì)控制器使得調(diào)整時(shí)間ts=0.5s(2%)；最大超調(diào)Mp10%。計(jì)算整理可得超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為：zc=-6.92214；zp=-26.4568，由此可得校正后的傳遞函數(shù)：Q=GsK