數(shù)列專題突破三數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、專題突破三數(shù)列通項(xiàng)公式的求法求數(shù)列的通項(xiàng)公式， 是數(shù)列問題中的一類重要題型，在數(shù)列學(xué)習(xí)和考試中占有很重要的位置, 本專題就來談?wù)剶?shù)列通項(xiàng)公式的求法.一、通過數(shù)列前若干項(xiàng)歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例1由數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)3,5,3,535，；1234 5(2)2，3,4,5，6，5133381(3)2，2,匚，8，16，111112，6,12,20，30，解(1)這個(gè)數(shù)列前6項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式n*為 an= 4+ ( 1)n, n N .數(shù)列中的項(xiàng)以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)，分子為項(xiàng)數(shù)，分母比分子大1,n*所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=, n N .n

2、 + 11111(3)數(shù)列可化為 1 + 1,2+ 2，3 + 4，4+ 8 5 + ，1 *所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為 an= n + -, n N .2 數(shù)列可化為1 11 X 2，2X 3，1 1 13X 4，4X 5，5X 6,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為1an=，n n + 1反思感悟 這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加減乘除運(yùn)算得到，故解決這類問題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(diǎn)(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否為擺動(dòng)數(shù)列) 聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系需要注意的是，對(duì)于無窮數(shù)列，利用前若干項(xiàng) 歸納出的通項(xiàng)公式屬于“猜想”，而且表達(dá)式不一定唯一.跟蹤訓(xùn)練1由數(shù)列的前幾項(xiàng)，

3、寫出通項(xiàng)公式：(1)1 , - 7,13, 19,25,;131794，7，2，13, 16，;81524(3)1， 5，7，- ?，解(1)數(shù)列每一項(xiàng)的絕對(duì)值構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為n 1*an= (- 1) + (6n 5)，n N .13579數(shù)列化為才，7，5，13，16'分子，分母分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式、 2n 1*為 an=， n N .3n + 12 22 13 1(3)數(shù)列化為一廠，一542 1752 19 ，,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an= ( 1)n+ 1，n N*.2n+ 1、利用遞推

4、公式求通項(xiàng)公式命題角度1累加、累乘例2 (1)數(shù)列an滿足a1= 1，對(duì)任意的n N都有an+1 = a1 + an+ n，求通項(xiàng)公式;2n、已知數(shù)列 an滿足a1= 3，an+1=an，求an.解 (1) - an+1 = an+ n + 1，二 an+1 an= n +1，即 a2 a1 = 2，a3 a2= 3，an an 1= n(n >2).等式兩邊同時(shí)相加得an a1= 2+ 3 + 4 + + n(n >2)，n(n+ 1 )即 an= a1 + 2+ 3 + 4 + + n = 1+ 2+ 3 + 4 + + n= -2，n2.又a1= 1也適合上式,n n+1*a

5、n=2, n N .an+1 n由條件知 a =，分別令n = 1,2,3,，n 1,ann+1代入上式得(n 1)個(gè)等式，累乘,a2 a3 aia1 a2 a3an 1(n> 2).an 12.2一=，又 ai = , - - an= , n2.ai n33n2 2 *又ai= 3也適合上式， an= 3， n N.反思感悟 形如an+1= an+ f(n)的遞推公式求通項(xiàng)可以使用累加法，步驟如下：第一步 將遞推公式寫成an+1- an= f(n)；第步 當(dāng)n2時(shí)，依次寫出an an -1,，a2 ai，并將它們累加起來；第三步得到an a1的值，解出an；第四步 檢驗(yàn)a1是否滿足所求

6、通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式累 乘法類似.跟蹤訓(xùn)練2 數(shù)列an中，a1= 2, an+1 a“= 2n，求an的通項(xiàng)公式.解 因?yàn)?a1 = 2, an + 1 an= 2，所以 a2 a1 = 2, a3 a2 = 2, a4 a3= 2 ,，an a*-1 = 2 , n2，以上各式累加得，an a1 = 2 + 2 + 2 + + 2 ,2(12n-1 )故an= + 2= 2n,當(dāng)n= 1時(shí)符合上式，1 2所以an = 2n.命題角度2預(yù)設(shè)階梯轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列例 3 在數(shù)列an中，a1 = 2, an+1 = 4an 3n + 1, n N*.(1)證明：數(shù)列

7、an n是等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1) 證明 由 an+ 1 = 4an 3n+ 1 ,得 an+1 (n + 1) = 4(an n), n N .an+1 (n+ 1 )因?yàn)閍1 1= 1工0,所以an nz 0，所以=4,an n所以數(shù)列an n是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列.n 1*(2) 解由(1),可知 an n = 4 - , n N ,n 1*于是數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an= 4 - + n, n N .反思感悟課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)遞推公式要求不高，故對(duì)遞推公式的考查也比較簡單，一般先構(gòu)造好 等差(比)數(shù)列讓學(xué)生證明，再在此基礎(chǔ)上求出通項(xiàng)公式，故同學(xué)們不必在此處挖掘過深. 跟蹤

8、訓(xùn)練3 (2018江蘇泰州泰興中學(xué)月考)在數(shù)列an中，ai= 1,3anan-1 + a. an-1= 0(n>2, n N*).1、(1)證明：數(shù)列“J是等差數(shù)列；an求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(1)證明由 3anan 1 + an an-1 = 0(n2),1 1整理得一一=3(n2),an an-11所以數(shù)列 1是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列.1解 由(1)可得二=1 + 3(n 1)= 3n 2,an1 *所以 an =, n N .3n 2命題角度3構(gòu)造等差(比)數(shù)列例 4 已知數(shù)列an中，a1= 1, an+1= 2an+ 3,求 an.解 遞推公式 an+1 = 2an+ 3

9、 可以轉(zhuǎn)化為 an+1 t = 2(an t)，即 an+1 = 2an t,貝V t = 3.故遞推公式為 an+1+ 3= 2(an+ 3).bn +1 an+ 1 + 3令 bn= an+ 3,貝U b1 = a1+ 3= 4,且 = 2.bnan+ 3所以bn是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以 bn = 4X 2“-1 = 2+,即卩 an= 2+ 3( n N ).反思感悟 形如an+1= pan+ q(其中p, q為常數(shù)，且pq(p 1)豐0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下：第一步假設(shè)遞推公式可改寫為 an+ 1+ t = p(an + t)；第二步由待定系數(shù)法，解得t=

10、J;p 1第三步寫出數(shù)列an+p一的通項(xiàng)公式；第四步寫出數(shù)列an通項(xiàng)公式.跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列an滿足an +1 = 2an+ 3X 5n, a1= 6,求數(shù)列a*的通項(xiàng)公式.解設(shè) a*+1 + XX 5 + = 2(an + AX 5 ), 將an+1 = 2an+ 3X 5n代入 式，得 2an+ 3 X 5n+ XX 5n + 1 = 2an+ 2 XX 5n, 等式兩邊消去2an,得3 X 5n+ XX 5n+ 1= 2 X 5n,兩邊除以5n，得3+ 5 X= 2 X貝U X= 1,代入式得 an+1 5n+1= 2(an 5n).由 ai 51 = 6 5 = 1 豐 0 及式得 a

11、n 5n* 0,an+1 5n+1則廠=2，an 5 則數(shù)列an 5n是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列, 則 an 5n= 2n-1，故 an= 2n-1 + 5n(n N*).、利用前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式例5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn = 2an 4,n N ,貝Van等于( 答案 A 解析 因?yàn)镾n= 2an 4，所以n2時(shí)，Sn 1 = 2an-1 4，兩式相減可得 Sn Sn 1 = 2an 2ann+ 1nn 1B. 2 C. 2a1, 即卩 an= 2an 2an-1,整理得 an= 2an1，因?yàn)?S = a1 = 2a1 4，即 a1= 4,所以 =2.所

12、 an1以數(shù)列an是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，貝y an= 4X 2n1 = 2n+二故選A.反思感悟已知Sn= f(an)或Sn= f(n)的解題步驟：第一步 利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)nA 2時(shí)，Sn 1的表達(dá)式；第二步 利用an= Sn Sn 1( nA 2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步 若求出nA 2時(shí)的an的通項(xiàng)公式，則根據(jù) a1= S1求出a1，并代入nA 2時(shí)的an的 通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.如果求出的是an的遞推公式，則問題化歸為例 3形式的問題.n 1*跟蹤訓(xùn)練5 在數(shù)列 an中，a1= 1,a1 + 2a2+3a3

13、+ + nan=an+1(nN)，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式an.n + 1解 由 a1 + 2a2+ 3a3+ nan= an+1,得當(dāng) n2 時(shí)，a1 + 2a2 + 3a3 + + (n 1)an-1 = 2an,ann- 2n+ 1兩式作差得 nan = 2an+1 得(n+ 1)a n+1 = 3na n(n2),即數(shù)列nan從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，且 a1= 1, a2= 1，于是2a2= 2，故當(dāng)n2 時(shí)，nan= 2 3n2于是an =1, n=1,2 3n-2, n> 2，n N*.|達(dá)標(biāo)檢測(cè)”亠 4n 11 .已知數(shù)列an滿足 a1 = 1, an = an-1(

14、n2)，貝U an =.答案1nn 1解析 因?yàn)閍n= an 1(n2),n 21所以 an1 =an2,，a2 = a1.n 12以上(n 1)個(gè)式子相乘得12 n 1ai 1an= a1 2 3 n = n = n1 當(dāng)n= 1時(shí)，a1 = 1也滿足 an =;. 綜上an =1n .已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列 an滿足a1 = 1 , a2 (2an + 1 1)an 2an+ 1= 0 ,則 an的通項(xiàng)公式是.答案an= 2*-1 解析 由 an (2an+1 1)an 2an + 1 = 0,得 2an+ I(an+ 1) = an(an+ 1).an + 1 11因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù)

15、，所以 =2，故an是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列， an 22因此an =3. (2018 日照高二檢測(cè))在數(shù)列an中，a1 = 1, a2= 2,且 an+1 an= 1 + (- 1)n(n>2)，則 a10答案 10解析由題意，知a10 a9=1 + ( 1) ,a9 a8 = 1 + ( 1) ,a8a7 =1 + ( 1),，a3 a2=1 + ( 1)2，累加上述各式，可得 a10 a2 = 8.又因?yàn)閍2 = 2,所以ae= 10.4. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 2n2 3n.求an的通項(xiàng)公式.解因?yàn)?Sn= 2n2 3n, 所以當(dāng)n2時(shí)，2 2Sn 1 = 2(n

16、1) 3( n 1) = 2n 7n + 5,所以 an = Sn Sn 1= 4n 5, n2, 又當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = S1 = 1,滿足 an= 4n 5, 所以 an = 4n 5, n N .5. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 1+入n,其中 存0.證明如是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)1解由題意得a = S1 = 1 +入1,故入工1, a1 =,玄產(chǎn)0.1入由 Sn= 1 + 入 n, B +1 = 1 + 入 n+1,得 an+1 =入 n+1 入 a,即 an+1 (- 1)=入 n.由玄產(chǎn)0,入工0得an* 0,an+ 1

17、所以 =an所以an是首項(xiàng)為 ，公比為的等比數(shù)列，1 入匚1所以 an = - 卜13. 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1= 1，且滿足an+1 = ?an+歹，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式, n N .1入占1丿針對(duì)訓(xùn)練 一、選擇題1 .已知數(shù)列an中，a1 = 2, an+1 = a*+ 2n(n N),貝y a1oo的值是()A . 9 900 B . 9 902 C. 9 904 D . 11 000考點(diǎn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an +1= pan + f(n)型答案 B解析 a100= (a100 a99)+ (a99 a98)+ + (a2 a” + a1=2(99 + 98 + + 2 + 1)

18、 + 299 X 99 + 1=2 X+ 2= 9 902.2 .已知數(shù)列an中，才1, an+ 1 =怎，則這個(gè)數(shù)列的第門項(xiàng)為()A . 2n 1 B . 2n + 11C.2 n 11D.2 n+ 1考點(diǎn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn)一階線性遞推數(shù)列答案 C解析t an+1 = , a1 = 1, = 2.1+ 2anan+1 an 1 = 1 + (n 1) 2= 2n 1,-a=n an等于()2n 1CdCn- 1D n(n+ n = 1 時(shí)，a1 = 1 a1，解得 a1 = ?, )D.2考點(diǎn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn)an+1= pan + f(n)型答案C解析 11n+ 1&c

19、 an+1 = an+ 歹， 2 + an+1 = 2 an+ 2,即 2n+ 1an + 1 2nan= 2.又 21ai= 2,數(shù)列2nan是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列, 2nan= 2 + (n 1)x 2 = 2n,4. 已知數(shù)列an滿足a：i= a2+ 4，且ai= 1, an>0，則an等于()A. 4n 3 B. 4n C. 4n 1 D. 8n答案 A解析 an+1 an = 4, 二數(shù)列a)是等差數(shù)列，且首項(xiàng) a?= 1，公差d= 4,2-a*= 1 + (n 1) 4 = 4n 3.又 an>0 , - an= ："4n 3.一得 an+1 = a

20、n+1 + a*,所以 a*+1 =an.5. 已知數(shù)列an滿足：Sn= 1 an(n N *),其中Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則an的通項(xiàng)公 式an等于()nA21 n1 2nnB. 2C. 2D. 2答案B解析因?yàn)镾n= 1 an,所以Sn + 1 = 1 an + 1 ,11 1所以an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以 O - 1 .U 1 - |1 1所以昂-22 2.6 某種細(xì)胞開始時(shí)有 2個(gè)，一小時(shí)后分裂為 4個(gè)并死去1個(gè)，兩小時(shí)后分裂為 6個(gè)并死去1個(gè)，按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，100小時(shí)后細(xì)胞的存活數(shù)為()A 2 1 B 2+ 1 C 2 - 1 D 2 + 1答案 Ba1-2

21、，an+ 1 1解析由題意得- 2,| an+ 1 2an 1,an 1- an 2n1 + 1, a101 2101-1+ 1 2100+ 1.二、填空題7. 如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2an 1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式環(huán).考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案2n 1解析 當(dāng) n 1 時(shí)，S 2a1 1, a1 2a1 1, - a1 1.當(dāng) nA 2 時(shí)，an Sn Sn 1 (2an 1) (2an 1 1), an 2an- 1, an是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，- an 2n 1, n N*.8. 等比數(shù)列an中，a1, a2, a3分別是下表一、二、三行中的某一

22、個(gè)數(shù)，且a?, a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 答案 an 2 3n 1解析 當(dāng)a1 3時(shí)，不合題意； 當(dāng)a1 2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng) a2 6, a3 18時(shí)，符合題意;當(dāng)ai= 10時(shí)，不合題意.因此 ai = 2, a2= 6, a3= 18. 所以公比q= 3,故an= 2 3n-1.n + ian=9 .在數(shù)列 an中，ai= 1, an+ 1= an，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式考點(diǎn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn)累乘法求通項(xiàng)答案n n = 1時(shí)，a1= 1也符合此式.解析當(dāng)n2時(shí),an anT an=an1 an2a3

23、 a2a1a2 a1n n 1n 1 n 2=n2 1 n,10. 已知數(shù)列an滿足 an+1 = 3an+ 2,且 a1= 1,貝V a* =考點(diǎn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn)一階線性遞推數(shù)列答案 2 x 3n 1 1解析 設(shè) an+1 + A= 3(an+ A),化簡得 an+1 = 3an + 2A.又 an+1 = 3an+ 2,二 2A = 2, 即卩 A = 1.an+ 1 + 1-an+ 1 + 1 = 3(an+ 1)，即=3.an+ 1數(shù)列an+ 1是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 a1+ 1 = 2,公比為3.則 an+ 1= 2 x 3n 1,即卩 an= 2x 3n 1 1.2 111.

24、若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = 3an+ 3,則an的通項(xiàng)公式是an考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案(2)n1解析當(dāng)n= 1時(shí)，a1= 1；2 2當(dāng) n2 時(shí)，an= Sn Sn 1 = 38“一 3玄“-1,故一 =- 2,故 an = ( 2)n-1.an 1三、解答題12. 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1, Sn為數(shù)列 5的前n項(xiàng)和，且Sn+1 = q&+ 1,其中q>0, n N . 若2a2，a3，a2+ 2成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式題點(diǎn)判斷數(shù)列為等比數(shù)列后求通項(xiàng)解 由Sri+1= qSi + 1可知當(dāng)n>2時(shí)，Sn= qSi 1+ 1，兩式相減可得 an+1 = qan,又n= 1時(shí)，S2= qS1+ 1,即 a1+ a2= qa1+ 1，解得 a2= q* 0,an+ 1an* 0, = q（n2）.an又乎=q, an是公比為q的等比數(shù)列.a 1根據(jù)2a2, a3, a2+ 2成等差數(shù)列, 由等差數(shù)列性質(zhì)可得 2a2+ a2 + 2 = 2a3,2 1 即 2q2 3q 2 = 0,解得 q = 2 或 q = j, 由