數(shù)列解答題專練含答案版

1、數(shù)列高考真題匯編1.已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且Si, S?, S4成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；彳 4n(2) 令bn= ( - 1)n-1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.anan+12 x 1解析 (1)因?yàn)?S1 = a1, S2 2a1 + x 2= 2a + 2,4X 3八S4 4a1 + -x2 4a1+ 12, (3分)一 2 一由題意得(2a1 + 2) a1 (4a1 + 12),解得 a1 1.所以 an 2n-1.(5分)4nn 1 4nn 1加=(-1)-著=(-1)-2n- 12n+ 1(-1)n-11 1+gn 1 2n+ 1 y(6分)當(dāng)

2、n為偶數(shù)時,Tn 11 11+3 3+5 + +(1 1 、 gn 1 + 2n+ 1 尸1 -12n+ 12n2n+ 1當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn 1+3 - 3+i + 廣 11gn-3 2n- 1 J'12n- 11 、2n+ 1 丿12n+ 12n + 2 不.(10分)n + n*2. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2 , n N .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè)bn= 2an+ (- 1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.解析當(dāng)n= 1時，ai = Si= 1;2 2n + n (n 1)+( n 1)當(dāng) n2 時，an= Sn Sn 1 = 2 2 n.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=

3、n.由知，an= n,故 bn= 2n+ ( 1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則122nT2n= (21 + 22+ 2) + ( 1 + 2 3+ 4+ 2n).122n記 A= 2 + 2 +- + 2 ，B= 1+ 2 3+ 4+ 2n，2n則 A= - = 22n+1 2，1 2B= ( 1 + 2)+ ( 3+ 4)+ (2n 1) + 2n = n.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 T2n= A+ B = 22n+1 + n 2.3. 數(shù)列an滿足 a1 = 1，nan +1 = (n+ 1)an+ n(n+ 1)，n N .(1) 證明：數(shù)列 賈是等差數(shù)列；設(shè)bn= 3n a

4、n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.an+1 anan+1 an解析(1)證明：由已知可得=+ 1，即卩 一一=1.(4分)n+1 nn+1n所以數(shù)列an是以馬=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.(5分)(2) 解：由(1)得n = 1 + (n 1)1= n，所以 an= n2.從而bn= n 3【(7分)Sn= 1 x 31 + 2X 32 + 3X 33+ n 3n,3Sn= 1 X 32 + 2X 33 + + (n 1) 3n+ n 3n +1.=2 n3n + 1 =1 3一，得2Sn = 311n3 3+ 2n + 3一，得 2Tn= 1 + 3+ 孑+n_ 1 3n = 2 23n. +

5、 + 3n n 3n + 1 g戶.do分）n丄1所以升7.邈分）2 *4 .已知 Sn是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，a1 = 2, Sn+1 = 3Sn+ n + 2（n N ），設(shè) bn =an+ n.證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；n4（2）若Cn= &，數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn,求證：Tn<&.解析 證明：因?yàn)閍1 = 2，S+1 = 3Sn+ n2+ 2，所以當(dāng) n= 1 時，a1 + a2= 3a+ 12 + 2，解得 a2= 7.（2 分）由 Sn+1 = 3Sn+ n + 2 及 Sn= 3Sn 1 + （n 1） + 2（n2），兩式相減，得an+1 = 3an+

6、 2n 1.故 an+1 + n+ 1 = 3（an + n）.即 bn+1 = 3bn（n2）. （4 分）又b1 = 3，b2= 9，所以當(dāng)n= 1時上式也成立.故數(shù)列bn是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.（5分）（2）由知bn= 3n，所以cn =尹1 23n 1 n 金所以Tn= 3+ 32+亍+孑1 +卞，2 3n 1 n_八3Tn= 1 + 3 + 32+ + 3n2 + 3n 1.（7分）3 3 + 2n 所以 Tn= 4- 4 3n .(10 分)*3 + 2n因?yàn)閚® ,顯然有匸礦>0.3 44又4<5,所以 Tn<5.（12 分）15已知首項(xiàng)為2

7、的等比數(shù)列an是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且Si + ai, S2 + 32, S3+ a3成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 若bn= an log23n，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.1解析（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題知a1 =，又1S1 + a1, S2 + a2, S3+ a3 成等差數(shù)列，'2(9 + a2)= S1 + a1 + S3+ a3.'S? S1 + 2a2= a1 + S3 S2+ a3,即 3a2= a1 + 2a3.31212q=2+q，解得 q= 1 或 q=2"分)1又an為遞減數(shù)列，于是q = 2.°an = a

8、1qn 2 = (q)n.(6 分)(2)°bn= anlog2an= 1 1 1 1Tn= 1 x+ 2X(2)2+_ + (n 1)(2)n 1+ nx Qn.于是2Tn= 1 x (2)2+ + (n 1)(2)n + nx g)n+1. (8 分)1 1冷Z、"/曰 11121n1n +11X 1 (M兩式相減，得？Tn 2+(2)+ +(2) nX (?) 1+n+ 1 nx + .1 nTn= (n+ 2)(2)-2,6. 已知首項(xiàng)都是1的兩個數(shù)列an , bn(bnM 0, n N *)滿足anbn+1-an+ ibn + 2bn+ lbn= 0.(1) 令

9、cn= g,求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式；(2) 若 bn= 3n-1，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解析 因?yàn)?anbn + 1 an+ 1bn+ 2bn+ 1bn= 0, bn 0(n CN ),an + 1 an所以b = 2,即 Cn+ 1 Cn = 2.(4 分)bn+1 bn所以數(shù)列Cn是以首項(xiàng)C1= 1,公差d = 2的等差數(shù)列，故Cn= 2n 1.n 1n 1(2)由 bn = 3 ，知 an = cnbn= (2n 1)3 .于是數(shù)列an的前n項(xiàng)和012n 11 3 + 3 3 + 5 3 + + (2n 1) 3 ,3Sn= 1 3 + 3 3所以an的通項(xiàng)公式為an=尹+ 1.+ (

10、2n 3) 3n 1 + (2n 1) 3n,相減得一2Sn= 1 + 2 (31 + 32 + + 3n 1) (2n 1) 3n= 2 (2n 2)3n.所以 Sn= (n 1)3n+ 1.7. 已知an是遞增的等差數(shù)列，a2, a4是方程x2 5x+ 6= 0的根.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求數(shù)列 器的前n項(xiàng)和.解析 方程x2 5x + 6= 0的兩根為2,3，由題意得a2= 2, a4= 313設(shè)數(shù)列an的公差為d,則a4 a2 = 2d,故d= 2，從而a1=設(shè)anI勺前n項(xiàng)和為Sn,由(1)知|S=需，則34n+1 n+ 22n+15Sn = 2+ 戸+ 2n +134n+

11、12$=于+ 24+ +n + 22n+1 + 2n+2.兩式相減，得132看4+1 n+ 2311 n+ 2+ + 1)_ ?n + 2 4+ 4(1 _1)_ ?n + 2.n + 4所以2_尹.8. 已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a1 a2= 2, a3 a4 = 32.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;也=an+1_ 1(n N*)，求數(shù)列bn的(2)設(shè)數(shù)列bn滿足¥+號+冒+ 2n_ 1前n項(xiàng)和.解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由已知得ia2q= 2, a1q5= 32.又.a1>0, q>O,.Tj* 2.2n_1.由題意，可得b1 b2 b3bnn1 +

12、3+ 5"+ 2；_? 2_ 1.bn丁 1_ 1+2n_ 1bn=2n_ 1( n2),叫=2n_1.2n_ 1n 1bn= (2n 1)2 tn2).當(dāng)n= 1時，bi= 1,符合上式，n 1*bn= (2n 1) 2 (n6 ).設(shè) Tn= 1 + 3X21 21 31 41 n1 n+1 + 5X24$ 1X(4)+ 4X(4)+ 7X(4)+ + (3n 5)X(4)+ (3n 2)X (-) + . + + (2n 1) 2n 1,2Tn= 1 X 2 + 3X 22 + 5X 23+ + (2n 3) 2n 1+ (2n 1) 2n,兩式相減，得一Tn 1 + 2(2+ 2 + 2 ) (2n 1) 2 = (2n 3) 2 3. 6= (2n 3)2n+ 3.1 1 19. 已知數(shù)列an是a3 筋，公比q 4的等比數(shù)列設(shè) bn + 2 3log4an(n N )，數(shù)列 Cn滿足 Cn anbn.(1) 求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和S.解析(1)證明：由已知，可得an a3qn 3(1)n.1 1則 bn + 2 3log4(4)