結(jié)構(gòu)力學第五章

1、第 五 章結(jié)構(gòu)位移計算與虛功5-1 5-1 應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移 1、推導(dǎo)位移計算一般公式的基本思路、推導(dǎo)位移計算一般公式的基本思路 第一步：由剛體體系的虛位移原理（理論力學）得出剛體體系的虛力原理。并由此討論靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動而引起的位移計算問題。 第二步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于局部變形引起的位移。由剛體體系的虛力原理導(dǎo)出其位移計算公式。 第三步：討論靜定結(jié)構(gòu)由于整體變形引起的位移。應(yīng)用第二步導(dǎo)出的局部變形引起的位移計算公式，再應(yīng)用疊加原理就可以推導(dǎo)出整體變形引起的位移計算公式。 2、結(jié)構(gòu)位移計算概述、結(jié)構(gòu)位移計算概述 （1）、結(jié)構(gòu)位移的種類）、結(jié)構(gòu)位移的種類

2、 絕對位移絕對位移：線位移和角位移桿件結(jié)構(gòu)中某一截面位置或方向的改變。 相對位移相對位移：相對線位移和相對角位移兩個截面位移的差值或和。 廣義位移廣義位移：絕對位移和相對位移的統(tǒng)稱。FPCDDABCCHCVCCDDVCD （2）、引起位移的原因）、引起位移的原因*荷載作用；*溫度變化和材料漲縮；*支座沉陷和制造誤差。（3）、位移計算的目的）、位移計算的目的 *檢驗結(jié)構(gòu)的剛度：位移是否超過允許的位移限制。 * 為超靜定結(jié)構(gòu)計算打基礎(chǔ)。 * 其它：如施工措施、建筑起拱、預(yù)應(yīng)力等。（4）、體系（結(jié)構(gòu)）的物理特性）、體系（結(jié)構(gòu)）的物理特性 線性變形體系（線彈性體）：線性變形體系（線彈性體）： *應(yīng)力、

3、應(yīng)變滿足虎克定律；應(yīng)力、應(yīng)變滿足虎克定律； *變形微小：變形前后結(jié)構(gòu)尺寸、諸力作用變形微?。鹤冃吻昂蠼Y(jié)構(gòu)尺寸、諸力作用 位置不變，位移計算可用疊加原理；位置不變，位移計算可用疊加原理； *體系幾何不變，約束為理想約束。體系幾何不變，約束為理想約束。 非線性體系：非線性體系： * 物理非線性；物理非線性； *幾何非線性（大變形）。幾何非線性（大變形）。 （5）、變形體位移計算方法及應(yīng)滿足的條件）、變形體位移計算方法及應(yīng)滿足的條件 方法：方法： 用虛功原理推導(dǎo)出位移計算公式。用虛功原理推導(dǎo)出位移計算公式。 計算時應(yīng)滿足的條件：計算時應(yīng)滿足的條件： *靜力平衡；靜力平衡； *變形協(xié)調(diào)條件；變形協(xié)調(diào)條

4、件； *物理條件。物理條件。3、虛功原理的一種應(yīng)用形式、虛功原理的一種應(yīng)用形式 虛力原理（虛力原理（ 虛設(shè)力系，求位移）虛設(shè)力系，求位移） （1）虛功的概念）虛功的概念功的兩個要素功的兩個要素力和位移力和位移 W= F FP P 功功= =力力相應(yīng)位移相應(yīng)位移FPFP相應(yīng)位移相應(yīng)位移 W=2FP(r) = M力與位移相互對應(yīng)。力與位移相互對應(yīng)。FPFPABAOBr虛功虛功 使力作功的位移不是由該力本身引起的，則： 作功的力與相應(yīng)于力的位移彼此獨立無關(guān)。虛功 = 力 相應(yīng)于力的位移獨立無關(guān)FP1FP2M1FR1FR2FR3力狀態(tài)力狀態(tài)211c1c2c3位移狀態(tài)位移狀態(tài)（2）兩種狀態(tài)）兩種狀態(tài) 兩

5、種狀態(tài)兩種狀態(tài) 既然力與位移彼此獨立無關(guān)，故可將力與位移視為兩種獨立的狀態(tài)。 力狀態(tài)；力狀態(tài)； 位移狀態(tài)位移狀態(tài)。 外力虛功可表示為： W = FP11+FP22+ M11 + FR1c1+ FR2c1+ FR3c3 =FFP P F FP P：包括力狀態(tài)中的所有力（力偶）及支座反力 ，稱為廣義力。 ：包括位移狀態(tài)中的與廣義力相應(yīng)的廣義位移。（3 3）、剛體體系虛功原理）、剛體體系虛功原理（虛位移原理、虛力原理）（虛位移原理、虛力原理） 對于具有理想約束的剛體體系，其虛功原對于具有理想約束的剛體體系，其虛功原理為：理為：設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生

6、符合約束條件的無限小剛體體系位移，系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。 即：即： W = 0 理想約束理想約束約束力在可能位移上所作的功恒等于零的約束，約束力在可能位移上所作的功恒等于零的約束，如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。 剛剛 體體 具有理想約束的質(zhì)點系。剛體內(nèi)力在剛體的可具有理想約束的質(zhì)點系。剛體內(nèi)力在剛體的可能位移上所作的功恒為零。能位移上所作的功恒為零。 虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理）虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理）用于討論靜力學問題非常方便，是分析力學的用于討論靜力學

7、問題非常方便，是分析力學的基礎(chǔ)?；A(chǔ)。 因為虛功原理中平衡力系與可能位移無關(guān)，因為虛功原理中平衡力系與可能位移無關(guān)，所以既可把位移視為虛設(shè)的，也可把力系視為所以既可把位移視為虛設(shè)的，也可把力系視為虛設(shè)的。虛設(shè)的。 根據(jù)虛設(shè)的對象不同，虛功原理有兩種應(yīng)根據(jù)虛設(shè)的對象不同，虛功原理有兩種應(yīng)用形式，解決兩類不同的問題。用形式，解決兩類不同的問題。 虛功原理的兩種不同應(yīng)用，不但適用于剛虛功原理的兩種不同應(yīng)用，不但適用于剛體體系，也適用于變形體體系。體體系，也適用于變形體體系。（4）、虛設(shè)（擬）力狀態(tài)）、虛設(shè)（擬）力狀態(tài) 求位移求位移 例1： 圖示簡支梁，支座A向上移動一已知距離c1 ,現(xiàn)在擬求B點的豎

8、向線位移B。 解解：已給位移狀態(tài); 虛設(shè)力狀態(tài)，在擬求位移B方向上加一單位荷載FP=1，形成平衡力系。c1BFP=1FR1= - b/a虛功方程：虛功方程：B B 1+c1FR1 =0 由平衡方程求出：由平衡方程求出： FR1 = - b/a B B=FPc1=b/a c1注：注： a、虛設(shè)力系，應(yīng)用虛功原理，稱為虛力原理。若、虛設(shè)力系，應(yīng)用虛功原理，稱為虛力原理。若設(shè)設(shè)FP=1，稱為虛單位荷載法。，稱為虛單位荷載法。 b、虛功方程在此實質(zhì)上是幾何方程。即利用靜、虛功方程在此實質(zhì)上是幾何方程。即利用靜力平衡求解幾何問題。力平衡求解幾何問題。 c c、方程求解的關(guān)鍵，在于擬求、方程求解的關(guān)鍵，在

9、于擬求方向虛設(shè)單位方向虛設(shè)單位荷載，利用力系平衡求出與荷載，利用力系平衡求出與c c1 1相應(yīng)的相應(yīng)的R1, ,即利用平衡即利用平衡方程求解幾何問題。方程求解幾何問題。 上述方法也可稱為上述方法也可稱為“單位荷載法單位荷載法” c1B BFP=1FR1= - b/a d、通過上例可推出靜定結(jié)構(gòu)支座移通過上例可推出靜定結(jié)構(gòu)支座移動時，位移計算的一般公式。動時，位移計算的一般公式。 注：因為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動作用下，不注：因為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動作用下，不產(chǎn)生反力、內(nèi)力，也不引起應(yīng)變；所以屬于剛產(chǎn)生反力、內(nèi)力，也不引起應(yīng)變；所以屬于剛體體系的位移問題，可用剛體虛功原理求解。體體系的位移問題，可用剛體

10、虛功原理求解。4、支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算、支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算10 (6-3)RKKF c 當支座有給定位移ck時（可能不止一個）， （a）沿擬求位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力FRK。 （b）令虛擬力系在實際位移上作虛功，寫虛功方程： (6-4)RKKFc（c）由虛功方程，解出所求位移： 例例: 圖示三鉸剛架，圖示三鉸剛架，支座支座B下沉下沉c1，向，向右移動右移動c2。求鉸。求鉸 C的豎向位移的豎向位移CV和和鉸左右截面的相對鉸左右截面的相對角位移角位移C。l/2l/2lc1 c2 CV Cl/2l/2lc1 c2 CV C實際狀態(tài)實際狀態(tài)FP=11/

11、21/21/41/4虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài) CV =-FRKcK=- -1/2c1 1/4c2 =c1/2+ c2/4 ()l/2l/2lc1 c2 CV C實際狀態(tài)實際狀態(tài)C=-FRK cK=- -1/lc2= c2 /l ( )FP=11 /l1 /l5-2 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 結(jié)構(gòu)屬于變形體，在一般情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)結(jié)構(gòu)屬于變形體，在一般情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)變。結(jié)構(gòu)的位移計算問題，屬于變形體體系生應(yīng)變。結(jié)構(gòu)的位移計算問題，屬于變形體體系的位移計算問題。采用方法仍以虛功法最為普遍。的位移計算問題。采用方法仍以虛功法最為普遍。 推導(dǎo)位移計算一般公式有幾種途徑：推導(dǎo)位移計

12、算一般公式有幾種途徑： 1、根據(jù)變形體體系的虛功方程，導(dǎo)出位移計算的一般公式。 2、應(yīng)用剛體體系的虛功原理，導(dǎo)出局部變形的位移公式；然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出變形體體系的位移計算公式。 一、局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例一、局部變形時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算舉例 設(shè)靜定結(jié)構(gòu)中的某個微段出現(xiàn)局部變形，微段兩端設(shè)靜定結(jié)構(gòu)中的某個微段出現(xiàn)局部變形，微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對位移。而結(jié)構(gòu)的其他部分沒有變形，相鄰截面出現(xiàn)相對位移。而結(jié)構(gòu)的其他部分沒有變形，仍然是剛體。仍然是剛體。 因此，當某個微段有局部變形時，靜定結(jié)構(gòu)的位因此，當某個微段有局部變形時，靜定結(jié)構(gòu)的位移計算問題可以歸結(jié)為當該處相鄰截面有相對位移時移計

13、算問題可以歸結(jié)為當該處相鄰截面有相對位移時剛體體系的位移計算問題。舉例說明。剛體體系的位移計算問題。舉例說明。 例例5-1：懸臂梁在截面：懸臂梁在截面B有相對轉(zhuǎn)角有相對轉(zhuǎn)角，求，求A點豎向點豎向位移位移AV（是由于制造誤差或其他原因造成的）。是由于制造誤差或其他原因造成的）。ABCa a A1ABCA1ABCM1 解 ：解 ： 、 在、 在 B 處 加 鉸處 加 鉸（將實際位移狀態(tài)明確地表（將實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。示為剛體體系的位移狀態(tài)）。 、A點加單位荷載點加單位荷載FP=1，在鉸，在鉸B處虛設(shè)一對彎處虛設(shè)一對彎矩矩M（為保持平衡）（為保持平衡）M=1a（4-5） 、

14、虛功方程： 1AV- M=0 AV = M= a() 例例5-2：懸臂梁在截面：懸臂梁在截面B有相對剪切位移有相對剪切位移，求，求A點點與桿軸成與桿軸成角的斜向位移分量角的斜向位移分量（ 是由于制造誤差或是由于制造誤差或其他原因造成的）。其他原因造成的）。ABCa a A1B1ABC 解：解：、在、在B截面處加截面處加機構(gòu)如圖（將實際位移狀態(tài)機構(gòu)如圖（將實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。移狀態(tài)）。A1B1 、A點加單位荷載點加單位荷載FP=1，在鉸，在鉸B處虛設(shè)一對剪處虛設(shè)一對剪力力FQ（為保持平衡）（為保持平衡）FQ= sinaABC1FQ 、虛功方程：

15、1- FQ =0 = FQ 二、局部變形時的位移公式二、局部變形時的位移公式基本思路：基本思路： 把局部變形時的位移計算問題轉(zhuǎn)化為剛體體系的位把局部變形時的位移計算問題轉(zhuǎn)化為剛體體系的位移計算問題。移計算問題。 如圖所示，已知只有如圖所示，已知只有B點附近的微段點附近的微段 ds 有局部變形，有局部變形，結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形。求結(jié)構(gòu)其他部分沒有變形。求A點沿點沿方向的位移分量方向的位移分量d d局部變形有三部分：局部變形有三部分： 軸向伸長應(yīng)變軸向伸長應(yīng)變 平均剪切應(yīng)變平均剪切應(yīng)變 0 軸線曲率軸線曲率 （ = 1/R，R為桿件軸向為桿件軸向 變形后的曲率半徑）變形后的曲率半徑） 位移狀態(tài)（實

16、際）位移狀態(tài)（實際） 力狀態(tài)（虛擬）力狀態(tài)（虛擬）（1） 兩端截面的三種相對位移兩端截面的三種相對位移 相應(yīng)內(nèi)力相應(yīng)內(nèi)力相對軸向位移相對軸向位移 d= d s相對剪切位移相對剪切位移 d=0ds相對轉(zhuǎn)角相對轉(zhuǎn)角 d=d s /R= d s軸力軸力 FN剪力剪力 FQ彎矩彎矩 M 相對位移相對位移d、 d、 d是描述微段總變形的是描述微段總變形的三個基本參數(shù)。三個基本參數(shù)?；舅悸罚夯舅悸罚篸ABCABCsdsA1dddds dBCddRFNFNFQFQMM1FNFQM （2） d s趨近于趨近于0，三種相對位移還存在。，三種相對位移還存在。相當于整個結(jié)構(gòu)除相當于整個結(jié)構(gòu)除B截面發(fā)生集中變形（

17、截面發(fā)生集中變形（d，d，d）外，其他部分都是剛體，沒有任何變形。）外，其他部分都是剛體，沒有任何變形。屬剛體體系的位移問題。屬剛體體系的位移問題。 （3） 應(yīng)用剛體體系虛功原理，根據(jù)截面應(yīng)用剛體體系虛功原理，根據(jù)截面B的相對位移可分別求出點的相對位移可分別求出點A的位移的位移d，局部變，局部變形位移公式：形位移公式：01()NQNQdM dFdFddMFFds （4-8）三、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式三、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式0()NQlldMFFds 0()NQlMFFds 由疊加原理：由疊加原理： 總位移=疊加每個微段變形在該點(A)處引起的微小 位移d即：若結(jié)構(gòu)有多個桿件，則：（4-9）單

18、位荷載虛功單位荷載虛功 = 所求位移所求位移 考慮支座有給定位移，則可得出結(jié)構(gòu)位移考慮支座有給定位移，則可得出結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式：計算的一般公式：0()NQRKKMFFdsF c其中包含：其中包含：彎曲變形對位移的影響彎曲變形對位移的影響M ds（4-11）軸向變形對位移的影響軸向變形對位移的影響NFds（4-12）剪切變形對位移的影響剪切變形對位移的影響0QFds（4-13）支座移動對位移的影響支座移動對位移的影響（4-10）RKKF c（4-14） （3）、式（）、式（4-10）是普遍公式。（因為在推）是普遍公式。（因為在推導(dǎo)中未涉及變形因素、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）可導(dǎo)中未涉及變形因素、

19、結(jié)構(gòu)類型、材料性質(zhì)）可考慮任何情況：考慮任何情況：、變形類型：彎曲、軸向、剪切變形。、變形類型：彎曲、軸向、剪切變形。、產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移、產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動等。動等。、結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超、結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。靜定。、材料性質(zhì)：彈性、非彈性。、材料性質(zhì)：彈性、非彈性。（4）、變形體虛功原理：）、變形體虛功原理：將式（將式（4-10）改寫為：）改寫為：01()RKNQKF cMFFds（4-15）外力虛功外力虛功W = 內(nèi)虛功內(nèi)虛功Wi （4-16）可視為變形體虛功原理的一種表達形式?？梢暈樽冃误w虛功原理的一種

20、表達形式。四、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟四、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟 已知結(jié)構(gòu)桿件各微段的應(yīng)變已知結(jié)構(gòu)桿件各微段的應(yīng)變、0（根據(jù)引（根據(jù)引起變形的原因而定），支座移動起變形的原因而定），支座移動ck。求結(jié)構(gòu)某點沿某方向的位移求結(jié)構(gòu)某點沿某方向的位移。1、沿欲求、沿欲求方向設(shè)方向設(shè)FP=1。 2、根據(jù)平衡條件求出、根據(jù)平衡條件求出FP=1作用下的作用下的M、FN、FQ、FR。3、根據(jù)公式（、根據(jù)公式（5-4）可求出）可求出。注意正負號：注意正負號： 、公式（4-10）中各乘積表示，力與變形方向一致，乘積為正，反之為負。 、求得為正，表明位移的實際方向與所設(shè)單位荷載方向一致。五五 、廣義位移計算、廣義位

21、移計算廣義位移：某截面沿某方向的線位移；某截面的角位移；某兩個截面的相對位移；等。 在利用（5-4）求廣義位移時，必須根據(jù)廣義位移的性質(zhì)虛設(shè)廣義單位荷載。ABqABABMA =1MB=1 如：右圖所示簡支梁，求AB兩截面的相對角位移。 求解過程： 可先求A和B，再疊加。也可直接求出AB= A+ B 廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移廣義虛單位荷載（外力）虛功BAABBAFP=1FP=11A+1B =A+B =ABABlABBAABABlAB1lAB11/lABA+ 1/lABB=(A+B)/ lAB=AB 廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣義位移和廣義虛單位荷載示例廣

22、義位移廣義虛單位荷載（外力）虛功ABBACCliljiAiBjBjC1li1li1lj1lj1/liAi + 1/liBi +1/ljAj+ 1/ljAj= (Ai+Bi)/ li+ (Bj+Cj)/ lj=i+ j= ijCABLCRCCCAB1 11 CL+1 CR= CL + CR= C5-3 荷載作用下的位移計算荷載作用下的位移計算 1、荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移計算公式、荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移計算公式 根據(jù)公式根據(jù)公式（5-95-9） (6-9) KNQMdsFdsFds 本節(jié)討論中，設(shè)材料是線彈性的。在此，微本節(jié)討論中，設(shè)材料是線彈性的。在此，微段應(yīng)變段應(yīng)變 、 、 0 是由荷載引起的（實

23、際位移狀是由荷載引起的（實際位移狀態(tài)），由荷載態(tài)），由荷載內(nèi)力內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)變順序求出。應(yīng)變順序求出。 由材料力學公式可知：由材料力學公式可知： 荷載作用下相應(yīng)的彎曲、拉伸、剪切荷載作用下相應(yīng)的彎曲、拉伸、剪切應(yīng)變可表示為：應(yīng)變可表示為： 彎曲應(yīng)變：彎曲應(yīng)變： = MP /EI 軸向應(yīng)變：軸向應(yīng)變： = FNP /EA (5-18) 剪切應(yīng)變：剪切應(yīng)變： 0= k FQP /GA 式中：式中： 、 FNP， FQP ， MP是荷載作用下，結(jié)構(gòu)各截是荷載作用下，結(jié)構(gòu)各截面上的軸力，剪力，彎矩。注意這是在實際狀面上的軸力，剪力，彎矩。注意這是在實際狀態(tài)下的內(nèi)力。態(tài)下的內(nèi)力。 、E，G材料的彈性模量

24、和剪切彈性模量。材料的彈性模量和剪切彈性模量。 、A，I桿件截面的面積和慣性矩。桿件截面的面積和慣性矩。 、EA，GA ， EI桿件截面的抗拉，抗剪，抗桿件截面的抗拉，抗剪，抗彎剛度。彎剛度。 、k是與截面形狀有關(guān)的系數(shù)（剪應(yīng)力分布是與截面形狀有關(guān)的系數(shù)（剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)）不均勻系數(shù)） 計算公式計算公式 （5-8）dAbsIAkA222 將將（4-18）代入代入（4-9）可得荷載作用下平面可得荷載作用下平面桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計算的一般公式：桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計算的一般公式：dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPNKP（5-19）將位移計算問題轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)下的內(nèi)力計算問題。將位移計

25、算問題轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)下的內(nèi)力計算問題。正負號規(guī)定：正負號規(guī)定：FN 、 FNP 拉力為正；拉力為正；FQ 、 FQP 同材料力學同材料力學M、 MP使桿件同側(cè)纖維受拉時，乘積為正。使桿件同側(cè)纖維受拉時，乘積為正。2、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式 （1）、梁和剛架：位移主要由彎曲變形引起。）、梁和剛架：位移主要由彎曲變形引起。 (6-20)PMMdsEI （2）、桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和）、桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和各桿軸力沿桿長一般為常數(shù)。各桿軸力沿桿長一般為常數(shù)。 (6-21) NNNPNPF FF F ldsEAEA （3）、組合結(jié)構(gòu)：一些桿件主要受彎，一些

26、桿件只有軸力。 (6-22) NNPPF F lMMdsEIEA（4）、拱： 扁平拱及拱的合理軸線與拱軸相近時： (6-23) NNPPF FMMdsdsEIEA通常情況： (6-20) PMMdsEI 例例: 簡支梁的位移計算。簡支梁的位移計算。 求圖示簡支梁中點求圖示簡支梁中點C的豎向位移的豎向位移CV 和截面和截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B。解：求C點的豎向位移。 虛擬狀態(tài)如圖；FP=11/2 實際狀態(tài) 虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2M=x/2FQP=q(l-2x)/2FQ=1/2 因?qū)ΨQ性，只計算一半。5-4 荷載作用下的位移計算舉例荷載作用下的位移計算舉例 討論剪切變形和彎曲變形對位移的影

27、響：討論剪切變形和彎曲變形對位移的影響：GAkqlEIqldxxlqGAkdxxlxqxEIlCV83845)2(22112)(22122422/0 設(shè)簡支梁為矩形截面，設(shè)簡支梁為矩形截面，k=1.2, I /A= h2 / 12, 橫向變形系數(shù)橫向變形系數(shù) =1/3, E/G=2(1+ )=8/3。 / = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI) =9.6/l2kE/G I /A = 2.56(h/l)2當當 h/l =1/10時時, 則：則： / =2.56 對一般梁來說，可略去剪切變形對位移的影響。對一般梁來說，可略去剪切變形對位移的影響。 但當梁但當梁h/l1/5時時, 則：

28、則： / =10.2 對于深梁，剪切變形對位移的影響不可忽略。對于深梁，剪切變形對位移的影響不可忽略。求截面求截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角B 。 虛擬狀態(tài)如圖所示。虛擬狀態(tài)如圖所示。M=11/l實際狀態(tài)實際狀態(tài) 虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l)( 逆時針EIqldxxlxqlxEIlB24)(2)(1320 計算結(jié)果為負，說明實際位移與虛擬力方向相反。計算結(jié)果為負，說明實際位移與虛擬力方向相反。 例例: 圖示一屋架，屋圖示一屋架，屋架的上弦桿和其他壓架的上弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采下弦桿和其他拉桿采用鋼桿。用鋼桿。 試求頂點試求頂

29、點C的豎的豎向位移。向位移。解：解： （1）求）求FNP先將均布荷載先將均布荷載q化為結(jié)點荷載化為結(jié)點荷載FP=ql/4 。求結(jié)點荷載作用下的求結(jié)點荷載作用下的FNP 。0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0- 4.74- 4.42- 0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2） 求5-5、圖乘法、圖乘法一、圖乘法的適用條件一、圖乘法的適用條件 計算彎曲變形引起的位移時，要求下列積分：計算彎曲變形引起的位移時，要求下列積分： dsEIMMP

30、符合下列條件時，積分運算可轉(zhuǎn)化為圖乘運算，比較符合下列條件時，積分運算可轉(zhuǎn)化為圖乘運算，比較簡便。適用條件為：簡便。適用條件為：（1）、桿軸為直線；）、桿軸為直線；（2）、桿段）、桿段 EI = 常數(shù)；常數(shù)；（3）、）、M和和MP中至少有一個是直線圖形。中至少有一個是直線圖形。二、圖乘公式二、圖乘公式 圖示為圖示為AB桿的兩個彎矩桿的兩個彎矩圖。圖。 M為直線圖形，為直線圖形， MP 為任為任意圖形。意圖形。 該桿截面抗彎剛度該桿截面抗彎剛度EI=常數(shù)。常數(shù)。OOMP圖圖 M圖圖由由M圖可知：圖可知：M= y= x tandxdA=MPdxyxCxCyCAB1PPMMdsMM dxEIEI 1

31、tanPxM dxEI1tanxdAEICxdAA x= xC tana=yC=(M MP /EI)ds= 由此可見，當滿足上述三個條件時，積分式由此可見，當滿足上述三個條件時，積分式的值的值就等于就等于MP圖的面積圖的面積A乘其形心所對應(yīng)乘其形心所對應(yīng)M圖上的豎標圖上的豎標yC，再除以，再除以EI。 正負號規(guī)定：正負號規(guī)定： A與與yC在基線的同一側(cè)時為正，反之為負。在基線的同一側(cè)時為正，反之為負。A xC tana1EIAyC1EI三、應(yīng)用圖乘法計算位移時的幾點注意三、應(yīng)用圖乘法計算位移時的幾點注意 1、應(yīng)用條件：、應(yīng)用條件： 桿段必須是分段等截面；桿段必須是分段等截面；EI不能是不能是x

32、的函數(shù)；的函數(shù)；兩圖形中必有一個是直線圖形，兩圖形中必有一個是直線圖形，yC取自直線圖取自直線圖形中。形中。 2、正負號規(guī)定：、正負號規(guī)定： A與與yC同側(cè)，乘積同側(cè)，乘積 A yC取正；取正； A與與yC不同側(cè)，不同側(cè)，則乘積則乘積A yC取負。取負。 3、幾種常用圖形的面積和形心位置：、幾種常用圖形的面積和形心位置： 見書見書P.72。 曲線圖形要注意圖形頂點位置。曲線圖形要注意圖形頂點位置。 4、如果兩個圖形均為直線圖形，則標距、如果兩個圖形均為直線圖形，則標距yC可取自任何一個圖形?？扇∽匀魏我粋€圖形。 5、當、當yC所屬圖形是由所屬圖形是由幾段直線組成的折線圖形，幾段直線組成的折線圖

33、形，則圖乘應(yīng)分段進行。在折則圖乘應(yīng)分段進行。在折點處分段圖乘，然后疊加。點處分段圖乘，然后疊加。A1y1A2y2A3y3 當桿件為階段變化桿當桿件為階段變化桿件時（各段件時（各段EI=常數(shù)），應(yīng)常數(shù)），應(yīng)在突變處分段圖乘，然后疊在突變處分段圖乘，然后疊加。加。6、把復(fù)雜圖形分為簡單圖形、把復(fù)雜圖形分為簡單圖形 （使其易于計算面積和判斷形心位置）（使其易于計算面積和判斷形心位置） 取作面積的圖形有時是不規(guī)則圖形，面積取作面積的圖形有時是不規(guī)則圖形，面積的大小或形心的位置不好確定?？煽紤]把圖形的大小或形心的位置不好確定?？煽紤]把圖形分解為簡單圖形（規(guī)則圖形）分別圖乘后再疊分解為簡單圖形（規(guī)則圖形）

34、分別圖乘后再疊加。加。 （1）、如兩圖形均為梯）、如兩圖形均為梯形，不必求梯形形心，可將形，不必求梯形形心，可將其分解為兩個標準三角形進其分解為兩個標準三角形進行計算。行計算。ABCDabMPlcdMC1yC1C2yC2ACDMPC1aADBbMPC2MP=MP+MP=(1/EI)MMPds =(1/EI) M(MP+MP)ds=(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2=l6EI(2ac+2bd+ab+bc) (2)、左圖也可分為兩個、左圖也可分為兩個標準三角形，進行圖乘運標準三角形，進行圖乘運算。算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MPMP=(1/EI)(

35、al/2)yC1+(bl/2) yC2其中其中: yC1=2c/3 - d/3 yC2=2d/3 - c/3=l6EI(2ac+2bd-ab-bc)（3）、一般情況 右圖所示為某一段桿(AB)的MP圖?？蓪⒋藞D分解為三個圖形，均為標準圖形，然后與M圖圖乘，圖乘后疊加。四、示例 例1、求懸臂梁中點C的撓度CV，EI=常數(shù)。解： （1）、設(shè)虛擬力狀態(tài)如圖，作M和MP。由于均為直線圖形，故AP可任取。FPl/2l/2CVFPMPFP l1l/2MA5FP l/6M: A=1/2l/2l/2=l2/8MP: yC=5/6FP lCV=AyC /EI =(l2/85/6FP l)/EI =5FP l3/

36、48EI () (2)、討論 若： AP=1/2FPll=Pl2/2 yC=1/3l/2=l/6CV=APyC /EI =(FPl2/2l/6)/EI =FP l3/12EI() 對否？錯在哪里？FPl/2l/2CVFPMPFP lAP1l/2Ml/6FPl/2l/2CVFPAP1l/23、正確的作法、正確的作法AP1=1/2FP ll/2=FP l2/4 y1=l/3AP2=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y2=l/6AP3=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y3=0FP lCV=APyC/EI =(FP l2/4l/3+ FP l2/8 l/6+FP l2/8 0)/EI

37、 =5FP l3/48EI ()60kN12kN例例: 圖示剛架，用圖示剛架，用圖乘法求圖乘法求B端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角B ; CB桿中點桿中點D的的豎向線位移豎向線位移DV。各桿各桿EI=常數(shù)。常數(shù)。EI=常數(shù) 解解: 1、作荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。、作荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。72kN72kN12kN2524590MP圖 (kNm)2、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。M=11M3、求B。圖乘時注意圖形分塊。C1C2y1y2C3C4y3y42524590MP圖 (kNm)14、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。5、求CV，圖乘時注意圖形分塊。3M (m)81C1C2C3C4C5y1y2y3y4y545/4例：例：q=16kN

38、/m64kNm64kNm16kNm16kNm 求鉸求鉸C左右截面相左右截面相對轉(zhuǎn)角對轉(zhuǎn)角C。 各桿各桿EI=5104 kNm2 。解：解： 作荷載作用下的彎矩作荷載作用下的彎矩圖；虛擬力作用下的彎矩圖；虛擬力作用下的彎矩圖。圖。 （注意：（注意：斜桿彎矩斜桿彎矩圖的做法；圖的做法；各彎矩圖的各彎矩圖的單位。）單位。）3232 C=2(1/2805)(2/35/8)+(1/2805)(2/35/8+1/31) -(2/3325)(1/25/8+1/21)/EI kNm m kN/m2 =0.005867 （弧度） 方向與虛擬力方向一致。5-6、靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算、靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位

39、移計算 平面桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式平面桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式6)-(6 dsMdsFdsFQNK在此：在此：， 由溫度作用引起。由溫度作用引起。注意靜定結(jié)構(gòu)特征：注意靜定結(jié)構(gòu)特征： 組成：無多余約束的幾何不變體系； 靜力：溫度作用下靜定結(jié)構(gòu)無反力、內(nèi)力；桿件有變形，結(jié)構(gòu)有位移。 溫度作用時由于材料熱脹冷縮，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變溫度作用時由于材料熱脹冷縮，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移。形和位移。1、溫度變化時靜定結(jié)構(gòu)的特點：、溫度變化時靜定結(jié)構(gòu)的特點： （1）、有變形（熱脹冷縮）、有變形（熱脹冷縮） 均勻溫度改變（軸向變形）；均勻溫度改變（軸向變形）； 不均勻溫度改變（彎曲、軸向變形）；不均勻溫度改變（

40、彎曲、軸向變形）； 無剪切變形。無剪切變形。 （2）、無反力、內(nèi)力。）、無反力、內(nèi)力。2、微段由于溫度改變產(chǎn)生的變形計算、微段由于溫度改變產(chǎn)生的變形計算 設(shè)溫度沿截面厚度直線變化。設(shè)溫度沿截面厚度直線變化。 （1）軸向伸長（縮短）變形：）軸向伸長（縮短）變形： 設(shè)桿件上邊緣溫度升高設(shè)桿件上邊緣溫度升高t10，下，下邊緣升高邊緣升高t20。形心處軸線溫度：。形心處軸線溫度： t0 =(h1t2+h2t1)/h （截面不對稱于形心）（截面不對稱于形心） t0 =(t2+t1)/2 （截面對稱于形心）（截面對稱于形心） du = ds = t0 ds 材料線膨脹系數(shù)。材料線膨脹系數(shù)。ds形心軸形心軸

41、 +t1 +t2 t0 h h1 h2t1dst2dsdud (2)、由上下邊緣溫差產(chǎn)生的彎曲變形： 上下邊緣溫差 t = t2 t1 d= ds = (t2-t1)ds/h= t ds /h（3）溫度作用不產(chǎn)生剪切變形 ds =03、溫度作用時位移計算公式0 (6-28a) NtFt dsMdsh 0ds (6-28b) Ntt F dsMh 如t0，t和h沿每桿桿長為常數(shù)，則： 正負號：比較虛擬狀態(tài)的變形與實際狀態(tài)中由于溫度變化引起的變形，若兩者變形方向相同，則取正號，反之，則取負號。 剛架（梁）中由溫度變化引起的軸向變形不可忽略。例： 圖示剛架，施工時溫度為200C，試求冬季當外側(cè)溫度為

42、-100C，內(nèi)側(cè)溫度為00C時，點A的豎向位移AV，已知=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外側(cè)溫度改變：t1= - 10 20 = - 300內(nèi)側(cè)溫度改變：t2 = 0 20 = - 200-300C-200Cl=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN= -1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（ -3020）/2= - 250t= t2 - t1= - 20 -（- 30）=100AV= (-25) (-1) l+(-)10/h (1/2ll+ll) = - 0.5 cm ( )提問： （1）、若當結(jié)構(gòu)某些桿件發(fā)生尺寸制造誤差，要求

43、結(jié)構(gòu)的位移，應(yīng)如何處理？ 應(yīng)根據(jù)位移計算的一般公式進行討論。 特點：除有初應(yīng)變（制造誤差）的桿件外，其余桿件不產(chǎn)生任何應(yīng)變。在有初應(yīng)變的桿件中找、即可。dsFdsFdsMQN （2）、靜定結(jié)構(gòu)由荷載、溫度改變、支座移動、尺寸誤差、材料漲縮等因素共同作用下，產(chǎn)生的位移應(yīng)如何計算？ 可先分開計算，在進行疊加4-11 線性變形體系的互等定理線性變形體系的互等定理狀態(tài)狀態(tài)狀態(tài)一、功的互等定理 貝蒂（ E. Betti 意 18231892）定理FP1FP1FR1FP2211212dsds 令狀態(tài)上的力系在狀態(tài)的位移上作虛功 (a) dsEIMMdsGAkFFdsEAFFWQQNN21212112 令狀

44、態(tài)上的力系在狀態(tài)的位移上作虛功 (b) dsEIMMdsGAkFFdsEAFFWQQNN12121221 比較（a）、（b）兩式，知： W12=W 21 （6-66）FP112= FP221或?qū)憺椋汗Φ幕サ榷ɡ怼?在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上作的虛功W12，等于第二狀態(tài)上的外力在第一狀態(tài)上作的虛功W21。 應(yīng)用時注意： 廣義力 廣義位移對應(yīng)對應(yīng) 由：W12=FP112 ， W21=FP221 有：W12=W21， FP112=FP212 FP1122M2M212112功的互等定理應(yīng)用條件：（1）材料彈性，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。 （2）小變形，不影響力的作用。即 為線性彈性體系。思考： 功的互等定理必須應(yīng)用于線性彈性體系，為什么？ 功的互等定理應(yīng)用條件與虛功原理有何不同？ 二、位移互等定理 （位移影響系數(shù)互等） 位移互等定理（Maxwell定理） 功的互等定理的一個特殊情況。 位移互等定理： 在任一線性彈性體系中，由荷載FP1所引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影響