2018屆高考（理）大一輪復習：第9章第10節(jié)圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題

1、第十節(jié)圓錐曲線中的定點、定值、存在性問題本節(jié)主要包括2個知識點：1.圓錐曲線中的定點、定值問題；2.圓錐曲線中的存在性問題.突破點(一)圓錐曲線中的定點、定值問題圓錐曲線中的定點、定值問題是解析幾何中的常見問題，它多與圓錐曲線的性質相結合，難度較大，常出現在解答題中.考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 圓錐曲線中的定點問題例1(2016·大慶質檢)已知橢圓C：y21(a>1)的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：(x3)2(y1)23相切(1)求橢圓C的方程；(2)若不過點A的動直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且·0，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標解(1)圓

2、M的圓心為(3,1)，半徑r.由題意知A(0,1)，F(c,0)，直線AF的方程為y1，即xcyc0，由直線AF與圓M相切，得，解得c22，a2c213，故橢圓C的方程為y21.(2)證明：由·0知APAQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，故可設直線AP的方程為ykx1，直線AQ的方程為yx1.聯立方程組整理得(13k2)x26kx0，解得x0或x，故點P的坐標為，同理，點Q的坐標為.所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為y，即yx.所以直線l過定點.方法技巧圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數法：引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關系，找到定

3、點(2)特殊到一般法：根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數式為定值依題意設條件，得出與代數式參數有關的等式，代入代數式、化簡即可得出定值(2)求點到直線的距離為定值利用點到直線的距離公式得出距離的關系式，再利用題設條件化簡、變形求得(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得關系式，再依據條件對關系式進行化簡、變形即可求得方法(一)從特殊到一般求定值例2已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設A，B為橢圓C上任意兩點，O為坐標原點，且OAOB.求證：原點

4、O到直線AB的距離為定值，并求出該定值解(1)由題意知，e，2，又a2b2c2，所以a2，c，b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)證明：當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x±，此時，原點O到直線AB的距離為.當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(14k2)x28kmx4m240.則(8km)24(14k2)(4m24)16(14k2m2)0，x1x2，x1x2，則y1y2(kx1m)(kx2m)，由OAOB得kOA·kOB1，即·1，所以x1x2y1y20，即m2(1k2)，所以原點O到直線AB的距離

5、為.綜上，原點O到直線AB的距離為定值.方法技巧定值問題必然是在變化中所表示出來的不變的量，常表現為求一些直線方程、數量積、比例關系等的定值解決此類問題常從特征入手，求出定值，再證明這個值與變量無關方法(二)直接消參求定值例3如圖，已知橢圓1(a>b>0)的右焦點為F2(1,0)，點H在橢圓上(1)求橢圓的方程；(2)若點M在圓x2y2b2上，且M在第一象限，過M作圓x2y2b2的切線交橢圓于P，Q兩點，求證：PF2Q的周長為定值，并求出該定值解(1)由題意，得解得所以橢圓方程為1.(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則1(|x1|3)，|PF2|2(x11)2y(x11)

6、28(x19)2，所以|PF2|(9x1)3x1.連接OM，OP(圖略)，由相切條件知|PM|2|OP|2|OM|2xy8x88x，所以|PM|x1，所以|PF2|PM|3x1x13，同理可求得|QF2|QM|3x2x23，所以|F2P|F2Q|PQ|336為定值方法技巧解這類問題的關鍵就是引進變化的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量能力練通 抓應用體驗的“得”與“失” 1.已知拋物線C：y22px(p0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為，求證：直線AB過

7、x軸上一定點解：(1)因為拋物線y22px(p0)的焦點坐標為(1,0)，所以1，所以p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)證明：當直線AB的斜率不存在時，設A，B.因為直線OA，OB的斜率之積為，所以·，化簡得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此時直線AB的方程為x8.當直線AB的斜率存在時，設其方程為ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯立方程組消去x，得ky24y4b0.由根與系數的關系得yAyB，因為直線OA，OB的斜率之積為，所以·，即xAxB2yAyB0.即·2yAyB0，解得yAyB32或yAyB0(舍去)所以yAyB32，即b

8、8k，所以ykx8k，即yk(x8)綜上所述，直線AB過定點(8,0)2.如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：1上的任一點，從原點O向圓M：(xx0)2(yy0)22作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q.(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；(2)試問|OP|2|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由解：(1)證明：因為直線OP：yk1x，OQ：yk2x與圓M相切，所以，化簡得：(x2)k2x0y0k1y20，同理：(x2)k2x0y0k2y20，所以k1，k2是關于k的方程(x2)k22x0y0ky20的兩個不相等的實數根，所以k1·k

9、2.因為點M(x0，y0)在橢圓C上，所以1，即y3x，所以k1k2為定值(2)|OP|2|OQ|2是定值，定值為9.理由如下：當M點坐標為(，)時，直線OP，OQ落在坐標軸上，顯然有|OP|2|OQ|29.當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因為k1k2，所以yyxx，因為P(x1，y1)，Q(x2，y2)在橢圓C上，所以即所以xx，整理得xx6，所以yy3，所以|OP|2|OQ|29.3.橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，P(m,0)為C的長軸上的一個動點，過P點斜率為的直線l交C于A，B兩點當m0時，·.(1)求橢圓C的方程；(

10、2)證明：|PA|2|PB|2為定值解：(1)因為離心率為，即e，所以.當m0時，l的方程為yx，代入1并整理得x2.設A(x0，y0)，則B(x0，y0)，·xyx·.又因為·.所以a225，b216，橢圓C的方程為1.(2)證明：l的方程為xym，代入1，并整理得25y220my8(m225)0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)則|PA|2(x1m)2yy，同理|PB|2y.則|PA|2|PB|2(yy)(y1y2)22y1y2·41.所以|PA|2|PB|2為定值突破點(二)圓錐曲線中的存在性問題1.圓錐曲線中的存在性問題具有開放性和發(fā)散性，此

11、類問題的條件和結論不完備，要求考生結合已知條件或假設新的條件進行探究、觀察、分析、比較、抽象、概括等，是高考中的?？碱}型，作為解答題的壓軸題出現，難度一般較大，常和不等式、函數、直線、圓及圓錐曲線等知識結合在一起，對數學能力和數學思想有較高的要求.2.圓錐曲線的探索性問題主要體現在以下幾個方面：(1)點的存在性.(2)曲線的存在性.(3)最值的存在性.(4)探索命題是否成立等，涉及此類問題的求解主要是研究直線與圓錐曲線的位置關系.考點貫通 抓高考命題的“形”與“神” 探究是否存在常數的問題例1 如圖，橢圓E：1(a>b>0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且·1.

12、(1)求橢圓E的標準方程；(2)設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點是否存在常數，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點C，D的坐標分別為(0，b)，(0，b)又點P的坐標為(0,1)，且·1，于是解得a2，b.所以橢圓E的方程為1.(2)當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.從而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(

13、1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，當1時，23.此時，··3為定值當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD.此時，····2.當1時，··3，為定值綜上，存在常數1，使得··為定值3.方法技巧解決是否存在常數的問題時，應首先假設存在，看是否能求出符合條件的參數值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在探究是否存在點的問題例2已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為F(1,0)，右頂點為A，且|AF|1.(1)求橢圓C的標準方程；(2)若動直線l：ykxm與橢圓C有且只有一個交點P，且與直線x4交

14、于點Q，問：是否存在一個定點M(t,0)，使得·0？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由解(1)由c1，ac1，得a2，所以b，故橢圓C的標準方程為1.(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.設P(x0，y0)，則x0，y0kx0mm，即P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，··(4t)·(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在點M(1,0)符合題意.探究是否存在直線的問題例3已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點為F2(2,0)，點P在

15、橢圓C上(1)求橢圓C的標準方程；(2)是否存在斜率為1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，使得|F1M|F1N|(F1為橢圓的左焦點)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解(1)法一：橢圓C的右焦點為F2(2,0)，c2，橢圓C的左焦點為F1(2,0)由橢圓的定義可得2a 2，解得a，b2a2c2642.橢圓C的標準方程為1.法二：橢圓C的右焦點為F2(2,0)，c2，故a2b24，又點P在橢圓C上，則1，故1，化簡得3b44b2200，得b22，a26.橢圓C的標準方程為1.(2)假設存在滿足條件的直線l，設直線l的方程為yxt，由得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)

16、0，(6t)24×4×(3t26)9612t2>0，解得2<t<2.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2，由于|F1M|F1N|，設線段MN的中點為E，則F1EMN，故kF1E1，又F1(2,0)，E，即E，kF1E1，解得t4.當t4時，不滿足2<t<2，不存在滿足條件的直線l.方法技巧解決是否存在直線的問題時，可依據條件尋找適合條件的直線方程，聯立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解能力練通 抓應用體驗的“得”與“失”1.如圖，橢圓C：1(a>b>0)經過點P1，離心率e，直線l的方程為x4.(

17、1)求橢圓C的方程；(2)AB是經過右焦點F的任一弦(不經過點P)，設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，說明理由解：(1)由P在橢圓上得，1.依題設知a2c，則b23c2.代入解得c21，a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)由題意可設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)代入橢圓方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.在方程中令x4得，M的坐標為(4,3k)從而k1，k2，k3k.由于A，F，B三點

18、共線，則有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k·.代入得k1k22k·2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常數2符合題意2.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦點為F1(2,0)，點B(2，)在橢圓C上，直線ykx(k0)與橢圓C交于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)在x軸上是否存在點P，使得無論非零實數k怎樣變化，總有MPN為直角？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)設橢圓C的方程為1(a>b>0)，因為橢圓的左焦點為F1(2,0)，所以a2b24.由題可得橢圓的右

19、焦點為F2(2,0)，已知點B(2，)在橢圓C上，由橢圓的定義知|BF1|BF2|2a，所以2a34.所以a2，從而b2.所以橢圓C的方程為1.(2)因為橢圓C的左頂點為A，則點A的坐標為(2，0)因為直線ykx(k0)與橢圓1交于兩點E，F，設點E(x0，y0)(不妨設x0>0)，則點F(x0，y0)聯立方程消去y得x2.所以x0，y0，所以直線AE的方程為y(x2)因為直線AE與y軸交于點M，令x0，得y，即點M.同理可得點N.假設在x軸上存在點P(t,0)，使得MPN為直角，則·0.即t2×0，即t240.解得t2或t2.故存在點P(2,0)或P(2,0)，無論

20、非零實數k怎樣變化，總有MPN為直角3.已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2，0)為其右焦點(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解：(1)依題意，可設橢圓C的方程為1(a>b>0)，且可知其左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212.故橢圓C的方程為1.(2)假設存在符合題意的直線l，設其方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)24×3(t212)1443t20，解得4t4

21、.另一方面，由直線OA與l的距離等于4，可得4，從而t±2.由于±24，4 ，所以符合題意的直線l不存在全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1.(2015·新課標全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a>0)交于M，N兩點(1)當k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPMOPN？說明理由解：(1)由題設可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導數值為，所以C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導數值為，所以C在點(2，a)處

22、的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點證明如下：設P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，a)符合題意2(2015·新課標全國卷)已知橢圓C：9x2y2m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜

23、率的乘積為定值；(2)若l過點，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由解：(1)證明：設直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k9.所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值(2)四邊形OAPB能為平行四邊形因為直線l過點，所以l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k>0，k3.由(1)得OM的方程為yx.設點P的橫坐標為xP.由得x，即xP .將點的坐標

24、代入直線l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形，當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM.于是2×，解得k14，k24.因為ki>0，ki3，i1,2，所以當直線l的斜率為4或4時，四邊形OAPB為平行四邊形課時達標檢測 難點增分課時設計3級訓練，考生據自身能力而選一、全員必做題1已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1，F2，上、下頂點分別是B1，B2，C是B1F2的中點，若·2，且.(1)求橢圓的方程；(2)點Q是橢圓上任意一點，A1，A2分別是橢圓的左、右頂點，直線QA1，QA2與直線x分別交于E，F兩點，試證：以EF為直徑

25、的圓與x軸交于定點，并求該定點的坐標解：(1)設F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，則C.由題意得即即解得從而a24，故所求橢圓的方程為1.(2)證明：由(1)得A1(2,0)，A2(2,0)，設Q(x0，y0)，易知x0±2，則直線QA1的方程為y(x2)，與直線x的交點E的坐標為，直線QA2的方程為y(x2)，與直線x的交點F的坐標為，設以EF為直徑的圓與x軸交于點H(m,0)，m，則HEHF，從而kHE·kHF1，即·1，即2，由1得y.所以由得m±1，故以EF為直徑的圓與x軸交于定點，且該定點的坐標為或.2在平面直角坐標系xOy中，已

26、知點A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓E：y21上的非坐標軸上的點，且4kOA·kOB10(kOA，kOB分別為直線OA，OB的斜率)(1)證明：xx，yy均為定值；(2)判斷OAB的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由解：(1)證明：依題意，x1，x2，y1，y2均不為0，則由4kOA·kOB10，得10，化簡得y2，因為點A，B在橢圓上，所以x4y4，x4y4，把y2代入，整理得(x4y)x16y.結合得x4y，同理可得x4y，從而xx4yx4，為定值，yyy1，為定值(2)SOAB|OA|·|OB|sinAOB··&

27、#183;· |x1y2x2y1|.由(1)知x4y，x4y，易知y2，y1或y2，y1，SOAB|x1y2x2y1|1，因此OAB的面積為定值1.3(2017·河北質量檢測)已知橢圓E：1的右焦點為F(c,0)，且abc0，設短軸的一個端點為D，原點O到直線DF的距離為，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于C，G兩點，且|4.(1)求橢圓E的方程；(2)是否存在過點P(2,1)的直線l與橢圓E相交于不同的兩點A，B且使得24·成立？若存在，試求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解：(1)由橢圓的對稱性知|2a4，a2.又原點O到直線DF的距離為，bc，又a2

28、b2c24，abc0，b，c1.故橢圓E的方程為1.(2)當直線l與x軸垂直時不滿足條件故可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為yk(x2)1，代入橢圓方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，32(6k3)0，k.x1x2，x1x2，24·，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)4×5，解得k±，k不符合題意，舍去存在滿足條件的直線l，其方程為yx.二、重點選做題1A為曲線y上任意一點，點B(2,0)為線段AC的中點(1)求動點C的

29、軌跡E的方程；(2)過軌跡E的焦點F作直線交軌跡E于M，N兩點，在圓x2y21上是否存在一點P，使得PM，PN分別為軌跡E的切線？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)設C(x，y)，A(m，n)，因為B(2,0)是AC的中點，所以所以又n，所以所求方程為x24y.(2)假設存在點P(x0，y0)，設M，N，直線MN的方程為ykx1，聯立得x24kx40，則切線PM的方程為y(xx1)，將點P(x0，y0)代入化簡得x2x1x04y00，同理得x2x2x04y00，所以知x1，x2是方程x22x0x4y00的兩根，則x1x24y04，所以y01，代入圓的方程得x00，所以存在點

30、P(0，1)，使得PM，PN分別為軌跡E的切線2已知橢圓M：1(a>b>0)的一個頂點坐標為(0,1)，離心率為，動直線yxm交橢圓M于不同的兩點A，B，T(1,1)(1)求橢圓M的標準方程；(2)試問：TAB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由解：(1)由題意得，b1，又a2b2c2，所以a，c1，橢圓M的標準方程為y21.(2)由得3x24mx2m220.由題意得，16m224(m21)>0，即m23<0，所以<m<.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2| .又由題意得，T(1,1)到直線yxm的距離d.假設TAB的面積存在最大值，則m0，STAB|AB|d××.由基本不