李慶揚(yáng)-數(shù)值分析第五版第5章習(xí)題答案(20130808)

1、第5章復(fù)習(xí)與思考題1、用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？答：使用高斯消去法時(shí)，在消元過程中可能出現(xiàn) 的情況，這時(shí)消去法無法進(jìn)行；即時(shí)主元素，但相對(duì)很小時(shí)，用其做除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其它元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長和舍入誤差的擴(kuò)散，最后也使得計(jì)算不準(zhǔn)確。因此高斯消去法需要選主元，以保證計(jì)算的進(jìn)行和計(jì)算的準(zhǔn)確性。當(dāng)主對(duì)角元素明顯占優(yōu)（遠(yuǎn)大于同行或同列的元素）時(shí)，可以不用選擇主元。計(jì)算時(shí)一般選擇列主元消去法。2、高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程組Ax = b有何不同？A要滿足什么條件？答：高斯消去法實(shí)質(zhì)上產(chǎn)生了一個(gè)將分解為兩個(gè)三角形矩陣相乘的因式分解，其中一個(gè)為上三角矩陣U，一個(gè)為

2、下三角矩陣L。用LU分解解線性方程組可以簡化計(jì)算，減少計(jì)算量，提高計(jì)算精度。A需要滿足的條件是，順序主子式（1,2，n-1）不為零。3、楚列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點(diǎn)？楚列斯基分解是LU分解的一種，當(dāng)限定下三角矩陣L的對(duì)角元素為正時(shí)，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計(jì)算穩(wěn)定？具有對(duì)稱正定系數(shù)矩陣的線性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解過程中元素的數(shù)量級(jí)不會(huì)增長，切對(duì)角元素恒為正數(shù)，因此，是一個(gè)穩(wěn)定的算法。5、什么樣的線性方程組可用追趕法求解并能保證計(jì)算穩(wěn)定？對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組6、何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。向量范數(shù)定義見p

3、53，符合3個(gè)運(yùn)算法則。正定性齊次性三角不等式設(shè) 為向量，則三種常用的向量范數(shù)為：（第3章p53,第5章p165）7、何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A = (ai j )的三種范數(shù)| A|1，| A|2，| A|，| A|1與| A|2哪個(gè)更容易計(jì)算？為什么？向量范數(shù)定義見p162，需要滿足四個(gè)條件。正定條件齊次條件三角不等式相容條件矩陣的算子范數(shù)有從定義可知，更容易計(jì)算。8、什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？答：設(shè)為非奇異陣，稱數(shù) （）為矩陣A的條件數(shù)當(dāng)時(shí)，方程是病態(tài)的。9、滿足下面哪個(gè)條件可判定矩陣接近奇異？（1）矩陣行列式的值很小。（2）矩陣的范數(shù)小。（3）矩陣

4、的范數(shù)大。（4）矩陣的條件數(shù)小。（5）矩陣的元素絕對(duì)值小。接近奇異陣的有（1）、（2）注：矩陣的條件數(shù)小說明A是良態(tài)矩陣。矩陣的元素絕對(duì)值小，不能說明行列式的值小等。10、判斷下列命題是否正確：（1）只要矩陣A非奇異，則用順序消去法或直接LU分解可求得線性方程組Ax = b的解。 答：錯(cuò)誤，主元位置可能為0，導(dǎo)致無法計(jì)算結(jié)果。（2）對(duì)稱正定的線性方程組總是良態(tài)的。 答：正確。（3）一個(gè)單位下三角矩陣的逆仍為單位下三角矩陣。 答：正確。（4）如果A非奇異，則Ax = b的解的個(gè)數(shù)是由右端向量b的決定的。 答：正確。解釋：若A|b與A的秩相同，則A有唯一解。若不同，則A無解。（5）如果三對(duì)角矩陣的

5、主對(duì)角元素上有零元素，則矩陣必奇異。 （6）范數(shù)為零的矩陣一定是零矩陣。 答：正確。（7）奇異矩陣的范數(shù)一定是零。 答：錯(cuò)誤， 可以不為0。（8）如果矩陣對(duì)稱，則| A|1 = | A| 。 答：根據(jù)范數(shù)的定義，正確。（9）如果線性方程組是良態(tài)的，則高斯消去法可以不選主元。 答：錯(cuò)誤，不選主元時(shí)，可能除數(shù)為0。（10）在求解非奇異性線性方程組時(shí)，即使系數(shù)矩陣病態(tài)，用列主元消去法產(chǎn)生的誤差也很小。 答：錯(cuò)誤。對(duì)于病態(tài)方程組，選主元對(duì)誤差的降低沒有影響。（11）| A |1 = | AT | 。答：根據(jù)范數(shù)的定義，正確。（12）若A是n ´ n的非奇異矩陣，則。答：正確。A是n 

6、0; n的非奇異矩陣，則A存在逆矩陣。根據(jù)條件數(shù)的定義有：習(xí)題1、設(shè)A是對(duì)稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，證明是對(duì)稱矩陣。證明：設(shè)對(duì)稱矩陣 ，則經(jīng)過1次高斯校區(qū)法后，有所以 所以A2為對(duì)稱矩陣。2、設(shè)A是對(duì)稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，其中，；證明：（1）A的對(duì)角元素；（2）是對(duì)稱正定矩陣；（1）依次取，則因?yàn)锳是對(duì)稱正定矩陣，所以有。（2）中的元素滿足，又因?yàn)锳是對(duì)稱正定矩陣，滿足，所以，即是對(duì)稱矩陣。3、設(shè)為指標(biāo)為的初等下三角矩陣（除第列對(duì)角元以下元素外，和單位陣 相同），即 求證當(dāng)時(shí)， 也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角矩陣，其中為初等置換矩陣。4、試推導(dǎo)矩陣 的Crou

7、t分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣。本題不推導(dǎo)。參見書上例題。P147頁。5、設(shè) ，其中為三角矩陣。（1）就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，并寫出算法（2）計(jì)算解三角方程組的乘除法次數(shù)（3）設(shè)為非奇異矩陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式本題考查求解公式的一般方法，可從第n個(gè)元素開始，逐步計(jì)算n-1,1時(shí)對(duì)應(yīng)的求解公式。解法，略。6、證明：（1）如果是對(duì)稱正定矩陣，則也是對(duì)稱正定矩陣（2）如果是對(duì)稱正定矩陣，則可以唯一地寫成，其中是具有正對(duì)角元的下三角矩陣均是對(duì)稱正定矩陣的性質(zhì)。應(yīng)予以記住。7、用列主元消去法解線性方程組 并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值 使用列主元消去法，有

8、A的行列式為-66方程組的解為X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求線性方程組的解本題考查LU分解。解：9、用追趕法解三對(duì)角方程組，其中，。解：追趕法實(shí)際為LU分解的特殊形式。設(shè)U為、單位上三角矩陣。有（1）計(jì)算的遞推公式（2）解Ly=f（3）解UX=y10、用改進(jìn)的平方根法解方程組。本題明確要求使用平方根法進(jìn)行求解。實(shí)際考查的LDU分解。見P157。11、下列矩陣能否分解為（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一。，。LU分解存在的條件一個(gè)可逆矩陣可以進(jìn)行LU分解當(dāng)且僅當(dāng)它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩陣（或U矩陣）為單位三

9、角矩陣，那么分解是唯一的。同理可知，矩陣的LDU可分解條件也相同，并且總是唯一的。即使矩陣不可逆，LU仍然可能存在。實(shí)際上，如果一個(gè)秩為k的矩陣的前k個(gè)順序主子式不為零，那么它就可以進(jìn)行LU分解，但反之則不然。解：因?yàn)锳的一、二、三階順序主子式分別為1，0，-10，所以A不能直接分解為三角陣的乘積，但換行后可以。因?yàn)锽的一、二、三階順序主子式分別為1，0，0，所以B不能分解為三角陣的乘積。因?yàn)镃的一、二、三階順序主子式分別為1，5，1，所以C能夠分解為三角陣的乘積，并且分解是唯一的。12、設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。本題考查的是矩陣范數(shù)的定義及求法行范數(shù)0.6+0.5=1.

10、1列范數(shù)0.5+0.3=0.82-范數(shù)的計(jì)算需要用到特征值，特征值的計(jì)算可以使用冪法進(jìn)行計(jì)算，也可以直接求。的最大特征值為0.3690所以2-范數(shù)為0.6074F-范數(shù)0.842613、求證：（a）；（b）。根據(jù)定義求證。14、設(shè)且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，、，從而是上向量的一種范數(shù)。15、設(shè)為對(duì)稱正定，定義，試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，16、設(shè)A為非奇異矩陣，求證。因?yàn)?，所以得證17、矩陣第一行乘以一數(shù)，成為，證明當(dāng)時(shí)，有最小值。本題考查條件數(shù)的計(jì)算首先計(jì)算A的逆陣，當(dāng)，取得最小值為2，當(dāng)取值越大，則最小值為2從而，又當(dāng)