數(shù)理方程習(xí)題綜合

1、例1.1.1 設(shè) v=v( 線 x,y), 二階性偏微分方程 vxy =xy的通解。解原方程可以寫成e ex （ ev ey ） =xy兩邊對 x 積分，得vy =（y） +1/2 x2Y,其中（y）是任意一階可微函數(shù)。進一步地，兩邊對y 積分，得方程得通解為v（ x,y ）= vy dy+f （ x） =（y） dy+f （ x） +1/4 x2y222=f （ x） +g（ y）+1/4 x y其中 f （ x） ,g （ y）是任意兩個二階可微函數(shù)。例即 u( , ) = F( ) + G( ),其中 F( ),G( )是任意兩個可微函數(shù)。例設(shè)有一根長為 L 的均勻柔軟富有彈性的細(xì)弦，平

2、衡時沿直線拉緊，在受到初始小擾動下，作微小橫振動。試確定該弦的運動方程。取定弦的運動平面坐標(biāo)系是OXU ,弦的平衡位置為 x 軸，弦的長度為 L ，兩端固定在 O,L兩點。用 u(x,t) 表示弦上橫坐標(biāo)為x 點在時刻 t 的位移。由于弦做微小橫振動，故ux0.因此0， cos 1,sin tan =u x0,其中 表示在 x 處切線方向同x 軸的夾角。下面用微元法建立 u 所滿足的偏微分方程。在弦上任取一段弧MM ' ,考慮作用在這段弧上的力。作用在這段弧上的力有張力和外力?？梢宰C明，張力T 是一個常數(shù)，即T 與位置 x 和時間 t 的變化無關(guān)。事實上，因為弧振動微小，則弧段MM &

3、#39; 的弧長xx1 ux2 dx x 。sx這說明該段弧在整個振動過程中始終未發(fā)生伸長變化。于是由Hooke 定律，張力 T 與時間 t 無關(guān)。因為弦只作橫振動，在x 軸方向沒有位移，故合力在x 方向上的分量為零，即精選文庫T(x+x )cos -T(x)cos =0.由于 co's 1， cos 1,所以 T(X+x)=T(x), 故張力 T 與 x 無關(guān)。于是，張力是一個與位置 x 和時間 t 無關(guān)的常數(shù)，仍記為T.作用于小弧段MM ' 的張力沿 u 軸方向的分量為Tsin -Tsin T(u x(x+x ,t)-u x(x,t).設(shè)作用在該段弧上的外力密度函數(shù)為F（

4、x,t ）那么弧段MM ' 在時刻 t 所受沿 u 軸方向的外力近似的等于 F(x,t)x . 由牛頓第二定律得T（ ux(x+ x ,t)-u x(x,t)+F(x,t)x = u tt x ,其中是線密度，由于弦是均勻的，故為常數(shù)。這里utt 是加速度 utt在弧段 MM '上的平均值。設(shè) u=u(x,t)二次連續(xù)可微。由微分中值定理得Tu zz （ x+ x ， t)x +F(x,t)x = uttx , 0<<1.消去 x ，并取極限x 0得Tu xx （ x,t ） +F(x,t)= u tt ,即20<x<L,t>0,u tt = u

5、xx +?(x,t),其中常數(shù) 2 =T/ ，函數(shù) ?（ x,t ） =F(x,t)/ 表示在 x 處單位質(zhì)量上所受的外力。上式表示在外力作用下弦的振動規(guī)律，稱為弦的強迫橫振動方程 ，又稱 一維非齊次波動方程 。當(dāng)外力作用為零時，即?=0 時，方程稱為弦的自由橫振動方程 。類似地，有 二維波動方程2(x,y),t>0,u tt = （u xx +u y y ） +? （ x.y.t） ,電場 E 和磁場 H 滿足 三維波動方程2 E c2 2 E 和2 Hc2 2 H ,t 2t 2其中 c 是光速和2222。x2y2z2例 1.2.2 設(shè)物體在內(nèi)無熱源。在中任取一閉曲面S（圖 1.2）

6、。以函數(shù) u(x,y,z,t) 表示物體在 t 時刻， M=M(x,y,z)處的溫度。根據(jù) Fourier 熱傳導(dǎo)定律，在無窮小時段dt 內(nèi)流過物體的一個無窮小面積dS 的熱量 dQ 與時間 dt，曲面面積dS 以及物體溫度u 沿曲面的外法線n 的方向?qū)?shù)三者成正比，即- k u dSdtn,-2精選文庫其中 k=k(x,y,z) 是在物體M(x,y,z) 處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，取正值。我們規(guī)定外法線n 方向所指的那一側(cè)為正側(cè)。上式中負(fù)號的出現(xiàn)是由于熱量由溫度高的地方流向溫度低得地方。故當(dāng)u-n 方向流去。0 時，熱量實際上是向n對于內(nèi)任一封閉曲面S，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域為V，那從時刻 t1 到時刻

7、 t2 經(jīng)曲面流出的熱量為t 2udSdtQ1=-kt1 Sn設(shè)物體的比熱容為 c(x,y,z) ，密度為 (x,y,z)，則在區(qū)域 V 內(nèi)，溫度由 u(x,y,z, t1 )到 u(x,y,z)所需的熱量為t 2u dvdt .Q2cu(x, y, z, t2 )u(x, y, z, t1 ) dvcVt1Vt根據(jù)熱量守恒定律，有Q2Q1即t2udSstcu（x, y, z, t2 )u(x, y, z, t1 ) dvkVt1Sn假設(shè)函數(shù) u(x,y,z,t) 關(guān)于 x,y,z 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)于 t 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么由高斯公式得t 2uuuukkdvdt 0 . ckt1

8、Vtxyyyzz由于時間間隔t1 , t 2 及區(qū)域 V 是任意的，且被積函數(shù)是連續(xù)的，因此在任何時刻t，在內(nèi)任意一點都有uuukucykykzxyyz(1.2.6)-3精選文庫方程稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程。如果物體是均勻的，此時k,c 及均為常數(shù)，令 a2 =k，則方程 (1.2.6) 化為cua22 u2u2ua2 u ,(1.2.7)tx2y 2z2它稱為三維熱傳導(dǎo)方程若物體內(nèi)有熱源，其熱源密度函數(shù)為，則有熱源的熱傳導(dǎo)方程為ut a2 u f ( x, y, z, t)(1.2.8)其中 fFc類似地，當(dāng)考慮的物體是一根均勻細(xì)桿時如果它的側(cè)面絕熱且在同一截面上的溫度分布相同，那

9、么溫度只與有關(guān)，方程變成一維熱傳導(dǎo)方程u ta2uxx（1.2.9）同樣，如果考慮一塊薄板的熱傳導(dǎo)，并且薄板的側(cè)面絕熱，則可得二維熱傳導(dǎo)方程uta2 (uxx uyy）（1.2.10）（ P16)例一長為 L 的彈性桿， 一端固定， 另一端被拉離平衡位置b 而靜止， 放手任其振動。試寫出桿振動的定解問題。解取如圖 1.3 所示的坐標(biāo)系。OLL+bx泛定方程就是一維波動方程（桿的縱振動方程）u tt =a 2 u xx ,0<x<L.在初始時刻（即放手之時），桿振動的速度為零，即u t (x,0)=0,0xL.而在 x=L 端拉離平衡位置， 使整個彈性桿伸長了b。這個 b 是來自整個

10、桿各部分伸長后的貢獻，而不是x=L 一端伸長的貢獻，故整個彈性桿的初始位移為b0xL.u| t 0 = x,L再看邊界條件。一端 x=0固定，即該端位移為零，故有u(0,t)=0,0xL.另一端由于放手任其振動時未受外力，故有u x (L,t)=0,t 0.所以，所求桿振動的定解問題為-4精選文庫u tt =a 2 u xx ,0<x<L,t>0,u(x,0)=b（ x,0)=0,0 xL,x, u tLu(0,t)=0,u x (L,t)=0,t0.（ P17）例：長為 L 的均勻弦，兩端 x=0 和 x=L 固定，弦中張力為 T ，在 x=x0 處以橫向力 F 拉弦，達到

11、穩(wěn)定后放手任其振動。試寫出初始條件。解：建立如圖坐標(biāo)系。設(shè)弦在 x0 點受到橫向力T 作用后發(fā)生的位移為h,則弦的初始位移為hx,0 xx0,u(x,0)=x0h(L-x), x 0 x L,L-x 0其中 h 待求。由牛頓第二定律得F-Tsin1-Tsin 2=0，在微小振動的情況下，Sin 1tan 1= h , sin 2tan 2= h ,所以F=Th +Thx0L-x 0x0L-x 0因此h=Fx 0(L-x 0) .F(L-x ) ,0 xx ,TL00從而初始位移為u(x,0)=TLFx0(L-x) ,x0 x L.TL而初始速度ut (x,0)=0.(P18)例考慮長為L 的均

12、勻細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題。若（1）桿的兩端保持零度；（2）桿的-5精選文庫兩端絕熱；（ 3）桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱。試寫出該絕熱傳導(dǎo)問題在以上三種情況下的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為u(x,t), 則（ 1） u（ x,t ） =0， u(L,t)=0.（ 2） 當(dāng)沿桿長方向有熱量流動時，由Fourier 實驗定律得q 1ku0 , q 2kuxxL 'xx其中 q1,q2 分別為 x=0 和 x=L 處的熱流強度。 而桿的兩端絕熱， 這就意味著桿的兩端與外界沒有熱交換，亦沒有熱量的流動，故有q1=q2=0 和ux ( 0 , t )0 ,u x( L , t )0 .(3)顯然，此時

13、有u (0, t )0, ux ( L ,t )0 .例求 Poisson 方程 Uxx +Uyy =X2 +XY+Y2 的通解解 :先求出方程的一個特解 V=V （ x， y),使其滿足Vxx +Vyy=X2 +XY+Y2由于方程右端是一個二元二次齊次多項式，可設(shè)V（ x，y)具有形式V(x,y)=aX4 +bX3 Y+cY4,其中 a,b,c 是待定常數(shù)Vx=4aX3+3bX2 YVy=bX3+4cY3Vxx=12aX2+6bXYVyy=12cY2得 Vxx+Vyy=12aX2 +6bXY+12cY2=X2 +XY+Y2比較兩邊系數(shù)，可得a=1/12,b=1/6,c=1/12于是 V （

14、x,y)=1/12(X4 +2X3 Y+Y4）下面求函數(shù)W=W(x,y), 使其滿足Wxx+Wyy=0. 作變量代換e=x,n=iy( 以下的偏導(dǎo)的符號記為 d)Ue=du/de=du/dx=UxUn=du/dn=du/dy *dy/dn=-iyUee=dUe/de=UxxUnn=-Uyy可得 Wee-Wnn=0再作變量代換s=e+n,t=e-nUe=du/de(s,t)=Us+UtUn=du/dn=Us-UtUee=dUe/de=d(Us+Ut)/de=Uss+Utt+2UstUnn=dUn/dn=d(Us-Ut)/dn=Uss+Utt-2Ust那么方程進一步化為Wst=0其通解為 W=f(

15、s)+g(t)=f(e+n)+g(e-n)=f(x+iy)+g(x-iy),其中 f,g 是任意兩個二階可微函數(shù)。那么根據(jù)疊加原理，方程的通解為u(x,y)=V+W=f(x+iy)+g(x-iy)+1/12(X4+2X3 Y+Y4)(P32)例 2.1.1 判斷方程 U xx+2U xy -3Uyy+2Ux+6U y=0（ 2.1.22）的類型，并化簡。解： 因為 a11= 1,a12= 1,a22= -3, 所以=a212-a11a22=4>0, 故方程為雙曲型方程。對應(yīng)的特征方程組為-6精選文庫d ya 12a 212a 11a 223 ,d ya 12a 2 12a 11 a 22

16、d xa 11d xa 111 .該 方 程 組 的 特 征 曲 線 （ 即 通 解 ） 為 y 3 x c1 , yx c2 . 作 自 變 量 變 換y3 x ,yx 則u xx3uu ;u yuu ,u xx9 u6 uu ,u xy3u2 uu ,u yyu2 uu.將上述各式帶入方程（2.1.22），得第一種標(biāo)準(zhǔn)形式u10.（2.1.23）u2若令 s, t2,則得到第二種標(biāo)準(zhǔn)形式2u ssu ttu su t0 .（ 2.1.24）下面對式（ 2.1.24）進一步化簡。令uVe st , 則u s( V sV ) e st ，u t( V tV ) e st ,u ss(V ss2

17、 V s2 V ) eu tt( V tt2 V t2V ) e代入方程，得st,st .V ssV tt( 21 ) V s( 1 2 ) V t(22) V0 .我們?nèi)?，2則式（ 2.1.24）化簡為V ss V tt0 ,（ 2.1.25）該方程不含一階偏導(dǎo)數(shù)項。例-7精選文庫例求值問題4y2vxx+2(1-y 2)vxy-vyy-2y/(1+y 2) (2v x-vy)=0,x R1,Y>01V(X,0)= （ X） ,V Y（ X,0 ） =（X）,X R的解，其中（x）是已知任意二階可微函數(shù)，（x）是任意一階可微函數(shù)。解先把所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)型。特征方程組為dy/dx =-1

18、/2,dy/dx=1/2y2.其通解為x+2y=C1,x-2y3/3=C做自變量變換 =x+2y, =x-2y3/3,這樣給定的方程化為標(biāo)準(zhǔn)型V =0依次關(guān)于和積分兩次，得通解v=F（） +G（） . 代回原自變量x,y得原方程得通解v？（ x,y ） =F（x+2y ） +G（ x-2y2/3）其中 F,G 是任意兩個可微函數(shù)。進一步，由初始條件得（ x） =v（ x,0 ） =F（ x） +G（ x）, （x）=VY（ x,0 ） =2F（ x）從而求出-8精選文庫F（ x）=F（ 0） +1/2 x0（t ） dt,G （ x） =（ x） -F （ 0）-1/2 x0（t ） dt.所

19、以原定解問題的解為v（ x,y ） =（ x-2y3/3 ） +1/2 x+2y x-2y3/3 （t ）dt.例設(shè)常數(shù) A,B,C 滿足 B2-4A C 0,m1,m2 是方程Am2+Bm+C=0的兩個根。證明二階線性偏微分方程Auxx+Buxy +Cuyy =0 的通解具有如下形式：u=u(x,y)=f(m x+y)+g(m2x+y),1其中 f,g是任意兩個二階可微函數(shù)。證 不失一般性，設(shè)A0 和 B2-4AC>0. 其它情況可以類似的處理。令 =mx+y, =mx+y. 則12U=mu+m u， u =u +u， U =m2u+2mmu+m2ux1 2yxx11 22u =u+2

20、u+u,uxy=mu+(m +m)u+uyy1 12上述式代入得：（ Am12+Bm1+C） u +（ Am22+Bm+C） u +(2Am1m2+B(m1+ m2)+2C)u =0由題意得Am12+Bm1+C=0， Am22+Bm+C=0，m1+m2 =B/A, m 1m2=C/A上述式代入得(1/A)(4AC-B2)u =0又由題意得4AC-B2 0故 u =0對該方程兩邊分別關(guān)于和積分， 得通解 u=f( )+g（）， 代回自變量 x,y, 得方程的通解是u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m 2x+y),其中 f,g是任意兩個二階可微函數(shù)。證畢。端點自由的半無限長的均勻弦振動的定解

21、問題-9utta 2uxxf x, t0 x, t 0,u x,0x ,utx,0x , 0 x,ux 0,t0,t0.精選文庫因為 ux 0, t0 , 我們對函數(shù)f ,關(guān)于 x 做偶延拓。定義F x,t ,x 和x 如下：x , x0,xx , x0.xx ,x0,x ,x0.F x,tfx,t ,x0, t0,fx, t ,x0, t0.函數(shù) F x, t ,x ,x 在x上是偶函數(shù)。由推論3.1.1 ， U x, t 是關(guān)于 x的 偶 函 數(shù) ， 且 ux 0,tU x0,t0.這樣得到定解問題（3.1.22 ）的解u x, t Ux,t ( x0, t0). 所以，當(dāng) xat 時，u

22、 x,t11x atx at22a當(dāng) 0 xat 時，xat1dxat2at x a tf,d d（ ）0 x a tu x,t1atat x1at xx atdx2ad200txa txx a tt（ 3.1.24）1a1x a tf , df , d d .2af , d d0002axx a tta例-10精選文庫-11精選文庫-12精選文庫端點固定的半無限長的均勻弦振動的定解問題考慮定解問題-13精選文庫求解上述問題的基本思路是以某種方式延拓函數(shù)使其在上也有定義，這樣把半無界區(qū)域-14精選文庫上的問題轉(zhuǎn)變成上的初值問題。然后利用達朗貝爾公式（），求出在上的解u（ x,t）。同時-15精

23、選文庫使此解 u（ 0,t)滿足 u（0，t)=0. 這樣當(dāng) x 限制在上就是我們所要求的半無界區(qū)域上的解。-16精選文庫由微積分知識可知，如果一個連續(xù)可微函數(shù)g（x)在上是奇函數(shù)，則必有g(shù)（ 0） =0.因此要使解u=u （ x,t) 滿 足u （ 0,t)=0 ， 只 要u(x,t) 是x的 奇 函 數(shù) 便 可 。 而 由 推 論， 只 要f(x,t),是x的 奇 函 數(shù) 。 因 此 對 函 數(shù)-17精選文庫f和關(guān) 于x作 奇 延 拓 。 我 們 定 義F-18精選文庫（x,t),和如下：-19精選文庫顯然函數(shù)F和在上是奇函數(shù)。然后考慮初值問題-20精選文庫（）由（ 3,1,15)，問題（

24、的解是（）-21精選文庫所以問題（的解 u（ x,t) 在上的限制。于是當(dāng)時，（-22精選文庫當(dāng)時，（）例確定下列方程標(biāo)準(zhǔn)型(1) uxx+2uxy -2u xz+2uyy+6uzz =0(2) 4uxx4uxy2uyzuyuz0.解 :(1) 方程對應(yīng)的系數(shù)矩陣是111A120. uxx2uxy 2uxz 2uyy 6uzz 0,106利用線性代數(shù)中把對稱矩陣化為對角型的方法, 我們可選取-23精選文庫100,B11011122則 BABTE, 這里 E為三階矩陣 ,令xxB yy x.zyzx22則給定的方程化簡為uuu0 .(2) 方程對應(yīng)的系數(shù)矩陣是420A201.010因為BABT1

25、00010,001其中1002B110'21112所以取xx2xByy.2zx2yz則給定的方程化簡為uuuu0.例求解下列初值問題u tt9 u xxe xe x ,x, t0 ,ux , 0x , u tx , 0sinx ,x.解：利用達朗貝爾公式（）得-24精選文庫11xat1tx a tu x , txatxatdf, d d22 a2 a 0x atx a t11x3 t1tx3t2x3 tx3 t6x3 t sind60x3teeddx1sinx sin 3 t2sinhx2sinhx cosh3 t ,399易見，解 u x, t關(guān)于 x 是奇函數(shù)。4.2.1波動方程的

26、初邊值問題例 4.2.1設(shè)邊長為 L 的弦，兩端固定，作微小橫振動。已知初位移為（x） , 初始速度為（ x） , 試求弦的運動規(guī)律。解： 該物理問題可歸為下列定解問題：u tta 2 u xx , 0xL , t 01u ( x , 0 )( x ), u t ( x , 0 )( x )u ( 0 , t ) u ( L , t ) 0設(shè)上述問題有非零變量分離解u(x,t)=X(x)T(t).代入上述問題 1 中得：(t)=a2T(t)，X(x)TX (x)由此設(shè)：T·· (t) a2T(t) =X·· (x) X(x) =-（記 - 為比值常數(shù)），

27、并得：T·· (t)+ a2T(t) =02·· X(x) = 0,3X(x)+再根據(jù)邊界條件u(0,t)=u(L ,t)=0,得： X(0)T(t)=X(L)T(t)=0 ,T(t) 0, 則X(0)=X(L)=0 ，由上分析，得：X"(x )X( x)04X( 0)X (L)02x- x（ 1） =- 0時，方程組 412, 代入 X(0)=X(L)=0 ，的通解為： X(x)=C e+C e解 得 常 數(shù) C1=C2=0, 即 得 零 解 X(x)=0（ u=0 ） ， 不 合 初 設(shè) u 為 非 零 解 ， 舍 去 ；（2） =0 時，方程組 4的通解為：X(x)=12,代入 X(0)=X(L)=0 ，解得零解C x+ CX(x)=0（u=0），舍去；（3） = 2 0 時，方程組4的通解為： X(x)=C1cos x+C2sin x.代入 X(0)= X(