二次曲線 即 圓錐曲線

1、二次曲線 即 圓錐曲線 。 圓錐曲線包括圓，橢圓，雙曲線，拋物線。其統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。當e>1時為雙曲線，當e=1時為拋物線，當e<1時為橢圓。1簡介2000多年前，古希臘數(shù)學家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼

2、在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學中關于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果。2定義編輯幾何觀點用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線（conic sections)。通常提到的圓錐曲線包括橢圓，雙曲線和拋物線，但嚴格來講，它還包括一些退化情形。具體而言：1) 當平面與圓錐面的母線平行，且不過圓錐頂點，結(jié)果為拋物線。2) 當平面與圓錐面的母線平行，且過圓錐頂點，結(jié)果退化為一條直線。3) 當平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點，結(jié)果為橢圓。4) 當平面只與圓錐面一側(cè)相交，且不過圓錐頂點，并與圓錐面的對稱軸垂直，結(jié)果為圓。5) 當平面只與圓錐面一側(cè)相交，且過圓錐頂點，結(jié)果退化為一個點

3、。6) 當平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且不過圓錐頂點，結(jié)果為雙曲線的一支（另一支為此圓錐面的對頂圓錐面與平面的交線）。7) 當平面與圓錐面兩側(cè)都相交，且過圓錐頂點，結(jié)果為兩條相交直線。代數(shù)觀點在笛卡爾平面上，二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的圖像是圓錐曲線。根據(jù)判別式的不同，也包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。焦點-準線觀點（嚴格來講，這種觀點下只能定義圓錐曲線的幾種主要情形，因而不能算是圓錐曲線的定義。但因其使用廣泛，并能引導出許多圓錐曲線中重要的幾何概念和性質(zhì)）。給定一點P，一直線L以及一非負實常數(shù)e，則到P的距離與L距離之比為e的點的軌跡是圓錐曲線。根據(jù)e的范

4、圍不同，曲線也各不相同。具體如下：1) e=0，軌跡退化為點（即定點P）；2) e=1（即到P與到L距離相同），軌跡為拋物線；3) 0<e<1，軌跡為橢圓；4) e>1，軌跡為雙曲線。3概念編輯（以下以純幾何方式敘述主要的圓錐曲線通用的概念和性質(zhì)，由于大部分性質(zhì)是在焦點準線觀點下定義的，對于更一般的退化情形，有些概念可能不適用。）考慮焦點-準線觀點下的圓錐曲線定義。定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點；定直線稱為圓錐曲線的準線；固定的常數(shù)（即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比）稱為圓錐曲線的離心率；焦點到準線的距離稱為焦準距；焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準

5、線的直線與圓錐曲線相交于兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學中又稱為正焦弦。圓錐曲線是光滑的，因此有切線和法線的概念。類似圓，與圓錐曲線交于兩點的直線上兩交點間的線段稱為弦；過焦點的弦稱為焦點弦。對于同一個橢圓或雙曲線，有兩個“焦點準線”的組合可以得到它。因此，橢圓和雙曲線有兩個焦點和兩條準線。而拋物線只有一個焦點和一條準線。圓錐曲線關于過焦點與準線垂直的直線對稱，在橢圓和雙曲線的情況，該直線通過兩個焦點，該直線稱為圓錐曲線的焦軸。對于橢圓和雙曲線，還關于焦點連線的垂直平分線對稱。Pappus定理：圓錐曲線上一點的焦半徑長度等于該點到相應準線的距離乘以離心率。Pascal定理：圓錐曲

6、線的內(nèi)接六邊形，若對邊兩兩不平行，則該六邊形對邊延長線的交點共線。（對于退化的情形也適用）Brianchon定理：圓錐曲線的外切六邊形，其三條對角線共點。4定理編輯由比利時數(shù)學家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇凌定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點-準線定義的等價性。即有一以Q為頂點的圓錐（蛋筒），有一平面PI'（你也可以說是餅干）與其相截得到了圓錐曲線，作球與平面PI'及圓錐相切，在曲線為橢圓或雙曲線時平面與球有兩個切點，拋物線只有一個（或者另一個在無窮遠處），則切點為焦點。又球與圓錐之交為圓，設以此圓所在平面PI與PI'之交為直線d（曲線為圓時d為無窮遠線

7、），則d為準線。圖只畫了橢圓，證明對拋物線雙曲線都適用，即證，任一個切點為焦點，d為準線。證：假設P為曲線上一點，聯(lián)線PQ交圓O于E。設平面PI與PI的交角為a，圓錐的母線（如PQ）與平面PI的交角為b。設P到平面PI 的垂足為H，H到直線d的垂足為R，則PR為P到d的垂線（三垂線定理），而PRH=a。又PE=PF，因為兩者同為圓球之切線。如此則有：PR·sina=PH=PE·sinb=PF·sinb其中：PF/PR=sina/sinb為常數(shù)5性質(zhì)編輯橢圓文字語言定義：平面內(nèi)一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個小于1的正常數(shù)e。平面內(nèi)一個動點到兩個定點（

8、焦點）的距離和等于定長2a的點的集合（設動點為P，兩個定點為F1和F2，則PF1+PF2=2a）。定點是橢圓的焦點，定直線是橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率。標準方程：1、中心在原點，焦點在x軸上的橢圓標準方程：（x2/a2)+(y2/b2)=1其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2.2、中心在原點，焦點在y軸上的橢圓標準方程：（x2/b2)+(y2/a2)=1其中a>b>0，c>0，c2=a2-b2。參數(shù)方程：x=acos；y=bsin （為參數(shù)，02)雙曲線文字語言定義：平面內(nèi)一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)e。定點是雙曲線的

9、焦點，定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。標準方程：1、中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線標準方程：（x2/a2)-(y2/b2)=1其中a>0,b>0,c2=a2+b2.2、中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標準方程：（y2/a2)-(x2/b2)=1.其中a>0,b>0,c2=a2+b2.參數(shù)方程：x=asec；y=btan （為參數(shù) )直角坐標（中心為原點）：x2/a2 - y2/b2 = 1 （開口方向為x軸） y2/a2 - x2/b2 = 1 （開口方向為y軸）拋物線文字語言定義：平面內(nèi)一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是等于1。定點是拋物線的焦

10、點，定直線是拋物線的準線。參數(shù)方程x=2pt2 y=2pt (t為參數(shù)） t=1/tan（tan為曲線上點與坐標原點確定直線的斜率）特別地，t可等于0直角坐標y=ax2+bx+c （開口方向為y軸，a0） x=ay2+by+c （開口方向為x軸，a0 )圓錐曲線（二次非圓曲線）的統(tǒng)一極坐標方程為=ep/(1-ecos）其中e表示離心率，p為焦點到準線的距離。離心率橢圓，雙曲線，拋物線這些圓錐曲線有統(tǒng)一的定義：平面上，到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線。且當0<e<1時為橢圓：當e=1時為拋物線；當e>1時為雙曲線。這里的參數(shù)e就是圓錐曲線的離心率，

11、它不僅可以描述圓錐曲線的類型，也可以描述圓錐曲線的具體形狀，簡言之，離心率相同的圓錐曲線都是相似圖形。一個圓錐曲線，只要確定了離心率，形狀就確定了。特別的，因為拋物線的離心率都等于1，所以所有的拋物線都是相似圖形。極坐標方程1、在圓錐中，圓錐曲線極坐標方程可表示為：其中l(wèi)表示半徑，e表示離心率；2、在平面坐標系中，圓錐曲線極坐標方程可表示為：其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。1焦半徑圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑。圓錐曲線左右焦點為F1、F2，其上任意一點為P(x,y），則焦半徑為：橢圓|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex雙曲線P在左支，|PF1|=a-ex |PF2|=

12、a-exP在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=a+exP在下支，|PF1|= a-ey |PF2|=a-eyP在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=a+ey拋物線|PF|=x+p/2切線方程圓錐曲線上一點P（，）的切線方程：以代替，以代替；以（x0+x)/2代替x，以y0+y代替y2即橢圓：x0x/a2+y0y/b2=1；雙曲線：x0x/a2-y0y/b2=1；拋物線：y0y=p(x0+x)焦準距圓錐曲線的焦點到準線的距離p，叫圓錐曲線的焦準距，或焦參數(shù)。橢圓的焦準距：雙曲線的焦準距：拋物線的準焦距：p焦點三角形橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形。設F1、F2分別為橢圓或雙

13、曲線的兩個焦點，P為橢圓或雙曲線上的一點且PF1F2能構(gòu)成三角形。若F1PF2=，則橢圓焦點三角形的面積為S=tan（/2）；雙曲線焦點三角形的面積為S=cot（/2）通徑圓錐曲線中，過焦點并垂直于軸的弦稱為通徑。橢圓的通徑：雙曲線的通徑：拋物線的通徑：2p對比圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標準方程a>b>0a>0,b>0p>0范圍x-a,ay-b,bx（-，-aa,+）yRx0,+）yR對稱性關于x軸，y軸，原點對稱關于x軸，y軸，原點對稱關于x軸對稱頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(c,0),(-c,0)【

14、其中c2=a2-b2】(c,0),(-c,0)【其中c2=a2+b2】(p/2,0)準線x=±（a2)/cx=±（a2)/cx=-p/2漸近線y=±(b/a)x2離心率e=c/a,e（0,1)e=c/a,e（1,+）e=1焦半徑PF1=a+exPF2=a-exPF1=ex+aPF2=ex-aPF=x+p/2焦準距p=(b2)/cp=(b2)/cp通徑(2b2)/a(2b2)/a2p參數(shù)方程x=a·cosy=b·sin，為參數(shù)x=a·secy=b·tan，為參數(shù)x=2pt2y=2pt,t為參數(shù)過圓錐曲線上一點(x0,y0）的切

15、線方程(x0·x/a2)+(y0·y/b2)=1(x0x/a2)-(y0·y/b2)=1y0·y=p(x+x0)斜率為k的切線方程y=kx±(a2）·（k2)+b2y=kx±(a2）·（k2)-b2y=kx+p/2k中點弦問題已知圓錐曲線內(nèi)一點為圓錐曲線的一弦中點，求該弦的方程：1、聯(lián)立方程法。用點斜式設出該弦的方程（斜率不存在的情況需要另外考慮），與圓錐曲線方程聯(lián)立求得關于x的一元二次方程和關于y的一元二次方程，由韋達定理得到兩根之和的表達式，在由中點坐標公式的兩根之和的具體數(shù)值，求出該弦的方程。2、點差法（代點

16、相減法）設出弦的兩端點坐標（，）和（，），代入圓錐曲線的方程，將得到的兩個方程相減，運用平方差公式得(x1+x2)(x1-x2)/(a2)+(y1+y2)(y1-y2)/(b2=0由斜率為（y1-y2)/(x1-x2），可以得到斜率的取值（使用時注意判別式的問題）求點的軌跡方程在求曲線的軌跡方程時，如果能夠?qū)㈩}設條件轉(zhuǎn)化為具有某種動感的直觀圖形，通過觀察圖形的變化過程，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，找出哪些是變化的量（或關系）、哪些是始終保持不變的量（或關系），那么我們就可以從找出的不變量（或關系）出發(fā)，打開解題思路，確定解題方法。圓錐曲線的曲率（見右圖）曲率半徑的作圖。第二條垂線與法線的交點Z就是曲率的中

17、心；它到P點的距離便是曲率半徑。統(tǒng)一方程平面直角坐標系內(nèi)的任意圓錐曲線可用如下方程表示：其中，0,2)，p>0，e0。e=1時，表示以F(g,h)為焦點，p為焦點到準線距離的拋物線。其中與極軸夾角（A為拋物線頂點）。0<e<1時，表示以F1(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的橢圓。其中與極軸夾角。e>1時，表示以F2(g,h)為一個焦點，p為焦點到準線距離，e為離心率的雙曲線。其中與極軸夾角。e=0時，表示點F(g,h)。五點法求平面內(nèi)圓錐曲線可以采用該統(tǒng)一方程。代入五組有序?qū)崝?shù)對，求出對應參數(shù)。注：此方程不適用于圓錐曲線的其他退化形式，如圓等。附：當

18、e0時，F(xiàn)(g,h)對應準線方程：6CGY-EH定理編輯CGY-EH定理（又稱圓錐曲線硬解定理3）是一套求解橢圓雙曲線與直線相交時、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦長的簡便算法.定理內(nèi)容:若曲線 與直線A+By+C=0相交于E、F兩點,則:其中 ; '為一與同號的值.定理說明:應用該定理于橢圓 時,應將 代入.應用于雙曲線 時,應將 代入,同時 不應為零,即不為零.求解y1+y2與 y1*y2只須將A與B的值互換且m與n的值互換.可知與'的值不會因此而改變.應用示例:1.橢圓x2/4+y2/3=1與直線y=x+1相交于E、F兩點,求解相交弦長|EF

19、|,x_1+x_2, x_1 x_2, y_1+y_2, y_1*y_2.列表:ABCmn'1-1143772求解:x_1+x_2x_1*x_2|EF|互換表中A與B的值,m與n的值:ABmn-1134求解:y_1+y_2y_1*y_22.雙曲線x2/3-y2/4=1與直線y=x+2相交于E、F兩點,求解相交弦|EF|,x_1+x_2, x_1 x_2, y_1+y_2, y_1 y_2.列表:ABCmn'1-123-4-160求解:x_1+x_2x_1*x_2|EF|12-24互換表中A與B的值,m與n的值:ABmn-11-43求解:y_1+y_2y_1*y_21647判別法

20、編輯設圓錐曲線的方程為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0|A B D|= |B C E| , =|A B| , S=A+C , 稱為二次曲線不變量(=b2-4ac)|D E F| |B C|>0=0有一實點的相交虛直線>00S<0橢圓>00S>0虛橢圓<0=0相交直線<00雙曲線=00拋物線=0=0D2+E2-AF-CF>0平行直線=0=0D2+E2-AF-CF=0重合直線=0=0D2+E2-AF-CF<0平行虛直線8漫談編輯圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標系，它們又與二次方程對應，所以，圓錐曲線又叫做二次曲

21、線。圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的橢圓軌跡上運行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個叫做旋轉(zhuǎn)物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個軸上有一個具有奇妙性質(zhì)的焦點，任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以后

22、，都成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們在設計高大的立塔（如冷卻塔）時，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅固。由此可見，對于圓錐曲線的價值，無論如何也不會估計過高。9歷史編輯對于圓錐曲線的最早發(fā)現(xiàn)，眾說紛紜。有人說，古希臘數(shù)學家在求解“立方倍積”問題時，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：設x、y為a和2a的比例中項，即。a：x=x：y=y：2a，則x2=ay,y2=2ax，xy=2a2，從而求得x3=2a3。又有人說，古希臘數(shù)學家在研究平面與圓

23、錐面相截時發(fā)現(xiàn)了與“立方倍積”問題中一致的結(jié)果。還有認為，古代天文學家在制作日晷時發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。日晷是一個傾斜放置的圓盤，中央垂直于圓盤面立一桿。當太陽光照在日晷上，桿影的移動可以計時。而在不同緯度的地方，桿頂尖繪成不同的圓錐曲線。然而，日晷的發(fā)明在古代就已失傳。早期對圓錐曲線進行系統(tǒng)研究成就最突出的可以說是古希臘數(shù)學家阿波羅尼（Apollonius，前262前190）。他與歐幾里得是同時代人，其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽為古代希臘幾何的登峰造極之作。在圓錐曲線中，阿波羅尼總結(jié)了前人的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉并使之系統(tǒng)化的工作，在此基礎上，

24、又提出許多自己的創(chuàng)見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，以致后代學者幾乎沒有插足的余地達千余年。我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線以及它們的退化形式：兩相交直線，一條直線和一個點，如圖1，所示。在此，我們僅介紹阿波羅尼關于圓錐曲線的定義。如圖2，給定圓BC及其所在平面外一點A，則過A且沿圓周移動的一條直線生成一個雙錐面。這個圓叫圓錐的底，A到圓心的直線叫圓錐的軸（未畫出），軸未必垂直于底。設錐的一個截面與底交于直線DE，取底圓的垂直于DE的一條直徑BC，于是含圓錐軸的ABC叫軸三角形.軸三角形與圓錐曲線交于P、P，PP未必是圓錐曲線的軸，P

25、PM是由軸三角形與截面相交而定的直線，PM也未必垂直于DE。設QQ是圓錐曲線平行于DE的弦，同樣QQ被PP平分，即VQ=QQ。現(xiàn)作AFPM，交BM于F，再在截面上作PLPM。如圖3，PLPP對于橢圓、雙曲線，取L滿足，而拋物線，則滿足，對于橢圓、雙曲線有QV=PV·VR，對于拋物線有QV=PV·PL，這是可以證明的兩個結(jié)論。在這兩個結(jié)論中，把QV稱為圓錐曲線的一個縱坐標線，那么其結(jié)論表明，縱坐標線的平方等于PL上作一個矩形的面積。對于橢圓來講，矩形PSRV尚未填滿矩形PLJV；而雙曲線的情形是VR>PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而拋物線，短形PLJV恰好填滿。故

26、而，橢圓、雙曲線、拋物線的原名分別叫“虧曲線”、“超曲線”和“齊曲線”。這就是阿波羅尼引入的圓錐曲線的定義。阿波羅尼所給出的兩個結(jié)論，也很容易用現(xiàn)代數(shù)學符號來表示：趨向無窮大時，LS=0，即拋物線，亦即橢圓或雙曲線的極限形式。在阿波羅尼的圓錐曲線問世后的13個世紀里，整個數(shù)學界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展。11世紀，阿拉伯數(shù)學家曾利用圓錐曲線來解三次代數(shù)方程，12世紀起，圓錐曲線經(jīng)阿拉伯傳入歐洲，但當時對圓錐曲線的研究仍然沒有突破。直到16世紀，有兩年事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究。一是德國天文學家開普勒（Kepler,15711630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞

27、太陽運行的事實；二是意大利物理學家伽利略（Galileo,15641642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線。人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式。于是，對圓錐曲線的處理方法開始有了一些小變動。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,15451607）橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡。從而改變了過去對圓錐曲線的定義。不過，這對圓錐曲線性質(zhì)的研究推進并不大，也沒有提出更多新的定理或新的證明方法。17世紀初，在當時關于一個數(shù)學對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述。他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓。從而他第一個掌握了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€，只須考慮焦點的各種移動方式。譬如，橢圓有兩個焦點F1、F2，如圖4，若左焦點F1固定，考慮F2的移動，當F2向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，F(xiàn)1與F2重合時即為圓；當F2向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，F(xiàn)2到無窮遠處時即為拋物線；當F2從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當F2繼續(xù)向右移動，F(xiàn)2又與