貸款月還款問題

1、貸款月還款問題摘 要： 本次數(shù)學(xué)建模研究的問題是貸款還款問題，隨著人們生活水平的提高，人們對(duì)住房也有很高的要求，房價(jià)的高漲使得許多人被拒房于門外，因此，住房貸款也成為了人們關(guān)心的問題，銀行貸款還款也成為了人們生活的一部分，如何選擇還款的方式和年限，成為了本次建模的主要解決的問題。這是一個(gè)關(guān)于銀行住房貸款償還問題的數(shù)學(xué)模型。我們根據(jù)題目已知的利率和貸款金額，分別針對(duì)等額本息還款法和等額本金還款法，我們建立相應(yīng)的線性方程數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出還款總額，還款總利息，月均還款額的通用公式。計(jì)算出兩種情況下的月還款數(shù)，以及他們之間的區(qū)別優(yōu)劣，并求題目問題：40萬元計(jì)算貸款20年的月還款數(shù)。關(guān)鍵詞：貸款 等額本

2、金貸款 等額本息貸款 月還款一、問題重述隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，金融正越來越多的進(jìn)入普通人的生活；貸款，保險(xiǎn)，養(yǎng)老金和信用卡；個(gè)人住房抵押貸款是其中重要的一項(xiàng)。2012年6月8日，中國人民銀行公布了新的貸款利率水平，其中貸款利率如下表所列 以人民幣40萬元為例計(jì)算貸款20年的月還款數(shù)(按等額本息與等額本金還款法分別計(jì)算) 本次建模以個(gè)人住房公積金貸款為例，通過建模的形式來解決住房貸款的月還款數(shù)的問題，計(jì)算40萬元貸款20年的月還款數(shù)，分別以等額本金和等額本息還款方法計(jì)算。二 、模型假設(shè)1、假設(shè)貸款購房者能夠承擔(dān)起月供2、假設(shè)銀行在貸款期間按起初的年利率不變3、在還貸期間不會(huì)發(fā)生大的經(jīng)濟(jì)危機(jī)，4、各種政

3、策不會(huì)有大的改變?nèi)⒎?hào)說明對(duì)等額本金還款和等額本息還款分別定義符號(hào)1、等額本金還款符號(hào)說明A：貸款總金額m：年利率r：月利率n：還款次數(shù)i：第幾月還款：第i月還款金額W ：n月累計(jì)還款2、等額本息還款符號(hào)說明A：貸款總金額m：年利率r：月利率x：每月還款數(shù)i: 第幾月還款n：還款總次數(shù)W：n個(gè)月累計(jì)還款：第i個(gè)月欠款余數(shù)：第i個(gè)月的利息四、問 題 分 析 這次我們的目的很明確，就是求貸款的月還款問題。一個(gè)月還款一次。并求通式，分兩種情況討論：情況一：采用等額本金還款：對(duì)于此種還款方式，就是將本金每月等額償還本金的A/n,并且把本月產(chǎn)生的利息償還，也就是說第一月償還（A*r+A/n）過后，還剩

4、本金A*（n-1）/n；第二月償還（A/n+A*（n-1）/n），還剩本金A*（n-2）/n。由于剛還款時(shí)本金數(shù)目大，因此利息也比較大，隨著時(shí)間的推移，每月還款數(shù)目在減小。簡單的通式：每月還款=貸款金額/還款次數(shù)*利率+（還款次數(shù)+1-第k次）*利率*貸款金額/還款次數(shù)）情況二:采用等額本息還款：對(duì)于此種還款方式，意思也就是每月的還款數(shù)目是相等的，假設(shè)每月的還款金額為x,則第一個(gè)月的還款金額x，剩余金額A*（1+r）-x再作為下月的本金進(jìn)行還款。因此這種還款方式每次還款相同與情況一不同。簡單的通式：每月還款=貸款金額*（1+利率）*利率/(1+利率)還款次數(shù)-1)五 、模型的建立與求解 情況一

5、：等額本金還款模型1、 模型建立 假設(shè)簽訂貸款協(xié)議的時(shí)間是某月初，因此從開始貸款時(shí)算起，直至20年還款完畢。每次要還款本金的1/n+當(dāng)月的利息。 因題目中給的是年利率m，所以又月利率r=/12。第一月還款額： 第二月還款額：第三月還款額： ：第i月還款額： ：第n月還款額; 由數(shù)學(xué)歸納法可知:第i月的還款額通式： 第i月還款額20年還款總額為： W=+ =+ =總付利息：總付利息= =2、 模型求解I、個(gè)人住房貸款求解 個(gè)人住房貸款和個(gè)人住房公積金貸款的年利率不同，相比較來說，能享有公積金貸款的人都是政府工作人員或者有很好的生活福利，所以他們的住房貸款也比平常人的年利率低，而個(gè)人住房貸款在五年

6、以上的年利率是6.8%?，F(xiàn)在就根據(jù)貸款4000000元，20年時(shí)間還清來求解。因?yàn)槭前丛聛韮斶€貸款，因此要分240次來償還貸款。通過matlab軟件來求解，并作出相關(guān)的表格，并給出這120次還款的趨勢(shì)。Matlab軟件程序代碼見附錄一。得到結(jié)果如下：第i個(gè)月 年利率 月利率 第i月還款金額 每月利息（i） （%） （%） （元） （元）1 0.57 6.8 3.946667e+003 22802 0.57 6.8 3.937167e+003 2.270500e+0033 0.57 6.8 3.927667e+003 22614 0.57 6.8 3.918167e+003 2.251500e+

7、0035 0.57 6.8 3.908667e+003 22426 0.57 6.8 3.899167e+003 2.232500e+0037 0.57 6.8 3.889667e+003 22238 0.57 6.8 3.880167e+003 2.213500e+0039 0.57 6.8 3.870667e+003 220410 0.57 6.8 3.861167e+003 2.194500e+00311 0.57 6.8 3.851667e+003 2.185000e+00312 0.57 6.8 3.842167e+003 2.175500e+00313 0.57 6.8 3.832

8、667e+003 216614 0.57 6.8 3.823167e+003 2.156500e+00315 0.57 6.8 3.813667e+003 214716 0.57 6.8 3.804167e+003 2.137500e+00317 0.57 6.8 3.794667e+003 212818 0.57 6.8 3.785167e+003 2.118500e+00319 0.57 6.8 3.775667e+003 210920 0.57 6.8 3.766167e+003 2.099500e+00321 0.57 6.8 3.756667e+003 209022 0.57 6.8

9、 3.747167e+003 2.080500e+00323 0.57 6.8 3.737667e+003 207124 0.57 6.8 3.728167e+003 2.061500e+00325 0.57 6.8 3.718667e+003 205226 0.57 6.8 3.709167e+003 2.042500e+00327 0.57 6.8 3.699667e+003 2.033000e+00328 0.57 6.8 3.690167e+003 2.023500e+00329 0.57 6.8 3.680667e+003 201430 0.57 6.8 3.671167e+003

10、2.004500e+00331 0.57 6.8 3.661667e+003 199532 0.57 6.8 3.652167e+003 1.985500e+00333 0.57 6.8 3.642667e+003 1.976000e+00334 0.57 6.8 3.633167e+003 1.966500e+00335 0.57 6.8 3.623667e+003 195736 0.57 6.8 3.614167e+003 1.947500e+00337 0.57 6.8 3.604667e+003 193838 0.57 6.8 3.595167e+003 1.928500e+00339

11、 0.57 6.8 3.585667e+003 1.919000e+00340 0.57 6.8 3.576167e+003 1.909500e+00341 0.57 6.8 3.566667e+003 1.900000e+00342 0.57 6.8 3.557167e+003 1.890500e+00343 0.57 6.8 3.547667e+003 188144 0.57 6.8 3.538167e+003 1.871500e+00345 0.57 6.8 3.528667e+003 1.862000e+00346 0.57 6.8 3.519167e+003 1.852500e+00

12、347 0.57 6.8 3.509667e+003 184348 0.57 6.8 3.500167e+003 1.833500e+00349 0.57 6.8 3.490667e+003 182450 0.57 6.8 3.481167e+003 1.814500e+00351 0.57 6.8 3.471667e+003 1.805000e+00352 0.57 6.8 3.462167e+003 1.795500e+00353 0.57 6.8 3.452667e+003 178654 0.57 6.8 3.443167e+003 1.776500e+00355 0.57 6.8 3.

13、433667e+003 176756 0.57 6.8 3.424167e+003 1.757500e+00357 0.57 6.8 3.414667e+003 1.748000e+00358 0.57 6.8 3.405167e+003 1.738500e+00359 0.57 6.8 3.395667e+003 172960 0.57 6.8 3.386167e+003 1.719500e+00361 0.57 6.8 3.376667e+003 171062 0.57 6.8 3.367167e+003 1.700500e+00363 0.57 6.8 3.357667e+003 1.6

14、91000e+00364 0.57 6.8 3.348167e+003 1.681500e+00365 0.57 6.8 3.338667e+003 167266 0.57 6.8 3.329167e+003 1.662500e+00367 0.57 6.8 3.319667e+003 165368 0.57 6.8 3.310167e+003 1.643500e+00369 0.57 6.8 3.300667e+003 1.634000e+00370 0.57 6.8 3.291167e+003 1.624500e+00371 0.57 6.8 3.281667e+003 1.615000e

15、+00372 0.57 6.8 3.272167e+003 1.605500e+00373 0.57 6.8 3.262667e+003 159674 0.57 6.8 3.253167e+003 1.586500e+00375 0.57 6.8 3.243667e+003 1.577000e+00376 0.57 6.8 3.234167e+003 1.567500e+00377 0.57 6.8 3.224667e+003 155878 0.57 6.8 3.215167e+003 1.548500e+00379 0.57 6.8 3.205667e+003 153980 0.57 6.8

16、 3.196167e+003 1.529500e+00381 0.57 6.8 3.186667e+003 1.520000e+00382 0.57 6.8 3.177167e+003 1.510500e+00383 0.57 6.8 3.167667e+003 150184 0.57 6.8 3.158167e+003 1.491500e+00385 0.57 6.8 3.148667e+003 148286 0.57 6.8 3.139167e+003 1.472500e+00387 0.57 6.8 3.129667e+003 1.463000e+00388 0.57 6.8 3.120

17、167e+003 1.453500e+00389 0.57 6.8 3.110667e+003 144490 0.57 6.8 3.101167e+003 1.434500e+00391 0.57 6.8 3.091667e+003 142592 0.57 6.8 3.082167e+003 1.415500e+00393 0.57 6.8 3.072667e+003 1.406000e+00394 0.57 6.8 3.063167e+003 1.396500e+00395 0.57 6.8 3.053667e+003 138796 0.57 6.8 3.044167e+003 1.3775

18、00e+00397 0.57 6.8 3.034667e+003 136898 0.57 6.8 3.025167e+003 1.358500e+00399 0.57 6.8 3.015667e+003 1349100 0.57 6.8 3.006167e+003 1.339500e+003101 0.57 6.8 2.996667e+003 1330102 0.57 6.8 2.987167e+003 1.320500e+003103 0.57 6.8 2.977667e+003 1.311000e+003104 0.57 6.8 2.968167e+003 1.301500e+003105

19、 0.57 6.8 2.958667e+003 1292106 0.57 6.8 2.949167e+003 1.282500e+003107 0.57 6.8 2.939667e+003 1273108 0.57 6.8 2.930167e+003 1.263500e+003109 0.57 6.8 2.920667e+003 1.254000e+003110 0.57 6.8 2.911167e+003 1.244500e+003111 0.57 6.8 2.901667e+003 1235112 0.57 6.8 2.892167e+003 1.225500e+003113 0.57 6

20、.8 2.882667e+003 1216114 0.57 6.8 2.873167e+003 1.206500e+003115 0.57 6.8 2.863667e+003 1197116 0.57 6.8 2.854167e+003 1.187500e+003117 0.57 6.8 2.844667e+003 1.178000e+003118 0.57 6.8 2.835167e+003 1.168500e+003119 0.57 6.8 2.825667e+003 1159120 0.57 6.8 2.816167e+003 1.149500e+003121 0.57 6.8 2.80

21、6667e+003 1140122 0.57 6.8 2.797167e+003 1.130500e+003123 0.57 6.8 2.787667e+003 1121124 0.57 6.8 2.778167e+003 1.111500e+003125 0.57 6.8 2.768667e+003 1102126 0.57 6.8 2.759167e+003 1.092500e+003127 0.57 6.8 2.749667e+003 1083128 0.57 6.8 2.740167e+003 1.073500e+003129 0.57 6.8 2.730667e+003 106413

22、0 0.57 6.8 2.721167e+003 1.054500e+003131 0.57 6.8 2.711667e+003 1045132 0.57 6.8 2.702167e+003 1.035500e+003133 0.57 6.8 2.692667e+003 1026134 0.57 6.8 2.683167e+003 1.016500e+003135 0.57 6.8 2.673667e+003 1007136 0.57 6.8 2.664167e+003 9.975000e+002137 0.57 6.8 2.654667e+003 9.880000e+002138 0.57

23、6.8 2.645167e+003 9.785000e+002139 0.57 6.8 2.635667e+003 969140 0.57 6.8 2.626167e+003 9.595000e+002141 0.57 6.8 2.616667e+003 9.500000e+002142 0.57 6.8 2.607167e+003 9.405000e+002143 0.57 6.8 2.597667e+003 9.310000e+002144 0.57 6.8 2.588167e+003 9.215000e+002145 0.57 6.8 2.578667e+003 912146 0.57

24、6.8 2.569167e+003 9.025000e+002147 0.57 6.8 2.559667e+003 893148 0.57 6.8 2.550167e+003 8.835000e+002149 0.57 6.8 2.540667e+003 8.740000e+002150 0.57 6.8 2.531167e+003 8.645000e+002151 0.57 6.8 2.521667e+003 855152 0.57 6.8 2.512167e+003 8.455000e+002153 0.57 6.8 2.502667e+003 836154 0.57 6.8 2.4931

25、67e+003 8.265000e+002155 0.57 6.8 2.483667e+003 8.170000e+002156 0.57 6.8 2.474167e+003 8.075000e+002157 0.57 6.8 2.464667e+003 798158 0.57 6.8 2.455167e+003 7.885000e+002159 0.57 6.8 2.445667e+003 779160 0.57 6.8 2.436167e+003 7.695000e+002161 0.57 6.8 2.426667e+003 7.600000e+002162 0.57 6.8 2.4171

26、67e+003 7.505000e+002163 0.57 6.8 2.407667e+003 741164 0.57 6.8 2.398167e+003 7.315000e+002165 0.57 6.8 2.388667e+003 722166 0.57 6.8 2.379167e+003 7.125000e+002167 0.57 6.8 2.369667e+003 7.030000e+002168 0.57 6.8 2.360167e+003 6.935000e+002169 0.57 6.8 2.350667e+003 684170 0.57 6.8 2.341167e+003 6.

27、745000e+002171 0.57 6.8 2.331667e+003 665172 0.57 6.8 2.322167e+003 6.555000e+002173 0.57 6.8 2.312667e+003 646174 0.57 6.8 2.303167e+003 6.365000e+002175 0.57 6.8 2.293667e+003 6.270000e+002176 0.57 6.8 2.284167e+003 6.175000e+002177 0.57 6.8 2.274667e+003 608178 0.57 6.8 2.265167e+003 5.985000e+00

28、2179 0.57 6.8 2.255667e+003 5.890000e+002180 0.57 6.8 2.246167e+003 5.795000e+002181 0.57 6.8 2.236667e+003 570182 0.57 6.8 2.227167e+003 5.605000e+002183 0.57 6.8 2.217667e+003 551184 0.57 6.8 2.208167e+003 5.415000e+002185 0.57 6.8 2.198667e+003 532186 0.57 6.8 2.189167e+003 5.225000e+002187 0.57

29、6.8 2.179667e+003 513188 0.57 6.8 2.170167e+003 5.035000e+002189 0.57 6.8 2.160667e+003 4.940000e+002190 0.57 6.8 2.151167e+003 4.845000e+002191 0.57 6.8 2.141667e+003 4.750000e+002192 0.57 6.8 2.132167e+003 4.655000e+002193 0.57 6.8 2.122667e+003 456194 0.57 6.8 2.113167e+003 4.465000e+002195 0.57

30、6.8 2.103667e+003 4.370000e+002196 0.57 6.8 2.094167e+003 4.275000e+002197 0.57 6.8 2.084667e+003 418198 0.57 6.8 2.075167e+003 4.085000e+002199 0.57 6.8 2.065667e+003 399200 0.57 6.8 2.056167e+003 3.895000e+002201 0.57 6.8 2.046667e+003 3.800000e+002202 0.57 6.8 2.037167e+003 3.705000e+002203 0.57

31、6.8 2.027667e+003 361204 0.57 6.8 2.018167e+003 3.515000e+002205 0.57 6.8 2.008667e+003 342206 0.57 6.8 1.999167e+003 3.325000e+002207 0.57 6.8 1.989667e+003 323208 0.57 6.8 1.980167e+003 3.135000e+002209 0.57 6.8 1.970667e+003 304210 0.57 6.8 1.961167e+003 2.945000e+002211 0.57 6.8 1.951667e+003 28

32、5212 0.57 6.8 1.942167e+003 2.755000e+002213 0.57 6.8 1.932667e+003 266214 0.57 6.8 1.923167e+003 2.565000e+002215 0.57 6.8 1.913667e+003 2.470000e+002216 0.57 6.8 1.904167e+003 2.375000e+002217 0.57 6.8 1.894667e+003 228218 0.57 6.8 1.885167e+003 2.185000e+002219 0.57 6.8 1.875667e+003 209220 0.57

33、6.8 1.866167e+003 1.995000e+002221 0.57 6.8 1.856667e+003 1.900000e+002222 0.57 6.8 1.847167e+003 1.805000e+002223 0.57 6.8 1.837667e+003 171224 0.57 6.8 1.828167e+003 1.615000e+002225 0.57 6.8 1.818667e+003 152226 0.57 6.8 1.809167e+003 1.425000e+002227 0.57 6.8 1.799667e+003 133228 0.57 6.8 1.7901

34、67e+003 1.235000e+002229 0.57 6.8 1.780667e+003 114230 0.57 6.8 1.771167e+003 1.045000e+002231 0.57 6.8 1.761667e+003 9.500000e+001232 0.57 6.8 1.752167e+003 8.550000e+001233 0.57 6.8 1.742667e+003 76234 0.57 6.8 1.733167e+003 6.650000e+001235 0.57 6.8 1.723667e+003 57236 0.57 6.8 1.714167e+003 4.75

35、0000e+001237 0.57 6.8 1.704667e+003 38238 0.57 6.8 1.695167e+003 2.850000e+001239 0.57 6.8 1.685667e+003 19240 0.57 6.8 1.676167e+003 9.500000e+000S = 6.7474e+005II、個(gè)人公積金貸款問題 個(gè)人公積金貸款和上述的個(gè)人住房貸款只有在利率上有所不同，個(gè)人公積金貸款超過五年以上，利率為：4.7%,因此只有結(jié)果不同。計(jì)算過程基本相同。程序詳見附錄二：第i個(gè)月 年利率 月利率 第i月還款金額 每月利息（i） （%） （%） （元） (元)1 0.

36、39 4.7 3.226667e+003 15602 0.39 4.7 3.220167e+003 1.553500e+0033 0.39 4.7 3.213667e+003 15474 0.39 4.7 3.207167e+003 1.540500e+0035 0.39 4.7 3.200667e+003 1.534000e+0036 0.39 4.7 3.194167e+003 1.527500e+0037 0.39 4.7 3.187667e+003 15218 0.39 4.7 3.181167e+003 1.514500e+0039 0.39 4.7 3.174667e+003 15

37、0810 0.39 4.7 3.168167e+003 1.501500e+00311 0.39 4.7 3.161667e+003 149512 0.39 4.7 3.155167e+003 1.488500e+00313 0.39 4.7 3.148667e+003 148214 0.39 4.7 3.142167e+003 1.475500e+00315 0.39 4.7 3.135667e+003 146916 0.39 4.7 3.129167e+003 1.462500e+00317 0.39 4.7 3.122667e+003 1.456000e+00318 0.39 4.7 3.116167e+003 1.449500e+00319 0.39 4.7 3.109667e+003 144320 0.39 4.7 3.103167e+003 1.436500e+00321 0.39 4.7 3.096667e+003 1.430000e+00322 0.39 4.7 3.090167e+003 1.423500e+00323 0.39 4.7 3.083667e+003 1.417