數(shù)學(xué)思想與方法模擬考試題及答案

1、模擬題一一、填空題（每題5 分，共 25 分）1算法的有效性是指（如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問(wèn)題的正確解）。3所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)， （由數(shù)思形、見(jiàn)形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問(wèn)題）的一種思想方法。5古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以幾何原本為代表；一種是長(zhǎng)于計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用，以（ 九章算術(shù)）為典范。7數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為（數(shù)學(xué)的各個(gè)分支相互滲透和相互結(jié)合）的趨勢(shì)。9學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程一般有三個(gè)主要階段：（潛意識(shí)階段、明朗化階段、深刻理解階段）。二、判斷題（每題 5 分

2、，共 25 分。在括號(hào)里填上是或否）1計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造者。（ 是）2抽象得到的新概念與表述原來(lái)的對(duì)象的概念之間一定有種屬關(guān)系。（ 否 ）3一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個(gè)命題都必須給出證明。（ 否）4貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過(guò)程中有兩個(gè)思想，一是公理化思想，一是機(jī)械化思想。（ 是）5提出一個(gè)問(wèn)題的猜想是解決這個(gè)問(wèn)題的終結(jié)。（否）三、簡(jiǎn)答題（每題 10 分，共 50 分）1為什么說(shuō)幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系？答：因?yàn)樵趲缀卧局?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過(guò)的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對(duì)概念下定義

3、的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。另外，幾何原本的理論體系回避任何與社會(huì)生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，因此對(duì)于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，它也是封閉的。所以，幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。2為什么說(shuō)最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國(guó)人？答：因?yàn)樵谥袊?guó)漢代的古算書 九章算術(shù) 中就已經(jīng)系統(tǒng)地使用了數(shù)學(xué)模型。 九章算術(shù) 將 246 個(gè)題目歸結(jié)為九類，即九種不同的數(shù)學(xué)模型，分列為九章。它在每一章中所設(shè)置的問(wèn)題，都是從大量的實(shí)際問(wèn)題中選擇具有典型意義的現(xiàn)實(shí)原型，然后再通過(guò)“術(shù)”( 即算法 ) 轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。其中有些章就是專門探討某種數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，例如“勾股” 、“方程”等章。這在

4、世界數(shù)學(xué)史上是最早的。因此，我們說(shuō)最早使用數(shù)學(xué)模型方法的是中國(guó)人。3什么是類比猜想？并舉一個(gè)例子說(shuō)明。答：人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測(cè)性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過(guò)是用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運(yùn)算等方面都是對(duì)應(yīng)相似的。精選文檔4簡(jiǎn)述表層類比，并用舉例說(shuō)明。答：表層類比是根據(jù)兩個(gè)被比較對(duì)象的表面形式或結(jié)構(gòu)上的相似所進(jìn)行的類比。這種類比可靠性較差，結(jié)論具有很大的或然性。例如，從 a(bc)abac 類比出 sin()sinsin是錯(cuò)誤的，

5、而類比出lim (an bn )lim anlim bnnnn在數(shù)列極限存在的條件下是正確的。又如，由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)，類比得到三角形外角平分線性質(zhì)，就是一種結(jié)構(gòu)上的類比。5數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)為什么要遵循循序漸進(jìn)原則？試舉例說(shuō)明。答：數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識(shí)的理解和一般技能的掌握，它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。學(xué)生對(duì)每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級(jí)到高級(jí)的沿著螺旋式方向上升的。例如，學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合方法可從小學(xué)的畫示意圖找數(shù)量關(guān)系著手孕育；在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，要求學(xué)生會(huì)借助數(shù)軸來(lái)表示相反數(shù)、絕對(duì)值、比較有理數(shù)的大小等。

6、模擬題二一、填空題（每題3 分，共 30 分）1在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的（幾何原本）。2隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是（在一定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果）。3演繹法與（歸納法）被認(rèn)為是理性思維中兩種最重要的推理方法。4在化歸過(guò)程中應(yīng)遵循的原則是（簡(jiǎn)單化原則、熟悉化原則、和諧化原則）是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。6三段論是演繹推理的主要形式，它由（大前提、小前提、結(jié)論）三部分組成。7傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只注重（形式化數(shù)學(xué)知識(shí)）的傳授，而忽略對(duì)知識(shí)發(fā)生過(guò)程中（數(shù)學(xué)思想方

7、法）的挖掘。8特殊化方法是指在研究問(wèn)題中， （從對(duì)象的一個(gè)給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合）的思想方法。9分類方法的原則是（不重復(fù)、無(wú)遺漏、標(biāo)準(zhǔn)同一、按層次逐步劃分）。10數(shù)學(xué)模型可以分為三類：（概念型、方法型、結(jié)構(gòu)型）。二、判斷題（每題2 分，共 10 分。在括號(hào)里填上是或否）1數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué)等領(lǐng)域沒(méi)應(yīng)用。（否）2在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。（是）3如果某一類問(wèn)題存在算法，并且構(gòu)造出這個(gè)算法，就一定能求出該問(wèn)題的精確解。（否）4分類可使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化。（是）5在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，不必經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)抽象這一環(huán)節(jié)。（否）

8、三、簡(jiǎn)答題（每題6 分，共 30 分）1我國(guó)數(shù)學(xué)教育存在哪些問(wèn)題？答： 數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果，輕過(guò)程；重解題訓(xùn)練，輕智力、情感開發(fā)；不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)，雖然學(xué)生考試分?jǐn)?shù)高，但是學(xué)習(xí)能力低下；重模仿，輕探索，學(xué)習(xí)缺少主動(dòng)性，缺乏判斷力和獨(dú)立思考能力；學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重。原因是課堂教學(xué)效益不高，教學(xué)圍繞升學(xué)考試指揮棒轉(zhuǎn)，不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試，不少教師心存以量求質(zhì)的想法，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過(guò)重。2幾何原本貫徹哪兩條邏輯要求？答：幾何原本貫徹了兩條邏輯要求。第一，公理必須是明顯的，因而是無(wú)需加以證明的，其是否真實(shí)應(yīng)受推出的結(jié)果的檢驗(yàn)，但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須是直接可以理解的，因而無(wú)需

9、加以定義。 第二，由公理證明定理時(shí)，必須遵守邏輯規(guī)律與邏輯規(guī)則；同樣，通過(guò)初始概念以直接或間接方式對(duì)派生概念下定義時(shí)，必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。3簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)抽象的特征。答：數(shù)學(xué)抽象有以下特征：數(shù)學(xué)抽象具有無(wú)物質(zhì)性；數(shù)學(xué)抽象具有層次性；數(shù)學(xué)抽象過(guò)程要憑借分析或直覺(jué)；數(shù)學(xué)的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象4 什么是算法的有限性特點(diǎn)？試舉一個(gè)不符合算法有限性特點(diǎn)的例子。答：算法得有限性是指一個(gè)算法必須在有限步之內(nèi)終止。例如，對(duì)初始數(shù)據(jù)20 和 3，計(jì)算過(guò)程為目的。四、解答題（每題15 分，共 30 分）1(1) 什么是類比推理？ (2) 寫出類比推理的表示形式。 (3) 怎樣才能增加由類比得出的結(jié)論的可

10、靠性？答：類比推理是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測(cè)與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。類比推理的表示形式為：A 具有性質(zhì) a1， a2， ， an 及 d；B 具有性質(zhì) a1 ，a2， ，an；因此， B 也可能具有性質(zhì)d 。盡量滿足下列條件可增加類比結(jié)論的可靠性：A 與 B 共同 ( 或相似 ) 的屬性盡可能多些；這些共同 ( 或相似 ) 的屬性應(yīng)是類比對(duì)象A 與 B 的主要屬性；這些共同 ( 或相似 ) 的屬性應(yīng)包括類比對(duì)象的不同方面，并且盡可能是多方面的；可遷移的屬性d 應(yīng)是和 a1， a2， ， an 屬于同一類型。2一個(gè)星級(jí)旅館有150 個(gè)房間。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)

11、踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價(jià)為160 元，住房率為 55%；如果每間客房定價(jià)為 140 元，住房率為 65%；如果每間客房定價(jià)為 120 元，住房率為 75%；如果每間客房定價(jià)為 100 元，住房率為 85%。欲使每天收入提高，問(wèn)每間住房的定價(jià)應(yīng)是多少？答： 弄清實(shí)際問(wèn)題加以化簡(jiǎn)。經(jīng)分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學(xué)模型，可作如下假設(shè)：設(shè)每間客房的最高定價(jià)為160 元；根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設(shè)隨著房?jī)r(jià)的下降，住房率呈線性增長(zhǎng)；設(shè)旅館每間客房定價(jià)相等。建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意，設(shè) y 表示旅館一天的總收入，x 為與 160 元相比降低的房?jī)r(jià)。由假設(shè)，可得每降低1 元房?jī)r(jià)，住房率增加為無(wú)論怎樣延續(xù)

12、這個(gè)過(guò)程都不能結(jié)束，同時(shí)也不會(huì)出現(xiàn)中斷。如果在某一處中斷過(guò)程，我們只能得到一個(gè)近似的、不準(zhǔn)確的結(jié)果。而且如果在某一步中斷計(jì)算過(guò)程已經(jīng)不是執(zhí)行原來(lái)的算法?？梢?jiàn)，10%200.005十進(jìn)小數(shù)除法對(duì)于20 和 3 這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點(diǎn)。5簡(jiǎn)述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一條原則的理由。答： 由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識(shí)的背后，知識(shí)教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但是如果不是有意識(shí)地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對(duì)象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識(shí)，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，把隱藏在知識(shí)背后的思想方法顯示出來(lái)，使之明朗化，才

13、能通過(guò)知識(shí)教學(xué)過(guò)程達(dá)到思想方法教學(xué)之精選文檔因此一天的總收入為y150(160x)(0.550.005x)（1）由于0.55 0.005x1，可知 0 x 90 。于是問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng) 0x 90時(shí)，求 y 的最大值點(diǎn)，即求解maxy 150(160x)(0.55 0.005x)0 x 90(模型求解。將(1)左邊除以 (150× 0.005)得y，x250 x17600由于常數(shù)因子對(duì)求最大值沒(méi)有影響，因此可化為求，y 的最大值點(diǎn)。利用配方法得y，( x25)218225易知當(dāng)，x =25 時(shí) y 最大，因此可知最大收入對(duì)應(yīng)的住房定價(jià)為160 元 25 元=135 元相應(yīng)的住房率為0.

14、55+0.005×25=67.5%最大收入為150×135× 67.5%=13668.75(元 )檢驗(yàn)。容易驗(yàn)證此收入在已知各種客房定價(jià)的對(duì)應(yīng)收入中確實(shí)是最大的，這可從下面表格中看出。定價(jià)160 元140 元120 元100 元135 元收入13200 元13650 元13500 元12750 元13668.75 元如果為了便于管理，那么定價(jià)140 元也是可以的，因?yàn)檫@時(shí)它與最高收入只差18.75 元。如果每間客房定價(jià)為180 元，住房率為 45%，其相應(yīng)收入只有12150 元。由此可見(jiàn)假設(shè)是合理的。實(shí)際上二次函數(shù)在0，90 之內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)。數(shù)思一、簡(jiǎn)答題1、

15、分別簡(jiǎn)單敘說(shuō)算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本思想，并且比較它們的區(qū)別。答：算術(shù)解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量，收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問(wèn)題的條件列出關(guān)于這些具體數(shù)據(jù)的算式，然后通過(guò)四則運(yùn)算求得算式的結(jié)果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問(wèn)題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程，然后通過(guò)對(duì)方程進(jìn)行恒等變換求出未知數(shù)的值。它們的區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量，而代數(shù)解題允許未知的量參與運(yùn)算；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式，而代數(shù)方法的關(guān)鍵之處是列方程。2、比較決定性現(xiàn)象和隨機(jī)性現(xiàn)象的特點(diǎn)，簡(jiǎn)單敘說(shuō)確定數(shù)學(xué)的局限。答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性

16、現(xiàn)象，另一類是隨機(jī)現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，其結(jié)果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結(jié)果之 間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預(yù)知結(jié)果如何。隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是： 在一定的條件下， 可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果。對(duì)于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系。在數(shù)學(xué)學(xué)科中， 人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學(xué)分支稱為確定數(shù)學(xué)。用這些的分支來(lái)定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)和變化過(guò)程，從而確定結(jié)果。但是由于隨機(jī)現(xiàn)象條件 和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來(lái)加以定量 描述。同時(shí)確定數(shù)學(xué)也無(wú)法定量地揭示大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中所蘊(yùn)涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學(xué)的局限所

17、在。二、論述題1、論述社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的主要原因。答：從整個(gè)科學(xué)發(fā)展趨勢(shì)來(lái)看，社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化也是必然的趨勢(shì)，其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個(gè)方面：第一，社會(huì)管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化的最根本的因素。第二，社會(huì)科學(xué)的各分支逐步走向成熟，社會(huì)科學(xué)理論體系的發(fā)展也需要精確化。第三，隨著數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會(huì)歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學(xué)分支。第四，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用，使非常復(fù)雜社會(huì)現(xiàn)象經(jīng)過(guò)量化后可以進(jìn)行數(shù)值處理。2、論述數(shù)學(xué)的三次危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。答：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和理解無(wú)理數(shù)，導(dǎo)致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們?nèi)ド钊胩接憣?shí)數(shù)理論，

18、 導(dǎo)致了分析 基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促使人們研究和分析數(shù)學(xué)悖論， 導(dǎo)致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭(zhēng)是事物發(fā) 展的歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭(zhēng)的 歷史，斗爭(zhēng)的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。三、分析題1、 分析幾何原本思想方法的特點(diǎn)，為什么？答：（1）封閉的演繹體系精選文檔因?yàn)樵趲缀卧局?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)定理的證明所采用義的現(xiàn)實(shí)原型，并把它們表述成問(wèn)題，然后通過(guò)“術(shù) ”使其轉(zhuǎn) 化為數(shù)學(xué)模型。當(dāng)然有的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過(guò)的定

19、理，并且引入的概念（除原始概念）的章采取的是由數(shù)學(xué)模型到原型的過(guò)程，即先給出數(shù)學(xué)模型，然后再舉出可以應(yīng)用也基本上是符合邏輯上的原型。對(duì)概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此幾何原本是一個(gè)封閉的數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè) 2演繹體系。一、簡(jiǎn)答題另外，幾何原本 的理論體系回避任何與社會(huì)生產(chǎn)現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，因此1、敘述抽象的含義及其過(guò)程。對(duì)于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，它也是封閉的。所以，幾何原本是一個(gè)封閉的演答：抽象是指在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，舍棄那些個(gè)別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普繹體系。遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學(xué)概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維過(guò)程。（ 2）抽象化的內(nèi)容 ：幾何原本中研

20、究的對(duì)象都是抽象的概念和命題，它所探討人們?cè)谒季S中對(duì)對(duì)象的抽象是從對(duì)對(duì)象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較，就是在思的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，不討論這些概念和命題與社會(huì)生活之間的關(guān)維中確定對(duì)象之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)；而所謂區(qū)分，則是把比較得到的相同點(diǎn)和不系，也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)原型。因此幾何原本的內(nèi)容是抽同點(diǎn)在思維中固定下來(lái)，利用它們把對(duì)象分為不同的類。然后再進(jìn)行舍棄與收括，象的。舍棄是指在思維中不考慮對(duì)象的某些性質(zhì)，收括則是指把對(duì)象的我們所需要的性質(zhì)（ 3）公理化的方法：幾何原本 的第一篇中開頭 5 個(gè)公設(shè)和5 個(gè)公理，是全書其 它固定下來(lái)，并用詞表達(dá)出來(lái)。這就形成了抽象的概

21、念，同時(shí)也就形成了表示這個(gè)概命題證明的基本前提，接著給出 23 個(gè)定義， 然后再逐步引入和證明定理。 定理的引念的詞，于是完成了一個(gè)抽象過(guò)程。入是有序的，在一個(gè)定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證2、敘述概括的含義及其過(guò)程。明過(guò)的定理。以后各篇除了不再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識(shí)體答：概括是指在認(rèn)識(shí)事物屬性的過(guò)程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質(zhì)系與 表述方法就是公理化方法。的屬性聯(lián)系起來(lái)，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思2、分析九章算術(shù)思想方法的特點(diǎn)，為什么？維過(guò)程。答：（ 1）開放的歸納體系：從九章算術(shù)的內(nèi)容可以看出，它是以應(yīng)用

22、問(wèn)題解法概括通常可分為經(jīng)驗(yàn)概括和理論概括兩種。經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對(duì)個(gè)別事物集成 的體例編纂而成的書，因此它是一個(gè)與社會(huì)實(shí)踐緊密聯(lián)系的開放體系。所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識(shí) 由對(duì)個(gè)體特性的認(rèn)識(shí)上升為對(duì)個(gè)體在九章算術(shù)中通常是先舉出一些問(wèn)題，從中歸納出某一類問(wèn)題的一般解法；再所屬的種的特性的認(rèn)識(shí)。理論概括則是指在經(jīng)驗(yàn)概括的基礎(chǔ)上，由對(duì)種的特性的認(rèn)把各類算法綜合起來(lái)，得到解決該領(lǐng)域中各種問(wèn)題的方法；最后，把解決各領(lǐng)域中識(shí)上升為對(duì)種所屬的屬的特性的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的規(guī)律的認(rèn)識(shí)。在數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法全部綜合起來(lái)，就得到整個(gè)九章算術(shù) 。中經(jīng)常使用的是理論概括。另外該書還按解決問(wèn)題的不

23、同數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納，從這些方法中提煉出數(shù)學(xué)模型，一個(gè)概括過(guò)程包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。最后再以數(shù)學(xué)模型立章寫入九章算術(shù)。 因此，九章算術(shù)是一個(gè)開放的歸納體3、簡(jiǎn)述公理方法歷史發(fā)展的各個(gè)階段系。答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個(gè)階（ 2）算法化的內(nèi)容 ：九章算術(shù)在每一章內(nèi)先列舉若干個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并對(duì)每個(gè)問(wèn)段。第一個(gè)具體的公理體系就是歐幾里得的幾何原本。非歐幾何是抽象的公理體題都給出答案，然后再給出 “術(shù) ”，作為一類問(wèn)題的共同解法。因此，內(nèi)容的算法化系的典型代表。希爾伯特的幾何基礎(chǔ)開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)是九章算術(shù)思想方法上的特點(diǎn)之一

24、。學(xué)的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來(lái)的，現(xiàn)代科學(xué)也盡量采用形式公理（ 3）模型化的方法 ：九章算術(shù)各章都是先從相應(yīng)的社會(huì)實(shí)踐中選擇具有典型意法作為研究和表述手段。精選文檔4、簡(jiǎn)述化歸方法并舉例說(shuō)明。答：所謂 “化歸 ”，從字面上看，應(yīng)可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學(xué)方法論中所論及的 “化歸方法 ”是指數(shù)學(xué)家們把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，最終求獲原問(wèn)題之解答的一種手段和方法。 例如：要求解四次方程可以令，將原方程化為關(guān)于的二次方程這個(gè)方程我們會(huì)求其解：和 ，從而得到兩個(gè)二次方程：和 這也是我們會(huì)求解的方程，解它們便得到原方程的解

25、：， ， ， .這里所用的就是化歸方法。二、論述題1、敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個(gè)應(yīng)用不完全歸納法的例子。答：不完全歸納法的一般推理形式是：設(shè)S=；由于具有屬性 p，具有屬性 p， 具有屬性 p，因此推斷 S 類事物中的每一個(gè)對(duì)象都可能具有屬性 p。2、敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？答：類比推理通?？捎孟铝行问絹?lái)表示：A 具有性質(zhì)B 具有性質(zhì)因此， B 也可能具有性質(zhì)。其中，分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應(yīng)盡量滿足條件：(1)A 與 B 共同 (或相似 )的屬性盡可能地多些； (2)這些共同 (或相似 )的屬性應(yīng)是類比對(duì)象 A 與 B 的主要屬性；(3) 這些共同 (

26、或相似 )的屬性應(yīng)包括類比對(duì)象的各個(gè)不同方面，并且盡可能是多方面的；(4)可遷移的屬性 d 應(yīng)該是和屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結(jié)論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結(jié)論一定正確。3、試比較歸納猜想與類比猜想的異同。答：歸納猜想與類比猜想的共同點(diǎn)是：他們都是一種猜想，即一種推測(cè)性的判斷，都是一種合情推理，其結(jié)論具有或然性，或者經(jīng)過(guò)邏輯推理證明其為真，或者舉出反例予以反駁。歸納猜想與類比猜想的不同點(diǎn)是：歸納猜想是運(yùn)用歸納法得到的猜想，是一種由特殊到一般的推理形式，其思維步驟為“特例 歸納 猜測(cè) ”。類比猜想是運(yùn)用類比法得到的猜想，是一種由特殊到特殊的推理形式，其思維步驟為“聯(lián)想 類比

27、 猜測(cè) ”。三、設(shè)計(jì)題設(shè)計(jì)運(yùn)用 “猜想 ”進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)片斷。答：以 “認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等”為內(nèi)容，設(shè)計(jì)一個(gè)教學(xué)片斷。將教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)成四個(gè)層次：讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：我們周圍有哪些長(zhǎng)方形物體？學(xué)生會(huì)舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。要求學(xué)生仔細(xì)觀察：看一看、想一想，這些長(zhǎng)方形的四條邊的長(zhǎng)短有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察后，會(huì)猜想：長(zhǎng)方形相對(duì)的兩條邊長(zhǎng)度相等。教師進(jìn)一步提出問(wèn)題：同學(xué)們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵(lì)！我們?cè)鯓硬拍茯?yàn)證長(zhǎng)方形相對(duì)的兩條邊的長(zhǎng)短相等呢？這時(shí)，學(xué)生會(huì)想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對(duì)折等方法。教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)量量、折折的具體操作，確信長(zhǎng)方形相對(duì)的兩條邊長(zhǎng)短相等。教師板

28、書：長(zhǎng)方形對(duì)邊相等。接著，師生討論長(zhǎng)方形“對(duì)邊 ”的含義，以及一個(gè)長(zhǎng)方形有幾組對(duì)邊的問(wèn)題。鞏固長(zhǎng)方形對(duì)邊相等的認(rèn)識(shí)。利用多媒體展示下面的長(zhǎng)方形：(3厘米)（2 厘米）（）教師提問(wèn)：如何填寫括號(hào)內(nèi)的數(shù)字？為什么？要求學(xué)生會(huì)用“因?yàn)樗?”句式回答。如“因?yàn)殚L(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，已知長(zhǎng)方形的一條邊是 3 厘米，所以它的對(duì)邊也是3 厘米。 ”數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)3一、簡(jiǎn)答題1、簡(jiǎn)述計(jì)算和算法的含義。精選文檔答：計(jì)算是指根據(jù)已知數(shù)量通過(guò)數(shù)學(xué)方法求得未知數(shù)的過(guò)程，是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法。隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，計(jì)算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (1) 推動(dòng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用； (2)加快了科學(xué)

29、的數(shù)學(xué)化進(jìn)程； (3) 促進(jìn)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個(gè)過(guò)程。所謂一個(gè)算法它實(shí)質(zhì)上是解決一類問(wèn)題的一個(gè)處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進(jìn)行操作，就能引導(dǎo)到問(wèn)題的解決。在一個(gè)算法中，每一個(gè)步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會(huì)產(chǎn)生歧義，并且一個(gè)算法在按有限的步驟解決問(wèn)題后必須結(jié)束。數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為尋找算法或判斷有無(wú)算法的問(wèn)題，因此，算法對(duì)數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會(huì)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中也有著重要意義。算法在科學(xué)技術(shù)中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個(gè)方面：(1)用于表述科學(xué)結(jié)論的一種形式； (2) 作為表述一個(gè)復(fù)雜過(guò)程的方法； (3)

30、 減輕腦力勞動(dòng)的一種手段； (4) 作為研究和解決新問(wèn)題的手段； (5)作為一種基本的數(shù)學(xué)工具。2、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)教學(xué)中引起“分類討論 ”的原因。答：數(shù)學(xué)教學(xué)中引起 “分類討論 ”的原因有：數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時(shí)要分類討論；數(shù)學(xué)中有些運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則是分類給出的，進(jìn)行這類運(yùn)算時(shí)要分類討論；有些幾何問(wèn)題，根據(jù)題設(shè)不能只用一個(gè)圖形表達(dá)，必須全面考慮各種不同的位置關(guān)系，需要分類討論；許多數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有字母參數(shù)，隨著參數(shù)取值不同，會(huì)使問(wèn)題出現(xiàn)不同的結(jié)果。因此需要對(duì)字母參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論。二、論述題1、什么是數(shù)學(xué)模型方法？并用框圖表示MM 方法解題的基本步驟。答：所

31、謂數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法，簡(jiǎn)稱MM 方法。MM 方法解題的基本步驟框圖表示如下：解：設(shè)計(jì)算法：(1)給出初始值I=9 （因?yàn)樾∮诘扔? 的數(shù)顯然不滿足條件） 。(2)判斷 I 的值是否小于或等于500；若是，則進(jìn)一步判斷I 是否滿足用3 除余 2，用5 除余 3，用 7 除余 2 三個(gè)條件，若滿足則輸出I ，否則 I 遞增 1。(3)返回第 (2) 步，直至I 大于 500，結(jié)束。畫出程序框圖如下圖8-1：圖 8-12、一個(gè)星級(jí)旅館有150 個(gè)房間。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，經(jīng)理得到數(shù)據(jù)：如果每間客房定價(jià)為160 元，住房率為55%；如果每間客房定價(jià)為140 元，住房率

32、為65%；如果每間客房定價(jià)為120 元，住房率為75%；如果每間客房定價(jià)為100 元，住房率為 85%。欲使每天收入提高，問(wèn)每間住房的定價(jià)應(yīng)是多少？解： (1)、弄清實(shí)際問(wèn)題加以化簡(jiǎn)。經(jīng)分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學(xué)模型，可作如下假設(shè)：設(shè)每間客房的最高定價(jià)為160 元；根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設(shè)隨著房?jī)r(jià)的下降，住房率呈線性增長(zhǎng)；設(shè)旅館每間客房定價(jià)相等。(2)、建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)題意，設(shè)表示旅館一天的總收入，為與160 元相比降低的房?jī)r(jià)。由假設(shè)，可得每降低1 元房?jī)r(jià)，住房率增加為因此一天的總收入為( )由于。于是問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)時(shí)，求的最大值點(diǎn)，即求解2、特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用？(3)、模

33、型求解。答：特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用大致有如下幾個(gè)方面：利用特殊值 (圖形 )解選擇將 ( )左邊除以 (150 ×0.005)得題；利用特殊化探求問(wèn)題結(jié)論；利用特例檢驗(yàn)一般結(jié)果；利用特殊化探索解題思路。三、計(jì)算題由于常數(shù)因子對(duì)求最大值沒(méi)有影響，因此可化為求的最大值點(diǎn)。利用配方法得1、用程序框圖表述如下問(wèn)題的求解過(guò)程：在 1 500 中，找出能同時(shí)滿足用 3除余 2，用 5 除余 3，用 7 除余 2 的所有整數(shù)。易知當(dāng) =25 時(shí)最大，因此可知最大收入對(duì)應(yīng)的住房定價(jià)為精選文檔160 元 25 元 =135 元實(shí)世界密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，且能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)。相應(yīng)的住房率為2）

34、、把 “數(shù)學(xué)化 ”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過(guò)程是將學(xué)生的0.55+0.005 ×25=67.5%現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)一步提高、抽象的過(guò)程。最大收入為3）、把 “再創(chuàng)造 ”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。把 “已完成的數(shù)學(xué) ”當(dāng)成是 “未完成的數(shù)150×135×67.5%=13668.75( 元)學(xué) ”來(lái)教，給學(xué)生提供 “再創(chuàng)造 ”的機(jī)會(huì)。(4)、檢驗(yàn)。4）、把 “問(wèn)題解決 ”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在 “學(xué)段目標(biāo) ”中的容易驗(yàn)證此收入在已知各種客房定價(jià)的對(duì)應(yīng)收入中確實(shí)是最大的，這可從下面表格“解決問(wèn)題 ”方面的具體闡述， 實(shí)際上提出了 “問(wèn)題解決 ”的

35、教學(xué)模式， 即：情境 問(wèn)題中看出。 探索 結(jié)論 反思。定價(jià)160 元140 元120 元100 元135 元5）、把 “數(shù)學(xué)思想方法 ”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想收入13200 元13650 元13500 元12750 元13668.75 元方法。如果為了便于管理，那么定價(jià)140 元也是可以的，因?yàn)檫@時(shí)它與最高收入只差18.756）、把 “數(shù)學(xué)活動(dòng) ”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)方面。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，注重“向?qū)W生元。提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì) ”，幫助他們 “獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn) ”。7）、把 “合作交流 ”看成學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方式。要讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中如果每間客

36、房定價(jià)為180 元，住房率為 45%，其相應(yīng)收入只有12150 元。由此可見(jiàn)“學(xué)會(huì)與他人合作 ”，并能 “與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果 ”。假設(shè)是合理的。實(shí)際上二次函數(shù)在之內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)。3、已知 AOB 及點(diǎn) P，連接 OP，若 P 點(diǎn)不在 OB 邊上，且 BOP 表示以O(shè)B 為始8）、把 “現(xiàn)代信息技術(shù) ”作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種工具。2、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾個(gè)主要階段。邊、按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OP 的角，試比較 AOB 與 BOP 的大小。答：學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法要經(jīng)歷潛意識(shí)階段、明朗化階段、深化理解三個(gè)階段。答：可以有多種情形。情形一： AOB < BOP二、論述題情形二： AO

37、B > BOP1、試述小學(xué)數(shù)學(xué)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性。答： 數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系知識(shí)與能力的紐帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對(duì)發(fā)展學(xué)生情形三： AOB = BOP的數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：(1)掌握數(shù)學(xué)思想方法能更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法作業(yè) 4答案(2)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決有著重要的作用。(3)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是以學(xué)生發(fā)展為本的必然要求。一、簡(jiǎn)答題1、簡(jiǎn)述國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)主要特點(diǎn)。答： 2001 年 6 月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)2、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意哪些事項(xiàng)？驗(yàn)稿 )，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課

38、程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點(diǎn)和具體目標(biāo)，并呈現(xiàn)下列八個(gè)特點(diǎn)：答：數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)注意以下事項(xiàng)：(1)把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)；1）、把 “現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué) ”作為數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)內(nèi)容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)精選文檔(2)重視數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；(3)做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工作；(4)不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求；(5)注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。三、分析題1.利用下列材料，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)“數(shù)形結(jié)合 ”教學(xué)片斷。材料：如圖 13-3-18 所示， 相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為1 平方厘米。 (1) 分別連接各點(diǎn)，組成下面12 個(gè)圖形，

39、 你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2) 求出各圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)以及各圖形的面積，找出一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)、各圖形的面積三者之間的關(guān)系。提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1)對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形的特點(diǎn) (可以是獨(dú)立思考，也可以是小組討論)，然后組織學(xué)生交流各自的理解，師生共同 (完全 )歸納概括出規(guī)律的過(guò)程。(2)對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，要充分展示學(xué)生結(jié)合“數(shù) ”與 “形 ”來(lái)考察問(wèn)題的思維過(guò)程。教師所起的主導(dǎo)作用就是引導(dǎo)學(xué)生分析同一圖中我們需要考察哪些 “數(shù) ”？由于這里涉及到三個(gè)方面的數(shù)量關(guān)系，教師同時(shí)還要進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生獲得這樣的策略：當(dāng)所要考察的圖形的數(shù)量關(guān)系較

40、復(fù)雜時(shí)，除了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法外，還可用列表的形式來(lái)幫助分析。解答提示： (一 )、列表分析 (也可以只列舉部分圖形分析 )圖形邊上點(diǎn)數(shù)內(nèi)部點(diǎn)數(shù)面積401(2)602(3)803(4)1406(5)412(6)613(7)814(8)1417(9)423(10)624(11)825(12)1428(二 )、觀察、歸納：(限于篇幅只列舉部分圖形分析)圖形 (1)的面積： 4÷2 0 1=1圖形 (3)的面積： 8÷2 0 1=3圖形 (5)的面積： 4÷2 1 1=2圖形 (8)的面積： 14÷2 1 1=7圖形 (9)的面積： 4÷2 2 1

41、=3圖形 (11)的面積： 8÷22 1=5圖形 (12)的面積： 14÷2 21=8(三 )、總結(jié)規(guī)律：圖形的面積與格點(diǎn)數(shù)滿足關(guān)系：面積邊上的點(diǎn)數(shù)÷2內(nèi)部點(diǎn)數(shù)1(四 )、教學(xué)設(shè)計(jì)一、找圖的排列規(guī)律師：同學(xué)們看圖，找出圖的排列規(guī)律來(lái)。（學(xué)生可以討論）生：老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒(méi)有點(diǎn)，第二行的圖中間有一個(gè)點(diǎn)，第三行的圖中間有兩個(gè)點(diǎn)。師：非常好！二、數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù)師：現(xiàn)在我們來(lái)數(shù)一數(shù)每個(gè)圖周邊的點(diǎn)數(shù)。并將結(jié)果填入下列表中。（師生一起數(shù)）三、計(jì)算面積師：數(shù)完邊點(diǎn)數(shù)，我們?cè)賮?lái)計(jì)算每個(gè)圖的面積。結(jié)果也填入表中。（師生一起計(jì)算面積，過(guò)程略）序號(hào)精選文檔內(nèi)點(diǎn)數(shù) 0

42、00011112222邊點(diǎn)數(shù) 468144681446814面積123623473458四、尋找每一列三個(gè)數(shù)之間的規(guī)律師：我們根據(jù)這個(gè)表，找一找每列三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。告訴同學(xué)們，希望找到相同的規(guī)律。生：第一列，邊點(diǎn)數(shù)等于面積乘以4。師：這個(gè)規(guī)律能否用到第二列呢？生：不能，因?yàn)?不等于 2乘以 4。生 2：第一列，邊點(diǎn)數(shù)除以 2，減去面積等于 1。師：好！看看這個(gè)規(guī)律能否用到第二列？生：能。還能用到第三、第四列。生 2：老師，這個(gè)規(guī)律不能用到第五列。師：很好！我們看看這個(gè)規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生：我發(fā)現(xiàn)了，邊點(diǎn)數(shù)除以2，加上內(nèi)點(diǎn)數(shù)，再減去面積等于1。師：非常好！大家一起算一算，是不是每一列

43、都具有這個(gè)規(guī)律。五、總結(jié)師：我們把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)成公式：邊點(diǎn)數(shù) /2內(nèi)點(diǎn)數(shù)面積1也可以寫為：邊點(diǎn)數(shù) /2內(nèi)點(diǎn)數(shù) 1面積2. 假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè) “分類法 ”教學(xué)片斷。解答：材料如下：提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求 (1) 依據(jù)給定的材料設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的活動(dòng)，讓學(xué)生分一分，想一想，說(shuō)一說(shuō)，充分展示學(xué)生對(duì)分類的思考，交流各種不同分法的依據(jù)， 并通過(guò)反思不同分法找出分類的標(biāo)準(zhǔn)；(2) 體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括“分類方法 ”的過(guò)程，并開展學(xué)法指導(dǎo)，使學(xué)生獲得“單一標(biāo)準(zhǔn)下分類方法”的策略。2、假定學(xué)生已有了除法商的不變性知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)時(shí)

44、，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)孕育 “類比法 ”教學(xué)片斷。提示：所設(shè)計(jì)的教學(xué)片斷要求(1)以小組合作探究的形式，讓學(xué)生舉例說(shuō)明除法的被除數(shù)和除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母之間存在什么樣的關(guān)系(相似關(guān)系 )？商與分?jǐn)?shù)又有什么關(guān)系 (相似關(guān)系 )？那么與被除數(shù)、 除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)其商不變相似的結(jié)論又是什么呢？通過(guò)一系列層層遞進(jìn)式的問(wèn)題情境，把學(xué)生的思維導(dǎo)向分?jǐn)?shù)與商相似的特征上來(lái)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生自主探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)的全過(guò)程；(2) 教學(xué)設(shè)計(jì)要體現(xiàn)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納概括 “分?jǐn)?shù)的性質(zhì) ”的過(guò)程，并重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，使學(xué)生初步領(lǐng)會(huì)用 “類比法 ”獲取新知識(shí)的策略。解答提示： (一 )、列表類比 (教師引導(dǎo)，師生共同描述除法的

45、性質(zhì)，再由學(xué)生通過(guò)類比歸納出分?jǐn)?shù)的性質(zhì) )除法分?jǐn)?shù)除法的表示： A÷B分?jǐn)?shù)的表示：除法的性質(zhì) (一 )：分?jǐn)?shù)的性質(zhì) (一 )：若 M0，則 (A×M)÷(B×M)= A÷B若 M0，則除法的性質(zhì) (二 )：分?jǐn)?shù)的性質(zhì) (二 )：若 M0，則 (A÷M)÷(B÷M)= A÷B若 M0，則除法的性質(zhì) (三 )：分?jǐn)?shù)的性質(zhì) (三 )：A÷B÷C=A÷(B ×C)除法的性質(zhì) (四 )：分?jǐn)?shù)的性質(zhì) (四 )：(A ÷B) ÷(C ÷D)= (A

46、×D) ÷(B ×C)注：性質(zhì)（三） 、（四）作為擴(kuò)展學(xué)習(xí)內(nèi)容(應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況取舍 )(二 )教學(xué)設(shè)計(jì)一、回憶除法和分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念師：同學(xué)們還記得除法的哪些概念和記號(hào)？生：被除數(shù) ÷除數(shù)商師：對(duì)。我們?cè)倩貞浄謹(jǐn)?shù)的概念和記號(hào)。生： 。精選文檔師：好。大家一起來(lái)比較這兩個(gè)概念的相似性。生：商好比分?jǐn)?shù)，被除數(shù)好比分子。除數(shù)好比分母。二、回憶除法的性質(zhì)師：很好?，F(xiàn)在我們回憶除法有哪些性質(zhì)。生：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大，商不變。生 2：被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)縮小，商也不變。三、類比出分?jǐn)?shù)的性質(zhì)師：對(duì)。剛才我們知道商好比分?jǐn)?shù)，因此我們可以問(wèn)：除法的這些性質(zhì)是否可以類比到

47、分?jǐn)?shù)上來(lái)呀？生：可以。師：應(yīng)該怎樣類比呢？生：分子與分母同時(shí)擴(kuò)大，分?jǐn)?shù)不變。生 2：分子與分母同時(shí)縮小，分?jǐn)?shù)不變。四、總結(jié)成公式師：很好！這些性質(zhì)怎樣用公式表示呢？生：可以列表如下：除法分?jǐn)?shù)除法的表示： A÷B分?jǐn)?shù)的表示：除法的性質(zhì) (一 )：分?jǐn)?shù)的性質(zhì) (一 )：若M0，則 (A×M)÷(B×M)= A÷B若 M0，則除法的性質(zhì) (二 )：分?jǐn)?shù)的性質(zhì) (二 )：若M0，則 (A÷M)÷(B÷M)= A÷B若 M0，則數(shù)學(xué)思想與方法作業(yè)參考解答（4）一、簡(jiǎn)答題 1簡(jiǎn)述國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的幾個(gè)主要特點(diǎn)（189

48、 頁(yè)）。解答： 2001年 6 月教育部推行了試用的九年義務(wù)教育階段國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿 )，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的內(nèi)涵、特點(diǎn)和具體目標(biāo)，并呈現(xiàn)下列八個(gè)特點(diǎn)：第一、把 “現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué) ”作為數(shù)學(xué)課程的一項(xiàng)內(nèi)容。即為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)世界密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，且能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)。第二、把“數(shù)學(xué)化 ”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的過(guò)程是將學(xué)生的現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)進(jìn)一步提高、抽象的過(guò)程。第三、把 “再創(chuàng)造 ”作為數(shù)學(xué)教育的一條原則。把“已完成的數(shù)學(xué) ”當(dāng)成是 “未完成的數(shù)學(xué) ”來(lái)教，給學(xué)生提供 “再創(chuàng)造 ”的機(jī)會(huì)。第四、把“問(wèn)題解決 ”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種模式。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) 在 “學(xué)段目標(biāo) ”中的 “解決問(wèn)題 ”方面的具體闡述， 實(shí)際上提出了 “問(wèn)題解決 ”的教學(xué)模式，即：情境 問(wèn)題 探索 結(jié)論 反思。第五、把 “數(shù)學(xué)思想方法 ”作為課程體系的一條主線。要求學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。第六、把“數(shù)學(xué)活動(dòng) ”作為數(shù)學(xué)課程的一個(gè)方面。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)”，幫助他們 “獲得廣泛的數(shù)學(xué)