近世代數(shù)基礎課件

1、1第一章 緒 論2第1講 緒 論一 關(guān)于代數(shù)的觀念二 數(shù)學史的發(fā)展階段三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學發(fā)展史)四 代數(shù)學發(fā)展的四個階段五 幾類與近世代數(shù)的應用有關(guān)的實際問題3 第二章第二章 基本概念基本概念4 第第1 1講講 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系 集合集合 第第2 2講講 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系 對應關(guān)系對應關(guān)系( (映射映射)( )(人造關(guān)系人造關(guān)系) ) 第第3 3講講 代數(shù)運算適應的規(guī)則代數(shù)運算適應的規(guī)則運算律運算律 第第4 4講講 與代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的映射與代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的映射同態(tài)映射同態(tài)映射 第第5 5講講 等價關(guān)系與分類等價關(guān)系與分類5第第1 1講講 基本概

2、念之集合及其之間的關(guān)系基本概念之集合及其之間的關(guān)系 集合集合1 集合與集合元素的定義集合與集合元素的定義2 2 集合與集合元素的表示符號集合與集合元素的表示符號3 3 集合與集合元素之間的關(guān)系集合與集合元素之間的關(guān)系屬于關(guān)系屬于關(guān)系4 4 集合的分類標準及分類集合的分類標準及分類5 5 集合的表示方法集合的表示方法6 6 集合之間的內(nèi)在關(guān)系集合之間的內(nèi)在關(guān)系包含關(guān)包含關(guān)系系7 7 集合運算集合運算8 8 運算律運算律9 9 特殊集合的表示符號特殊集合的表示符號10 10 集合的補充說明集合的補充說明11 11 包含與排斥原理包含與排斥原理集合與元素的相關(guān)概念集合的相關(guān)概念集合的運算及運算律集合

3、的補充及說明6第第2講講 基本概念之集合及其之間的關(guān)系基本概念之集合及其之間的關(guān)系 對應關(guān)系對應關(guān)系(映射映射)(人造關(guān)系人造關(guān)系)1 1 映射概念回憶映射概念回憶2 2 映射及相關(guān)定義映射及相關(guān)定義3 3 映射的充要條件映射的充要條件4 4 映射舉例映射舉例5 5 符號說明符號說明6 6 映射的合成及相關(guān)結(jié)論映射的合成及相關(guān)結(jié)論7 7 映射及其映射相等概念的推廣映射及其映射相等概念的推廣8 8 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系特殊特殊的映射（代數(shù)運算）的映射（代數(shù)運算）9 9 集合及其之間的關(guān)系集合及其之間的關(guān)系一一一一映射映射 映射相關(guān)概念及舉例映射的運算映射及其相關(guān)概念的推廣特殊映射

4、7 第第3 3講講 基本概念之代數(shù)運算適應的規(guī)則基本概念之代數(shù)運算適應的規(guī)則 運算律運算律 1 1 與一種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律與一種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律（1 1）結(jié)合律）結(jié)合律（2 2）交換律）交換律（3 3）消去律）消去律2 2 與兩種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律與兩種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律（1 1）第一分配律）第一分配律（2 2）第二分配律）第二分配律8 第第4 4講講 基本概念之與代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的映射基本概念之與代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的映射 同態(tài)映射同態(tài)映射 1 1 同態(tài)映射同態(tài)映射 2 2 同態(tài)滿射同態(tài)滿射 3 3 同構(gòu)映射同構(gòu)映射 4 4 自同構(gòu)映射自同構(gòu)映射 5 5 舉例舉例 9

5、 第第5講講 基本概念之等價關(guān)系與集合的分類基本概念之等價關(guān)系與集合的分類 商集商集1 1 商集商集2 2 等價關(guān)系等價關(guān)系3 3 集合的分類集合的分類4 4 集合集合A A上的等價關(guān)系與上的等價關(guān)系與 集合集合A A的分類之間的聯(lián)系的分類之間的聯(lián)系10第三章 群 11第第1 1講講 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)第第2 2講講 半群半群第第3 3講講 群的定義及性質(zhì)群的定義及性質(zhì)第第4 4講講 有限群有限群第第5 5講講 子群的定義及性質(zhì)子群的定義及性質(zhì)第第6 6講講 元素的階元素的階第第7 7講講 循環(huán)群循環(huán)群第第8 8講講 變換群變換群第第9 9講講 特殊子群特殊子群第第10 10講講 群的同態(tài)與同構(gòu)

6、群的同態(tài)與同構(gòu)第第11 11講講 群與對稱的關(guān)系群與對稱的關(guān)系特殊群12 2 2 代數(shù)系統(tǒng)的舉例代數(shù)系統(tǒng)的舉例1 代數(shù)系統(tǒng)及子代數(shù)系統(tǒng)的定義代數(shù)系統(tǒng)及子代數(shù)系統(tǒng)的定義13第2講 半群1 半群、子半群、交換半群的定義及判定定理2 半群的舉例3 半群中冪的定義及性質(zhì)14 1 群的第一定義2 單位元及逆元的定義3 群的第二定義4 群的第三定義5 群的第四定義 6 群的定義的等價證明7 群的舉例8 群的重要性質(zhì) 第3講 群的定義及性質(zhì)15 第4講 有限群 1 群的分類及群的階 2 有限群的判定定理 3 由有限集合上代數(shù)運算的運算表觀察代數(shù)運算的性質(zhì)161 子群定義2 子群的判別方法3 子群的性質(zhì) 第5

7、講 子群的定義及性質(zhì)17 1 元素階的定義 2 元素階的舉例 3 元素階的性質(zhì) 第6講 群中元素的階18 2 循環(huán)群與元素階的關(guān)系 1 循環(huán)群的定義及舉例 3 循環(huán)群的一般形式 5 循環(huán)群生成元的確定定理第7講 循環(huán)群 4 循環(huán)群的生成元的個數(shù)定理19 第8講 變換群1 變換、滿變換、單變換、一一變換的定義及符號說明2 特殊集合關(guān)于乘法的結(jié)論3 變換群舉例4 特殊的變換群201 循環(huán)群子群的一些結(jié)論2 循環(huán)群概念的推廣3 特殊子群的幾何意義探討4 子群的陪集5 正規(guī)子群與商群 第9講 特殊子群211 群的同態(tài)的定義及舉例2 同態(tài)的性質(zhì)及結(jié)論3 同構(gòu)的性質(zhì)及結(jié)論4 循環(huán)群的構(gòu)造及循環(huán)群之間的同態(tài)

8、5 同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理第10講 群的同態(tài)與同構(gòu)22 第11講 群與對稱的關(guān)系 1 序言 2 幾何對稱 3 代數(shù)對稱23 第四章 環(huán)論24第1講 環(huán)的定義及基本性質(zhì)第2講 特殊元素及性質(zhì)第3講 環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)第4講 環(huán)的特征第5講 子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想第6講 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)第7講 特殊環(huán)第8講 商域第9講 有限域25 第1講 環(huán)的定義及基本性質(zhì)1 環(huán)的定義2 環(huán)的舉例3 環(huán)的初步性質(zhì)26 第2講 特殊元素及性質(zhì) 1 特殊元素之一零元、負 元及單位元、逆元、零因子 2 零因子的性質(zhì) 3 求環(huán)中的特殊元素舉例27第3講 環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì) 1 特殊環(huán)的定義 2 除環(huán)

9、的性質(zhì) 3 有限環(huán)的幾個相關(guān)結(jié)論 4 域中元素的計算方法 5 循環(huán)環(huán)的性質(zhì)28 第4講 環(huán)的特征 1 環(huán)的特征的定義 2 特殊環(huán)的特征(數(shù))及相關(guān)結(jié)論 3 舉例29 第5講 子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想 1 子環(huán) 2 理想(主理想) 3 素理想和極大理想30 第6講 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)1 環(huán)的同態(tài)及同構(gòu)的定義2 環(huán)的同態(tài)的舉例3 環(huán)的同態(tài)基本性質(zhì)4 商環(huán)及環(huán)的同態(tài)基本定理5 環(huán)的同構(gòu)基本定理31第7講 特殊環(huán) 1 矩陣環(huán) 2 多項式環(huán) 3 剩余類環(huán)32 第8講 商域 1 構(gòu)造域的方法 2 挖補定理 3 擴域定理 4 擴域的形式 5 商域的定義及結(jié)論 6 舉例33第9講 有限域34 第五章

10、 整環(huán)里的因子分解35第1講 不可約元、素元、最大公因子第2講 唯一分解環(huán)第3講 特殊的唯一分解環(huán)361 整環(huán)的單位定義及性質(zhì)2 整除的定義及性質(zhì)3 相伴關(guān)系的性質(zhì)4 不可約元5 最大公因子6 最大公因子、互素的概念推廣到多元的情形第1講 不可約元、素元、最大公因子37 第2講 唯一分解環(huán)1 唯一分解元、唯一分解元的標準分解式、唯一分解環(huán)、非唯一分解環(huán)舉例2 最大公因子的存在性定理、不可約元與素元的關(guān)系定理3 唯一分解環(huán)的判定定理38 第3講 特殊的唯一分解環(huán)1 主理想環(huán)2 歐氏環(huán)3 唯一分解環(huán)上的一元多項式環(huán)4 因子分解與多項式的根39 第六章群論補充40第1 1講 共軛元與共軛子群第2講

11、群的直積第3講 群在集合上的作用第4講 西羅定理41 研究群內(nèi)一些特殊類型的元素和子群 1 中心和中心化子 2 共軛元和共軛子群 3 共軛子群與正規(guī)化子第1講 共軛元與共軛子群42一 群的外直積1 群的外直積的定義2 群的外直積的基本性質(zhì)3 群的外直積定義的推廣4 群的外直積舉例二 群的內(nèi)直積1 群的內(nèi)直積定義2 群的內(nèi)直積的充要條件3 群的內(nèi)直積定義的推廣三 群的內(nèi)外直積 第2講 群的直積43一 群在集合上的作用的定義二 群在集合上的作用舉例1 置換群在集合上的作用2 群在自身集合上的作用3 群的共軛變換定義了群在它自身上的作用4 群在自身的全體子群的集合上的作用三 X中的元素x在G下的軌道

12、1 X中的元素x在G下的軌道定義2 X中的元素x在G下的軌道舉例四 軌道的相關(guān)結(jié)論第3講 群在集合上的作用44 第4講 西羅定理45 第一章 緒 論 46 緒 論 第一講47第一章第一章 緒論緒論一一 關(guān)于代關(guān)于代數(shù)的觀念數(shù)的觀念二二 數(shù)學史數(shù)學史的發(fā)展階段的發(fā)展階段三三 代數(shù)發(fā)展代數(shù)發(fā)展的階段（數(shù)的階段（數(shù)學發(fā)展史）學發(fā)展史）1 用字母用字母的代數(shù)的代數(shù)2 解方程解方程3 各種代數(shù)各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論結(jié)構(gòu)的理論1 萌芽階段萌芽階段2 初等數(shù)學階段初等數(shù)學階段3 高等數(shù)學階段高等數(shù)學階段4 近代數(shù)學階段近代數(shù)學階段5 現(xiàn)代數(shù)學階段現(xiàn)代數(shù)學階段1 初等數(shù)學時初等數(shù)學時期期(初等數(shù)學初等數(shù)學)2 變

13、量數(shù)學時變量數(shù)學時期期(高等代數(shù)高等代數(shù))3 現(xiàn)代數(shù)學時現(xiàn)代數(shù)學時期期(近世代數(shù)近世代數(shù))四四 代數(shù)學發(fā)代數(shù)學發(fā)展的四個階段展的四個階段1 最初的文最初的文字敘述階段字敘述階段2 代數(shù)的簡代數(shù)的簡化文字階段化文字階段3 符號代數(shù)階段符號代數(shù)階段4 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段結(jié)構(gòu)代數(shù)階段五五 幾類與近世幾類與近世代數(shù)的應用有代數(shù)的應用有關(guān)的實際問題關(guān)的實際問題1 項鏈問題項鏈問題3 正多面體正多面體的著色問題的著色問題2 分子結(jié)構(gòu)分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題的計數(shù)問題5 開關(guān)線路的構(gòu)開關(guān)線路的構(gòu) 造與計數(shù)問題造與計數(shù)問題4 圖的構(gòu)造圖的構(gòu)造與計數(shù)問題與計數(shù)問題8 代數(shù)方程根代數(shù)方程根式式 的求解問題的求解問題7 幾何作

14、圖問題幾何作圖問題6 數(shù)字通信數(shù)字通信的可靠性問題的可靠性問題48一 關(guān)于代數(shù)的觀念二 數(shù)學史的發(fā)展階段三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學發(fā)展史)四 代數(shù)學發(fā)展的四個階段五 幾類與近世代數(shù)的應用有關(guān)的實際問題49一 關(guān)于代數(shù)的觀念 從人們的觀念上來看從人們的觀念上來看,人們關(guān)于人們關(guān)于代數(shù)的觀念大致有三種：代數(shù)的觀念大致有三種：1 用字母的代數(shù)用字母的代數(shù)2 解方程解方程 3 各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論50 現(xiàn)代代數(shù)學的研究對象不再是以解方程為中心,而重點是研究各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系.當然,所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)實際上就是帶有運算的集合.一般說來,這些運算還適合某些所希望的若干條件.

15、 初等代數(shù)、高等代數(shù)、線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù).它的研究對象主要是代數(shù)方程和線性方程組.而現(xiàn)代代數(shù)學也即近世代數(shù)(又稱為抽象代數(shù)),其主要內(nèi)容是研究51 各種代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu)),而對于代數(shù)結(jié)構(gòu),其基本成分則是集合和集合上的映射. 而近世代數(shù)就像古典代數(shù)那樣,是關(guān)于運算的學說,是計算規(guī)則的學說,但它不把自己局限在研究數(shù)的運算的性質(zhì)上,而是企圖研究更具一般性的元素上運算的性質(zhì),這種趨向是現(xiàn)實中的要求所提示的.近世代數(shù)已廣泛應用于近代物理學、近代科學、計算機科學、數(shù)字通訊、系統(tǒng)工程等領域.52二 數(shù)學史的發(fā)展階段1 萌芽階段萌芽階段2 初等數(shù)學階段初等數(shù)學階段3 高等數(shù)學階段高等數(shù)學階段4 近代數(shù)學

16、階段近代數(shù)學階段5 現(xiàn)代數(shù)學階段現(xiàn)代數(shù)學階段53三 代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學發(fā)展史)代數(shù)發(fā)展代數(shù)發(fā)展的階段的階段初等數(shù)學時期初等數(shù)學時期（初等數(shù)學）（初等數(shù)學）變量數(shù)學時期變量數(shù)學時期或高等數(shù)學時期或高等數(shù)學時期（高等代數(shù)）（高等代數(shù)）現(xiàn)代數(shù)學時期現(xiàn)代數(shù)學時期（抽象代數(shù)（抽象代數(shù)（近世代數(shù)）（近世代數(shù)）計算的對象：計算的對象：數(shù)數(shù)計算的方法：計算的方法：加、減、加、減、乘、除乘、除計算的對象：計算的對象：若干不是數(shù)若干不是數(shù)的事物（向的事物（向量、矩陣、量、矩陣、線性變換）線性變換）計算的方法：計算的方法：類似于加、類似于加、減、乘、除減、乘、除的運算的運算計算的對象：計算的對象：集合集合計算的方

17、法：計算的方法：運算（映射）運算（映射）54四 代數(shù)學發(fā)展的四個階段 代數(shù)學經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程,抽象代數(shù)(近世代數(shù))是19世紀最后20年直到20世紀前30年才發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學分支. 1 最初的文字敘述階段 2 代數(shù)的簡化文字階段 3 符號代數(shù)階段 4 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段551 最初的文字敘述階段 古希臘之前直到丟番圖(Diophantine,公元250年)時代,代數(shù)學處于最初的文字敘述階段,這一階段除古希臘數(shù)學之外還包括古巴比倫、古埃及與古代中國的數(shù)學.此時算術(shù)或代數(shù)尚未形成任何簡化的符號表達法,代數(shù)運算則都采用通常的語言敘述方式表達,因而代數(shù)推理也都采用直觀的方法.在中國古代則有著名的籌算法,

18、而在古希臘則借助于幾何圖形的變換方法.最典型的代表是畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)幾何數(shù)論方法.例如通過圖形的組合可以得到 不要認為簡單的幾何變換只能產(chǎn)生簡單的代數(shù)結(jié)論,恰當?shù)乩脦缀螆D形的變換有時也會產(chǎn)生重要的代數(shù)結(jié)論(如勾股定理與勾股數(shù).21 3 57(21)nn 562 簡化文字階段 缺乏符號運算的代數(shù)當然是相當原始的代數(shù)學.直到古希臘數(shù)學后期,數(shù)學家丟番圖才開始把通常的語言敘述作簡化,利用簡化的文字符號代替一些相對固定的代數(shù)表達式.這一時期稱為代數(shù)的簡化文字階段,這一時期大致延續(xù)到歐洲文藝復興時代.丟番圖對代數(shù)學的發(fā)展做出了突出的貢獻,算術(shù)一書是丟番圖留下來的

19、著作,該著作研究了一系列不定方程的求解問題.例如把一個平方數(shù)表為兩個平方數(shù)之和的問題.后來歐拉發(fā)現(xiàn)了正整數(shù)能夠表為兩個整數(shù)平方和的充分必要條件.把一個給定的整數(shù)表為四個數(shù)的和再加上這四個數(shù)的平方和.求兩個有理數(shù)使它們的和等于它們的立方和,例如七分之五與七分之八等等.正是在丟番圖關(guān)于整數(shù)諸如此類表法研究的基礎上,17世紀偉大的法國數(shù)學家費馬(Pierre de Fermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n3時不可解問題.19世紀費馬問題的研究也是導致近世代數(shù)理想論產(chǎn)生的重要契機.573 符號代數(shù)階段 這一階段是經(jīng)過歐洲文藝復興之后的好幾位數(shù)學家的努力而達到(它大致在17世

20、紀完成).它的標志是用字母表示數(shù),這一過程使代數(shù)學達到了現(xiàn)在我們看到的這種符號演算形式.較早的代表著作是德國數(shù)學家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述綜合算術(shù).其利用10進制小數(shù)表示實數(shù).對代數(shù)學的符號體系做出了重要貢獻的另一位代表人物是法國數(shù)學家韋達(F.Viete,1540-1603).韋達是第一個系統(tǒng)使用字母表示數(shù)的人,在代數(shù)、三角學等許多方面都做出了杰出的貢獻.584 結(jié)構(gòu)代數(shù)階段 這一階段代數(shù)學的研究對象不再是個別的數(shù)字運算,而是抽象的運算系統(tǒng)(如群、環(huán)、域等)的代數(shù)結(jié)構(gòu).它起因于年輕的法國數(shù)學家Evariste Galois(1811-1832)對代數(shù)方程式解的

21、研究. Galois引入了群與擴域的工具,解決了高次方程的求根問題.這個問題是在16世紀中葉,兩位意大利數(shù)學家G.Cardano(1506)與L.Ferrari(1545)發(fā)現(xiàn)了三、四次方程的求根公式之后一直困擾數(shù)學家達三百年之久的代數(shù)學難題. Galois擺脫了前人關(guān)于根的計算方法的研究途徑,發(fā)現(xiàn)根的對稱性群的結(jié)構(gòu)能夠決定根的可解性. Galois的研究不但確立了群論在數(shù)學中的地位,同時也開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)代數(shù)這個新型的代數(shù)學研究方向. 在數(shù)學家們致力于解決高次方程的求根問題的同時,Carl Gauss(1777-1855)為了解決Fermat問題,開始一般性的研究代數(shù)數(shù)域.他的學生E.Kummer

22、(1810-1893)在Gauss方法的基礎上引入理想數(shù),使Fermat問題的研究推進了一步.直到19世紀末已建立了群、環(huán)、域的系統(tǒng)理論.59 1834年愛爾蘭數(shù)學家William R.Hamiton(1805-1865)在Gauss把復數(shù)解釋為二元數(shù)這一思想的啟發(fā)下創(chuàng)建了一種奇特的不交換的數(shù)系,后來稱之為Hamiton四元數(shù). 三大進展奠定了近世代數(shù)學的重要基礎.1931年荷蘭數(shù)學家B.L.van.der.Waerden出版了兩卷本,1955年該書第四版更名為.這一著作標志著群、環(huán)、域等抽象結(jié)構(gòu)理論已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學的主要研究對象,該著作同時也成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)主義數(shù)學的起點.1951年美國數(shù)學家

23、N.Jacobson又出版了新的代數(shù)學著作,書名為(共三卷).因此近世代數(shù)也被稱為抽象代數(shù).60五五 幾類與近世代數(shù)的應用有幾類與近世代數(shù)的應用有關(guān)的實際問題關(guān)的實際問題1 項鏈問題項鏈問題2 分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題3 正多面體的著色問題正多面體的著色問題4 圖的構(gòu)造與計數(shù)問題圖的構(gòu)造與計數(shù)問題5 開關(guān)線路的構(gòu)造與計數(shù)問題開關(guān)線路的構(gòu)造與計數(shù)問題6 數(shù)字通信的可靠性問題數(shù)字通信的可靠性問題7 幾何作圖問題幾何作圖問題8 代數(shù)方程根式的求解問題代數(shù)方程根式的求解問題61 1)基本問題: 用黑白兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項鏈,問可以做成多少種不同的項鏈？ 2)問題解決思路:枚舉法

24、 3)問題推廣:用n種顏色的珠子做成m顆珠子的項鏈,問可做成多少種不同類型的項鏈？62數(shù)學表述 把m顆珠子做成一個項鏈用一個正m邊形來代替,其中每個頂點代表一顆珠子.從任意正m邊形一個頂點開始,沿逆時針方向,依次給每個頂點標以碼:1,2,3, ,m.這樣的一個項鏈稱之為有標號的項鏈.由于每一顆珠子的顏色有n種選擇,因此由乘法原理,這些有標號的項鏈共有 種.但是其中有一些項鏈可通過旋轉(zhuǎn)一個角度或反轉(zhuǎn)180度使它們完全重合.對于這些項鏈稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.對那些無論怎樣旋轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項鏈,稱之為本質(zhì)上不相同的項鏈,即為問題所提的不同類型的項鏈.當n與m較小時,不難用枚舉法求得問題

25、的解答.但隨著n與m的增加,用枚舉法越來越難,因而必須尋找更為有效的可解決一般正整數(shù)n與m的方法.采用群論可解決此問題,且至今尚未發(fā)現(xiàn)其它更為簡單和有效的方法.mn632 分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題CH1)背景:在化學中研究有某幾種元素可合成多少種不同物質(zhì)的問題,可以知道人們在大自然中尋找或人工合成這些物質(zhì). 2)問題:在一個苯環(huán)上結(jié)合 原子或 原子團,問可以形成多少種不同的化合物？ 3)轉(zhuǎn)化:如果假定苯環(huán)上相鄰 原子之間的鍵都是互相等價的,則此問題就是兩種顏色六顆珠子的項鏈問題.CH364其中:下圖中外圈球右邊兩個每個代表一個 ,其余四個每個代表一個 ;內(nèi)圈每個代表一個 .C3CHH653 正多面體

26、的著色問題1) 問題:用n種顏色對正六面體的面著色,問有多少種不同的著色方法？2) 數(shù)學模型:為了將問題中的概念量化:設n種顏色的集合為 ,正六面體的面集合為 ,則每一種著色法對應一個映射: ,反之,每一個映射 對應一種著色法. 由于每一面的顏色有n種選擇,所以全部著色法的總數(shù)為 ,但這樣的著色與面的編號有關(guān),其中有些著色可適當旋轉(zhuǎn)正六面體使它們完全重合,對這些著色法,稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.因而我們的問題轉(zhuǎn)化為求本質(zhì)上不同的著色法的數(shù)目. 當n很小時,不難用枚舉法求得結(jié)果,如當n取2時,本質(zhì)上不同的著色數(shù)為10,對于一般的情況則必須用群論方法才能解決.12 , , nAa aa123456

27、, , , , , Bb b b b b b:fBA:fBA6n66 4 圖的構(gòu)造與計數(shù)問題圖的構(gòu)造與計數(shù)問題 1) 圖的概念： 設 稱為頂點集合,是由 的一些二元子集構(gòu)成的集合,稱為邊集,則有序?qū)?稱為一個圖. 2) 圖的畫法: 每一個頂點用圓圈表示,對邊集 中的每一對元素 用一條直線或曲線連接頂點 與 .頂點的位置及邊的長短、形狀均無關(guān)緊要. ）（EV,V, i j(),Eji21vvvVn， 67 一個圖可以代表一個電路、水網(wǎng)絡、通訊網(wǎng)絡、交通網(wǎng)絡、地圖等有形的結(jié)構(gòu),也可以代表一些抽象關(guān)系.例如:可用一個圖代表一群人之間的關(guān)系,其中點代表單個人,凡有邊相連的的兩個點表示他們之間互相認識,

28、否則表示不認識,則這個圖就表示出這群人之間的關(guān)系. 圖論中自然會涉及到某類圖有多少個的問題.683)問題:畫出所有點數(shù)為3的圖.解決辦法:首先畫出3個頂點:1,2,3,在每兩個點之間有“無邊”和“有邊”兩種情況,因而全部有8種情況,每種情況對應一個圖.694)推廣:當點數(shù)為 時,共可形成 個二元子集,每個二元子集可以對應圖中的邊或不對應邊兩種情況,故可形成 個圖.我們觀察上圖中的8個圖,可以發(fā)現(xiàn)有些圖是完全相同的,如不考慮它們的頂點號,這些圖可完全重合,這樣的圖稱它們是同構(gòu)的,可以看出:上圖中有4個互不同構(gòu)的圖.那么,對于一般的情況,也即頂點數(shù)為 的圖中互不同構(gòu)的圖有多少個呢?這個問題也不能用

29、初等方法解決.nCn222Cnn70 1)問題:一個有兩種狀態(tài)的電子元 件稱為一個開關(guān),例如普通的電燈開關(guān)、二極管等.由一些開關(guān)組成的二端網(wǎng)絡稱為開關(guān)線路.一個開關(guān)線路的兩端也只有兩種狀態(tài):通與不通.我們的問題是:用n個開關(guān)可以構(gòu)造多少種不同的開關(guān)線路？5 開關(guān)線路的構(gòu)造與計數(shù)問題71 2)模型： 我們用 個變量 代表 個開關(guān),每個變量的取值為0或1且代表開關(guān)的兩種狀態(tài).開關(guān)線路的狀態(tài)也用一個變量 來表示,它的取值也是 0或1代表開關(guān)線路的兩種狀態(tài).是 的函數(shù),稱為開關(guān)函數(shù),記為 ,其中每一個函數(shù) 對應一個開關(guān)線路. 3)數(shù)學計算： 由于每一個函數(shù) 對應一個開關(guān)線路,因而開關(guān)線路的數(shù)目就是開關(guān)

30、函數(shù)的數(shù)目.又由于 的定義域的點數(shù)目為 ,在定義域的每一個點上的取值有兩種可能.所以全部開關(guān)函數(shù)的數(shù)目為 ,這就是 個開關(guān)的開關(guān)線路的數(shù)目. 4)總結(jié) 上面考慮的開關(guān)線路中的開關(guān)是有標號的,有一些開關(guān)線路結(jié)構(gòu)完全相同,只是標號不同,我們稱這些開關(guān)線路本質(zhì)上是相同的.要進一步解決本質(zhì)上的開關(guān)線路的數(shù)目問題,必須用群論方法. nxxxn， 21n1010，：nfxxxn， 21n21010nnn，f22nfff726 數(shù)字通信的可靠性問題 現(xiàn)代通信中用數(shù)字代表信息,用電子設備進行發(fā)送、傳遞和接收,并用計算機加以處理.由于信息量大,在通信過程中難免出現(xiàn)錯誤.為了減少錯誤,除了改進設備外,還可以從信息

31、的表示方法上想辦法.由數(shù)字表示信息的方法稱為編碼.編碼學就是一門研究高效編碼方法的科學.以下通過兩個簡單的例子說明檢錯碼與糾錯碼的概念.73 簡單檢錯碼的編碼方法:奇偶性檢錯碼 設用六位二進制碼來表示26個英文字母,其中前五位順序表示字母,第六位作檢錯用,當前五位的數(shù)碼中1的個數(shù)為奇數(shù)時,第六位取1,否則第六位取0.這樣編出來的碼中1的個數(shù)始終是偶數(shù)個.例如:A:000011; B:000101; C:000110; D:001001 用這種碼傳遞信息時可檢查錯誤.當接收一方收到的碼中含有奇數(shù)個1時,則可斷定該信息是錯誤的,可要求發(fā)送者重發(fā).因而,同樣的設備,用這種編碼方法可提高通信的準確度.

32、但是,人們并不滿足僅僅發(fā)現(xiàn)錯誤,能否不通過重發(fā)的辦法,僅從信息本身來糾正其錯誤呢?這在一定程度上也可用編碼方法解決. 74 簡單糾錯碼的編碼方法:重復碼 設用3位二進制重復碼表示A,B兩個字母如下:A:000;B:111則接受的一方對收到的信息碼不管其中是否有錯,均可譯碼如下: 接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111 譯 碼: A ; A ; A ; B ; A ; B ; B ; B 這就意味著對其中的信息做了糾正. 利用近世代數(shù)方法可得到更高效的檢錯碼與糾錯碼.75 古代數(shù)學家們曾提出了一個有趣的作圖問題:用圓規(guī)及沒有刻度和記號的直尺可做出那些圖形?為什么

33、會提這樣的問題呢?一方面是由于生產(chǎn)發(fā)展的需要,且圓規(guī)、直尺(最初的的直尺是無刻度的)是當時丈量土地的基本工具;另一方面,從幾何學觀點看,古人認為直線與圓弧是構(gòu)成一切平面圖形的要素.據(jù)說古人還認為只有使用圓規(guī)與直尺作圖才能確保其嚴密性.且整個平面幾何學是以圓規(guī)與直尺作為基本的工具. 歷史上有幾個幾何作圖問題曾經(jīng)困擾人們很長時間,它們是: 1 二倍立方體問題二倍立方體問題 作一個立方體使其體積等于已知立方體體積的二倍. 2 三等分任意角問題三等分任意角問題 給定任意一個角,將其三等分. 3 圓化方問題圓化方問題 給定一個已知圓,作一個正方形使其面積等于已知圓的面積. 4 n等分一個圓周等分一個圓周

34、 這些問題直到近世代數(shù)理論出現(xiàn)以后才得到完全解決. 7 幾何作圖問題768 代數(shù)方程根式求解問題 我們知道,任何一個一元二次代數(shù)方程可用根式表示它的兩個解.對于一元三次和四次代數(shù)方程,故人們經(jīng)過長期的努力也巧妙地做到了這一點.于是人們自然會問:是否任何次的代數(shù)方程的根均可用根式表示?許多努力都失敗了,但這些努力促使了近世代數(shù)的產(chǎn)生,并最終解決了這個問題. 19世紀初,法國數(shù)學家埃瓦里斯特伽羅華是法國數(shù)學家(varisteGalois,1811年10月25日1832年5月31日,與尼爾斯阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人.)在研究五次代數(shù)方程的解法是提出了著名的伽羅華理論,成為近世代數(shù)的先驅(qū).但他的工

35、作在當時未被數(shù)學家所認識,且由于且由于其它原因于21歲過早地去世了.直到19世紀后期,他的理論才有其他的數(shù)學家加以進一步的發(fā)展和系統(tǒng)闡述. 77第一章練習題12345用兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項鏈,可做成多少種不同的項鏈?對正四面體的頂點用兩種顏色著色,有多少本質(zhì)上不同的著色方法?有四個頂點的圖有多少個?其中互不同構(gòu)的有多少個?如何用圓規(guī)和直尺五等分一個圓周?如何用根式表示三次和四次代數(shù)方程的根?78 第二章 基本概念 79 第二章：第二章：基本基本概念概念集合集合(第二講第二講)映射映射(第三講第三講)運算律運算律(第四講第四講)同態(tài)與同態(tài)與同構(gòu)同構(gòu)(第五講第五講)等價關(guān)系等價關(guān)系與集

36、合的與集合的分類分類(第六講第六講)80 第二講第二講 基本概念之基本概念之集合及其集合及其之間的關(guān)系之間的關(guān)系集合集合81 集合的概念是德國數(shù)學家康托爾集合的概念是德國數(shù)學家康托爾(G.Cantor,1845-(G.Cantor,1845-1918)1918)于于18941894年所首先建立的年所首先建立的. .到現(xiàn)在到現(xiàn)在, ,集合論不僅已成集合論不僅已成為數(shù)學的一個專門理論和獨立學科為數(shù)學的一個專門理論和獨立學科, ,而且廣泛地應用到而且廣泛地應用到數(shù)學的各個分支數(shù)學的各個分支. . 在近世代數(shù)中在近世代數(shù)中, ,不僅每章每節(jié)甚至幾乎處處離不開不僅每章每節(jié)甚至幾乎處處離不開集合集合, ,

37、由此可見集合的重要性由此可見集合的重要性. .但這只是問題的一方面但這只是問題的一方面. .另一方面我們在這里講集合主要是為了在近世代數(shù)中另一方面我們在這里講集合主要是為了在近世代數(shù)中講最基本的概念講最基本的概念: :群、環(huán)、域而作準備群、環(huán)、域而作準備, ,并不是要對集并不是要對集合本身的理論作太多和深入的闡述合本身的理論作太多和深入的闡述. .這是因為這是因為, ,在近世在近世代數(shù)中只用到集合的一些初步概念代數(shù)中只用到集合的一些初步概念, ,諸如子集、真子集、諸如子集、真子集、集合的相等、冪集、交集、并集、差集以及集合的差、集合的相等、冪集、交集、并集、差集以及集合的差、余集和它們的簡單性

38、質(zhì)余集和它們的簡單性質(zhì), ,而并不用到集合理論的其它內(nèi)而并不用到集合理論的其它內(nèi)容及知識容及知識. .821 集合與集合元素的定義集合與集合元素的定義2 2 集合與集合元素的表示符集合與集合元素的表示符號號3 3 集合與集合元素之間的關(guān)集合與集合元素之間的關(guān)系系屬于關(guān)系屬于關(guān)系4 4 集合的分類標準及分類集合的分類標準及分類5 5 集合的表示方法集合的表示方法6 6 集合之間的內(nèi)在關(guān)系集合之間的內(nèi)在關(guān)系包含關(guān)系包含關(guān)系7 7 集合運算集合運算8 8 運算律運算律9 9 特殊集合的表示符號特殊集合的表示符號10 10 集合的補充說明集合的補充說明11 11 包含與排斥原理包含與排斥原理集合與元素

39、的相關(guān)概念集合的相關(guān)概念集合的運算及運算律集合的補充及說明831 1 集合與集合元素的定義集合與集合元素的定義,.在數(shù)學中常常不是討論處于孤立狀態(tài)的各個個體 而是將這些個體聯(lián)合在一個整體中(一起)來進行討論 集合正如像幾何學中的點、線、集合正如像幾何學中的點、線、面等概念一樣面等概念一樣, 也是一種也是一種不加定義不加定義而可而可直接引入直接引入的的最基本的原始最基本的原始概念概念.841.1 1.1 集合定義集合定義 把隨便一些對象(事物)放在一起做為一個整體進行研究的話,這個整體就叫做集合(這是描述性定義);組成集合的對象或事物叫做這個集合的元素.851)線性方程組AX=B的解向量的集合.

40、2)多項式f(x)的零點的集合.3)數(shù)域P上所有m行n列的矩陣的集合.4)延安市全體居民身份證號碼的集合.5)延安大學數(shù)學與計算機科學學院2009級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的全體學生的集合.6)延安大學2011年西安世界園藝會志愿者的集合.7)大學生技能測試的所有項目的集合.8)延安大學20112012學年第一學期所有公選課的課程名稱的集合.1.2 1.2 集合舉例集合舉例86 集合是不能嚴格定義的,因為定義是用已知概念去定義未知概念,然而集合是數(shù)學中的一個最基礎及最基本的概念,不能再用其它數(shù)學概念來定義,正如哲學中的物質(zhì)概念一樣,它只能描述而不能定義.盡管集合沒有定義,但我們都能理解它是什么意思,

41、可以說具有特定性質(zhì)的抽象或具體的事物的全體稱為集合.1.3 1.3 集合定義的注意問題集合定義的注意問題87 若干個(有限個或無限個)固定事物的全體稱為集合;組成一個集合的事物稱為這個集合的元素(濃度或元數(shù)).1.4 1.4 集合的等價定義集合的等價定義882 2 集合與集合元素的表示符號集合與集合元素的表示符號集合:大寫字母表示如, , ,ABC集合的元素:小寫字母表示如, , ,a b c893 3 集合與集合元素之間的關(guān)系集合與集合元素之間的關(guān)系 屬于關(guān)系屬于關(guān)系,()(),(),().aAaAaA aAAa 如果元素 是(或不是)集合的元素就說讀作元素 屬于或不屬于集合 記作或者說集合

42、 包含或不包含元素904.1 4.1 集合的分類標準及分類集合的分類標準及分類標準1:元素的個數(shù)元素的個數(shù)分類分類:有限集合與無限集合標準2:與自然數(shù)集合或其子集進行比較與自然數(shù)集合或其子集進行比較分類分類:可數(shù)集合與不可數(shù)集合,.,.ABAB 若兩個集合 和 之間存在一個雙射 則稱 和 等勢與自然數(shù)集或其子集等勢的集合稱為可數(shù)集合 否則稱為不可數(shù)集合4 集合的分類集合的分類91,.A BABAB1)有限集合的判斷準則 兩個有限集合等勢存在集合 與 之間的雙射4.2 4.2 集合等勢的判斷準則集合等勢的判斷準則,. 2)無限集合的判斷準則: 對于兩個無限集合,即使是真包含關(guān)系 也可以是等勢的對

43、于有限集合之間的等勢判斷在此不加考慮924.3 4.3 集合等勢的判斷準則的應用集合等勢的判斷準則的應用(0,1) 0,1. 證明實數(shù)集合與等勢(0,1) (,) 證明與等勢.(0,1) ( , )()ab a b 證 明與 等 勢 .93:(0,1)0,1,.(0,1)0,1,(0,1)0,1).方法1首先構(gòu)造映射再證明是一個雙射映射的構(gòu)造遵循有理數(shù)對應有理數(shù)(比中少兩個有理數(shù))無理數(shù)對應無理數(shù)(與中的無理數(shù)個數(shù)相同11 112:(0,1)=,0,12 31 11=0,1,:0,1(0,1)2 31111(0), (1), ( )(2)( ),232(0,1),0,1(0,1)AnAnnxx

44、nnxA方法 取的子集的子集命,當則 是到的一一映射.94:(,)(0,1)1(),2fyarctgx 證明思路映射構(gòu)造證明其是雙射即可.95j例3H(a)G(y)F(b)D(x)C(0)B(1)A: 證明思路 畫出直角三角形,利用三個相似三角形來構(gòu)造映射. 對于給定的集合A,B,如何構(gòu)造集合A到集合B的雙射呢?(考慮各種情況)965 5 集合的表示方法集合的表示方法 給出集合的方式,不外乎以下兩種列舉法列舉法:把集合中的所有元素都描寫出來(也即列出它的全部元素).但須注意列舉法不僅可以表示有限集合,而且還可以表示有些有規(guī)律的無限集合.描述法描述法:用性質(zhì)描述出集合(也即給出這個集合中的元素所

45、具有的特征性質(zhì)).)(xPx97子集:設 是兩個集合,如果集合 的每一個元素都是集合 的元素,那么就稱集合 是集合 的子集,記為: 讀作集合 屬于集合 (集合 包含集合 或集合 被包含于集合 ).6.1 6.1 子集定義子集定義BBBAABBA,A 6 集合之間的內(nèi)在關(guān)系集合之間的內(nèi)在關(guān)系包含關(guān)系包含關(guān)系ABBAA98真子集:設 是兩個集合,如果集合 的每一個元素都是集合 的元素,但集合 中至少有一個元素不屬于集合 ,那么就稱集合 是集合 的真子集,記作 .6.2 6.2 真子集定義真子集定義BA,ABAABBAB99集合相等:如果集合 與集合 是由完全相同的元素組成的,就說集合 與集合 相等

46、,記作ABAB.BA 6.3 6.3 集合相等的定義集合相等的定義100()()ABABABx xAxBABABAB （） （） （ （）()()() ()() ()A Bx x Ax By y By AA Bx x Ax B 性質(zhì)性質(zhì)1 1()()A BABBAx xAx BA BABBA（） （）(） （)6.4 6.4 幾個幾個定義的邏輯等價式定義的邏輯等價式101;AA1)自反性:性質(zhì)性質(zhì)2( 2(包含關(guān)系包含關(guān)系) );AB BAA B 2)反對稱性:.ABBCAC3)傳遞性:6.5 6.5 幾個關(guān)系的幾個關(guān)系的自反性、反對稱性、對稱自反性、反對稱性、對稱性及傳遞性性及傳遞性102A

47、A1)自反性:A BBA 2)對稱性:A B B AA B 3)反對稱性: 性質(zhì)性質(zhì)3(3(相等關(guān)系相等關(guān)系) )A B B CA C 4)傳遞性:103ABBCAC （） （）性質(zhì)性質(zhì)4( 4(真包含關(guān)系真包含關(guān)系) ) 真包含關(guān)系不具有對稱性、反對稱性及自反性.1047.1 7.1 集合運算定義集合運算定義(),U設 是一個集合 以集合作為元素的集合 規(guī)定：1) :( , )( , ),() ();U UUA BA BA Bx x U x Ax B，：2) :( , )( , ),() ();U UUABABA Bxx U x Ax B ，：4) :( , )( , )( , ),() (

48、);U UUA BA BA Bx y x U xAyB，：3) :( , )( , ),()();UUUA BA BABx xUxAxB ，：7 集合運算集合運算1055) :,:( ) ()();UUAAAUAx x UxA6) :( , )( , )() (),() (),() () () ();U UUABABA BA BB AA BB Axx Ux Ax Bx Bx A ，：7): ( ).AP AC CA集合 的冪集.n8)并 、 交 與 積 的 運 算 可 推 廣 到 任 意個 集 合 上 去106 ): () ()A Bx x Ax B1集合的并): () ()A Bx xAx

49、B2集合的交): () ()A Bx x Ax B 3集合的差7.2 7.2 集合運算之關(guān)于子集之間的運算集合運算之關(guān)于子集之間的運算 ):( , ) ()()A Bx yxAyB4 集合的積, , ,UA B CAU BU CU設 是一個集合是任意的集合且1075: () () () ()ABxxAxBxBxA)集合的對稱差: () ().AU Ax x UxA 6)集合的補集: ( ) AP ACCA7)集合 的冪集8.n)并、交與積的運算可推廣到任意 個集合上去1087.3.1 文氏圖的用法文氏圖的用法 文氏圖可以用來描述集合之間的關(guān)文氏圖可以用來描述集合之間的關(guān)系及其運算系及其運算.在

50、文氏圖中全集用矩形表示在文氏圖中全集用矩形表示,子集用圓形區(qū)域表示子集用圓形區(qū)域表示, 陰影區(qū)域表示運算陰影區(qū)域表示運算結(jié)果的集合結(jié)果的集合.7.3 集合的圖形表示集合的圖形表示文氏圖文氏圖1097.3.2 文氏圖的特點文氏圖的特點 文氏圖表示法的優(yōu)點是直觀和形象文氏圖表示法的優(yōu)點是直觀和形象,富有啟發(fā)性富有啟發(fā)性,幫助我們理解各種概念和定幫助我們理解各種概念和定理理,所以文氏圖可作為思考的出發(fā)點所以文氏圖可作為思考的出發(fā)點.1107.3.3 文文氏圖應氏圖應注意的問題注意的問題 但文氏圖絕不能用作推理的依據(jù)但文氏圖絕不能用作推理的依據(jù),因為直觀是不可靠的因為直觀是不可靠的,只有邏輯推理才只有

51、邏輯推理才是可靠的是可靠的.1117.3.4文氏圖的文氏圖的適用范圍適用范圍 當集合的數(shù)目較多時當集合的數(shù)目較多時,文氏圖將變文氏圖將變得很復雜得很復雜.也即對于集合的數(shù)目較少時也即對于集合的數(shù)目較少時,文氏圖適用文氏圖適用.1127.3.5.1 AB 可用下圖可用下圖陰影部分陰影部分表示表示BBA (B)A(2) 若若B A則則 AB = B(3) 若若A = B則則AB = A = B(1)若若A B則則AB = AA7.3.5 文氏圖表示舉例文氏圖表示舉例113A BAB A與與B相切相切 相交的特例相交的特例AB(5)A與與B分離分離 AB = (4)A與與B相交相交 AB A AB

52、BAB A AB BAB= 1147.3.5.2 AB 可用下圖可用下圖陰影陰影部分表示部分表示(1)若若A B則則AB = BBABA (B)A(2) 若若B A則則AB = A(3) 若若A = B則則AB = A = B115A B(4)A與與B相交相交 ABA B (5)A與與B相切相切 相并的特例相并的特例AB(6)A與與B分離分離 AB116,A B AB A 關(guān)于等運算的文氏圖表示，同學們在課下完成.117CBAABCCBACBACBACBACBACBACBA1183)() ();xA BxAx B 4)( , )()();xa bA BaAbB 5)() ()() () ;x

53、ABx Ax Bx Ax B （） （）7.4 7.4 元素不屬于集合運算結(jié)果的判斷準則元素不屬于集合運算結(jié)果的判斷準則6)( ).xP AxA2)()();xABxAxB1)()();xABxAxB1198 8 運算律運算律:()();AA BAA BA5)吸 收 律:,;A A A A A A4)冪等律:()(),()();A BCAB CA BCAB C2)結(jié)合律:()() (),()() ();A BCA CB CA BCA CB C3)分配律:,;ABBA ABBA1)交換律, , ,UABCA U B UC U 設 是 一 個 集 合是 任 意 的 集 合 且， 則 有:(),()

54、;ABABABAB9)對偶律（德 摩根律）:();AA 8)對合律:,;AAU AA 7)補余律:,;AUU AUA AA A 6)兩極律(零一律)1209 9 特殊集合的表示符號及性質(zhì)特殊集合的表示符號及性質(zhì)第一類第一類: :空集 ;全集: 空集的絕對唯一性;全集的相對唯一性;空集表示形式的多樣性.U121 第二類第二類: :特殊集合特殊集合:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:ZZZZNNRRRROOOEEEQQQCQC整數(shù)集合；正整數(shù)集合負整數(shù)集合非零整數(shù)集合自然數(shù)集合非零正整數(shù)集合實數(shù)集合正實數(shù)集合負實數(shù)集合非零實數(shù)集合奇數(shù)集合正奇數(shù)集合負奇數(shù)集合偶

55、數(shù)集合正偶數(shù)集合負偶數(shù)集合;有理數(shù)集合正有理數(shù)集合負有理數(shù)集合非零有理數(shù)集合復數(shù)集合；非零復數(shù)集合. 設,( ):( ): :.nm nFFFnMFFmnMF xF是一個數(shù)域 則表示數(shù)域 上的 階方陣所組成的集合；表示數(shù)域 上的階方陣所組成的集合；數(shù)域 上的一元多項式的全體12210 10 集合的補充說明集合的補充說明 集合的概念應注意以下幾點：1)元素的確定性；2)元素的無序性；3)元素的互異性；4)集合可以作為元素,但是不能做為它自己的元素；5)元素與集合之間的關(guān)系是個體與整體的關(guān)系,應嚴加區(qū)分.12311.1 11.1 包含與排斥原理的特殊形式包含與排斥原理的特殊形式, ,UABC UA

56、 BABA BA BABA BA B CAB CA BA CB CA B CA B CA B CA B CA BA CB C 設 是 一 個 集 合 ,是 的 有 限 子 集則 有自 己 歸 納 包 含 排 斥 原 理 的 一 般 形 式 .11 11 包含與排斥原理包含與排斥原理1245005,7,9. 求不大于可被中的某一個數(shù)整除的正整數(shù)的個數(shù)1000,1)5,6,82). 求不大于的正整數(shù)中不能被中任何一個整數(shù)整除的個數(shù)。既非平方數(shù)也非立方數(shù)的個數(shù)11.2 11.2 包含與排斥原理舉例包含與排斥原理舉例,1)2)3,2,3)Am BnABmnABAB 設求到 的單射有多少個？當時到 的滿

57、射有多少個？到 的雙射有多少個？125:5005;5007;5009; 5005 7;5005 9;5007 9;5005 7 9ABCABACBCABC解設集合 表示不大于的數(shù)中能被 整除的數(shù)的集合 集合 表示不大于的數(shù)中能被 整除的數(shù)的集合集合 表示不大于的數(shù)中能被 整除的數(shù)的集合則集合表示不大于的數(shù)中能被 ，整除的數(shù)的集合 集合表示不大于的數(shù)中能被 ，整除的數(shù)的集合 集合表示不大于的數(shù)中能被，整除的數(shù)的集合 集合表示不大于的數(shù)中能被 ， ，整除的500.10055005005007155147957ABCAB數(shù)的集合 因而，126500500 7 117 95 9500 15 7 950

58、0579500500500500500500500 5795 77 95 95 7 9100 71 55 14 7 11 1 195B CA CA B CA B CABCA BB CA CA B C ，則不 大 于 的 數(shù) 中 可 被， ， 中 的 某 一 個 數(shù) 整 除 的 正 整 數(shù) 的 個 數(shù)127:10005100061000810005610005810006810ABCA BA CB CA B C 解 1)設 集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被整 除的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被整除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合 表 示 不

59、 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;則 集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù)中 能 被， 整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于的正 整 數(shù) 中 能 被， 整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 能 被， 整 除 的 數(shù) 的 集 合 ;集 合表 示 不 大 于 00568.的 正 整 數(shù) 中 能 被， ， 整 除 的 數(shù) 的 集 合128500500500500 100 83 62 165685 6500500500 10 12 26 85 85 6 810005681000 ABCA BB CA CA B CA

60、B CA B CU A B CA B C A B B C A C A B 因 而，則 不 大 于的 正 整 數(shù) 中 不 能 被， ， 中 的 任 何 一 個 數(shù) 整 除 的 正 整 數(shù) 的 個 數(shù)（）（）5005005005005005005001000 5685 66 85 85 6 81000 100 83 62 16 10 12 2 791C 1292)10001000100031101,100010001000 31 10 1 960.ABABABABABAB 設集合 表示不大于的正整數(shù)中是平方數(shù)的數(shù)的集合;集合 表示不大于的正整數(shù)中是立方數(shù)的數(shù)的集合;則集合表示不大于的正整數(shù)中即是平